10 –
5
Chương
2
s. Lê Vă
à
GÓC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A – HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Hệ thức lượng giác cơ bản
.
.
.
..
.
.
NG
s
1/
cos2 x - sin2 x = 1 - 2sin2 x .
2/
2cos2 x - 1 = 1 - 2sin 2 x .
3/
3 - 4sin2 x = 4cos2 x - 1 .
4/
sin x cot x + cos x tan x = sin x + cos x .
5/
sin4 x + cos4 x = 1 - 2sin2 x cos2 x .
6/
cos4 x - sin 4 x = cos2 x - sin2 x .
7/
4 cos2 x - 3 = (1 - 2sin x)(1 + 2sin x). 8/
9/
sin 4 x - cos4 x = 1 - 2cos2 x = 2sin2 x - 1 . 10/ sin3 x cos x + sin x cos3 x = sin x cos x .
11/ tan2 x - sin2 x = tan2 x sin 2 x .
(1 + cos x)(sin
2
)
x - cos x + cos2 x = sin2 x .
12/ cot 2 x - cos2 x = cot 2 x cos2 x .
s
2/
1 - cos x
sin x
=
.
sin x
1 + cos x
1
1
+
= 1.
1 + tan x 1 + cot x
4/
æ
öæ
ö
çç1 - 1 ÷
çç1 + 1 ÷
÷
÷
+ tan 2 x = 0 .
÷
÷
֍
÷
çè cos x øè
cos x ø
5/
1 + sin2 x
= 1 + 2tan2 x .
2
1 - sin x
6/
tan x tan y =
7/
1 - cot 4 x =
8/
tan x +
9/
(1 -
10/
1 + cos x 1 - cos x 4 cot x
=
.
1 - cos x 1 + cos x
sin x
11/
sin x
1 + cos x
2
+
=
.
1 + cos x
sin x
sin x
12/
sin x + cos x - 1
cos x
=
.
sin x - cos x + 1 1 + sin x
14/
sin x + cos x - 1
2cos x
=
.
1 - cos x
sin x - cos x + 1
1/
tan x + cot x =
3/
(
1
.
sin x cos x
2
1
.
sin 2 x sin 4 x
)
cos x) 1 + cot 2 x =
1
.
1 + cos x
sin 2 x + 2cos x - 1
cos x
=
13/
.
2
1 + cos x
2 + cos x - cos x
tan x + tan y
.
cot x + cot y
cos x
1
=
.
1 + sin x cos x
Page - 1 -
s. Lê Vă
5.
à
–
s
1/
sin6 x + cos6 x = 1 - 3sin2 x cos2 x .
2/
sin 6 x - cos6 x = sin2 x - cos2 x 1 - sin 2 x cos2 x .
3/
sin 8 x + cos8 x = 1 - 2sin 2 x cos2 x - 2sin 4 x cos4 x .
4/
sin 8 x - cos8
(
(
x = (sin
)(
)
2
)
2
)(
)
x - cos2 x 1 - 2sin2 x cos2 x .
s
1/
1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x).
2/
(1 + tan x)(1 + cot x)sin x cos x = 1 + 2sin x cos x .
3/
(1 + tan x)cos
4/
sin2 x tan x + cos2 x cot x + 2sin x cos x = tan x + cot x .
5/
sin2 x tan2 x + 4sin2 x - tan2 x + 3cos2 x = 3 .
2
2
x + (1 + cot x)sin 2 x = (sin x + cos x) .
s
1/
sin2 a - cos2 a
tan a - 1
.
=
1 + 2sin a cos a
tan a + 1
2/
tan2 a - sin2 a
= tan 6 a .
2
2
cot a - cos a
3/
cos2 a
sin 2 a
+
= 1 - sin a cos a .
1 - tan a 1 - cot a
4/
tan a - sin a
1
=
.
3
sin a
cos a (1 + cos a )
5/
1
= tan 2 a + cot 2 a + 2 .
2
2
sin a cos a
6/
1
3tan2 a
2
tan
a
=
+ 1.
cos2 a
cos2 a
7/
tan2 a - tan2 b sin2 a - sin2 b
.
=
tan2 a tan 2 b
sin 2 a sin 2 b
8/
2
é
ù
ú
1 - cos a ê(1 + cos a )
ê
ú= 2 cot a .
1
ú
sin a ê sin 2 a
êë
ú
û
9/
(1 -
(
)
cos a ) 1 + cot 2 a =
1
.
1 + cos a
10/ 1 + tan a + tan 2 a + tan 3 a =
sin a + cos a
.
cos3 a
sin a
cos a
1 + cot 2 a
11/
.
=
sin a + cos a cos a - sin a 1 - cot 2 a
tan 2 a 1 + cot 2 a
1 + tan 4 a
.
=
12/
.
1 + tan 2 a cot 2 a
tan 2 a + cot 2 a
æ 1 + sin a
ç
13/ çç
ççè 1 - sin a
æ 1 + cos a
ç
14/ çç
ççè 1 - cos a
ö2
1 - sin a ÷
÷
= 4 tan2 a .
÷
÷
1 + sin a ø÷
ö2
1 - cos a ÷
÷
= 4 cot 2 a .
÷
÷
1 + cos a ÷
ø
s
1/ P1 = sin 4 a + sin2 a cos2 a .
2/ P2 = sin 4 a - cos4 a + cos2 a .
3/ P3 = sin2 a + sin2 a cot 2 a .
4/ P4 = cos2 a + cos2 a cot 2 a .
(
)
5/ P5 = 1 - sin 2 a cot 2 a + 1 - cot 2 a .
Page - 2 -
"A
6/ P6 = sin2 a tan a + cos2 a cot a + 2sin a cos a .
e f wer f
rr w re
e see s f
d y
"
10 –
2
7/
2cos2 a - 1
P7 =
.
sin a + cos a
9/
P9 =
s. Lê Vă
8/
cot a + cot b
.
tan a + tan b
P8 =
1 - cos a
1
.
2
1 + cos a
sin a
10/ P10 = tan a +
cos a
.
1 + sin a
11/ P11 =
sin x + tan x
- sin x cot x .
tan x
12/ P12 =
cos x tan x
- cot x cos x .
sin2 x
13/ P13 =
cos2 x - cot 2 x
.
sin2 x - tan2 x
14/ P14 =
1 - sin2 x cos2 x
- cos2 x .
2
cos x
2
sin 3 x + sin x cos2 x - cos x
15/ P15 =
.
1 - 2sin x cos x
17/ P17 =
16/ P16
sin 2 x + sin 2 x tan 2 x
.
cos2 x + cos2 x tan 2 x
cos2 x - sin2 y
- cot 2 x cot 2 y .
19/ P19 =
2
2
sin x sin y
21/ P21 =
23/ P23 =
(sin x + cos x) =
s
à
tan x - sin x cos x
.
cot 2 x - cos2 x
+ 1 - cos2 x .
2
cot x
20/ P20 =
1
sin x
cos x cot x
.
sin x 1 + cot x 1 + tan x
24/ P24 =
æ
öæ
ö
çç1 + cot x + 1 ÷÷çç1 + cot x - 1 ÷÷.
÷
çè
֍
sin x øè
sin x ø÷÷
æ
, ççç0 < x <
cot 2 x - cos2 x è
1
sin x -
s
1/
A = 2cos2 x - 1.
2/
B = 3 - 4sin2 x .
3/
C = sin x cos x + cos2 x - 1 .
4/
D = sin2 x + sin x cos x - 1 .
5/
E = 1 + sin x + cos x + tan x .
6/
F = tan x - cot x + sin x + cos x .
7/
G = cos x tan2 x - (1 + cos x).
8/
H = 3 - 4 cos2 x - sin x (2sin x + 1).
9/
I = sin2 x - 3cos2 x + 6 cos x -
(
1
18/ P18 =
1 - cos x 1 - sin x
+
+ tan x + cot x . 22/ P22 =
sin x
cos x
(1 + tan x)cos2 x + (1 + cot x)sin2 x .
)
2 sin x .
10/ J = cos3 x - sin 3 x + sin x + cos x .
11/ K = cos3 x + cos2 x + 2sin x - 2 .
12/ L = cos2 x + sin 3 x + cos x .
(
à
)
13/ M = 1 + cos x + cos2 x - sin x 1 + cos x .
Page - 3 -
p ÷ö
÷.
2 ÷÷ø
s. Lê Vă
5.
à
–
14/ N = 2cos3 x + 2cos2 x + sin x - 1 .
15/ O = cos3 x + sin 3 x + 2sin2 x - 1 .
(
)(
Q = (2cos x - 1)(sin x + cos x)-
)
16/ P = 2sin x - 1 2cos x + 2sin x + 1 - 3 + 4cos2 x .
17/
1.
18/ R = 4 sin 3 x + 3cos3 x - 3sin x - sin2 x cos x .
(
)
(
)
19/ S = 1 + sin x tan2 x - 1 + cos x .
(
)
20/ T = 2 - 5sin x + 3 1 - sin x tan2 x .
21/ U = 2sin x cos x - 2sin 2 x + 3sin x - cos x - 1 .
(
)
22/ V = tan x - 3cot x - 4 sin x +
3 cos x .
23/ X = 3sin x + 2cos x - 3tan x - 2 .
24/ Y = 2 (tan x - sin x) + 3 (cot x - cos x) + 5 .
25/ Z = 3 (cot x - cos x) - 5 (tan x - sin x)- 2 .
s
à
1/
A = cos4 x - sin 4 x + 2sin2 x .
2/
B = sin 4 x + sin2 x cos2 x + cos2 x .
3/
C = cos4 x + sin2 x cos2 x + sin2 x .
4/
D = cos4 x 2cos2 x - 3 + sin 4 x 2sin 2 x - 3 .
5/
E = sin 6 x + cos6 x - 2sin 4 x - cos4 x + sin2 x .
6/
F = sin x.
7/
G=
8/
H = cos2 x cot 2 x + 5cos2 x - cot 2 x + 4sin2 x .
9/
I = (1 + cot x)sin 3 x + (1 + tan x)cos3 x - sin x - cos x .
(
)
(
1
1
+
,
1 + cos x 1 - cos x
)
æ
ö
çç0 < x < p ÷
÷
.
÷
÷
çè
4ø
sin 4 x + 4 cos2 x + cos4 x + 4 sin2 x .
(
)(
)
K = 3 (sin x - cos x) + 4 (cos x - 2sin x) + 6sin x .
L = sin x (1 + sin x) + cos x (1 + cos x) + 5sin x cos
10/ J = sin 4 x + cos4 x - 1 tan 2 x + cot 2 x + 2 .
11/
12/
8
4
8
2
6
6
4
2
2
(
) (
4
2
2
x + 1.
)
13/ M = 2 sin 4 x + cos4 x + sin 2 x cos2 x - sin 8 x + cos8 x .
Page - 4 -
"A
e f wer f
rr w re
e see s f
d y
"
10 –
2
s. Lê Vă
s
à
2
cot x + 1
.
+
tan x - 1 cot x - 1
1/
A=
2/
(1 B=
tan2 x
2
4 tan x
3/
2
)-
1
.
4 sin x cos2 x
2
1 - tan2 x
C=
- 1 + tan2 x 1 + cot 2 x .
tan x
(
)(
)
2
4/
(1 D=
5/
E=
1 - sin 6 x 3 tan2 x
.
cos6 x
cos2 x
6/
F=
tan2 x - cos2 x cot 2 x - sin2 x
.
+
sin2 x
cos2 x
7/
cot 2 x - cos2 x sin x cos x
.
G=
+
cot x
cot 2 x
8/
H=
cot 2 x
cot 2 x
)-
1
.
sin2 x cos2 x
sin 4 x + cos4 x - 1
.
sin 6 x + cos6
Cho f (x) =
2 (1 - cos x), g (x) =
3.sin x, h (x) = 2 + cos x + 3.sin x .
2 + cos x -
s
A = f2 (x) + g2 (x) + h2 (x),
à
B = f 4 (x) + g4 (x) + h 4 (x), C = f2 (x).g2 (x) + g2 (x).h2 (x) + h2 (x).f2 (x).
Cho a sin x sin y - b cos x cos y = 0 .
Q=
r
1
1
+
2
2
a sin x + b cos x a sin y + b cos2 y
à
2
(
)
Cho Q = sin 6 x + cos6 x - m sin 4 x + cos4 x .
Cho
à
à
à
–
yê
r
s
Q
.
Q
r
.
– ă
1998
sin 4 x cos4 x
1
+
=
.
a
b
a+ b
1/
sin 8 x cos8 x
1
+
=
3
a3
b3
(a + b)
2/
sin10 x cos10 x
1
+
=
4
a4
b4
(a + b)
r
–
– à
yê Lê
A s erd
– ă
– ă
2001)
2007
Page - 5 -
s. Lê Vă
5.
à
–
B – ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC – CUNG GÓC LƯỢNG GIÁC
CUNG LIÊN KẾT
Page - 6 -
"A
e f wer f
rr w re
e see s f
d y
"
10 –
2
s. Lê Vă
à
NG
I LIÊN HỆ GI A ĐƠN V Đ
s
s
s
s
r
s
(rad):
r
0
0
0
2p 3p 5p 9p 7p 13p 3p
15p p
,
,
,
,
,
,, 2,
, .
3
4
9
5
3
3
4
7 15
y
r r d
s
VÀ RA IAN
900, 360, 150, - 720, 2700, 2400, 5400, - 7500, 210 .
à
s
r d
21 30', 75 54', 12 36' , 15 30', - 105 45' 30'', 27038' 49'' .
s
0
r d
0
r
r
s
à
2
(rad) à 2, 5p .
p
r s
r
00
150
300
450
600
750
900
1200
1500
1800
p
16
p
8
p
6
5p
12
p
2
2p
3
3p
4
5p
6
p
4p
3
7p
4
Radian
p
12
5p
6
-
T NH Đ
2p
3
3p
4
1350
- 500
8100
ÀI CUNG TRÒN
10 (cm).
r
p
2
dà
s
à
2p p 3p 7p 13p
3p
3
,
,
,
,
, - 2p,
, 450, (rad), 750 .
3 18 5
3
6
4
2
dà 10 (cm).
dà 7 (cm)
r
30
t.
à 55 (cm) .
e
y
e
à
r
40 (km /h )
y
r
y
à
1, 26 (m).
e
15
à
à
dà 1, 75 (m) à
e
rê
r
dà
ê
BI U I N NG N CUNG LƯỢNG GIÁC
Page - 7 -
s. Lê Vă
5.
à
d
s
ê
r
–
A 300, - 450, 1200, - 1200, 3300,
7p
4p
15p 2010p
.
, , - 7500, 11250,
,
4
3
2
4
6300, 7500, - 12500,
p
p
p
k2p, kp, k , k , k , (k Î ¢ ).
2
3
4
s
s
y rê
kÎ ¢.
r
1/ x = kp .
2/ x =
p
+ k2p .
2
3/ x = 4kp .
4/ x =
p
+ kp .
3
p
+ k2p .
6
5/ x = -
6/ x = -
p
+ kp .
4
7/ x =
kp
.
3
8/ x =
p k2p
.
+
3
3
9/ x =
p k3p
.
+
4
4
10/ x =
p kp
.
+
6
3
à
1
r
¼ = p à sđAN
¼ = kp
sđAM
798
6
s
kÎ ¢.
kÎ ¥
2
.
s
r d
y
35p
mp
à
3
5
às
G A TR LƯỢNG GIÁC C A
d
.
yê
à
T CUNG GÓC
r
3p
.
2
1/
sin x, cos x, tan x, cot x
2/
æ pö
æ3p
ö
æ pö
æ pö
çç - x÷
ççx - ÷
ççx + ÷
÷
÷
÷
÷
sin çççx + ÷
,
cos
,
tan
,
cot
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
4ø
2ø
2ø
è
èç 2
ø
èç
èç
3/
A = sin 400.cos - 2900 .
5/
C = sin 2250. tan 1300.cot - 1750 .
7/
E = sin 500.cos - 3000 .
9/
G = cot
(
)
(
(
p< x<
)
)
0< x <
(
p
.
2
)
4/
B = sin - 250 .cos1700 .
6/
D = cos1950. tan 2690.cot - 980 .
8/
F = sin 2150. tan
(
æ 2p ö
3p
÷
÷.
.sin çççè 3÷
ø
5
10/ H = cos
1
2
2/
)
21p
.
7
4p
p
4p
9p
.sin . tan .cot .
5
3
3
5
r
1/
Page - 8 -
sin x =
900 < x < 1800 .
"A
sin x = -
e f wer f
4
5
rr w re
2700 < x < 3600 .
e see s f
d y
"
10 –
3/
sin x = -
5/
cos x =
7/
cos x =
2
3
5
p< x<
3
5
sin x =
3p
.
2
0 < x < 900 .
2
-
5
9/
s. Lê Vă
5
13
p
< x< p.
2
11/ tan x = 3
13/ tan x = -
p
< x < 0.
2
p< x<
1
2
1
4
4/
cos x =
6/
cos x = -
8/
cos x =
5
13
4
5
10/ sin x = -
3p
.
2
0< x <
1800 < x < 2700 .
2700 < x < 3600 .
1
3
12/ tan x = - 2
p
< x< p.
2
p
.
2
14/ cot x = 3
1800 < x < 2700 .
p
< x< p.
2
p< x<
3p
.
2
15/ tan x =
3
4
p< x<
3p
.
2
16/ tan x = - 2
p
< x< p.
2
17/ cot x =
2
3
0< x <
p
.
2
18/ cot x = -
p
< x< p.
2
3p
< x < 2p .
2
19/ cot x = - 3
r
3
20/ cot 150 = 2 +
3
s
1/ Cho tan x = - 2 .
A1 =
5cot x + 4 tan x
2sin x + cos x
.
, A2 =
5cot x - 4 tan x
cos x - 3sin x
2/ Cho cot x =
B1 =
3sin x - cos x
sin x - 3cos x
, B2 =
.
sin x + cos x
sin x + 3cos x
2.
3/ Cho cot x = 2 .
C1 =
2sin x + 3cos x
2
, C2 =
.
2
3sin x - 2cos x
cos x - sin x cos x
3sin x - 2cos x
2sin x + 3cos x
,
, D2 =
4 sin x - 5cos x
5sin 3 x + 4 cos3 x
sin x + 5cos x
sin 3 x - cos3 x
8cos3 x - 2sin 3 x + cos x
D
=
,
D3 =
,
D
=
,
4
5
sin 3 x - 2cos3 x
sin x + sin 2 x cos x
2cos x - sin 3 x
sin 3 x - 2cos3 x + 2sin x + 3cos x
D6 =
.
sin 3 x - cos2 x + 5sin x
4/ Cho tan x = 2 .
D1 =
5/ Cho sin x =
3
p
, 0< x < .
5
2
6/ Cho sin x =
1
, 900 < x < 1800 .
3
7/ Cho cos x = -
2
.
3
G=
E=
cot x + tan x
.
cot x - tan x
F=
8 tan2 x + 3cot x - 1
.
tan x + cot x
cot x + 3 tan x
.
2cot x + tan x
Page - 9 -
à
s. Lê Vă
5.
à
8/ Cho sin x =
2
, 0 < x < 900 .
3
9/ Cho cos x = -
H1 =
4 p
, < x< p.
5 2
5
.
4
Cho sin x + cos x =
tan x - cos x
tan x cos x
, H2 =
- cos x cot x .
cot x
sin 2 x
cot x + tan x
sin x
, I2 = cot x +
.
cot x - tan x
1 + cos x
I1 =
y
–
r
s
9
.
32
1/ A = sin x.cosx .
S: A =
2/ B = sin x - cosx .
S: B = ±
7
.
4
3/ C = sin 3 x - cos3 x .
S: C = ±
41 7
.
128
Cho tan x - cot x = 3 .
y
r
s
1/ A = tan2 x + cot 2 x .
S: A = 11.
2/ B = tan x + cot x .
S: B = ± 13 .
3/ C = tan 4 x - cot 4 x .
S: C = ± 33 13 .
Cho sin x + cos x = m .
y
e
r
1/ A = sin x cosx .
2/ B = sin3 x + cos3 x .
3/ C = sin4 x + cos4 x .
4/ D = sin x - cos x .
5/ E = tan2 x + cot 2 x .
6/ F = sin6 x + cos6 x .
sin x, cos x, tan x, cot x .
1/ sin x + cos x =
r
2/ sin x - cos x =
2.
3/ sin x + cos x =
1
.
2
4/ sin x + cos x =
1
.
5
S:
5/ tan x + cot x = 4 .
S:
2.
y
1
;
3
2- 3
; 2 + 3; 2 2
2/ B = tan3 x + cot 3 x .
3/ C = tan4 x + 2cot 4 x .
4/ D = tan 5 x - 3cot 5 x .
1/ Cho 3sin 4 x + cos4 x =
Page - 10 -
3.
y
1/ A = tan2 x - cot 2 x .
r
2005
4
3
4
3
;- ;- ;- .
5
5
3
4
2 2Cho tan x - 2cot x = - 1 .
– ă
s
3
.
4
y
A = sin4 x + 3cos4 x .
"A
e f wer f
S: A =
rr w re
7
.
4
e see s f
d y
"
10 –
2
2/ Cho 3sin 4 x - cos4 x =
s. Lê Vă
1
.
2
7
.
4
3/ Cho 4 sin 4 x + 3cos4 x =
S: B = 1 .
B = sin4 x + 3cos4 x .
C = 3sin4 x + 4cos4 x . S: C =
7
57
.
ÚC=
4
28
CUNG GÓC LIÊN KẾT
d
s
d
d
a + k2p
d
a + k3600
kÎ ¢.
3p 5p 11p 14p
21p
.
,
,
,
, 2
4
3
5
6
d
s
d
kÎ ¢.
3700, 5120, 7650, - 10000, 12340 .
d
s
d
d
kÎ ¢.
a + k2p
8p 11p 7p 18p
27p
25p
.
,
,
,
, ,3
5
2
7
10
4
ê
d
y
1/
sin 1500 .
2/
cot 1350 .
3/
cos2250 .
4/
tan 2100 .
5/
cot 2250 .
6/
sin 2400 .
7/
cos 3150 .
8/
tan 3000 .
9/
cot - 13800 .
(
)
y
10/ cos11p .
r s
11/ sin13p .
13/ cot
7p
.
6
14/ cos
11p
.
3
15/ cot
17/ cos
29p
.
6
18/ tan
45p
.
4
19/ cos ççç-
æ 19p ö
÷
÷
.
÷
÷
çè 4 ø
22/ cos ççç-
æ 26p ÷
ö
÷
.
÷
çè 3 ÷
ø
23/ tan ççç-
21/ cot ççç-
r
1/
5/
9/
s
(
)
cos (x + 540 ) .
cos (450 + x).
sin x - 900 .
0
0
2/
6/
10/
(
)
cot (180 + x). 7/
sin (270 + x). 11/
0
r
17p
.
3
25p
.
4
16/ sin
æ 16p ö
÷
÷.
÷
çè 3 ÷
ø
20/ sin ççç-
æ 159p ÷
ö
÷
.
÷
çè 4 ÷
ø
24/ sin ççç-
æ 31p ÷
ö
÷
.
÷
÷
çè 2 ø
æ 115p ÷
ö
÷
.
÷
çè 6 ÷
ø
r
cos 1800 + x . 3/
2
12/ tan10p .
0
s
(
)
sin (x - 540 ).
cos (90 + x) .
8/
12/
(
)
tan (360 - x).
cot (180 - x).
sin 2700 - x . 4/
0
3
0
sin x - 1800 .
0
5
0
r
1/
cot (x - p ) .
2/
sin (p + x) .
3/
tan (2p - x).
4/
cot (3p - x).
5/
sin (x - 7p ).
6/
tan (x - 5p ).
7/
æ5p
ö
÷
sin çç + x÷
.
÷
÷
çè 2
ø
8/
æ3p
ö
÷
cos çç + x÷
.
÷
÷
çè 2
ø
9/
æ 3p ö
÷
÷
cot çççx .
÷
÷
2
è
ø
÷
÷
10/ cos çççx .
÷
÷
2
è
ø
æ
5p ö
æ11p
ö
æ
7p ö
÷
÷
÷
+ x÷
11/ tan ççç
. 12/ sin çççx +
.
÷
÷
÷
÷
2
2
è
ø
è
ø
Page - 11 -
à
s. Lê Vă
5.
à
–
13/ sin2 (p + x) .
14/ cos9 (p - x) .
15/ cot 11 (x - 3p ). 16/ cos4 (x + 3p ).
17/ cot 2 (x - 5p ).
18/ cos6 (x - p ) .
÷
÷. 20/ cos5 çç - x÷
÷
19/ cos8 ççx .
÷
çè2
÷
÷
çè
2÷
ø
ø
æ
3p ö
pö
÷
÷.
÷
2÷
ø
÷
÷. 23/ cos2013 ççx + ÷÷÷. 24/ sin1991 çç - x÷
÷
22/ tan 2 ççx .
÷
÷
÷
çè
çè
çè 2
2÷
2 ÷ø
ø
ø
æ
çè
11p ö
÷
÷
.
÷
÷
2 ø
÷
÷
÷
26/ cot 2 çççx . 27/ tan11 ççç
. 28/ cos (x - 2012p ) .
+ x÷
÷
÷
÷
÷
2
2
è
ø
è
ø
25/ cos2015 çççx -
9p ö
æ
7p ö
æ
9p ö
æ11p
ö
æ
çè
21/ sin 2012 çççx -
æ
æp
æ5p
ö
1/
æ pö
÷+ sin (x - p ).
A = cos çççx - ÷
÷
2÷
è
ø
2/
æp
ö
æ
ö
æp
ççp - x÷
çç +
÷
÷
B = cos ççç - x÷
+
sin
cos
÷
÷
ç
÷
÷
2
2
è
ø
è
ø
èç2
3/
æ7p
ö
æ3p
ö
çç - x÷
÷
÷
C = 2cos x + 3cos (p - x)- sin ççç - x÷
+
tan
.
÷
÷
÷
÷
è2
ø
èç 2
ø
4/
æp
D = 2sin ççç +
è2
5/
æ7p
ö
æ3p
ö
÷
÷
E = 2cos x - 3cos(p - x) + 5sin ççç - x÷
+ cot ççç - x÷
÷
÷.
è2
ø
è2
ø
6/
æ pö
æ3p
ö
÷
÷
F = sin (5p + x) + cos ççx - ÷
+ cot (3p - x) + tan çç - x÷
.
÷
÷
÷
÷
çè
2ø
èç 2
ø
7/
æ 3p ö
æp
÷
÷
G = cos (15p - x) + sin ççx - tan çç +
÷
÷
çè
2ø
èç2
8/
æp
ö
æ3p
ö
÷
÷
H = sin (p + x) - cos çç - x÷
+ cot (2p - x) + tan çç - x÷
.
÷
÷
÷
÷
çè2
ø
èç 2
ø
9/
æ3p
ö
æ3p
ö
÷
÷
I = cos (5p - x)- sin ççç + x÷
+ tan ççç - x÷
÷
÷+ cot (3p - x).
è2
ø
è2
ø
(
ö
æ
ççp +
÷
x÷
sin
÷
çè2
÷
ø
ö
÷
x÷
.
÷
÷
ø
ö
æ
ö
æ
çç3p + x÷
ççp +
÷
÷
x÷
+
sin(5
p
x)
+
sin
+
cos
÷
÷
çè 2
çè2
ø
ø
)
(
)
ö
ö
÷
.
x÷
÷
ø
ö æ11p
ö
÷
÷
x÷
cot çç
- x÷
.
÷
÷
÷ èç 2
÷
ø
ø
(
)
(
)
10/ J = cos 2700 - x - 2sin x - 4500 + cos x + 9000 + 2sin 2700 - x .
æ
pö
æ
pö
æ
3p ö
÷
÷+ sin 2 ççx + ÷
÷
÷
+ sin 2 çççx +
+ sin 2 (x + p ) .
11/ K = sin 2 ççx + ÷
÷
÷
ç
÷
÷
÷
çè
4÷
2
4
ø
è
ø
è
ø
12/ L = sin2
p
p
p
2p
5p
7p
.
+ sin2 + sin2 + sin2
+ sin2
+ sin2
3
6
9
9
8
8
æp
è
ö
÷
13/ M = cos2013 x + cos2013 (p + x).sin 2012 (p + x)- sin 2011 ççç - x÷
.
÷
÷
2
Page - 12 -
"A
e f wer f
ø
rr w re
e see s f
d y
"
10 –
2
s. Lê Vă
æ
çè
14/ N = sin 6 (p + x) + cos6 (x - p ) - 2sin 4 (x + 2p )- sin 4 çççx -
æ pö
3p ö
÷
÷
÷
.
+ cos2 ççx - ÷
÷
÷
÷
÷
2ø
2ø
èç
æ19p
ö
÷
tan çç
- x÷
. cos (36p - x). sin (x - 5p )
÷
÷
çè 2
ø
15/ O =
.
æ9p
ö
÷
ç
sin ç - x÷
. cos (x - 99p )
÷
÷
çè 2
ø
æ
çè
16/ P = sin çççx +
à
æ 3p ö
85p ö
÷
÷
÷
÷
.
+ cos (207p + x) + sin 2 (33p + x) + sin 2 ççx ÷
÷
÷
÷
ç
2 ø
2ø
è
r
d
y
1/
A = cos00 + cos200 + cos400 + ...... + cos1800 .
2/
B = cos200 + cos400 + cos600 + ...... + cos1800 .
3/
C = cos100 + cos400 + cos700 + ...... + cos1700 .
4/
D = tan 200 + tan 400 + tan 600 + ...... + tan1800 .
5/
E = cot 150 + cot 300 + cot 450 + ...... + cot 1650 .
6/
F = sin 50 + sin100 + sin150 + ...... + sin 3600 .
7/
G = cot 1950 + cot 2100 + cot 2250 + ...... + cot 3450 .
8/
H = cot 150.cot 350.cot 550.cot 750 .
9/
I = tan100. tan 200. tan 300...... tan 800 .
10/ J = tan10. tan 20. tan 30...... tan 890 .
11/ K = sin2 280 + sin2 360 + sin2 540 + cos2 1520 .
12/ L = cos2 20 + cos2 40 + cos2 60 + ...... + cos2 880 .
13/ M = sin2 100 + sin2 200 + sin2 300 + ...... + sin2 900 .
14/ N = cos2 100 + cos2 200 + cos2 300 + ... + cos2 1800 .
15/ O = sin 200 + sin 400 + sin 600 + ... + sin 3400 + sin 3600 .
à
r
(
d
y
)
1/
A = cos - 3150 .sin 7650 .
2/
B = sin 320.sin1480 - sin 3020.sin1220 .
3/
C = sin 8100.cos5400 + tan1350.cot 5850 .
4/
D = sin 8250.cos - 150 + cos 750.sin - 5550 .
5/
E = 2tan 5400 + 2cos11700 + 4sin 9900 .
6/
(
F=
(
)
(
)
sin - 2340 - cos2160
0
0
sin 144 - cos126
)
. tan 360 .
Page - 13 -
à
s. Lê Vă
5.
à
7/
8/
G=
H=
(
)
sin - 3240 + cos6660
0
.cot 360 .
0
sin 1206 + cos 36
(
)
sin - 3280 . sin 9580
0
cot 572
–
(
) (
tan (- 212 )
cos - 5080 . cos - 10220
-
0
11/
( )
- tan 18 .
tan (- 142 ). sin 108
J = 2sin (790 + x) + cos (1260 - x) + tan (630
2sin 2550 .cos (- 188 )
1
.
K=
+
12/
(cos 44
L=
9/
10/
I=
cos - 2880 . cot 720
0
0
0
0
0
0
0
tan 3680
0
13/ M =
14/ N =
)
(
)
+ x . tan 12600 - x .
0
2cos6380 + cos980
)
+ tan 2260 .cos 4060
0
cos 316
(
- cos 720.cot 180 .
)
tan 460.sin 440 + cot - 1360 .sin 4040
0
cos 316
(
).
)
sin - 3280 . sin 9580
cos 5720
-
(
- tan 360. tan 540 .
) (
tan (- 212 )
cos - 5080 . cos - 10220
0
).
4p
17p
+ cos
3
6
15/ O =
.
æ
ö
23p
10p ÷
ç
÷
sin
+ cos ç÷
çè 3 ÷
6
ø
sin
16/ P =
sin (- 4, 8p ).sin (- 5, 7p )
cot (- 5,2p )
r
A
+
cos (- 6, 7p ).cos (- 5, 8p )
tan (- 6,2p )
.
à
1/
sin B = sin (A + C).
2/
cos (A + B) = - cosC .
3/
sin
A+ B
C
= cos .
2
2
4/
cos (B - C) = - cos (A + 2C).
5/
cos (A + B - C) = - cos2C .
6/
sin (A + 2B + C) = - sin B .
7/
cot (A - B + C) = - cot 2B .
8/
cos
9/
sin
11/ cos
Page - 14 -
- 3A + B + C
= - sin 2A .
2
A + B + 3C
= cosC .
2
10/ tan
A + B - 2C
3C
.
= cot
2
2
A + 3B + C
= - sin B .
2
12/ cot
A - 2B + C
3B
.
= tan
2
2
"A
e f wer f
rr w re
e see s f
d y
"
10 –
2
s. Lê Vă
à
C – CÔNG THỨC C NG
.
.
.
.
:
.
.
NG
d
y
.
y
r
1/ A = sin120.cos 480 + cos120.sin 480 .
2/ B = cos380.cos220 - sin 380.sin 220 .
3/ C = sin100.cos550 - cos100.sin 550 .
4/ D = sin 360.cos60 - sin1260.cos840 .
5/ E = cos1120.cos230 - sin1120.sin 230 .
6/ F = sin 2000.sin 3100 + cos 3400.cos500 .
7/ G = cos110.cos210 + cos690.cos790 - cos100 .
8/ H = cos680.cos780 + cos220.cos120 - sin1000 .
(
) (
)
9/ I = cos - 530 .sin - 3370 + sin 3070.sin 1130 .
r
1/ 150 .
5/
19p
.
12
r
s
2/
750 .
3/ 1050 .
6/
5p
.
12
7/
7p
.
12
4/ 2850 .
8/
13p
.
12
s
1/
A=
1 + tan150
.
1 - tan150
2/
B=
tan 250 + tan 200
.
1 - tan 250 tan 200
3/
C=
sin 100 cos200 + sin 200 cos100
.
cos170 cos130 - sin 170 sin 130
4/
D=
tan 2250 - cot 810 cot 690
.
cot 2610 + tan 2010
5/
E=
sin 730 cos 30 - sin 870 cos170
.
cos1320 cos 620 + cos 420 cos280
6/
F=
cot 2250 - cot 79o0 ot 710
.
cot 2590 + cot 2510
Page - 15 -
s. Lê Vă
5.
à
7/
G = cos2 750 - sin2 750 .
8/
9/
I = cos2 100 + cos1100 + cos2 1300 .
–
H = sin2 200 + sin2 1000 + sin2 1400 .
10/ J = tan 200. tan 800 + tan 800. tan1400 + tan1400. tan 200 .
11/ K = tan100. tan 700 + tan 700. tan1300 + tan1300. tan1900 .
12/ L = sin1600 cos1100 + sin 2500 cos 3400 + tan1100 tan 3400 .
(
)(
) (
)(
)
13/ M = cos700 + cos500 cos 3100 + cos2900 + cos 400 + cos1600 cos 3200 - cos 3800 .
r
1/
s
æ pö
÷
A = cos x ççx + ÷
÷
çè
3÷
ø
1
sin x =
à 0< x <
3
p
.
2
2/
æp
ö
÷
B = sin çç - x÷
÷
÷
çè 3
ø
3/
C = cos x - 300
4/
æ pö
÷
D = tan çççx + ÷
÷
è
3ø
sin x =
5/
æp
ö
÷
E = cos ççç - x÷
÷
è3
ø
sin x = -
12
3p
à
< x < 2p .
13
2
6/
æ pö
÷
F = cot çççx - ÷
÷
÷
4ø
è
sin x = -
3p
4
à p< x<
.
2
5
7/
æ pö
÷
G = tan çççx + ÷
÷
4÷
è
ø
æ5p
ö
÷
cot ççç - x÷
= 2.
÷
÷
è2
ø
8/
æ
ö
7p ÷
÷
H = sin ççç2x +
÷
4÷
è
ø
9/
I = cos (a + b).cos (a - b)
(
3p
12
à p< x<
.
2
13
cos x = -
)
tan x = 2 à 0 < x < 900 .
3
p
à < x< p.
5
2
cot x =
2
.
3
cos a =
1
1
à cos b = .
3
4
4
8
, 00 < a < 900 à sin b =
, 900 < b < 1800 .
5
17
A = cos (a + b) à B = sin (a - b).
(
sin a =
)
(
)
8
5
à a, b à
. y
, tan b =
17
12
A = sin (a - b), B = cos (a + b) à C = tan (a + b).
sin a =
Cho 0 < a , b <
1
Page - 16 -
y
y
r
r
p
p
à tan a . tan b = 3 - 2 2 .
, a + b=
2
4
tan (a + b); tan a + tan b .
"A
2
e f wer f
tan a ; tan b . Suy ra a
rr w re
e see s f
à b.
d y
"
10 –
Cho a - b =
2
p
.
3
s. Lê Vă
r
2
(
2
) (
)
2
(
) (
1/ A = cos a + cos b + sin a + sin b .
2/ B = cos a + sin b + cos b - sin a
1/ A = sin x -
2/ B =
3 sin 7x - cos7x .
4/ D =
æ pö
æ pö
ççx + ÷
÷
÷
.
3 sin çççx - ÷
+
sin
÷
÷
÷
÷
3ø
6ø
è
èç
3 cos x .
(
)
3/ C = a sin x + b cos x, a 2 + b2 ¹ 0 .
5/ E = cos7x.cos5x -
æ
3 sin2x + sin 7x.sin 5x . 6/ F =
pö
pö
÷+ 3 .
8/ H = sin 2x + 2 2 cos x + 2sin çççx + ÷
÷
4÷
è
ø
1/
A = sin x cos5x - cosx sin 5x .
2/
B = sin 4x cot 2x - cos4x .
3/
C = cos6x tan 3x - sin 6x .
4/
D = sin (x + y)cos (x - y) + sin (x - y)cos (x + y).
5/
(
) (
) (
) (
)
F = sin (14 + 2x)cos (16 - 2x) + cos (14 + 2x)sin (16 - 2x).
G = sin (x + 10 )cos (2x - 80 ) + sin (x + 100 )cos (2x + 10 ).
7/
2
).
æ
pö
÷
.
3 cos2x + sin 2x + 2sin ççç2x - ÷
÷
÷
6ø
è
æ
÷
+ 4 sin x + 1 .
7/ G = 2sin ççç2x - ÷
÷
÷
6ø
è
6/
à
E = cos 400 - x cos x + 200 - sin 400 - x sin x + 200 .
0
0
0
0
0
0
0
0
8/
æ p ö æp
ö
æp
ö æ pö
çç - x÷
çç - x÷
÷
÷
÷
÷
H = sin çççx - ÷
cos
+
sin
cos çççx - ÷
.
÷
÷
÷
÷
ç
ç
÷ è4
÷
÷ è
÷
3ø
3ø
è
ø
è4
ø
9/
æ pö æ pö
æ pö
æ 3p ö
÷
ççx + ÷
ççx + ÷
ççx +
÷
÷
÷
÷
I = cos çççx - ÷
cos
+
cos
cos
.
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷ è
÷
÷ è
÷
3ø
4ø
6ø
4ø
è
è
æ
pö
æ9p
ö
æ5p
ö
æ5p
ö
÷
÷
÷
÷
cos ççç - x÷
- sin ççç - x÷
cos ççç + x÷
10/ J = sin çççx - ÷
.
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
3ø è 4
è
ø
è4
ø è3
ø
æ
pö
æ
pö
æ
pö
æ
pö
æ
çè
ö æ 13p ÷
ö
æ 13p ÷
ö æ 3p ö
p÷
÷
÷
÷
÷
÷
cos ççx +
+ cos ççx +
cos ççx +
.
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
3ø è
4 ø
6 ø è
4ø
è
÷
÷
÷
÷
cos çççx - ÷
+ cos çççx + ÷
cos çççx + ÷
11/ K = cos çççx - ÷
.
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
3ø è
4ø
6ø è
4ø
è
è
12/ L = cos çççx -
s
1/
A=
tan 3x - tan x
.
1 + tan x tan 3x
2/
B=
tan 2x + 1
.
1 - tan 2x
Page - 17 -
s. Lê Vă
5.
à
3/
(
tan 2x + cot 900 + x
C=
(
)
).
4/
1 + cot 900 - 2x tan x
–
D=
tan2 2x - tan2 x
.
1 - tan2 2x tan2 x
s
1/
æp
ö
÷
A = sin (a + b) + sin ççç - a ÷
sin - b .
÷
÷ ( )
è2
ø
2/
æp
ö æp
ö
÷
÷
B = cos ççç - a ÷
cos ççç - b÷
- cos (a - b) .
÷
÷
÷ è2
÷
è2
ø
ø
3/
æp
C = cos ççç +
è4
4/
D = sin2 a sin2 b - cos2 a cos2 b .
5/
E=
ö æp
ö 1 2
÷
÷
a÷
cos ççç - a ÷
+ sin a .
÷
÷
÷ è4
÷ 2
ø
ø
2sin (a + b)
cos (a + b) + cos (a - b)
- tan b .
s
1/
A = cos2 x -
3/
C = sin x + 450 + cos x + 450 .
5/
E = tan 2x + cot x - 8 cos2 x .
(
3 sin 2x - sin2 x .
)
(
)
2/
B = 4sin3 x - 3sin x + 3 cos3x .
4/
D = tan 3x - tan x - sin2x .
s
1/
sin2x = 2sin x cosx .
2/
cos2x = cos2 x - sin2 x .
3/
tan 2x =
4/
sin 3x = 3sin x - 4sin3 x .
5/
cos3x = 4cos3 x - 3cos x .
6/
cos x + sin x =
æ pö
÷
2 cos ççx - ÷
=
÷
÷
çè
4ø
7/
cos x - sin x =
æ pö
æ pö
ççx - ÷
÷
÷
2 cos çççx + ÷
=
2
sin
.
÷
÷
÷
÷
4
4ø
è
ø
èç
8/
sin (x + y)sin (x - y) = sin2 x - sin2 y = cos2 y - cos2 x .
9/
cos (x + y)cos (x - y) = cos2 x - sin2 y = cos2 y - sin2 x .
2 tan x
.
1 - tan2 x
æ pö
÷
2 sin ççx + ÷
.
÷
÷
4ø
èç
s
1/
Page - 18 -
æp
sin çç +
çè 4
ö
æp
ö
÷
÷
x÷
- sin çç - x÷
=
÷
÷
÷
÷
ø
èç 4
ø
2 sin x .
"A
e f wer f
rr w re
e see s f
d y
"
10 –
2
s. Lê Vă
2/
æ pö æ pö
÷
÷
4 sin ççx + ÷
sin ççx - ÷
= 4 sin 2 x - 3 .
÷
÷
÷
÷
çè
ç
3ø è
3ø
3/
sin x sin (y - z) + sin y sin (z - x) + sin z sin (x - y) = 0 .
4/
cos x sin (y - z) + cos y sin (z - x) + cos z sin (x - y) = 0 .
5/
tan (x + y)- tan x - tan y = tan (x + y)tan x tan y .
6/
æp
ö
æp
ö
æp
ö æp
ö
÷
÷
÷
÷
tan 2x tan çç - x÷
+ tan 2x tan çç - x ÷
+ tan çç - x ÷
tan çç - x ÷
= 1.
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷ èç 6
÷
çè 6
ø
èç 3
ø
èç 3
ø
ø
7/
æ pö
æ pö
æ 2p ö
æ 2p ö
÷
÷
÷
÷
tan x. tan çççx + ÷
+ tan çççx + ÷
. tan çççx + ÷
+ tan çççx + ÷
÷
÷
÷
÷. tan x = - 3 .
è
è
è
è
3ø
3ø
3ø
3ø
8/
æ pö
æ pö
æ pö
æ 3p ö
2
÷
ççx + ÷
ççx + ÷
ççx +
÷
÷
÷
÷
cos çççx - ÷
.cos
+
cos
.cos
=
1÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è
è
è
è
3ø
4ø
6ø
4ø
4
9/
(cos70
(
o
)(
) (
à
)
3 .
)(
)
+ cos50o cos230o + cos290o + cos 40o + cos160o cos 320o + cos 380o = 0 .
s
1/
2/
3/
cos (a - b)
cos (a + b)
sin (a - b)
cosa cos b
=
+
cot a cot b + 1
.
cot a cot b - 1
sin (b - c)
cos b cos c
sin (a + b)sin (a - b)
2
2
cos a cos b
4/
sin (c - a )
cos c cosa
2
cos a cos b
= 1 - tan2 a tan2 b .
Ch ng minh các h th c sau, v
1/
= 0.
= tan2 a - tan2 b .
cos (a + b)cos (a - b)
2
+
u ki
r
c
sin (a + 2b) = sin a .
cos (a + b) = 0
2/
sin (2a + b) = 3sin b
tan (a + b) = 2 tan a .
3/
tan a = 2tan b
4/
tan a. tan b = -
5/
5sin b = sin (2a + b)
6/
sin b = sin a cos (a + b)
ìï b = (a + b) - a
ï
HD: í
.
ïï 2a + b = (a + b) + a
ïî
sin (a + b) = 3sin (a - b).
1
3
cos (a + b) = 2cos (a - b).
tan (a + b) =
HD
r
.
3
tan a .
2
2 tan a = tan (a + b) .
HD: b = (a + b) - a .
Page - 19 -
s. Lê Vă
5.
à
cos (2a + b) = 1
7/
b
tan (a + b)- tan a = 2 tan .
2
ìï a + 2b = (a + b) + b
1- k
ï
tan a tan b =
. HD: í
.
ïï a = (a + b) - b
1+ k
ïî
cos (a + b) = k cos (a - b)
8/
–
s
sin (a + b + c)
1/
tan a + tan b + tan c - tan a tan b tan c =
2/
cos2 x + cos2 (x + y) + cos2 y - 2cos x cos y cos (x + y) = 1 .
r
cosa cos b cos c
yê Lê
–
.
.
ă
2007
s
1/
æp
ö æp
÷
A = sin2 x + cos çç - x÷
cos çç +
÷
÷
çè 3
ø èç 3
ö
÷
.
x÷
÷
÷
ø
2/
æp
B = cos2 x + cos2 çç +
çè 3
3/
æ2p
ö
æ2p
ö
÷
÷
C = sin 2 x + sin 2 çç + x÷
+ sin 2 ççç - x÷
.
÷
÷
÷
÷
çè 3
ø
è3
ø
4/
æ 2p ö
æ 2p ö
÷
÷
÷
÷
D = cos2 x + cos2 ççx +
+ cos2 çççx .
÷
÷
÷
÷
çè
3ø
3ø
è
5/
F=
ö
æp
ö
÷
÷
.
x÷
+ cos2 ççç - x÷
÷
÷
÷
÷
ø
è3
ø
a cos3 x - cos 3x a sin 3 x + sin 3x
+
, a = const .
cos x
sin x
r
æp
ö æp
÷
tan x tan çç - x÷
tan çç +
÷
÷
çè 3
ø èç 3
ö
÷
x÷
= tan 3x .
÷
÷
ø
r
P = tan100 tan 500 tan1100 .
A
A, B,C
à
.
1/
sin C = sin A.cos B + sin B.cos A .
2/
sin A = sin BcosC + sin C cos B .
3/
cosA = sin BsinC - cosBcosC .
4/
sin C
= tan A + tan B,
cos A.cos B
5/
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C,
6/
cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 .
7/
sin
A
B
C
B
C
= cos cos - sin sin .
2
2
2
2
2
8/
cos
A
B
C
B
C
= sin cos - cos sin .
2
2
2
2
2
Page - 20 -
(A, B ¹
"A
ng minh
)
900 .
(A, B,C ¹
e f wer f
)
900 .
rr w re
e see s f
d y
"
- Xem thêm -
.PDF 
40 
479 
106 
