Tài liệu Góc định hướng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THANH GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THANH GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Danh sách hình vẽ 1 Mở đầu 2 1 Xây dựng mặt phẳng định hướng 4 1.1 Định hướng mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông . . . . . . . . 4 1.1.2 Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet . . . . . . 7 1.2 Đường thẳng định hướng. Độ dài đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 1.3.1 Góc định hướng của hai vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Góc định hướng giữa hai tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 21 Một số sự kiện hình học theo ngôn ngữ góc định hướng . . . . . . . . 26 1.4.1 Xét góc định hướng tạo bởi hai tia . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2 Xét góc định hướng của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng 2.1 35 Các bài toán ứng dụng đường thẳng định hướng . . . . . . . . . . . . 35 ii 2.2 2.1.1 Hàng điểm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Định lý Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán chứng minh . . . . . . . . 42 2.2.1 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song và ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . . 45 2.2.3 Phương pháp chứng minh các điểm đồng viên . . . . . . . . . 49 2.3 Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . 54 2.4 Các ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận và Đề nghị 70 Tài liệu tham khảo 71 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình do tôi tổng hợp và nghiên cứu. Trong luận văn tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo như đã nêu trong phần "Tài liệu tham khảo". Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Thanh iv Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, nguyên là giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới các thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K7B - Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Thành phố Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT An Dương, huyện An Dương, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả được tham gia học tập và hoàn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán, chuyên ngành "Phương pháp Toán sơ cấp". Tác giả Nguyễn Văn Thanh v Danh sách hình vẽ Hình vẽ Trang 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 1.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2 Mở đầu Trong giáo trình hình học sơ cấp ở các trường đại học sư phạm mà tôi đã đọc các tác giả đều có đề cập đến đường thẳng định hướng mặt phẳng định hướng; chẳng hạn có thể xem các giáo trình “Hình học sơ cấp” trong [5, 6, 7]. Trong các giáo trình đó, các tác giả đều đơn giản hóa các chứng minh liên quan đến mặt phẳng định hướng và góc định hướng, hơn nữa vì khuôn khổ của một giáo trình không cho phép các tác giả đi sâu vào các ứng dụng của các công cụ này trong việc giải các loại toán hình học. Để nghiên cứu sâu thêm các tính chất và bổ sung thêm các bài toán ứng dụng đường thẳng định hướng và góc định hướng vào việc giải toán phổ thông, coi như đây là một công cụ mạnh, hữu hiệu trong giải toán hình học. Chúng tôi muốn đi sâu vào đề tài "Góc định hướng và ứng dụng". Đó là lý do nghiên cứu của tác giả luận văn. Luận văn được chia làm hai chương. • Chương 1. Xây dựng mặt phẳng định hướng. Sau khi nêu cách định hướng mặt phẳng dựa từ các công cụ khác nhau, chúng tôi nhắc lại bổ sung thêm về đường thẳng định hướng, độ dài đại số, góc định hướng giữa hai tia và góc định hướng giữa hai đường thẳng, nội dung của chương này là các kiến thức chuẩn bị cho chương sau. Kết quả nổi bật ở đây là chúng tôi đã chứng minh chặt chẽ hệ thức Chales trong mọi trường hợp. Tiếp theo đó là các sự kiện hình học được chuyển sang ngôn ngữ của độ dài đại số hay góc định hướng. • Chương 2. Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng. Chương 2 là trọng tâm của luận văn. Chúng tôi bắt đầu ứng dụng độ dài đại số và góc định hướng để trình bày phương pháp giải các bài toán hình học: Chứng minh tính song song, tính thẳng hàng, tính vuông góc, tính đồng viên của các điểm, giải các bài 3 toán quỹ tích,. . . và các ứng dụng khác. Các bài toán đưa ra trong luận văn là những bài toán khó, điển hình cho các loại và hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toàn quốc, thậm chí trong các kỳ thi quốc tế. Việc sử dụng góc định hướng sẽ giúp lời giải ngắn gọn, rõ ràng không phụ thuộc vào hình vẽ. Hơn nữa, góc định hướng giúp định nghĩa các phép biến hình, từ đó mở ra những ứng dụng khác. Dù đã rất nghiêm túc thực hiện luận văn, nhưng vì nhiều lý do khác nhau, luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Kính mong các Thầy Cô và các anh chị em đồng nghiệp góp ý để bản luận văn này hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Thanh 4 Chương 1 Xây dựng mặt phẳng định hướng 1.1 Định hướng mặt phẳng Ở đây ta xét khái niệm mặt phẳng định hướng được xây dựng theo 3 cách khác nhau: Định hướng mặt phẳng theo cách mô tả của hình học phổ thông; Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ; Xây dựng mặt phẳng định hướng bằng cách thiết lập một hệ tiên đề mới trong “Hình học” của Choquet. Chỉ trên mặt phẳng định hướng phép quay mới xác định, từ đó có phép dời hình và các phép biến hình khác. Mặt khác, trên mặt phẳng định hướng và đường thẳng định hướng ta còn có các khái niệm rất quan trọng là tam giác định hướng, diện tích đại số của tam giác. . . Vấn đề hướng trong hình học là vấn đề khó, nhất là đối với đối tượng học sinh phổ thông. Trước hết chúng ta chấp nhận cách xác định góc định hướng theo hình thức mô tả ở sách giáo khoa phổ thông. 1.1.1 Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông Xung quanh mỗi điểm trong mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theo chiều quay của kim đồng hồ và chiều ngược lại (tất nhiên ở đây mặc định đồng hồ có kim quay xung quanh một trục). Nếu ta chọn một trong hai chiều quay là chiều dương thì chiều ngược lại là chiều âm và khi đó ta bảo rằng mặt phẳng đã được định hướng. Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. Các giáo trình "Hình học sơ cấp" hiện nay đều xuất phát từ cách làm này. Ta giới thiệu qua các khái niệm cơ bản. 5 Hình 1.1. Góc lượng giác và số đo của chúng. Cho điểm O, tia Om và hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om chỉ quay theo chiều dương hoặc âm xuất phát từ tia Ou đến trùng tia Ov thì ta nói rằng tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov). Nếu tia Om quay một góc α radian (hay a độ) thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét có số đo α radian (hay a độ). Nếu một góc có số đo là a◦ (hay α rad) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo là a◦ + k360◦ (hay α + k2π) với k là số nguyên. Mỗi góc ứng với một giá trị k. Phép quay. Trong mặt phẳng định hướng lấy điểm O và góc định hướng ϕ. Phép biến hình trong mặt phẳng biến điểm O thành chính nó, biến điểm M khác O thành M 0 sao cho OM 0 = OM và (OM, OM 0 ) = ϕ gọi là phép quay tâm O với góc quay ϕ, và kí hiệu là QϕO . Công thức Chales đối với góc lượng giác. Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý, ta có công thức quan trọng sau đây, được gọi là công thức Chales: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k2π, k ∈ Z. 6 1.1.2 Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ − − Trong mặt phẳng E2 cho một cặp vector độc lập tuyến tính (→ e1 , → e2 ) và cặp vector − − khác là (→ a ,→ a ) cũng độc lập tuyến tính. Nếu ta có 1 2  − − − → a1 = α1 → e1 + α2 → e1 − − − → a =β → e +β → e 2 thì ma trận 1 1 2 2   α1 α2  A= β1 β2 − − − − được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở (→ e1 , → e2 ) sang cơ sở (→ a1 , → a2 ). Ta có     α1 α2   = α1 β2 − α2 β1 . det A = |A| =    β1 β2  − − − − Nếu det A > 0 thì ta nói cặp vector (→ a1 , → a2 ) cùng hướng với cặp vector (→ e1 , → e2 ). Nếu − − − − det A < 0 thì ta nói cặp vector (→ a ,→ a ) ngược hướng với cặp vector (→ e ,→ e ). Như vậy 1 2 1 2 nếu trên mặt phẳng nào đó, ta chọn một cặp vector độc lập tuyến tính là cặp có hướng dương (det A > 0) thì có thể định nghĩa hướng của các cặp vector độc lập tuyến tính khác là dương hay âm tùy theo nó có cùng hướng hay khác hướng với cặp vector đã được chọn. Như vậy ta đã định hướng được mặt phẳng. Ta có các khẳng định sau: – Mỗi cặp vector độc lập tuyến tính thì cùng hướng với chính nó. − − − − − − – Nếu cặp vector (→ a1 , → a2 ) cùng hướng với cặp vector (→ e1 , → e2 ) thì cặp vector (→ e1 , → e2 ) − − cũng cùng hướng với cặp vector (→ a ,→ a ). 1 2 − − − − − − – Nếu cặp (→ e1 , → e2 ) cùng hướng với cặp (→ a1 , → a2 ), cặp (→ a1 , → a2 ) cùng hướng với cặp → − → − → − → − − − ( b1 , b2 ) thì cặp (→ e1 , → e2 ) cùng hướng với cặp ( b1 , b2 ). Thật vậy, khẳng định đầu tiên là do ở đây   1 0  A= 0 1 7 nên det A = 1 > 0. Khẳng định thứ hai do định thức của A và A−1 luôn cùng dấu. Khẳng định thứ ba cũng được chứng minh dễ dàng. Thật vậy, gọi ma trận chuyển từ → − → − − − − − − − (→ e ,→ e ) sang (→ a ,→ a ) là A; ma trận chuyển từ (→ a ,→ a ) sang ( b , b ) là B, khi đó ma 1 2 1 2 1 2 1 2 → − → − − − trận AB là ma trận chuyển từ (→ e1 , → e2 ) sang ( b1 , b2 ). Vì det(AB) = (det A)(det B) nên khẳng định thứ ba được chứng minh. Như vậy quan hệ cùng hướng của các cặp vector là một quan hệ tương đương, ta có thể phân tập hợp các cặp vector trên mặt phẳng thành đúng hai lớp tương đương, các cặp vector thuộc cùng một lớp thì cùng hướng với nhau. 1.1.3 Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet Theo Choquet (xem [11]), khái niệm hướng cùng với khái niệm góc là khó khăn lớn nhất trong giảng dạy hình học. Định nghĩa toán học của khái niệm này thường dựa vào quy tắc vặn nút chai, quy tắc bàn tay phải hoặc trái. Tuy nhiên, định nghĩa khái niệm hướng xuất hiện trong hình học theo con đường hoàn toàn tự nhiên từ tính chất của nhóm các phép dời. Khái niệm hướng gắn với chất liệu mà nó xây dựng. Thông thường đó là tập hợp các cặp (x, y) chung gốc, không thuộc một đường thẳng. Nhưng vẫn cặp tia ấy mà ta đổi vị trí thành cặp (y, x), nhận được cặp mới có hướng ngược lại. Như vậy, xuất hiện khái niệm cặp được sắp thứ tự (hay tổng quát hơn là tập hợp được sắp thứ tự). Trước hết Choquet định nghĩa khái niệm góc sau khi đã xây dựng nhóm các phép dời hình trên mặt phẳng. Định nghĩa 1.1. Cho Π là mặt phẳng định hướng. Với điểm bất kỳ O ∈ Π ta định nghĩa mỗi phép quay tâm O là một góc có đỉnh tại O. Với mọi cặp tia (a1 , a2 ) có chung gốc O, góc của cặp tia này là phép quay biến tia a1 thành tia a2 , góc này được ký hiệu là ∠(a1 , a2 ). Như vậy tập hợp các góc với đỉnh O không có gì khác chính là tập hợp các phép quay tâm O. Do đó, đây là một nhóm giao hoán. Theo truyền thống ta ký hiệu phép toán trong nhóm này theo lối cộng, ký hiệu như thế là hợp lệ vì như sẽ thấy dưới đây, khái niệm số đo góc thực hiện mối liên kết chặt chẽ giữa phép cộng các số và cộng các góc. 8 So sánh các góc với đỉnh khác nhau. Khái niệm góc hầu như vô nghĩa nếu ta không so sánh được các góc có đỉnh khác nhau, phép tịnh tiến cho ta khả năng so sánh hai góc bất kỳ. → biến A thành B là một đẳng cấu (đối với Với mọi A, B ∈ Π phép tịnh tiến T− BA cấu trúc không gian vector và cấu trúc không gian metric), ánh xạ mặt phẳng tâm (Π, A) thành mặt phẳng tâm (Π, B), phép đẳng cấu này có tính bắc cầu theo nghĩa, → = T−−→ ◦ T−→ . Vì phép quay được định nghĩa dựa vào với mọi A, B, C ∈ Π thì T− CA CB BA → sinh ra ánh xạ đẳng cấu từ thuật ngữ đường thẳng và khoảng cách nên đảng cấu T− BA nhóm cộng tính các góc đỉnh A lên nhóm cộng tính các góc với đỉnh B. Ta cũng sẽ → . Như vậy, ở đây ta đã sử dụng cách định nghĩa của tập số ký hiệu đẳng cấu này là T− BA tự nhiên N. Lấy trên mặt phẳng Π một gốc A tùy ý và đồng nhất mỗi góc đỉnh B với góc tương → . Tính bắc cầu của T−→ bảo đảm được sự đồng nhất ứng có đỉnh A nhờ đẳng cấu T− BA BA → từ mặt phẳng đó. Bây giờ giả sử a1 , a2 là hai tia tùy ý với gốc a, vì đẳng cấu T− BA (Π, A) lên mặt phẳng (Π, B) biến mỗi tia a1 thành tia b1 song song với nó với gốc là B, ta nhận được ∠(a1 , a2 ) = ∠(b1 , b2 ). Suy luận này làm cơ sở cho định nghĩa sau, mà chỉ phụ thuộc vào việc chọn gốc O. Định nghĩa 1.2. Trong mặt phẳng tâm (Π, O), góc giữa hai tia (d1 , d2 ) với gốc tùy ý là góc đỉnh O giữa hai tia (d01 , d02 ) (chung gốc O) tương ứng song song với các tia d1 , d2 . Góc này ký hiệu là ∠(d1 , d2 ). Nhóm cộng tính các góc sẽ được ký hiệu là G. Các ký hiệu tiếp theo. Trong trường hợp tổng quát giả sử E là tập hợp tất cả các đối tượng toán học sao cho mỗi đối tượng đó có liên hệ với các tia của mặt phẳng Π hoặc tập hợp các tia song song của Π. Với mọi x, y ∈ E ta sẽ ký hiệu ∠(x, y) là góc giữa tia gắn với đối tượng x và tia gắn với đối tượng y. Ví dụ, với mỗi vector x 6= 0 của mặt phẳng (Π, O) gắn với tia Ox, với mỗi đường thẳng định hướng d gắn với tia dương của đường thẳng này, với quy ước trên có thể nói về góc ∠(Ox, d). Tương tự 9 với mọi A, B, C ∈ Π mà A 6= B, C 6= B, ký hiệu tắt ∠(ABC) là góc giữa các tia BA và tia BC. Góc không và góc bẹt. Trong nhóm cộng tính các góc phần tử trung hòa ký hiệu là 0 còn góc liên quan tới phép đối xứng tâm với tâm O, được ký hiệu là $ (khác với ký hiệu π). Như vậy, với mọi cặp tia chung gốc (a1 , a2 ) ta có các điều kiện tương đương sau • ∠(a1 , a2 ) = 0 khi và chỉ khi a1 ≡ a2 ; • ∠(a1 , a2 = $ khi và chỉ khi a1 và a2 có hướng ngược nhau. Ngoài ra, ta có $ + $ = 0 hay $ = −$. Công thức Chales. Giả sử a, b, c là ba tia tùy ý với gốc O chung, phép quay biến a thành c bằng tích của phép quay biến a thành b và phép quay biến b thành c, nói cách khác ∠(a, c) = ∠(a, b) + ∠(b, c). Đặc biệt, ta có ∠(a, b) + ∠(b, a) = ∠(a, a) = 0. Từ đó, ∠(a, b) = −∠(b, a) và tổng quát hơn với mọi dãy hữu hạn các tia (d1 , d2 , . . . , dn ) chung gốc O ta có ∠(d1 , dn ) = ∠(d2 , d3 ) + . . . + ∠(dn−1 , dn ). Đẳng thức này mang tên công thức Chales, hiển nhiên nó cũng đúng trong trường hợp các tia có gốc khác nhau (nhờ tịnh tiến). Thứ tự bộ phận trên mặt phẳng. Trước hết, ta xét một số ví dụ sau. Ví dụ 1.1. Trong mặt phẳng Π tồn tại tập hợp gồm các bộ ba điểm mà khoảng cách giữa ba điểm này là 2, 3, 4. Mỗi tập hợp như thế không thuộc một đường thẳng vì 4 < 2 + 3. Giả sử E là tập hợp các tập hợp con như thế của mặt phẳng. Tập hợp này ổn định đối với nhóm các phép dời D của mặt phẳng, hơn nữa, D tác động bắc cầu trên E. Thật vậy, với mọi X1 , X2 ∈ E hiển nhiên tìm được (hơn nữa duy nhất) phép dời f từ tập X1 lên tập X2 và có thể kéo dài f một cách duy nhất lên toàn bộ mặt phẳng, ánh xạ từ mặt phẳng lên chính nó vì X1 không chứa trọn vẹn một đường thẳng. 10 Ta nói hướng các tập hợp X1 , X2 trùng nhau nếu phép dời f của mặt phẳng Π mà X2 = f (X1 ) là phép dời hình thuận (loại 1). Trong trường hợp ngược lại ta nói X1 , X2 có hướng ngược nhau. Từ sự kiện tập hợp các phép dời hình thuận D+ là một nhóm lập tức suy ra: hướng là một quan hệ tương đương trên E. Nếu X1 , X2 có hướng ngược nhau, X2 , X3 cũng có hướng ngược nhau thì X1 , X3 sẽ cùng hướng vì tích của hai phép dời nghịch lại là phép dời thuận. Do đó, quan hệ tương đương đã cho trên E có đúng hai lớp tương đương, cụ thể, hai tập hợp ảnh của phần tử X0 tùy ý của tập hợp E qua các phép biến đổi trong D+ , D− tương ứng. Bây giờ ta sẽ giải thích hướng gọi là dương hoặc âm: Chọn một phần tử X0 tùy ý thuộc E, mà sẽ được gọi là mục tiêu cơ sở. Ta nói phần tử X của E có hướng dương (tương ứng âm) nếu hướng của X và X0 trùng nhau (tương ứng ngược nhau). Như vậy, để hoàn toàn chính xác ta sẽ nói: Hướng của tập hợp X là dương khi đã chọn mục tiêu cơ sở X0 . Dấu của hướng hiển nhiên không thay đổi khi ta đổi mục tiêu cơ sở này sang mục tiêu cơ sở khác có cùng hướng. Một vài ví dụ tương tự. Ví dụ 1.2. Trong trường hợp tổng quát, giả sử A là một tập con nào đó của mặt phẳng Π, không thuộc một đường thẳng sao cho phép dời duy nhất của tập hợp này ánh xạ nó thành chính nó là biến đổi đồng nhất. Hơn nữa giả sử E là tập hợp các tập con (bộ phận) của mặt phẳng Π, có dạng f (A) với f ∈ D. Hiển nhiên E ổn định đối với D và D tác động đơn trị trên E sao cho đối với E có thể lặp lại tất cả những gì đã nói trong ví dụ trước. Chẳng hạn có thể coi A là nửa mặt phẳng cực gồm điểm a, tia mở d với gốc a và một nửa mặt phẳng mở xác định bởi đường thẳng d. Ví dụ 1.3. Tổng quát hơn, giả sử A là tập con của Π, không thuộc một đường thẳng và mọi phép dời ánh xạ tập hợp này lên chính nó là phép dời hình thuận (theo nghĩa kéo dài phép biến đổi này lên mặt phẳng Π là phép dời hình thuận). Khi đó ta xác định tập hợp E như sau: Tập hợp E ổn định đối với nhóm các phép dời D. Với mọi 11 X1 , X2 ∈ E tìm được ít nhất một phép dời f ∈ D biến X1 thành X2 ; theo giả thiết tất cả các phép dời đồng thời là dời hình thuận hoặc đồng thời là dời hình nghịch. Do đó, có thể xác định một cách hiển nhiên hướng của hai phần tử của E, suy luận còn lại tương tự như ví dụ trước. Chẳng hạn, tập hợp A có thể là hợp của hai cạnh đối diện hình vuông và một đường chéo của hình vuông (hình chữ cái Z) hoặc hợp của các đoạn thẳng nhận được từ đoạn thẳng [a, b] nào đó qua các phép tịnh tiến tn (n ∈ Z), trong đó t là phép tịnh tiến theo phương không song song và không vuông góc với đoạn thẳng [a, b]. Hình 1.2. Hướng của các đối tượng hình học liên quan đến mặt phẳng định hướng. Ta đã biết một số đối tượng hình học có liên quan đến mặt phẳng định hướng nhưng không là bộ phận của nó: cặp điểm, bộ ba điểm, cặp tia, đường thẳng định hướng, phép biến đổi, góc,. . . Ta sẽ định nghĩa hướng của các khái niệm này. Giả sử E là tập hợp các cặp (Ox, Oy) các tia vuông góc của mặt phẳng, có chung gốc O. Tập hợp này ổn định đối với nhóm các phép dời D và nhóm này tác động bắc cầu đơn trị lên E, các cặp (Ox, Oy) và O0 x0 , O0 y 0 có cùng hướng, được ký hiệu (Ox, Oy) = (O0 x0 , O0 y 0 ). 12 Nhưng ở đây xuất hiện vấn đề mới, cụ thể tồn tại biến đổi (Ox, Oy) 7→ (Oy, Ox) trong tập hợp E, trở thành tương ứng biến mọi phần tử (Ox, Oy) của E thành phần tử đối (Oy, Ox). Ta lại biết rằng phép dời biến (Ox, Oy) thành (Oy, Ox) là phép đối xứng trục. Do đó, các cặp tia (Ox, Oy) và (Oy, Ox) có hướng đối nhau. Trong trường hợp tổng quát có thể qui ước trên E tập hợp các cặp tia (A, B) với gốc chung sao cho ∠(A, B) = θ hay ∠(A, B) = −θ (với θ là góc cho trước khác 0 và $). Hướng của cặp tia không nằm trên một đường thẳng. Giả sử E là tập hợp các cặp tia (Ox, Oy) của mặt phẳng, không nằm trên một đường thẳng, có gốc chung. Với mọi (Ox, Oy), (O0 x0 , O0 y 0 ) ta sẽ nói (Ox, Oy) và (O0 x0 , O0 y 0 ) có cùng hướng nếu có phép dời thuận f biến tia Ox thành tia O0 x0 , tia Oy thành tia O0 y 0 . Vì mọi phép dời biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng và các phép dời hình thuận tạo thành một nhóm nên quan hệ này là một quan hệ tương đương trên E. Dễ thấy rằng có đúng hai lớp tương đương trên E (theo quan hệ tương đương này). Để chứng minh điều đó chỉ cần xét tập hợp các cặp (A, X) với A là tia cho trước. Do đó, trong các phần tiếp theo có thể nói về mục tiêu cơ sở và về hướng dương hoặc âm như trong các ví dụ trước đây. Các góc định hướng. Giả sử θ, θ0 là hai góc tùy ý khác 0 và $. Ta nói θ và θ0 cùng hướng nếu tìm được hai cặp các tia chung gốc (x, y) và (x0 , y 0 ) sao cho (x, y) = θ, (x0 , y 0 ) = θ0 và (x, y) và (x0 , y 0 ) có cùng một hướng. Dễ thấy rằng đây là một quan hệ tương đương trên tập hợp các góc khác 0 và $. Với quan hệ tương đương này ta có đúng hai lớp tương đương. Mệnh đề 1.1. Với mọi bộ ba (A, B, C) các điểm không thẳng hàng, các góc ∠(ABC), ∠(BCA), ∠(CAB) có cùng một hướng. Chứng minh. Ta chứng minh kết luận đối với hai góc đầu. Giả sử A0 là điểm nào đó thuộc trung trực của cặp (B, C) nằm cùng phía với A đối với đường thẳng BC. Các 13 góc ∠(ABC), ∠(A0 BC) cùng hướng. Cũng đúng như thế, các góc ∠(BCA), ∠(BCA0 ) cũng cùng hướng. Tuy nhiên ∠(A0 BC) = ∠(A0 CB) do đối xứng. Vậy ∠(A0 BC) = ∠(BCA0 ). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1.2 Đường thẳng định hướng. Độ dài đại số Định nghĩa 1.3. Trên đường thẳng d lấy một điểm O, cố định một điểm E sao cho −−→ → − OE = − e (đơn vị). Khi đó {d, O, → e } được gọi là đường thẳng định hướng. Chú ý rằng, thông thường hướng được chọn như sau: Hình 1.3. Ta có thể dùng kí hiệu đường thẳng định hướng xx0 . Mỗi điểm M thuộc xx0 tương −−→ −−→ ứng 1-1 với vector OM và luôn tồn tại số thực m là tọa độ của nó. Ta kí hiệu OM (m) hoặc M (m). Định nghĩa 1.4. Giả sử có hai điểm M (m) và N (n) trên xx0 . Ta nói độ dài đại số của đoạn thẳng M N , kí hiệu: M N , là số n − m, tức là M N = n − m. Chú ý, đại lượng M N dương hay âm tùy theo thứ tự của ba điểm O, M, N . Ta có M N = 0 khi M ≡ N . Mệnh đề 1.2 (Hệ thức Chales). Với ba điểm M, N, P bất kỳ trên đường thẳng định hướng ta đều có MN = MP + P N Chứng minh. Thật vậy, giả sử M (m), N (n), P (p). Khi đó MN = n − m = p − m + n − m = MP + P N. Ta có điều cần chứng minh.