Giúp học sinh học tốt dạng toán “tìm chữ số tận cùng của một biểu thức ”

  • Số trang: 9 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 58 |
  • Lượt tải: 0
dinhthithuyha

Đã đăng 3355 tài liệu

Mô tả:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Giúp học sinh học tốt dạng toán “Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức ” PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong 3 năm học gần đây BGD - ĐT tổ chức một sân chơi mới cho học sinh đó là "Giải toán trên mạng". Trong quá trình tổ chức cho học sinh tham gia thi "Giải toán trên mạng " tôi thấy dạng toán xuất hiện nhiều và khó đối với trò đó là "Tìm chữ số tận cùng của một tích", đối với các dạng toán khác học sinh được làm quen nhiều với phương pháp giải, giáo viên cũng đã có nhiều kinh nghiệm về hướng dẫn học sinh. Song dạng toán "Tìm chữ số tận cùng của một tích", qua tham khảo nhiều tài liệu tôi nhận thấy chưa có tài liệu nào hướng dẫn cụ thể, có chăng chỉ là những dạng đơn giản như: Ví dụ: Không thực hiện phép tích, hãy cho biết chữ số hàng đơn vị của mỗi kết quả sau: 123 x 235 x 347 x 459 x 561 - 71 x 75 x 77 x 79 Còn đối với dạng toán tìm chữ số tận cùng của tích : 1993 x 1993 x....x 1993 ( có 100 thừa số 1993 ).Dạng toán này xuất hiện nhiều ở vòng thi cấp Tỉnh, qua tham gia thi nhiều em rất khá toán, các dạng bài đều làm tốt song khi gặp phải dạy bài "Tìm chữ số tận cùng của một tích" học sinh bế tắc và bị mất điểm ở bài này. Qua nghiên cứu tôi đã hệ thống đưa ra phương pháp giải dạng toán "Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức " để giúp học sinh học tốt dạng toán này . PHẦN II. THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP 1. Thực trạng - Qua nghiên cứu chương trình Toán bồi dưỡng lớp 4 - 5 tôi nhận thấy dạng bài "Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức" đơn giản nhưng học sinh lại làm thiếu tính logíc của toán học. Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau: 123 x 346 x 459 x 561 - 71 x 73 x 77 x 79 Học sinh A làm: Tính kết quả 123 x 346 x 459 x 561 Tính kết quả: 71 x 73 x 77 x 79 Lấy hai kết quả trừ cho nhau để tìm chữ số tận cùng. 1 Học sinh B làm: Tính kết quả: 3 x 5 x 7 x 9 x 1 được chữ số tận cùng Tính kết quả: 1 x 3 x 5 x 7 x 9 được chữ số tận cùng Lấy hai chữ số tận cùng trừ cho nhau được chữ số tận cùng của biểu thức. - Với bài toán đơn giản nhưng học sinh A làm như vậy mất thời gian, kết quả số to, chưa tối ưu. - Học sinh B nhận xét tìm kết quả của chữ số tận cùng của từng tích nó nhanh hơn nhưng còn rườm. - Còn đối với những bài phức tạp chẳng hạn: Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của tích sau: 1993 x 1993 x ...x 1993 100 thừa số 1993 Thì học sinh và giáo viên chưa tìm được phương pháp giải. Từ thực trạng trên qua nghiên cứu tôi đã đưa ra phương pháp giải cho dạng toán này như sau: 2. Giải pháp * Dạng 1: Tìm chữ số tận cùng của các biểu thức đơn giản gồm có nhiều phép tính. Ví dụ: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau: a. (2001 + 2002 + 2003 + ... + 2009) - (21 + 32 + 43 + ... + 98 + 19) Nhận xét: - Chữ số hàng đơn vị của tổng 2001 + 2002 + 2003 + ... + 2009 và tổng 21 + 32 + 43 + ... + 98 + 19 đều bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + .... + 9 và bằng 5. - Cho nên hiệu trên có chữ số hàng đơn vị là 0 b. (12 + 23 + 34 + ... + 89 + 91) x 91 x 73 x 55 x 37 x 19 Nhận xét: - Tổng 12 + 23 + 34 + ... + 89 + 91 có chữ số hàng đơn vị bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + .... + 9 và bằng 5. - Tích 91 x 73 x 55 x 37 x 19 có chữ số hàng đơn vị bằng 5. 2 Cho nên chữ số hàng đơn vị của tích trên bằng 5. c. 1 x 3 x 5 x ... x 99 - Vì trong tích có thừa số bằng và các thừa số còn lại đều là số lẻ nên chữ số tận cùng của tích bằng 5. d. 6 x 16 x 116 x 1216 x 11996 - Chữ số tận cùng của tích chính bằng tích các chữ số tận cùng hàng đơn vị các thừa số 6 x 6 x 6 x 6 x 6 chính bằng 6. e. 31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91 - Chữ số tận cùng của tích chính bằng tích chữ số tận cùng hàng đơn vị các thừa số và chính bằng 1. Từ các ví dụ trên, qua hướng dẫn học sinh cách giải cụ thể của từng bài ta rút ra kết luận : + Những chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó. + Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích đó. + Tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 chữ số tận cùng bằng 5. + Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 có chữ số tận cùng bằng 5. + Tích a x a không thể có chữ số tận cùng bằng 2; 3; 7; 8 + Tích các chữ số tận cùng của các thừa số có hàng đơn vị là 1 luôn bằng 1. + Tích các chữ số tận cùng của các thừa số có hàng đơn vị là 5 luôn bằng 5. + Tích các chữ số tận cùng của các thừa số có hàng đơn vị là 6 luôn bằng 6. + Những tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 0 thì chữ số tận cùng của tích là 0. → Vậy chữ số hàng đơn vị của các thừa số đề là 2, 3, 4, 7, 8, 9 thì chữ số tận cùng của tích là bao nhiêu? Dựa trên những nhận xét cơ bản trên ta xét các tích sau: * Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của các tích có các thừa số bằng nhau 1.Tích của các thừa số có chữ số hàng đơn vị bằng 2. VD1: Tìm chữ số tận cùng của tích: 3 A1= 2 x 2 x 2 x ... x 2 100 thừa số 2 Nhận xét: - (2 x 2 x 2 x 2) có chữ số hàng đơn vị là 6 - Mỗi nhóm có 4 thừa số 2 có 100 thừa sơ thì sẻ có : 100 : 4 = 25 (nhóm) - Chữ số tận cùng của 1 nhóm là 6, nên tích của 25 nhóm sé có chữ số tận cùng là 6 A2= 2 x 2 x 2 x ... x 2 101 thừa số 2 Nhận xét tương tự A1, ta có: 101 : 4 = 25 (nhóm) dư 1 (thừa số 2) 25 nhóm có chữ số tận cùng là 6 và 6 x 2 có chữ số tận cùng là 2. Vậy: A2 có chữ số tận cùng là 2. A3= 2 x 2 x 2 x ... x 2 102 thừa số 2 Nhận xét: - 102 : 4 = 25 dư 2 - Vậy với 25 nhóm sẽ có chữ số tận cùng là 6. Tích A3 có chữ số tận cùng là tích của 6 x 2 x 2 do đó A3 chữ số tận cùng của tích là 4 A4= 2 x 2 x 2 x ... x 2 103 thừa số 2 Nhận xét: - 103 : 4 = 25 dư 3 - Chữ số tận cùng của tích A4 chính là cữ số tận cùng của tích 6 x 2 x 2 x 2 do đó A4 có chữ số tận cùng là 8. Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 2 khi: + Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 6 + Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 2 + Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 4 + Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 8 2. Xét với những tích có các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 3, ta có: 4 Ví dụ: B1= 13 x 13 x ... x 13 100 thừa số 13 Nhận xét: - (13 x 13 x 13 x 13) tích 4 thừa số 13 có chữ số tận cùng là 1 - Mà 100 : 4 = 25 - Vậy một nhóm tích có chữ số tận cùng là 1, với 100 thừa số 13 có 25 nhóm nên chữ số tận cùng của tích B1 là 1. B2= 13 x 13 x ... x 13 101 thừa số 13 Nhận xét tương tự B1 ta có: 101: 4 = 25 dư 1 Vậy chữ số tận cùng của tích B2 chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 3 đó chính là 3. B3= 13 x 13 x ... x 13 102 thừa số 13 Nhận xét tương tự B1 ta có: 102: 4 = 25 dư 2 Vậy chữ số tận cùng của tích B3 chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 3 x 3 đó chính là 9. B4= 13 x 13 x ... x 13 103 thừa số 13 Nhận xét tương tự B1 ta có: 103: 4 = 25 dư 3 Vậy chữ số tận cùng của tích B4 chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 3 x 3 x 3 đó chính là 7. Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 3 khi: + Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 1 + Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 3 + Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 9 + Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 7 3. Xét với những tích có chữ số hàng đơn vị của các thừa số là 4 Ví dụ: 5 C1= 124 x 124 x 124 x ... x 124 100 thừa số 124 Nhận xét: - 124 x 124 tích này có chữ số hàng đơn vị là 6. - Mà 100 : 2 = 50, mỗi nhóm có chữ số hàng đơn vị của tích là 6, có 100 thừa số 124 thì sẽ có 50 nhóm có chữ số hàng đơn vị là 6. Vậy chữ số hàng đơn vị của tích C1 là 6 C2= 124 x 124 x 124 x ... x 124 101 thừa số 124 Nhận xét tương tự C1 ta có: 101 : 2 = 50 dư 1 Vậy chữ số tận cùng của tích C2 chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 124 đó chính là 4. Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 4 khi: + Số thừa số chia hết cho 2 thì tích có chữ số hàng đơn vị là 6 + Số thừa số chia cho 2 dư 1 thì tích có chữ số hàng đơn vị là 4 4. Xét chữ số tận cùng của tích có chữ số hàng đơn vị của các thừa số là 7. Ví dụ: D1= 107 x 107 x ... x 107 100 thừa số 107 Nhận xét: - (107 x 107 x 107 x 107) với 4 thừa số 107 tích có chữ số hàng đơn vị là 1. - Mà 100 : 4 = 25 Vậy có 25 nhóm, mỗi nhóm có chữ số hàng đơn vị là 1. Nên chữ số hàng đơn vị của tích D1 là 1. D2= 107 x 107 x ... x 107 101 thừa số 107 Nhận xét tương tự D1 ta có: 101 : 4 = 25 dư 1 Vậy chữ số tận cùng của tích D2 chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 107 đó chính là 7. D3= 107 x 107 x ... x 107 6 102 thừa số 107 Nhận xét tương tự D1 ta có: 102 : 4 = 25 dư 2 Vậy chữ số tận cùng của tích D3 chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 107 x 107 đó chính là 9. D4= 107 x 107 x ... x 107 103 thừa số 107 Nhận xét tương tự D1 ta có: 103 : 4 = 25 dư 3 Vậy chữ số tận cùng của tích D4 chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 107 x 107 x 107 đó chính là 3. Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 7 khi: + Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 1 + Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 7 + Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 9 + Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 3 5. Xét tích có chữ số hàng đơn vị các thừa số là 8 Ví dụ: E1= 158 x 158 x ... x 158 100 thừa số 158 Nhận xét: - (158 x 158 x 158 x 158) với 4 thừa số 158 tích có chữ số tận cùng là 6 - Mà 100 : 4 = 25 Vậy có 25 nhóm, mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6 nên tích E1 có chữ số tận cùng là 6 E2= 358 x 358 x ... x 358 101 thừa số 358 Nhận xét tương tự E1 ta có 101 : 4 = 25 dư 1 Vậy chữ số tận cùng của E2 chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 358 đó chính là 8. E3= 278 x 278 x ... x 278 102 thừa số 278 Nhận xét tương tự E1 ta có 102 : 4 = 25 dư 2 7 Vậy chữ số tận cùng của E3 chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 278 x 278 đó chính là 4. E4= 1998 x 1998 x ... x 1998 103 thừa số 1998 Nhận xét tương tự E1 ta có 103 : 4 = 25 dư 3 Vậy chữ số tận cùng của E4 chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 1998 x 1998 x 1998 đó chính là 2. Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 8 khi: + Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 6 + Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 8 + Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 4 + Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 2 6. Xét tích có chữ số hàng đơn vị các thừa số là 9 Ví dụ: M1= 1259 x 1259 x ... x 1259 100 thừa số 1259 Nhận xét: - 1259 x 1259 tích này có chữ số tận cùng là 1. - Mà 100 : 2 = 50 Vậy có 50 nhóm, mỗi nhóm có chữ số hàng đơn vị là 1 nên tích M1 chính là chữ số tận cùng là 1. M2= 359 x 359 x ... x 359 999 thừa số 359 Nhận xét tương tự M1 ta có: 999 : 2 = 499 dư 1 Vậy chữ số tận cùng của tích M2 chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 359 đó chính là 9. Kết luận: Với tích có chữ số hàng đơn vị là 9 có chữ số tận cùng của tích là 1 khi số thừa số là chẵn, có chữ số tận cùng là 9 khi số thừa số của tích là số lẻ. 8 PHẦN III: KẾT LUẬN - Qua nghiên cứu các ví dụ và tìm hiểu để đưa ra phương pháp chung của những bài toán dạng "Tìm chữ số tận cùng của biểu thức" tôi đã vận dụng và giúp học sinh trong khi học, giáo viên trong khi dạy có thêm kinh nghiệm để giải các bài toán phức tạp. Đặc biệt giúp học sinh giỏi giải toán trên mạng các vòng thi cấp Tỉnh tìm ra đáp số một cách nhanh và hiệu quả. Các em không còn bỡ ngỡ, mất điểm mỗi khi gặp dạng toán này. PHẦN IV: KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT - Thực tế đây chỉ là những phương pháp và một số dạng cơ bản của "Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức" bản thân tôi đã nghiên cứa hướng dẫn học sinh. - Rất mong bạn đọc tham khảo, góp ý, bổ sung để giúp tôi có thêm nhiều kinh nghiệm, bài học để góp phần trong nâng cao chất lượng môn Toán cho học sinh Tiểu học. Tác giả Trần Thị Bích 9
- Xem thêm -