TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA
PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
SinhVienKyThuat.Com
HÀ NỘI 2007
i
TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
p
P
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
SinhVienKyThuat.Com
HÀ NỘI 2007
GS, TS Trần Ích Thịnh
TS. Ngô Như Khoa
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Lý thuyết
Bài tập
Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007
SinhVienKyThuat.Com
MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ
thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
-
Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
-
Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
-
Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và
khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và
hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần
áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được
giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán
động lực học một số kết cấu.
SinhVienKyThuat.Com
i
Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình
Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến
thức của mình.
Giáo trình được biên soạn bởi:
-
GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9.
-
TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình
Matlab.
Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối
nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng
trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình.
Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên
Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan.
Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc.
Tập thể tác giả
SinhVienKyThuat.Com
ii
MỤC LỤC
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1.
2.
3.
Giới thiệu chung ................................................................................ 1
Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ............................................................. 1
Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn .......................................... 2
3.1.
3.2.
Nút hình học ............................................................................................... 2
Qui tắc chia miền thành các phần tử............................................................ 2
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Các dạng phần tử hữu hạn ................................................................. 3
Phần tử quy chiếu, phần tử thực ......................................................... 4
Một số dạng phần tử quy chiếu .......................................................... 5
Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất ............................................... 6
Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần ........................................ 7
Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........................... 8
Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
1.
Đại số ma trận ................................................................................. 11
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
Véctơ ....................................................................................................... 11
Ma trận đơn vị .......................................................................................... 12
Phép cộng và phép trừ ma trận. ................................................................. 12
Nhân ma trận với hằng số ......................................................................... 12
Nhân hai ma trận ...................................................................................... 13
Chuyển vị ma trận .................................................................................... 13
Đạo hàm và tích phân ma trận................................................................... 14
Định thức của ma trận .............................................................................. 14
Nghịch đảo ma trận .................................................................................. 15
Ma trận đường chéo .............................................................................. 16
Ma trận đối xứng .................................................................................. 16
Ma trận tam giác ................................................................................... 16
2.
Phép khử Gauss ............................................................................... 17
2.1.
2.2.
Mô tả........................................................................................................ 17
Giải thuật khử Gauss tổng quát ................................................................. 18
Chương 3
THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG
VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG
1.
Các ví dụ ......................................................................................... 22
1.1.
1.2.
Ví dụ 1 ..................................................................................................... 22
Ví dụ 2 ..................................................................................................... 24
2.
Thuật toán ghép K và F ................................................................... 28
iii
SinhVienKyThuat.Com
2.1.
2.2.
Nguyên tắc chung ..................................................................................... 28
Thuật toán ghép nối phần tử: .................................................................... 29
Chương 4
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Mở đầu ............................................................................................ 31
Mô hình phần tử hữu hạn ................................................................. 31
Các hệ trục toạ độ và hàm dạng ....................................................... 32
Thế năng toàn phần ......................................................................... 35
Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 36
Qui đổi lực về nút ............................................................................ 37
Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn ............................. 38
Ví dụ ............................................................................................... 40
Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D ....................................... 46
Bài tập ............................................................................................. 50
Chương 5
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Mở đầu ............................................................................................ 52
Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung ............................................ 52
Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 54
Ứng suất .......................................................................................... 55
Ví dụ ............................................................................................... 55
Chương trình tính hệ thanh phẳng .................................................... 57
Bài tập ............................................................................................. 67
Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1.
Mở đầu ............................................................................................ 71
1.1.
1.2.
Trường hợp ứng suất phẳng ...................................................................... 72
Trường hợp biến dạng phẳng .................................................................... 72
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác ....................................... 73
Biểu diễn đẳng tham số.................................................................... 76
Thế năng ......................................................................................... 79
Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ............................................. 79
Qui đổi lực về nút ............................................................................ 80
Ví dụ ............................................................................................... 83
Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng ...................... 88
Bài tập ............................................................................................. 99
SinhVienKyThuat.Com
iv
Chương 7
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG
1.
2.
3.
4.
5.
Mở đầu .......................................................................................... 103
Mô tả đối xứng trục ....................................................................... 103
Phần tử tam giác ............................................................................ 104
Chương trình tính kết cấu đối xứng trục......................................... 114
Bài tập ........................................................................................... 122
Chương 8
PHẦN TỬ TỨ GIÁC
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Mở đầu .......................................................................................... 126
Phần tử tứ giác............................................................................... 126
Hàm dạng ...................................................................................... 127
Ma trận độ cứng của phần tử.......................................................... 129
Qui đổi lực về nút .......................................................................... 131
Tích phân số .................................................................................. 132
Tính ứng suất................................................................................. 136
Ví dụ ............................................................................................. 136
Chương trình ................................................................................. 138
Bài tập ........................................................................................... 150
Chương 9
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Giới thiệu ...................................................................................... 152
Thế năng ....................................................................................... 153
Hàm dạng Hermite ........................................................................ 153
Ma trận độ cứng của phần tử dầm .................................................. 155
Quy đổi lực nút .............................................................................. 157
Tính mômen uốn và lực cắt............................................................ 158
Khung phẳng ................................................................................. 159
Ví dụ ............................................................................................. 161
Chương trình tính dầm chịu uốn .................................................... 166
Bài tập ........................................................................................... 175
Chương 10
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1.
2.
Giới thiệu ...................................................................................... 178
Bài toán dẫn nhiệt một chiều.......................................................... 178
2.1.
Mô tả bài toán ........................................................................................ 178
SinhVienKyThuat.Com
v
2.2.
2.3.
Phần tử một chiều ................................................................................... 178
Ví dụ ...................................................................................................... 180
3.
Bài toán dẫn nhiệt hai chiều ........................................................... 182
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều .................................. 182
Điều kiện biên ........................................................................................ 183
Phần tử tam giác ..................................................................................... 184
Xây dựng phiếm hàm ............................................................................. 185
Ví dụ ...................................................................................................... 189
4.
Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt ........................................ 192
4.1.
4.2.
Ví dụ 10.1 .............................................................................................. 192
Ví dụ 10.2 .............................................................................................. 197
5.
Bài tập ........................................................................................... 203
Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Giới thiệu ...................................................................................... 206
Lý thuyết tấm Kirchhof ................................................................. 206
Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ...................................................... 209
Phần tử tấm Mindlin chịu uốn........................................................ 215
Phần tử vỏ ..................................................................................... 218
Chương trình tính tấm chịu uốn ..................................................... 221
Bài tập ........................................................................................... 231
Chương 12
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE
1.
2.
3.
Giới thiệu ...................................................................................... 234
Phân loại vật liệu Composite ......................................................... 234
Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng ................... 236
3.1.
3.2.
Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng ........................................... 236
Ví dụ ...................................................................................................... 238
4.
Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin ................ 241
4.1.
4.2.
Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin ........... 241
Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn ....................... 246
5.
6.
Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn.............................. 250
Bài tập ........................................................................................... 267
Chương 13
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
1.
Giới thiệu ...................................................................................... 268
SinhVienKyThuat.Com
vi
2.
3.
4.
Mô tả bài toán................................................................................ 268
Vật rắn có khối lượng phân bố ....................................................... 270
Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố.................. 272
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Phần tử một chiều ................................................................................... 272
Phần tử trong hệ thanh phẳng.................................................................. 272
Phần tử tam giác ..................................................................................... 273
Phần tử tam giác đối xứng trục ............................................................... 274
Phần tử tứ giác ....................................................................................... 275
Phần tử dầm ........................................................................................... 275
Phần tử khung ........................................................................................ 276
5.
6.
Ví dụ ............................................................................................. 276
Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung .................. 277
6.1.
6.2.
Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm ................................... 277
Chương trình tính tần số dao động tự do của khung ................................ 282
7.
Bài tập ........................................................................................... 287
TÀI LIỆU THAM KHẢO
SinhVienKyThuat.Com
vii
Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện
những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an
toàn cao.
7.1.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là
một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời
giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ
việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong
các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay,
tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến
những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết
truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí
đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của
ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều
kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế
chi tiết một cách dễ dàng.
Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như:
NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM
2000, SAMCEF v.v.
Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc
tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải
nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính
cơ bản của phương pháp.
2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó
(chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền
con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại
lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve.
Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp
xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
SinhVienKyThuat.Com
1
-
-
Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến
nút gắn vào nút của ve và biên của nó,
Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho
chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục
giữa các miền con khác nhau.
Các miền con ve được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1.
Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học
các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập
hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao
cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học
của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của
nó.
3.2.
Qui tắc chia miền thành các phần tử
Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc
sau:
-
Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên
biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai
phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay
mặt (Hình 1.1).
-
Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần
với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng
giữa các phần tử.
v1
v2
biên giới
v2
v1
biên giới
v1
v2
biên giới
Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
SinhVienKyThuat.Com
2
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba
chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất
(gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta
làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử hai chiều
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử lăng trụ
SinhVienKyThuat.Com
3
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC
Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có
dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay
phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thường là phần tử
đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể
biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học
re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2).
(5)
y
(4)
r3
0,1
0,0
(3)
v2
r2
r1
vr
v3
(1)
v1
(2)
1,0
x
Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác
Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải
thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi
phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:
a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm
trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với
một và chỉ một điểm của ve và ngược lại.
SinhVienKyThuat.Com
4
b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học
của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút
tương ứng.
Chú ý:
-
Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử
thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần
tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ.
-
Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn
giản.
-
(, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử.
6.
MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU
Phần tử qui chiếu một chiều
-1
1
0
-1
1
0
-1
-1
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc nhất
/2 0
1
1
/2
Phần tử bậc ba
Phần tử qui chiếu hai chiều
1
1
1
1
r
v
0,0
1
/2
Phần tử bậc nhất
1 ,1
/2 /2
r
v
0,0
2
1
/2
1
1
Phần tử bậc hai
1 ,2
/3 /3
/3
2 ,1
/3 /3
vr
/3
0,0
1
/3
2
/3
1
Phần tử bậc ba
Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện
SinhVienKyThuat.Com
5
0,0,1
0,0,1
vr
0,0,1
0,0,0
vr
vr
0,1,0
0,1,0
1,0,0
1,0,0
Phần tử bậc nhất
0,1,0
1,0,0
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử sáu mặt
vr
0,1,1
vr
vr
1,1,0
Phần tử bậc nhất
0,1,1
0,1,1
1,1,0
Phần tử bậc hai
1,1,0
Phần tử bậc ba
7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT
Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng
véctơ cột:
- Lực thể tích
f : f = f[ fx, fy , fz]T
- Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T
- Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T
SinhVienKyThuat.Com
6
Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi:
u = [u, v, w] T
Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:
(1.1)
= [x , y, z, yz, xz, xy] T
Trường hợp biến dạng bé:
(1.2)
T
u v w v w u w u v
x y z z y z x y x
Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:
(1.3)
= [x , y, z, yz, xz, xy] T
Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng
suất với biến dạng:
(1.4)
=D
(1.5)
Trong đó:
1
1
1
E
D
1 1 2 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ,5
0
0
0
0
0
0
0 ,5
0
0
0
0
0
0
0 ,5
E là môđun đàn hồi, là hệ số Poisson của vật liệu.
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần của một vật thể đàn hồi là tổng của năng
lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:
=U+W
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một
1
đơn vị thể tích được xác định bởi: T
2
Do đó năng lượng biến dạng toàn phần:
SinhVienKyThuat.Com
7
(1.6)
U
1
2
T
dv
(1.7)
V
Công của ngoại lực được xác định bởi:
n
T
W u T FdV u T TdS u i Pi
V
S
(1.8)
i 1
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:
n
1
T
T
T
T
dV
u
f
dV
u
TdS
ui Pi
2V
i 1
V
S
(1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và Pi là lực tập trung tại nút i có
chuyển vị là ui
Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn,
trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân
bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị. Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu
thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định.
9. SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN
Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:
Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông
tin mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học
của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt...), các thông tin
về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu
(điều kiện biên);
Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f
của mỗi phần tử;
Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và véctơ lực nút F
chung cho cả hệ (ghép nối phần tử);
Khối 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến
đổi ma trận độ cứng K và vec tơ lực nút tổng thể F;
Khối 5: Giải phương trình PTHH, xác định nghiệm của hệ là véctơ
chuyển vị chung Q;
Khối 6: Tính toán các đại lượng khác (ứng suất, biến dạng, gradiên
nhiệt độ, v.v.) ;
SinhVienKyThuat.Com
8
Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị
của các đại lượng theo yêu cầu.
Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình
1.3);
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên
Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
SinhVienKyThuat.Com
9
SinhVienKyThuat.Com
10
- Xem thêm -