Tài liệu GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA ĐẠI CƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI KHOA CẦU ĐƯỜNG BỘ MÔN TRẮC ĐỊA GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA ĐẠI CƯƠNG (DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC KHỐI KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH) TS. TRẦN ĐÌNH TRỌNG HÀ NỘI, 2013 Lời nói đầu Giáo trình Trắc địa đại cương được dùng trong giảng dạy cho chương trình đào tạo kỹ sư khối ngành kỹ thuật xây dựng, không chuyên về Trắc địa, của trường Đại học Xây dựng Hà Nội. Do vậy, tác giả cố gắng trình bày một cách đơn giản và dễ hiểu nhất. Nội dung giáo trình bao gồm các nội dung cơ bản về Trắc địa và Trắc địa ứng dụng trong xây dựng. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và đóng góp về chuyên môn của các thầy, cô trong bộ môn Trắc địa – khoa Cầu đường, đặc biệt TS. Nguyễn Thạc Dũng đã góp ý và chỉnh sửa giáo trình này. Tác giả MỤC LỤC CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG 1.1 Mở đầu 1.2 Hình dáng, kích thước Trái đất 3 4 1.3 Ảnh hưởng của độ cong Trái đất đến các đại lượng đo 1.4 Hệ tọa độ địa lý 1.5 Phép chiếu Gauss – Kruger, UTM và hệ tọa độ vuông góc phẳng 5 6 7 CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ TRONG ĐO ĐẠC 2.1 Đặc điểm tính toán trong Trắc địa 11 2.2 Khái niệm về sai số đo 2.3 Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác 2.4 Sai số trung phương hàm các đại lượng đo 2.5 Tính và đánh giá kết quả đo 13 15 17 19 CHƯƠNG 3 ĐO GÓC 3.1 Khái niệm 3.2 Máy kinh vĩ 3.3 Kiểm nghiệm các điều kiện cơ bản của máy kinh vĩ 3.4 Đo góc bằng 22 22 24 27 3.5 Sai số trong đo góc bằng 3.6. Đo góc đứng 31 32 CHƯƠNG 4 ĐO KHOẢNG CÁCH 4.1 Khái niệm 4.2 Đo khoảng cách bằng thước thép 4.3 Đo khoảng cách bằng phương pháp quang học 4.4 Hệ thống định vị toàn cầu GPS 4.5 Đo khoảng cách điện tử 33 33 35 38 40 CHƯƠNG 5 ĐO CAO 5.1 Khái niệm 5.2 Nguyên lý đo cao hình học 5.3 Máy thủy bình 5.4 Đo cao hình học hạng IV 42 43 44 47 5.5. Cách loại trừ sai số trong đo cao hình học 5.6 Đo cao lượng giác 49 50 CHƯƠNG 6 LƯỚI KHỐNG CHẾ TRẮC ĐỊA 6.1 Định hướng đường thẳng 6.2 Hai bài toán trắc địa cơ bản 6.3 Khái niệm lưới khống chế trắc địa mặt bằng 6.4 Lưới đường chuyền 6.5 Một số phương pháp xây dựng lưới khác 6.6 Khái niệm lưới khống chế độ cao 6.7 Bình sai gần đùng lưới khống chế độ cao 51 53 54 56 60 62 63 CHƯƠNG 7. BẢN ĐỒ ĐỊA HÌNH VÀ ĐO VẼ BẢN ĐỒ 7.1 Khái niệm về bản đồ 7.2 Phân mảnh và đánh số bản đồ 7.3 Biểu diễn địa vật, địa hình trên bản đồ 7.4 Đo vẽ bản đồ 7.5 Đo vẽ mặt cắt địa hình 7.6 Sử dụng bản đồ 66 67 67 70 73 76 CHƯƠNG 8 TRẮC ĐỊA TRONG XÂY DỰNG 8.1 Bố trí các yếu tố cơ bản 8.2 Bố trí điểm mặt bằng 8.3 Bố trí đường cong tròn 8.4 Tính khối lượng đào đắp 8.5 Công tác trắc địa trong xây dựng 8.6 Quan trắc chuyển dịch biến dạng công trình 80 81 83 86 88 94 Tài liệu tham kháo 98 CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CHUNG 1.1 MỞ ĐẦU Trắc địa là một ngành khoa học về Trái đất, nó nghiên cứu các phép đo thực hiện trên bề mặt đất, các dụng cụ đo, các phương pháp xử lý số liệu đo nhằm xác định hình dáng, kích thước Trái đất, biểu diễn bề mặt đất và phục vụ các ngành khoa học khác. Trong quá trình phát triển, phạm vi nghiên cứu và ứng dụng của môn khoa học này đã mở rộng và chuyên sâu hơn rất nhiều. Nó không chỉ nghiên cứu các phép đo, các phép biểu diễn hình dáng Trái đất mà còn nghiên cứu các chuyển động của Trái đất, các tính chất vật lý của Trái đất, ngoài ra còn nghiên cứu vị trí, bề mặt, chuyển động của các vệ tinh, hành tinh,... trong vũ trụ. Trắc địa được chia thành 2 mảng lớn là Trắc địa cao cấp, nghiên cứu phạm vi lớn của bề mặt Trái đất, mảng còn lại gồm các chuyên ngành khác nhau, nghiên cứu trên Trắc địa Phạm vi nhỏ Phạm vi lớn phạm vi nhỏ của bề mặt Trái đất (Hình 1). Trắc địa cao cấp Trắc địa phổ thông Trắc địa công trình Trắc địa ảnh Trắc địa bản đồ Hình 1 Các chuyên ngành trong ngành Trắc địa “Trắc địa đại cương” chủ yếu nằm trong hai chuyên ngành là Trắc địa phổ thông và Trắc địa công trình. Nhiệm vụ của môn học: Trong xây dựng công trình, trắc địa tham gia tất cả các giai đoạn từ khảo sát, thiết kế, thi công đến khi công trình đã đi vào sử dụng. Do đó, kiến thức về Trắc địa là không thể thiếu đối với mỗi kỹ sư xây dựng. Môn học Trắc địa đại cương cung cấp những kiến thức cơ bản của Trắc địa, làm cơ sở cho chuyên ngành và thực tế sản xuất. 3 1.2 HÌNH DẠNG, KÍCH THƯỚC TRÁI ĐẤT 1.2.1 Hình dạng tự nhiên của Trái đất Bề mặt Trái đất có diện tích khoảng 510.106km2, trong đó đại dương chiếm khoảng 71%, lục địa chiếm khoảng 29%. Bề mặt tự nhiên của Trái đất rất phức tạp, lục địa cao trung bình khoảng 875m, đại dương sâu trung bình khoảng 3800m. Chênh lệch giữa điểm sâu nhất (vực Marianna sâu 11032m) với điểm cao nhất (đỉnh Everest cao 8884m) khoảng 20km. Bán kính trung bình của Trái đất khoảng 3671km. Một cách gần đúng, ta có thể coi mô hình Trái đất là quả cầu nước với bán kính 300mm thì vết gợn lớn nhất là 1mm. 1.2.2 Mặt thuỷ chuẩn Như đã biết, bề mặt Trái đất gồ ghề phức tạp, rất khó để xác định hình dạng thực của nó. Để đơn giản, người ta tìm một bề mặt có hình dạng gần với hình dáng thực của Trái đất nhất đó là mặt thuỷ chuẩn (hay còn gọi mặt Geoid, mặt đẳng thế, mặt nước gốc). Mặt thuỷ chuẩn là mặt nước biển và các đại dương yên tĩnh tưởng tượng kéo dài xuyên qua các lục địa tạo thành một mặt khép kín sao cho bề mặt tại mọi điểm luôn vuông góc với phương trọng lực (hay phương dây dọi). Vật chất trong lòng Trái đất phân bố không đồng đều, do vậy mặt thuỷ chuẩn là mặt khép kín uốn lượn, không phải là mặt có dạng chính tắc nên không có phương trình toán học để biểu diễn. Mặt thuỷ chuẩn được chọn làm mặt quy chiếu độ cao. Để xác định được mặt này phải tiến hành quan trắc mực nước biển trong nhiều năm. Đối với mỗi quốc gia, để phù hợp nhất với lãnh thổ, thường sử dụng số liệu quan trắc của riêng mình để xây dựng mặt thuỷ chuẩn riêng gọi là mặt thuỷ chuẩn quốc gia. Ở Việt Nam lấy mặt nước biển trung bình nhiều năm của trạm nghiệm triều Hòn Dấu – Hải Phòng làm mặt thuỷ chuẩn quốc gia. 1.2.3 Ellipsoid Để giải các bài toán trắc địa, người ta chọn một mặt toán học đơn giản, gần với mặt thuỷ chuẩn nhất (tức là gần với bề mặt thực của Trái đất nhất), đó là mặt Ellipsoid (Ellipsoid được tạo thành khi quay một ellipse quanh trục nhỏ của nó). 4 MÆt ®Êt thùc MÆt Geoid MÆt Elipxoid Hình 1.1 Mặt đất, Geoid và Ellipsoid Mặt Ellipsoid được chọn thoả mãn: 1. Tâm của Ellipsoid trùng với tâm trọng lực của Trái đất, trục quay của Ellipsoid trùng với trục quay cả Trái đất. 2. Tổng bình phương khoảng chênh giữa Ellipsoid và Geoid là nhỏ nhất. Mặt Ellipsoid được chọn làm mặt quy chiếu toạ độ. Kích thước của Ellipsoid được đặc trưng bởi bán trục lớn a, bán trục bé b hoặc độ dẹt α (   a b ). a Bảng 1.1 Một số Ellipsoid thông dụng trên thế giới và ở Việt Nam Ellipsoid Năm công bố Bán trục lớn Bán trục bé Độ dẹt a (m) b (m) α Everest 1930 6377276 6356075 1 : 300.8 Kraxovski 1946 6378245 6356760 1 : 298.3 WGS 84 1984 6378137 6356752 1 : 298.3 1.3 ẢNH HƯỞNG ĐỘ CONG TRÁI ĐẤT ĐẾN CÁC YẾU TỐ ĐO 1.3.1 Ảnh hưởng độ cong Trái đất đến đo góc Trắc địa cầu đã chứng minh: tổng các góc trong của đa giác trên mặt phẳng nhỏ hơn tổng các góc trong của đa giác đó tương ứng trên mặt cầu là ε ε" = ” A/R2 (1.1) trong đó: A – diện tích đa giác trên mặt cầu, R ≈ 6370km; ” ≈ 206265. 5 Trong phạm vi bán kính 100km, nếu đo góc với độ chính xác mβ = ±1”, có thể coi Trái đất là mặt phẳng. 1.3.1 Ảnh hưởng độ cong Trái đất đến đo khoảng cách Khoảng cách S trên mặt đất khi chiếu lên mặt phẳng ngang và mặt Ellipsoid (hình 1.2) S D D' Sai lệch khoảng cách khi thay thế mặt Ellipsoid bởi mặt phẳng: d = D – D’ Và: MÆt ®Êt thùc MÆt ph¼ng MÆt Elipxoid R D = Rtgα D’= Rα Ta có: d = R(tgα - α) (1.5) a Khai triển chuỗi Taylor và giữ lại hai số hạng đầu hàm tg α: tgα = α + α3/3 + … Hình 1.2 Khoảng cách trên mặt chiếu (1.6) Công thức (1.5) trở thành: d = Rα3/3 (1.7) Thay α ≈ S/R vào (1.7): d = S3/3R2 (1.8) Nếu lấy R ≈ 6370km, khi đo khoảng cách S = 10km thì sai số này là d = 8.2mm. Như vậy, nếu đo cạnh với độ chính xác mS = ±10-6S (tức là 10km ± 10mm) thì trong pham vi bán kính 10km có thể coi Trái đất là mặt phẳng. 1.3.3 Ảnh hưởng độ cong Trái đất đến đo cao Sai lệch độ cao khi thay mặt cầu bằng mặt phẳng: q = D2/ 2R (1.9) Nếu đo cao với độ chính xác mh = ±1mm thì trong bán kính 100m có thể coi Trái đất là mặt phẳng. 1.4 HỆ TOẠ ĐỘ ĐỊA LÝ Hệ toạ độ địa lý được xây dựng dựa trên cơ sở các kinh tuyến, vĩ tuyến và coi Trái đất là hình cầu. Kinh tuyến là giao giữa mặt cầu với mặt phẳng chứa trục quay Trái đất. Vĩ tuyến là giao giữa mặt cầu với mặt phẳng vuông góc với trục quay Trái đất. 6 Chọn kinh tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich (ngoại ô London, Anh) là kinh tuyến gốc, mặt phẳng kinh tuyến gốc chia Trái đất làm hai nửa: Đông bán cầu và Tây bán cầu. Vĩ tuyến nằm trên mặt phẳng chứa tâm của Trái đất (xích đạo) làm vĩ tuyến gốc, mặt phẳng xích đạo chia Trái đất làm hai nửa: Bắc bán cầu và Nam bán cầu. Toạ độ địa lý của điểm A được xác định như sau: - Vĩ độ địa lý (A): là góc hợp bởi đường dây dọi đi qua A (OA) và mặt phẳng xích đạo, tính từ xích đạo về hai phía Bắc và Nam bán cầu. Nó có giá trị từ 0  900. - Kinh độ địa lý (A): là góc nhị diện hợp bởi mặt phẳng kinh tuyến gốc với mặt phẳng kinh tuyến đi qua điểm đó, tính từ kinh tuyến gốc về hai phía Đông và Tây bán cầu. Nó có giá trị từ 0  1800. A G O jA Ví dụ: Toạ độ địa lý của một điểm A: 0 lA A = 21 28’20” N A = 105o 32’12” E Hình 1.3 Hệ tọa độ địa lý Việt Nam nằm hoàn toàn ở Bắc bán cầu và Đông bán cầu nên tất cả các điểm trên lãnh thổ nước ta đều có vĩ độ Bắc và kinh độ Đông. 1.5 PHÉP CHIẾU GAUSS VÀ UTM - HỆ TOẠ ĐỘ VUÔNG GÓC PHẲNG Trái đất có hình dạng rất phức tạp và hình học gần đúng với Trái đất nhất là Ellipsoid. Để dễ dàng thể hiện, tính toán các điểm trên bề mặt Trái đất thì phải chiếu chúng lên mặt phẳng. Cần phải tìm phép chiếu thích hợp để chuyển từ mặt cong lên mặt phẳng ít bị biến dạng nhất. Có nhiều phép chiếu khác nhau như: phép chiếu hình nón, phép chiếu hình trụ, phép chiếu thẳng góc,... 1.5.1 Phép chiếu Gauss - Kruger Là phép chiếu hình trụ ngang đẳng góc Chia Ellipsoid thành 60 múi, mỗi múi 60 kinh, đánh số thứ tự từ 1  60 bắt đầu từ kinh tuyến gốc ( = 00) theo chiều từ Đông sang Tây. Kinh tuyến giữa của mỗi múi được gọi là kinh tuyến trục (kinh tuyến giữa múi) có kinh độ được tính theo công thức: 7 L0  3(2n  1) (n là số thứ tự múi chiếu) Lồng bên ngoài Ellipsoid một hình trụ và tiếp xúc với Ellipsoid tại một kinh tuyến trục của múi cần chiếu, trục quay của Ellipsoid vuông góc với trục hình trụ (hình 1.4). Kinh tuyến biên O Xích đạo Kinh tuyến trục Hình 1.4 Phép chiếu Gauss - Kruger Hình 1.5 Múi chiếu Gauss - Kruger Lấy tâm O của Ellipsoid làm tâm chiếu, lần lượt chiếu từng múi lên mặt trụ bằng cách vừa xoay, vừa tịnh tiến. Sau đó, cắt hình trụ theo hai đường sinh và trải phẳng, được hình chiếu của 60 múi (hình 1.5). Đặc điểm của phép chiếu Gauss - Kruger: - Không làm biến dạng về góc nhưng diện tích bị biến dạng. - Hình chiếu của xích đạo và kinh tuyến trục vuông góc với nhau. - Kinh tuyến giữa múi là trục đối xứng và không có biến dạng về chiều dài (tỷ lệ biến dạng bằng 1). Càng xa kinh tuyến trục, biến dạng chiều dài càng tăng (kinh tuyến biên có tỷ lệ biến dạng bằng 1.0014). Để giảm tỷ lệ biến dạng, người ta chia nhỏ múi chiếu thành múi 30, thậm chí 1.50. Phép chiếu Gauss được sử dụng để xây dựng hệ toạ độ HN72. X Hệ toạ độ vuông góc phẳng Gaus - Kruger: Trục X là hình chiếu của kinh tuyến trục, trục Y là hình chiếu của xích đạo và giao điểm của hai trục là gốc toạ độ O. Như vậy, những khu vực ở Bắc bán cầu, giá trị X luôn dương còn giá trị Y có thể âm hoặc dương. Để tránh toạ độ Y âm, trục OX dời sang phía Tây 500km (hình 1.8). O Y 500 Hình 1.8 Hệ tọa độ vuông góc Gauss - Kruger 8 Mỗi múi chiếu, thành lập một hệ toạ độ vuông góc cho múi đó, do đó có thể có điểm thuộc hai múi chiếu khác nhau lại có cùng giá trị toạ độ. Để tránh trường hợp này, người ta ghi kèm số thứ tự múi chiếu trước toạ độ Y. Ví dụ: Toạ độ điểm A: XA = 2 244 900.469m YA = 18 594 655.609m (Điểm A nằm cách xích đạo 244900.469m về phía Bắc, thuộc múi chiếu thứ 18 và cách kinh tuyến trục 594655.609 - 500000 = 94655.609m về phía Đông) Trên hình chiếu mỗi múi, người ta kẻ thêm những đường thẳng song song với các trục và cách đều nhau chẵn kilômét, gọi là lưới ô vuông hoặc lưới kilômét của bản đồ. 1.5.2 Phép chiếu UTM (Universal Transverse Mercator) Tương tự như phép chiếu Gauss, Ellipsoid cũng chia thành 60 múi và đánh số thứ tự từ 1  60 nhưng bắt đầu từ kinh tuyến đối diện với kinh tuyến gốc ( = 1800) theo chiều từ Tây sang Đông. Dùng hình trụ ngang cắt Ellipsoid tại hai kinh tuyến cách đều kinh tuyến trục 180km, lúc này kinh tuyến trục nằm phía ngoài mặt trụ còn hai kinh tuyến biên của múi nằm phía trong mặt trụ (hình 1.6). Kinh tuyến trục O Xích đạo 180km Hình 1.6 Phép chiếu UTM Hình 1.7 Múi chiếu UTM Lấy tâm O của Ellipsoid làm tâm chiếu, lần lượt chiếu từng múi lên mặt trụ bằng cách vừa xoay, vừa tịnh tiến. Sau đó, cắt hình trụ theo hai đường sinh và trải phẳng, được hình chiếu của 60 múi (hình 1.7). Đặc điểm của phép chiếu UTM: - Không làm biến dạng về góc nhưng diện tích bị biến dạng. 9 - Hình chiếu của xích đạo và kinh tuyến trục vuông góc với nhau. - Tỷ lệ biến dạng về chiều dài tại hai kinh tuyến tiếp xúc bằng 1, tại kinh tuyến trục bằng 0.9996 (Đối với múi chiếu 30, tỷ lệ này là 0.9999). So với phép chiếu Gauss, phép chiếu UTM giảm được tỷ lệ biến dạng ngoài biên và biến dạng là tương đối đều trên phạm vi múi chiếu. Phép chiếu UTM được sử dụng để xây dựng hệ toạ độ VN-2000. Hệ toạ độ vuông góc phẳng X UTM: Hệ toạ độ vuông góc phẳng UTM tương tự như hệ toạ độ vuông góc phẳng Gauss. Y O Có thể xem những chú ý khi sử dụng hệ tọa độ VN-2000 trong [6] 500km Hình 1.9 Hệ tọa độ vuông góc phẳng UTM 1.5.3 Phép chiếu thẳng góc Khu vực có phạm vi nhỏ (bán kính nhỏ hơn 10km), có thể sử dụng phép chiếu thẳng góc. Sử dụng mặt phẳng tiếp xúc với điểm trung tâm khu vực cần chiếu tại điểm trung tâm, lấy tâm Trái đất làm tâm chiếu. Bán kính Trái đất lớn hơn rất nhiều khoảng cách lớn nhất trân khu vực cần chiếu nên coi các tia chiếu là song song. (Hình 1.10). Đặc điểm phép chiếu: - Tại điểm tiếp xúc, tỷ lệ biến dạng chiều dài m = 1. Càng ra xa tỷ lệ biến dạng càng nhỏ hơn 1, nhưng không đáng kể, có thể coi m  1. m=1 - Góc coi như không bị biến dạng. Hình 1.10 Phép chiếu thẳng góc 10 CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ TRONG ĐO ĐẠC 2.1 ĐẶC ĐIỂM TÍNH TOÁN TRONG TRẮC ĐỊA 2.1.1 Đơn vị đo dùng trong trắc địa Đơn vị đo độ dài Đơn vị đo độ dài là mét, kí hiệu là m. Một mét là chiều dài bằng 1 650 736.73 chiều dài của bước sóng nguyên tử Kripton 86 bức xạ trong chân không, tương đương với quỹ đạo chuyển dời của điện tử giữa hai mức năng lượng 2p10 và 5d5. Trong hệ SI (System International), mét được định nghĩa: “mét là khoảng cách ánh sáng đi được trong chân không trong khoảng thời gian 1/299 792 458s”. Bội số của mét: 1 mét = 10-1 decamet (dam) = 10-2 hectomet (hm) = 10-3 kilomet (km). Ước số cuả mét: 1 mét = 10 decimet (dm) = 102 centimet (cm) =103 milimet (mm). Đơn vị đo diện tích Đơn vị thường dùng là mét vuông, kí hiệu m2. Bội số của mét vuông: Are (a), 1a = 102 m2. Hectare (ha), 1ha = 104 m2. Kilomet vuông (km2), 1km2 = 106 m2. Ước số của mét vuông: Decimet vuông (dm2), 1dm2 = 10-2 m2. Centimet vuông (cm2), 1cm2 = 10-4 m2. Milimet vuông (mm2), 1mm2 = 10-6 m2. Đơn vị đo góc Trong trắc địa thường dùng ba đơn vị đo góc là độ, grade và radian. Độ, (o), là góc ở tâm chắn cung có chiều dài bằng 1/360 chu vi đường tròn. Một góc tròn có 3600. Độ chỉ có ước số, các ước số là phút (’) và giây (”): 10 = 60’, 1’ = 60”. 11 Grade, còn được gọi là gon (g), là góc ở tâm chắn cung có chiều dài bằng 1/400 chu vi đường tròn. Một góc tròn có 400g. Grade chỉ có ước số, các ước số là centigrade (C) và centi-centigrade (cc). 1g = 100c, 1c = 100cc. Radian, (rad), là cung có chiều dài bằng bán kính đường tròn đó. Góc ở tâm chắn cung bằng 1 radian được gọi là góc 1 radian. Một góc tròn có 2ð rad. Quan hệ giữa các đơn vị đo góc 1 góc tròn = 3600 = 400g = 2 π rad. Đặt các hệ số: 1800/π = 57,29578 = ρo ρo.60 = 3438 = ρ’ ρ’.60 = 206265 = ρ” Là các hệ số chyển đổi giữa độ và radian. 2.1.2 Đặc điểm tính toán trong trắc địa Khối lượng tính toán trong trắc địa là rất lớn, thường sử dụng các kết quả đo đạc ngoài thực địa và hay gặp các phép tính với các số thập phân vô hạn. Trong các phép tính, nếu lấy sau dấu phảy quá nhiều chữ số sẽ làm việc tính toán nặng nề, tốn kém. Ngược lại, nếu lấy sau dấu phảy quá ít chữ số thì độ chính xác không đảm bảo và vô tình phủ nhận độ chính xác của công tác đo đạc ngoài thực địa, một công việc rất vất vả. Do vậy trong trắc địa có những nguyên tắc tính toán riêng nhằm thoả mãn yêu cầu của từng công việc, đặc biệt tránh ảnh hưởng của sai số tính toán. Làm tròn số: - Khi làm tròn, các số bỏ đi có giá trị nhỏ hơn 5 thì số trước đó giữ nguyên. - Khi làm tròn, các số bỏ đi có giá trị lớn hơn 5 thì số trước đó cộng thêm 1. - Khi làm tròn, các số bỏ đi có giá trị đúng bằng 5: + Số trước đó giữ nguyên nếu là chẵn + Số trước đó cộng thêm 1 nếu là lẻ. VD: 25.126 ≈ 25.12, 12.132 ≈ 12.13 45.125 ≈ 45.12; 36.135 ≈ 36.14. 12 Lấy đủ các chữ số cần thiết: Khi tính toán, kết quả tính cần lấy thêm sau dấu phẩy một chữ số so với kết quả đo. VD: đo khoảng cách chính xác tới cm, kết quả tính lấy tới mm đo góc chính xác tới giây, kết quả tính lấy tới 1/10 giây. Giá trị các hàm lượng giác thường là các số thập phân. Đối với từng công việc, số chữ số sau dấu phảy được lấy khác nhau. Trong trắc địa cao cấp, lấy 7 chữ số (có bảng tra hàm lượng giác 7 chữ số). VD: cos 30o12’23” = 0.8642187 Trong trắc địa công trình, lấy 5 chữ số (có bảng tra hàm lượng giác 5 chữ số). VD: cos 30o12’23” = 0.86422 Riêng đối với các hàm lượng giác của các góc nhỏ, chúng ta có thể tính: sinε = ε + ε3/3! + ε5/5! + … ≈ ε tgε = ε + ε3/3 + ε5/5 + … ≈ ε VD: sin 3” ≈ 3/206265 ≈ 0.0000145 rad 2.2 KHÁI NIỆM VỀ SAI SỐ ĐO 2.2.1 Khái niệm Đo đạc một đại lượng là đem so sánh nó với một đại lượng cùng loại được chọn làm đơn vị. Trong Trắc địa, có ba đại lượng đo cơ bản là khoảng cách, góc và độ cao. Khi đo đạc, do người đo, do môi trường, do dụng cụ mà các kết quả của các lần đo cùng một đại lượng có khác nhau, điều này chứng tỏ kết quả đo chứa sai số. Sai số thực () là độ lệch giữa giá trị đo (L) và trị thực (X) của đại lượng cần đo. =L–X (2.1) Nếu đo n lần trị thực X, ta được dãy n trị đo Li của cùng một đại lượng, tương ứng có các sai số thực i: i = Li - X (2.2) 13 Giá trị sai số  càng nhỏ, kết quả đo càng chính xác. Nghiên cứu các phương pháp đo, dụng cụ đo, phương pháp xử lý kết quả đo, … nhằm đạt kết quả đo chính xác theo yêu cầu cũng là nhiệm vụ của Trắc địa. Theo tính chất, theo quy luật mà sai số phân thành ba loại: sai số thô (sai lầm), sai số hệ thống, sai số ngẫu nhiên. 2.2.2 Phân loại sai số đo Sai số thô Sai số thô là các sai số có giá trị lớn, do thiếu cẩn thận, nhầm lẫn trong khi đo gây ra.. Ví dụ: khi đo cạnh, người đo đọc thước được 19.245m nhưng người ghi lại ghi thành 19.425m. Để tránh sai số này, trong quá trình đo phải cẩn thận, có người kiểm tra và đo nhiều lần. Sai số hệ thống Là sai số xuất hiện trong kết quả đo theo một quy luật nào đó do sự thiếu chính xác của dụng cụ đo, do thói quen của người đo, do ngoại cảnh thay đổi (nhiệt độ, độ ẩm,...). Ví dụ: sử dụng thước 20m để đo chiều dài, nhưng thực tế thước chỉ dài 19.995m, như vậy mỗi lần đặt thước sai 5mm. Sai số hệ thống có thể làm giảm hoặc loại trừ nếu chúng ta tìm ra quy luật của chúng. Sai số ngẫu nhiên Là sai số xuất hiện một cách ngẫu nhiên, không có quy luật xuất hiện và không biết giá trị của nó trong kết quả đo. Ví dụ: Khi đo khoảng cách bằng thước thép, do đặt đầu thước lệch khỏi điểm cần đo, do mắt người đo kém nên đọc thước không tốt, … là những nguyên nhân ngẫu nhiên gây nên sai số ngẫu nhiên. Sai số ngẫu nhiên không thể tránh được trong quá trình đo đạc. Đây là sai số chính mà Lý thuyết sai số nghiên cứu. Sai số ngẫu nhiên tuân theo luật phân bố chuẩn và có các tính chất:: 14 + Khi số lần đo là vô cùng, số lần xuất hiện của sai số ngẫu nhiên có giá trị dương xấp xỉ số lần xuất hiện của sai số ngẫu nhiên có giá trị âm. Lim    0 (2.3) n + Trong cùng điều kiện đo sai số ngẫu nhiên không vượt quá một giới hạn nào đó và sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ thì khả năng xuất hiện nhiều hơn sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối lớn. 2.3 CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ ĐO CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC 2.3.1 Sai số trung bình  n   Sai số trung bình được tính theo công thức: Trong đó: i i 1 n (2.4) i: sai số thực lần đo thứ i, n : số lần đo Ví dụ: Hai người cùng đo một đoạn thẳng với 9 lần đo và sai số thực của mỗi lần đo: Người A: 2, 3, -1, -2, -4, 1, -2, 3, 2 (mm) Người B: 1, 1, -5, 4, 2, -3, -2, 3, -1 (mm) Sai số trung bình của mỗi người là: A = 2.2mm B = 2.2mm 2.3.2 Sai số trung phương m Công thức Gauss tính sai số trung phương: m   n (2.5) Với ví dụ trên: mA = 2.4mm và mB = 2.8mm Ta thấy, qua sai số trung bình thì hai người đo chính xác như nhau, nhưng qua sai số trung phương người A đo chính xác hơn. Sai số trung phương khuếch đại được phạm vi biến động của sai số, do đó đánh giá độ chính xác tốt hơn sai số trung bình nên sai số trung phương thường được dùng để đánh giá độ chính xác. 15 2.3.3 Sai số xác suất p Nếu sắp xếp trị tuyệt đối của dãy sai số ngẫu nhiên theo thứ tự tăng dần thì sai số xác suất là: - Nếu số sai số là số lẻ: p   - Nếu số sai số là chẵn: 1 p    2 Với ví dụ trên: (2.6) n 1 2 n 2  n 1 2    (2.7) Người A: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4 pA = ± 2mm Người B: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 pA = ± 2mm 2.3.4 Sai số giới hạn f Là sai số mà các sai số ngẫu nhiên không vượt qua giá trị này, nếu vượt qua thì phải loại bỏ. Thông thường sai số giới hạn được chọn: f = 3m Trong trường hợp yêu cầu độ chính xác cao, sai số giới hạn được chọn: f = 2m 2.3.5 Sai số trung phương tương đối Khi đo khoảng cách, ngoài các tiêu chuẩn trên, còn sử dụng sai số trung phương tương đối 1/T, là tỷ số giữa sai số trung phương với kết quả của đại lượng đo: 1 m  T L (2.8) Ví dụ: có hai cạnh được đo với kết quả và sai số trung phương như sau: AB = 1000m, mAB = 10mm CD = 800m, mCD = 10mm Nếu sử dụng sai số trung phương, ta thấy hai cạnh đo chính xác như nhau. Sai số trung phương tương đối của hai cạnh lần lượt là: 1 10 1 1 10 1 ,     T 1000000 10000000 T 800000 8000000 Như vậy cạnh AB đo chính xác hơn. 16 2.4 SAI SỐ TRUNG PHƯƠNG CỦA HÀM SỐ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO Trong Trắc địa, có rất nhiều đại lượng cần tìm phải tính thông qua các đại lượng đo khác (đại lượng đo gián tiếp). VD1: Trong tam giác ABC, chỉ đo hai góc A và B, còn góc C được tính từ hai góc này: C = 1800 – (A + B) (2.9) VD2: Trong đo cao lượng giác (hình 2.1), để xác định độ cao h, ta đo khoảng h cách D và góc đứng V: h = DtgV V (2.10) D Hình 2.1 Đo cao lượng giác Để đánh giá độ chính xác của các đại lượng đo gián tiếp, phải thông qua hàm số lập được. 2.4.1 Sai số trung phương hàm số dạng tổng quát Có dãy trị đo Li độc lập nhau, của dãy trị thực Xi, ứng với sai số trung phương mi (i=1, 2, 3, …). Hàm F được xác định thông qua trị thực Xi: Hay: F = f(X1, X2,..., Xn) F + F = f(L1+1, L2+2,..., Ln+ n) (2.11) (2.12) Với F, I là các sai số thực tương ứng với hàm F và trị đo Li. Khai triển theo chuỗi Taylor và bỏ qua số hạng phi tuyến tính, nhận được: F  F  f(L 1 , L 2 ,..., L n )  Hay: F  F F F 1   2  ...  n L1 L2 L n F F F 1   2  ...  n L1 L2 Ln (2.13) (2.14) Chuyển sang sai số trung phương: m 2F  ( F 2 2 F 2 2 F 2 2 ) m1  ( ) m 2  ...  ( ) mn L1 L2 Ln (2.15) 17 Trong đó: F là đạo hàm riêng phần của hàm F với biến số Li. Li Xét hai ví dụ trên: A = 450 12’ 24”, B = 340 22’ 26”. Với sai số mA = mB = m = 3” VD1: các góc đo: Góc C tính được: C = 1800 – (A + B) = 1000 25’ 10” Độ chính xác mC2  m A2  m B2 , mC = 4.2”. VD2: Đo chiều dài D = 50.12m với độ chính xác mD = 0.02m. Và góc nghiêng V = 150 30’ 10” ; mV= 20”. Độ cao h = DtgV = 13.902m, Theo (2.15), độ chính xác: 2 2 2 2 2  h  2  h  mV  D  mV 2 2 m   ( tgV ) m   mD      D 2 2 2  D   V   "  cos V   " 2 h Thay số ta được: mh = 0.007 (m). 2.4.2 Sai số trung phương hàm số dạng đơn giản Hàm số dạng tổng đại số F = X1 + X2 + … + Xn Vì (2.16)   F 2 2 2 2 2  1 , theo (2.11): m F  m1  m2  ...  mn  m Li (2.17) Khi các đại lượng trong hàm (2.15) cùng độ chính xác (đo cùng điều kiện ngoại cảnh, cùng dụng cụ, cùng phương pháp), tức là: m1 = m2 = … = mn = m. thì: mF  m n (2.18) Hàm số của số trung bình cộng Số trung bình cộng: L L1  L2  ...  Ln L  n n Sai số trung phương của số trung bình cộng: m 2L  Nếu m1= m2 =... = mn = m thì: mL  (2.19) 1 2 1 1 m1  2 m 22  ...  2 m n2 2 n n n m n Như vậy, độ chính xác của số trung bình cộng tăng lên cộng là số đáng tin cậy nhất. (2.20) n lần, vì vậy số trung bình 18