Tài liệu Giáo trình toán cao cấp a2

BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn 2 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn TOÁN CAO CẤP A2 dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật. Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn, trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt. Nội dung cuốn sách là phần Đại số tuyến tính và Tính gần đúng, giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện. Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ [email protected] Xin chân thành cảm ơn. BỘ MÔN TOÁN 3 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 4 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN MỤC LỤC PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 3.1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I SỐ PHỨC TẬP HỢP ANH XẠ TẬP HỢP SỐ THỰC SỐ PHỨC BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I. Định nghĩa ma trận II. Phân loại ma trận III. Các phép toán về ma trận IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận ĐỊNH THỨC I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông II. Tính chất của định thức III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa II. Các định lý III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo HẠNG CỦA MA TRẬN I. Định nghĩa II. Phương pháp tìm hạng của ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính Trang 7 7 12 14 16 22 23 23 30 37 42 45 49 49 5 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 6 BOÄ MOÂN TOAÙN II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Phương pháp Cramer II. Phuơng pháp Gauss-Jordan III. Hệ thuần nhất HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GẦN ĐÚNG LÝ THUYẾT SAI SỐ I. Số gần đúng và sai số II.Sai số tính toán TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ I.Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm. II.Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I.Phương pháp hình thang. II. Phương pháp Simpson. BÀI TẬP CHƯƠNG IV ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 61 65 68 68 75 84 89 92 93 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN CHƯƠNG I SỐ PHỨC Tập R rất phong phú. Nhưng phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm là số thực. Vì vậy, người ta xây dựng thêm những số mới ,gọi là số phức. 1.1 TẬP HỢP I. Khái niệm về tập hợp. 1. Khái niệm. Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học, người ta không định nghĩa khái niệm tập hợp qua những khái niệm khác đơn giản hơn được. Để kí hiệu một tập hợp người ta dùng chữ cái in: A,B… Một vật, một đối tượng nằm trong tập hợp gọi là một phần tử của tập hợp, thường ký hiệu bằng chữ cái thường: a,b,c,… Để chỉ rằng x là một phần tử của tập hợp E, ta viết x ∈ E. Để chỉ rằng x là một phần tử không thuộc tập hợp E, ta viết x ∉E hoặc x ∉ E. Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp trống ( rỗng) kí hiệu ∅ 2. Các phương pháp biểu diễn một tập hợp : a. Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết 1 lần. 7 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM Ví dụ : {2,3, 4,7} b. Biểu diễn theo thuộc tính đặc trưng : Chỉ ra các đặc tính của tập hợp . Ví dụ : Tập hợp { 4 7 3 2 } A A = x x 2 + 2.x + 1 = 0 Hình 1-1 c. Biểu diễn theo giản đồ VENN: Minh họa tập hợp bởi 1 miền phẳng giới hạn bởi 1 đường cong hay đường gấp khúc kín. Xem hình 1-1. 3. Quan hệ giữa các tập hợp a) Tập con : Cho 2 tập hợp E, F .Nếu mọi phần tử của E đều là phần tử của F thì ta nói E bao hàm trong F hay E là tập con của F. F E Hình 1-2 Kí hiệu E ⊂ F . Minh họa hình học xem hình 1-2 b) Tập hợp bằng nhau: Hai tập E và F được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của E đều là một phần tử của F và ngược lại.Kí hiệu : E = F. 4. Một số tập hợp thường gặp. N : là tập hợp các số tự nhiên . 8 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM Z : là tập hợp các số nguyên. Q : là tập hợp các số hữu tỉ. R : là tập hợp các số thực. II. Các phép toán về tập hợp. 1. Phép hợp : B Hợp của 2 tập hợp A và B là một tập hợp các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B, A kí hiệu: A ∪ B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B} Hình 1-3 Minh họa hình học xem hình 1-3 2. Phép giao Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc phần tử chung của A và B, A B Kíhiệu: A ∩ B= { x x ∈ A ∧ x ∈ B} Minh họa hình học xem hình 1-4 Các tính chất cơ bản: - Tính chất 1 : Tính giao hoán : A∪ B = B∪ A ; - A ∩ B= B ∩ A Tính chất 2 : Tính kết hợp : A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C); A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C). 9 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM - Tính chất 3 : Tính phân bố : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . 3. Phép hiệu hai tập hợp Cho 2 tập A và B. Tập hợp gồm mọi phần tử của A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của tập A với tập B. Ký hiệu A\B= { x : x ∈ A vaø x ∉ B} . Minh họa hình học xem hình 1-5 4. Phần bù Tập hợp A ⊂ B, thì ta gọi tập B\A là tập bù của tập A đối với tập B. A B Hình 1-5 Ký hiệu là CBA. Hay A Minh họa hình học xem hình 1-6 B A Hình 1-6 10 A TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN III. Khái niệm về các kí hiệu lôgic 1. Mệnh đề toán học: là một khẳng định toán học chỉ có thể đúng hoặc sai. Để diễn tả các lập luận toán học một cách thuận lợi người ta sủ dụng các kí hiệu logic. 2. Các kí hiệu. Kí hiệu: A ⇒ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B. Kí hiệu : A ⇔ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B và ngược lại. Hay nói một cách khác là A và B là hai mệnh đề tương đương. Kí hiệu : = được hiểu là được định nghĩa. Kí hiệu ∀ x ∈ A: α nghĩa là với mọi x thuộc A mệnh đề α đươc thỏa mãn. Kí hiệu ∃ x ∈ A: α nghĩa là tồn tại phần tử x thuộc A mệnh đề α được thỏa mãn. Kí hiệu x : nghĩa là “không x ” . Ta có : ∀x ∈ E : α ⇔ ∃x ∈ E : α ∀y ∈ E : β ⇔ ∃y ∈ E : β 11 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 1.2 ÁNH XẠ. Mở đầu: Ánh xạ là một khái niệm rất quan trọng trong toán học. Ánh xạ dùng để khảo sát các tính chất, các mối quan hệ của một tập hợp và các phần tử của nó. I.Các định nghĩa 1. Định nghĩa ánh xạ: Anh xạ từ tập E vào tập F là một luật tương ứng sao cho với mỗi phần tử x∈E có một phần tử tương ứng xác định y ∈ F. Kí hiệu : f: E F ; E là tập nguồn ; F là tập đích. Phần tử y ứng với x được gọi là ảnh của x qua f kí hiệu y=f(x) hay x y=f(x); x y. Tập ảnh : f(E) = { y y = f ( x); x ∈ E} VÍ DỤ 1 : E = F = R; x ∈ R liên hệ với y ∈ R bởi y=x3 lá ánh R. Xác định bởi y=x3 xạ f: R R : xác định bởi y=x2. VÍ DỤ 2 : f: R { } VÍ DỤ 3 : E= x x ∈ R : x ≤ 1 ; F=2 ; x ∈ E liên hệ với y ∈ R theo qui luật y=cung có sin là x Là ánh xạ f: E Chẳng hạn x=1/2 ∈ E thì các cung π 6 R + k .2.π và 5.π + k .2.π 6 đều có sin là 1/2. 2. Đơn ánh. f:E F được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x’) , suy ra x = x’ Nghĩa là một phần tử y ∈ F là ảnh của nhiều nhất một phần tử x ∈ E. Hay phương trình f(x)=y; y ∈ F với ẩn x có nhiều là một nghiệm với mọi y. 12 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM VÍ DỤ: f : R BOÄ MOÂN TOAÙN R, xác định y=x3 là đơn ánh. Giải phương trình x2 = y ; y ∈R có 2 nghiệm khác nhau nếu y>0. 3. Toàn ánh . f:E F được gọi là toàn ánh nếu f(E)=F. Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của ít nhất một phần tử x∈E. Hay phương trình f(x)=y; y∈F có nghiệm với mọi y∈F. R, xac định y=x3 là toàn ánh còn f:R R xác VÍ DỤ : f : R 2 định y=x không phải là toàn ánh vì phương trình x2=y có nghiệm khi y ≥ 0. 4. Song ánh E F được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của một và chỉ một phần tử x∈E. Hay phương trình f(x)=y; có duy nhất một nghiệm. VÍ DỤ: f : R R, xác định y = 3x + 5 là 1 song ánh . 5.Anh xạ ngược. f: E → F là một song ánh thì y ∈ F có một phần tử duy nhất x ∈ E sao cho f(x)=y. Khi đó ánh xạ từ F → E gọi là ánh xạ ngược của f.Kí hiệu f -1. Vậy f-1 : F → E ⇒ f(x) = y ⇒ f-1(y) = x ; x∈E; y∈F VÍ DỤ: f: R → R xác định y=x3 ⇒ f-1 : R → R được xác định y∈R x= 3 y ∈R . II. Tích của hai ánh xa (ánh xa hợp) g:E → F ; f:F → G ; h: E → G xác định h(x) = f(g(x)) với mọi x thuộc E được gọi là ánh xạ tích. Kí hiệu h = f.g. Chú ý : f.g ≠ g.f 13 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 1.3. TẬP HỢP SỐ THỰC I. Khái niệm về số hữu tỉ – vô tỉ và số thực. 1. Số hữu tỉ là tất cả các số có thể viết dưới dạng tỉ số của 2 số nguyên kể cả số không. VÍ DỤ : 1/3 ; 6/7; 0,18 ….. Số hữu tỉ có thể viết thành một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn nhưng tuần hoàn. VÍ DỤ: 3 = 0, 75 4 4 = 1,33... 3 2. Số vô tỉ Một số có thể viết thành một phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. VÍ DỤ : π = 3,1415926...; 2 = 1, 414... Suy ra : số vô tỉ không thể là tỉ số của hai số nguyên. 3. Số thực là các số hữu tỉ và các số vô tỉ hợp lại. Ký hiệu R : là tập số thực II. Các định lí: Định lí 1 : Tập Q là đếm được Định lí 2 : Tập hợp tất cả các phân số thập phân vô hạn là không đếm được Hệ quả : Tập R không đếm được III. Khoảng số thực Cho a, b, ∈ R, a < b ta định nghĩa 14 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN [a,b] = {x∈ R : a ≤ x ≤ b } (a,b) = {x∈ R : a < x < b } [a,b) = {x∈ R : a ≤ x < b } (a,b] = {x∈ R : a < x ≤ b }. Cho x∈ R và ε > 0. Ta gọi Bε (x) = (x - ε, x + ε) là ε - lân cận của điểm x. Tập con E ∈ R gọi là mở nếu ∀x∈E, ∃ε > 0 : Bε (x) ⊂E. Với mọi a, b ∈R, a < b, ta có (a, b) là tập mở. IV. Trị tuyệt đối của số thực 1. Định nghĩa ⎧a a≥0 nếu a =⎨ −a < 0 ⎩−a 2. Các tính chấ: Tính chất 1 : Nếu x < a ⇔ -a < x < a. Tính chất 2 : Nếu x >b ⇔ x > b hoặc x< -b. Tính chất 3 : a+b ≤ a + b Tính chất 4 : a-b ≤ a − b Tính chất 5 : a.b ≤ a . b Tính chất 6 : a b = a b 15 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 1.4 SỐ PHỨC I. Định nghĩa số phức. 1.Định nghĩa 1 :(Dạng hình họccủa số phức) Số phức là một cặp số thực (a,b) a∈ R là thành phần thứ nhất. b∈ R là thành phần thứ hai. Tập tất cả các số phức kí hiệu là C. 2.Định nghĩa 2 (Về sự bằng nhau của hai số phức). ∀(a, b) ∈ C ∀(a ', b ') ∈ C : (a,b) = (a’,b’) ⇔ a=a’ ; b=b’. 3.Định nghĩa 3 : Dạng chính tắc của số phức. (Dạng đại số của số phức) z= a+b.i ; i2 = -1 ; a,b ∈ R a : gọi là phần thực ; a= Re (z). b: gọi là phần ảo ; b= im(z). i :đơn vị ảo. 4.Định nghĩa 4 : Số phức liên hợp của z=a+b.i là số phức z = a-b.i II. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng. Cho z= a+b.i . Trên mặt phẳng Oxy bằng điểm A(a,b) Nếu b = 0 ⇒ A ∈ Ox ⇒ z = a:số thực Nếu a= 0 ⇒ A ∈ Oy ⇒ z = b.i:số thuần ảo. Nối A với O ta được OA là biểu diễn hình học số phức đã cho. III. Dạng đại số của số phức. 1. Phép cộng và trừ. 16 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thì Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) +i. ( b1 + b2 ). Z1-Z2 = (a1- a2) + (b1-b2) .i. Đặc biệt ( a + i.b ) +(a-i.b) = 2.a. VÍ DỤ: (3 +2.i) +(5 – 4.i) = (3+5) + (2-4).i=8-2i VÍ DỤ: (3 +2.i) -(5 – 4.i) = (3-5) + (2+4).i.=-2+6i. VÍ DỤ: (3 +2.i) +(3 -2.i) = 2.3=6 2. Phép nhân số phức: Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thì Z1.Z2 = (a1.a2 – b1.b2) +(b1.a2+a1.b2).i . Đặc biệt : ( a+ i.b ).(a-i.b) = a2+b2. VÍ DỤ: (3 +2.i) .(5 – 4.i) = (3.5-2(-4) )+ (2.5+3.(-4)).i=23-2i VÍ DỤ: (3 +2.i) (3 – 2.i) = 9+ 4=13 3. Phép chia số phức. Z1 a1 + i.b1 ( a1 + i.b1 ) . ( a2 − i.b2 ) a1.a2 − b1.b2 a2 .b1 + a1.b2 = = = + .i Z 2 a2 + i.b2 a22 + b22 a22 + b22 a22 + b22 2 + 3.i (2 + 3.i )(4 + 5.i) 7 22 VÍ DỤ: = = .... = − + .i 4 − 5.i (4 − 5.i )(4 + 5.i ) 41 41 4.Phép lũy thừa: zn = z.z......z.z n lan VÍ DỤ TỔNG QUÁT : Tính S= (2.i + 1) 2 − (1 − i )3 (3 + 2.i )3 − (2 + i ) 2 BÀI GIẢI 17 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM Khai triển, rút gọn, nhân liên hợp, ta được: S= −1 + 6.i 264 − 30i 44 5 i = = − −12 + 42.i 1908 318 318 5. Phép khai căn bậc n: n z =ε nếu εn = z. IV. Dạng lượng giác của số phức 1. Định nghĩa : Cho z= a + i.b. Gọi r ≥ 0 và ϕ là tọa độ cực của A(a,b) đối với trục Ox và Oy r gọi la môđun của số z; ϕ gọi là acgumen của z Kí hiệu: z = a + i.b ϕ = Arg (a +i.b) ⇒ a= r cos ϕ ; b = r.sin ϕ Vậy dạng lượng giác của số phức là z = r ( cos ϕ + i.sin ϕ ) Ngược lại r = a 2 + b 2 ; tg ϕ = b/a. Chú ý: tg ϕ = b/a có 2 góc ϕ ta chọn góc ϕ sao cho sin ϕ cùng dấu với b. VÍ DỤ Viết số sau dưới dạng lượng giác: Z= 1+i. Ta có: r = 12 + 12 = 2 tg ϕ = 1/1 =1 chọn ϕ = π /4 vì b=1>0 Vậy dạng lượng giác của số phức Z = 1+ i là Z= 2 (cos π 4 +i.sin π 4 ) VÍ DỤ tương tự : 1 = 1. (cos 0+i.sin0); -1 =1. (cos π +i.sin π ) 18 BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM -i =1. (cos 3.π 3.π π π +i.sin ); i =1. (cos +i.sin ) 2 2 2 2 2.Các phép toán Cho Z1= r1.(cos ϕ 1+i.sin ϕ 1); Z2= r2.(cos ϕ 2+i.sin ϕ 2) a)Phép nhân Z1.Z2 = r1.r2.[cos( ϕ 1+ ϕ 2) +i.sin( ϕ 1+ ϕ 2)] Đặc biệt : Z1.Z1 = r12[cos2. ϕ 1 +i.sin2. ϕ 1] VÍ DỤ Cho Z1= 2 (cos π 4 Z1.Z2 = 2 .1[cos( Z1.Z1 = 2 . +i.sin π 4 + π 4 ) và Z2 =1. (cos 3.π 3.π +i.sin ) thì 2 2 3.π π 3.π )+i sin( + )] 2 4 2 2 [cos(2. π 4 )+i sin(2. π 4 )] b) Phép chia Z1 r1 = .[cos( ϕ 1- ϕ 2) +i.sin( ϕ 1- ϕ 2)] Z 2 r2 Đặc biệt: 1 1 = [cos(- ϕ 1) +i.sin(- ϕ 1)] Z1 r1 VÍ DỤ Cho Z1= 2 (cos π 4 +i.sin π 4 ) và Z2 =1. (cos 3.π 3.π +i.sin ) thì 2 2 Z1 2 π 3.π π 3.π .[cos( = ) +i.sin( )] Z2 1 4 2 4 2 19 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 1 1 π π [cos(- ) +i.sin(- )] = Z1 4 4 2 c) Phép lũy thừa Cho Z= r. (cos ϕ +i.sin ϕ ) thì Zn= rn. (cos .n. ϕ +i.sin.n. ϕ ) VÍ DỤ Cho Z= 2 (cos Z3 = π 4 +i.sin π 4 ) thì ( 2 ) . (cos .3. π4 +i.sin.3. π4 ) 3 Công thức Moivre: Từ Zn= rn. (cos ϕ +i.sin ϕ )n Và Zn= rn. (cos .n. ϕ +i.sin.n. ϕ ) ta có : (cos ϕ +i.sin ϕ )n = cos n ϕ +i.sin n ϕ Công thức đúng với mọi n ∈ Z. 3 VÍ DỤ π π⎞ π π ⎛ ⎜ cos + i sin ⎟ = cos 3. + sin 3. 4 4⎠ 4 4 ⎝ d) Phép khai căn : n z =ε nếu ε n = z. Giả sử : Z= r.(cos ϕ +i.sin ϕ ) ε = (cos θ +i.sin θ ) ⇒ ρ n(cos θ +i.sin θ )n = r.(cos ϕ +i.sin ϕ ) n ⇒ ρ (cosn θ +i.sinn θ ) = r.(cos ϕ +i.sin ϕ ) ⎡ρ = n r ⎡ρ n = r ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢θ = ϕ + 2.k .π ⎣ n.θ = ϕ + 2.k .π ⎢⎣ n Vậy : 20