Tài liệu Giáo trình giải tích 1 đh đông á ( www.sites.google.com/site/thuvientailieuvip )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1 LƯU HÀNH NỘI BỘ Đà Nẵng Môn: Giải Tích 1 CHƯƠNG.1. HÀM SỐ 1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1.1. Định nghĩa Cho hai tập khác rỗng X, Y ⊂ R, ánh xạ f : X → Y x ֏ y = f(x) được gọi là hàm số (một biến số) xác định trên X. X: Miền xác định của hàm số f(X) : Miền giá trị của hàm số x: biến độc lập (đối số) y = f(x) : hàm của biến độc lập. Tập hợp Gf = {(x,y) ∈ R2| x ∈ X, y = f(x)} được gọi là đồ thị của hàm f. 1.1.2. Hàm số hợp Cho X ⊂ R, Y ⊂ R, Z ⊂ R. Cho hàm số f : X →Y và g : Y → Z. Ánh xạ hợp của f và g là h = gof cũng là một hàm số và gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. h:X →Z x ֏ h(x) = g[f(x)] Ví dụ 1.1: X=Y=Z=R Cho hai hàm số f(x) = x2 + 2 , g(x) = 3x + 1. f[g(x)] = f(3x + 1) = (3x + 1)2 + 2 g[f(x)] = 3(x2 + 2) + 1 1.1.3. Hàm số ngược Cho song ánh f : X → Y (X, Y⊂ R). Khi đó ánh xạ ngược f-1 : Y → X được gọi là hàm ngược của hàm f. x = f-1(y) ⇔ y = f(x), x ∈ X, y ∈ Y. Người ta thường viết lại hàm ngựơc của hàm y = f(x) là y = f-1(x). Đồ thị của hai hàm số ngược đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ví dụ 1.2: Hàm y = 2x + 1 có hàm số ngược x = f-1(y) = y −1 x −1 hay y = . 2 2 1 Môn: Giải Tích 1 Ví dụ 1.3: Xét ánh xạ f: R → R x ֏ x2 * y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y vô nghiệm ⇒ f không là toàn ánh. * y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y có hai nghiệm x = ± y ⇒ f không đơn ánh. Vậy f không có hàm ngược. 1.2. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1.2.1. Hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) Miền xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc α * Với α ∈ N : Miền xác định R. * Với α ∈ Z- : Miền xác định R\{0}. * Với α là số hữu tỉ không nguyên hoặc là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét y = x tại mọi x > 0, tức miền xác định của hàm luỹ thừa này là R*+. α 1 x3 Chú ý: y = là hàm luỹ thừa với tập xác định R*+, không được lẫn lộn nó với hàm y = 3 x có tập xác định R. Đồ thị luôn đi qua điểm A(1, 1). Nếu α > 0 thì đồ thị đi qua O(0, 0) Nếu α < 0 thì đồ thị không đi qua O. Hình 1.1: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) 1.2.2. Hàm số mũ y = ax (a > 0 , a ≠ 1) Số a gọi là cơ số của hàm số mũ. • y = ax tăng khi a > 1 (đồng biến). 2 Môn: Giải Tích 1 • y = ax giảm khi 0 < a < 1 (nghịch biến). Đồ thị luôn đi qua điểm (0, 1). Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = ax 1.2.3. Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠ 1) Hàm y = logax là hàm ngược của hàm y = ax, nghĩa là y = logax ⇔ x = ay. Miền xác định D = R*+. • a > 1 hàm đồng biến. Với 0 < x ≤ 1 thì loga x ≤ 0. Khi đó: Với x ≥ 1 thì loga x ≥ 0. • 0 < a <1 hàm nghịch biến Với 0 < x ≤ 1 thì logax ≥ 0 Khi đó: Với x ≥ 1 thì loga x ≤ 0 Đồ thị luôn đi qua điểm (1,0) Đặc biệt logaa = 1 Nếu a = 10, ta viết log10x = lgx và gọi là logarit thập phân. Hai đồ thị y = ax và y = logax đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Hình 1.3: Đồ thị hàm số logarit y = logax 3 Môn: Giải Tích 1 1.2.4. Các hàm số lượng giác x ֏ sinx x ֏ cosx x ֏ tgx x ֏ cotgx Hình 1.4: Đồ thị hàm số lượng giác • Các hàm y = sinx, y = cosx có miền xác định là R, miền giá trị là [-1,1] tuần hoàn chu kỳ 2π. (Hình 1.4) π 2 • Hàm số y = tgx xác định tại mọi x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z Có miền xác định là R, tuần hoàn chu kỳ π. (Hình 1.5) • Hàm số y = cotgx xác định tại mọi x ≠ k π , k ∈ Z. Có miền xác định R, tuần hoàn chu kỳ π. (Hình 1.6) Hình 1.5: Đồ thị hàm số lượng giác tgx Hình 1.6: Đồ thị hàm số lượng giác cotgx 4 Môn: Giải Tích 1 1.2.5. Các hàm số lượng giác ngược • Hàm số y = arcsinx: + Miền xác định: + Miền giá trị: −1 ≤ x ≤ 1 π π ≤ y ≤ (hình 1.7) 2 2 Hình 1.7: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcsinx • Hàm số y = arccosx: + Miền xác định: −1 ≤ x ≤ 1 + Miền giá trị: 0 ≤ y ≤ π (hình 1.8) Hình 1.8: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcosx • Hàm số y = arctgx: + Miền xác định: R + Miền giá trị: - π π < y < (hình 1.9) 2 2 Hình 1.9: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arctgx • Hàm số y = arccotgx: + Miền xác định: R + Miền giá trị: 0 < y < π (hình 1.10) Hình 1.10: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcotgx 5 Môn: Giải Tích 1 1.2.6. Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hàm hằng. Ví dụ 1.4: π y = sin 8x + cos(2 x + ) + 3 4 Người ta đặc biệt chú ý đến hai loại hàm số: • Đa thức bậc n, n∈ N Pn(x)= ao + a1x + ...+ anxn, ai ∈R , an ≠ 0. • Phân thức hữu tỷ a + a x + ... + a n x n Pn (x ) = 0 1 Q m ( x) b 0 + b1x + ... + b m x m với m, n ∈ N 1.2.7. Hệ tọa độ cực Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định, gọi là cực và một véc tơ đơn vị OP , tia mang vectơ OP gọi là trục cực; hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực gọi là hệ tọa độ cực. Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi vectơ OM , nghĩa là xác định bởi góc, ϕ = (OP, OM ) và r = OM , ϕ = (OP, OM ) gọi là góc cực, r gọi là bán kính cực. Nếu 0 ≤ ϕ < 2π và r ≥ 0 , cặp số có thứ tự ( r , ϕ ) các tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng. 1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1.3.1. Định nghĩa Lân cận Cho xo ∈ R và δ > 0. Khi đó ta nói: + Khoảng (xo - δ, xo + δ) là δ-lân cận của điểm xo. 6 Môn: Giải Tích 1 + Khoảng (xo - δ, xo) là δ-lân cận trái của điểm xo. + Khoảng (xo, xo + δ) là δ-lân cận phải của điểm xo. + Tập hợp U chứa một δ-lân cận của điểm xo được gọi là một lân cận của điểm xo, kí hiệu: U(xo). Định nghĩa 1 Cho hàm f xác định trên một lân cận U(xo) (có thể trừ xo). Số L được gọi là giới hạn của hàm f khi x dần tới xo nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0, sao cho khi x ∈ U(xo), 0 < |x - xo| < δ thì |f(x) - L| < ε. Kí hiệu: lim f ( x ) = L. x→ xo Ví dụ 1.5: Cho f(x) = C, C là hằng số. Ta chứng minh: lim f(x) = C. x→ x0 Cho trước ε > 0, vì f(x) = C, ∀x nên với bất kỳ δ > 0, |x - xo| < δ luôn có: |f(x) - C| = |C - C| = 0 < ε. Vậy ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 2 (Giới hạn một phía) + Số L được gọi là giới hạn bên trái nếu ∀ ε > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho: xo − δ < x < xo ⇒ f ( x) − L < ε Kí hiệu: lim f ( x ) = L . x → x −0 + Số L được gọi là giới hạn bên phải nếu ∀ ε > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho: x o < x < x o + δ ⇒ f (x) − L < ε Kí hiệu là: lim f ( x ) = L. x → x 0+ Định lý: Điều kiện cần và đủ để lim f ( x ) = L là lim f ( x ) = lim f ( x ) = L. x → xo x → x 0− x → x0+ 1.3.2. Các phép toán về giới hạn Khi nói đến giới hạn của một hàm số, ta phải xét giới hạn đó khi x → xo hay x → ∞, mà ta thường gọi tắt là “trong một quá trình nào đó”. Định lí 1: a) b) Cho lim f1 ( x) = L1 ; lim f 2 ( x) = L 2 x→a lim Cf1(x) = CL1 x →a x→a với C là hằng số. lim (f1(x) + f2(x))= L1 + L2 x →a 7 Môn: Giải Tích 1 c) lim f1(x)f2(x) = L1L2. x →a f1 ( x ) L1 với L 2 ≠ 0 . = x → a f (x) L2 2 d) lim Nhận xét: Khi L1 = + ∞ ; L2 = - ∞ . Về mặt hình thức ta có dạng ∞ - ∞ đó là một dạng vô định, trong trường hợp đó lim (f1(x) + f2(x)) chưa khẳng định là có giới x →a hạn hay không. Trường hợp (c): Khi L1= 0 (L1= ∞ ), L2 = dạng 0. ∞ là một dạng vô định. ∞ (L2= 0) thì về mặt hình thức có Trường hợp (d): Khi L1=0 (L1= ∞ ), L2 = 0 (L2 = ∞ ) là dạng vô định ∞ . ∞ 0 hoặc 0 Khi gặp các dạng vô định tuỳ từng trường hợp để tìm cách khử dạng vô định. Ví dụ 1.6: Xét lim x →0 Có dạng lim x →0 1+ x −1 x 0 , nhân liên hiệp cả tử và mẫu với 1 + x + 1 0 1 1+ x −1 x = lim = x →0 2 x x ( 1 + x + 1) Định lí 2: Xét hàm hợp fou : x ֏ f[u(x)]. Nếu: Trong quá trình nào đó u(x) → uo f(u) xác định tại uo và lân cận của uo và lim f (u ) = f (u o ) thì trong quá trình ấy u →u 0 ta có lim f[u(x)] = f(uo) = f[lim u(x)]. Ví dụ 1.7: Xét lim (3x 2 − 2 x + 1) 20 x→2 Đặt u(x) = 3x2 – 2x +1 Ta có: lim u ( x ) = u ( 2 ) = 9 x→2 [ ] Suy ra lim(3 x 2 − 2 x + 1) 20 = lim [u ( x )]20 = lim u ( x) = 920 x→ 2 x →2 20 x→2 1.3.3. Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn Tiêu chuẩn 1: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn bất đẳng thức 8 Môn: Giải Tích 1 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , ∀ x ∈ (a, b). Khi đó, nếu lim f ( x ) = lim h( x) = L thì x→ xo x→ xo lim g ( x) = L. x→ xo Ví dụ 1.8: Chứng minh: lim x→0 sin x =1 x Xét đường tròn đơn vị x > 0. Ta có: S ∆ OAB < Squạt OAB < S ∆ OAM OA.OB.sin x OA2 .x OA. AM < < ⇔ 2 2 2 ⇔ OA 2 sin x < OA 2 .x < OA.OA. AM OA ⇔ OA2 sin x < OA2 .x < OA2 tgx sinx < x < tgx. Chia cho sinx x 1 < sin x cos x sin x ⇔1 > > cos x x sin x ⇔ cos x < <1 x ⇔ 1< Ta có: lim cosx = 1; x →0 lim 1 = 1 x →0 sin x = 1 ⇒ đpcm x →0 x ⇒ lim Ví dụ 1.9: 2 x  sin   1 − cos x 1 2  = 1 .1 = 1 lim = . lim 2 x→0 x → 0 x 2 2 2 x      2  Tiêu chuẩn 2: Xét hàm f xác định tại mọi x dương khá lớn trở đi. Giả sử: f(x) không giảm (không tăng) f(x) bị chặn trên (bị chặn dưới). Khi đó tồn tại giới hạn của f(x) khi x → +∞ (x → -∞). Ví dụ 1.10: 9 Môn: Giải Tích 1  1 Áp dụng tiêu chuẩn 2, ta chứng minh được sự tồn tại giới hạn của 1 +  khi  x x  1 x → + ∞ . Người ta đặt lim 1 +  = e .  x x → +∞  x  1  1 Tổng quát ta có: lim 1 +  = lim 1 +  = e  x  x → −∞ x  x → +∞  x x  1 lim 1 +  = e  n n→∞  n 1 α lim(1 + α) = e α →0  a   lim 1 + u ( x )→∞   u ( x )  u ( x) lim [1 + av ( x )] v ( x )→0 = ea (a ≠ 0) 1 v( x) = ea (a ≠ 0) 1.3.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn Vô cùng bé Định nghĩa lim f ( x) =0. Hàm f(x) được gọi là một VCB khi x → xo nếu x→ x o Ví dụ 1.11: Khi x → 0 thì sinx là VCB; x là VCB. So sánh các VCB Cho f1(x), f2(x) là các VCB khi x →xo. Khi đó: • Nếu lim x→ xo f 1 ( x) = 0 thì ta nói VCB f1(x) có bậc cao hơn VCB f2(x), kí hiệu: f 2 ( x) f1(x) = O(f2(x)). • Nếu lim x→ xo f 1 ( x) = c ≠ 0 thì ta nói hai VCB f1(x) và f2(x) ngang cấp, kí hiệu: f 2 ( x) f1(x) = O(f2(x)). Nếu c = 1 thì ta nói hai VCB f1(x) và f2(x) là hai VCB tương đương khi x → xo, kí hiệu: f1(x) ~ f2(x) Ví dụ 1.12: 10 Môn: Giải Tích 1 Khi x→ 0 thì 1 - cosx là VCB cấp cao hơn VCB x. Khi x → 0 thì 1 – cosx và x2 là hai VCB ngang cấp. Khi x → 0 thì sinx ~ x. Ta có các VCB tương đương sau: x2 ; ex - 1 ~ x ; ln(1 + x) ~ x. Khi x → 0: sinax ~ ax ; tgax ~ ax ; 1 - cosx ~ 2 0 0 f ( x) f ( x) • Nếu f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) khi x → xo thì lim = lim 1 . x→ xo g ( x) x→ xo g ( x ) 2 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao : giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → xo và f(x) bằng giới f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB. Khi đó giới hạn của tỉ số g(x) hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử và ở mẫu số. Ví dụ 1.13: sin 3x 3x = lim = 3/2 x →0 ln(1 + 2 x) x →0 2 x lim Ví dụ 1.14: lim x →0 x + sin 3 x + tg 5 x x = lim = 1/3. 2 6 x →0 3 x 3x + x + 9 x Vô cùng lớn Định nghĩa: Hàm f(x) được gọi là một VCL khi x → xo nếu lim f ( x ) = ±∞. x→ xo Ví dụ 1.15: Khi x → 0 thì 1 là VCL. x So sánh các VCL: Cho f1(x), f2(x) là các VCL khi x →xo. Khi đó: • Nếu lim x→ xo f 1 ( x) = ∞ thì ta nói VCL f1(x) có bậc cao hơn VCL f2(x) (f1(x) tiến tới f 2 ( x) ∞ nhanh hơn f2(x)). • Nếu lim x→ xo f 1 ( x) = c ≠ 0 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) ngang cấp. f 2 ( x) Nếu c = 1 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) là hai VCL tương đương khi x → xo, kí hiệu f1(x) ~ f2(x). 11 Môn: Giải Tích 1 ∞ : ∞ f ( x) f ( x) • Nếu f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì lim = lim 1 . x→ xo g ( x) x→ xo g ( x) 1 Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp: Nếu f(x), g(x) là hai VCL trong cùng một quá f(x) trình, f(x) và g(x) đều là tổng của nhiều CVL thì giới hạn của tỉ số là giới g(x) hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất ở tử và mẫu số Ví dụ 1.16: 5 5x 5 x 4 + 3x 2 − 2 x = lim 4 = . 4 3 2 x →∞ 2 x + x − 6 x →∞ 2 x 4 lim 1.3.5. Các dạng vô định và cách khử * Dạng 0 0 Cách 1: • B1: Làm xuất hiện thừa số đồng dạng "x - a" khi x → a, hoặc "x" khi x → 0 hay x → ∞. • B2: Giản ước các thừa số đồng dạng đó và tiếp tục tìm giới hạn. Ví dụ 1.17: 2 x 2 − 3x + 1 (x − 1)(2x − 1) 2x − 1 = lim lim 2 = lim = 1/5. x →1 x + 3 x − 4 x →1 ( x − 1)(x + 4) x →1 x + 4 Cách 2: Dùng VCB tương đương. Ví dụ 1.18: lim x →2 tg5(x − 2) 2 x −4 5(x − 2) 5 = x → 2 ( x − 2)(x + 2) 4 = lim Cách 3: Đặt ẩn phụ. Ví dụ 1.19: 1 − sin lim x →π π −x x 2 Đặt t = π - x thì x = π -t ; x → π thì t → 0. Khi đó: x t 1 − cos 2 = lim 2 = − lim lim x →π π − x t → 0 (− t ) t →0 1 − sin t2 8 = 0. t 12 Môn: Giải Tích 1 * Dạng ∞ ∞ Cách 1: • B1: Làm xuất hiện thừa số đồng dạng "x - a" khi x → a, hoặc "x" khi x → 0 hay x → ∞. • B2: Giản ước các thừa số đồng dạng đó và tiếp tục tìm giới hạn. 28 3 (2 x + 3) 2 (3x − 2) x 3 (12 + + ) x x2 x →∞ 12 x 3 + 5 =1 = lim 5 x →∞ 3 x (12 + ) x3 lim Ví dụ 1.20: Cách 2: Dùng VCL tương đương. Ví dụ 1.21: lim x → −∞ x2 +1 x +1 Khi x → -∞ thì lim x → −∞ x 2 + 1 ~(-x) ; x + 1 ~ x. Do vậy: x2 +1 (− x ) = lim = −1 . x +1 x → −∞ x * Dạng ∞ - ∞, 0.∞ Đưa về dạng vô định cơ bản 0 ∞ , . 0 ∞ Ví dụ 1.22: lim ( Tìm x→0 Ta có: 1 1 − ) sin x tg x 1 − cos x 1 1 − = sin x tg x sin x 1 2 x  1 1   = lim = 2 ⇒ lim  − =0 x → 0 sin x tgx  x → 0 x  Vì khi x → 0 thì 1 - cos x ~ 1 2 x , sinx ~ x. 2 * Dạng 1∞ Ví dụ 1.23: 1 Tính lim(1 + 3x) sin 2 x x →0 13 Môn: Giải Tích 1 lim(1 + 3x ) 1 sin 2 x x →0   = lim(1 + 3x )    1 3x 1 3x sin x 3x =3 x →0 sin x Ta có lim(1 + 3x ) 3 x = e và lim x →0 lim(1 + 3 x) Vậy 1 sin 2 x x →0 = e3/2 1.4. HÀM LIÊN TỤC – TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN TỤC 1.4.1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho f xác định trên (a, b) và xo ∈ (a, b). Nếu lim f ( x ) = f(xo) thì ta nói hàm f x→ xo liên tục tại điểm xo. xo : điểm liên tục của hàm f. Những điểm mà tại đó hàm f không liên tục thì được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f. Định nghĩa 2 Cho hàm f xác định trong một lân cận trái (xo- δ, xo) của điểm xo. Khi đó nếu lim f ( x ) = f(xo) thì ta nói hàm f liên tục trái tại xo. x → xo − Định nghĩa 3 Cho hàm f xác định trong một lân cận phải (xo, xo + δ) của điểm xo. Khi đó nếu lim f ( x ) = f(xo) thì ta nói hàm f liên tục phải tại xo. x → xo + Định nghĩa 4 • Hàm f liên tục trên (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc (a, b). • Hàm f liên tục trên [a, b] nếu f liên tục trên (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Nhận xét: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó. Ví dụ 1.24: Xét tính liên tục của hàm số sau:  sin x  f ( x) =  x a  Ta có: x ≠0 tại x = 0. x=0 lim f ( x ) = 1 và f(0) = a x →0 + Nếu a ≠ 1 thì f(x) không liên tục tại x = 0. 14 Môn: Giải Tích 1 + Nếu a = 1 thì f(x) liên tục tại x = 0. Ví dụ 1.25: Xét tính liên tục của hàm 1  x cos x≠0 f (x) =  x  0 x=0 1 Với x ≠ 0 thì f(x) = xcos luôn xác định nên nó liên tục tại mọi điểm x ≠ 0. x Với x = 0: Ta có: f(0) = 0 lim f ( x ) = lim x cos x→0 x→0 1 = 0 . Vậy lim f ( x ) = f (0) , tức là hàm f liên tục tại x = 0. x →0 x Vậy hàm f đã cho liên tục trên R. * Một số giới hạn: + Với m > 0: lim x m = +∞, x → +∞ + Với a > 1: lim a x = +∞, x → +∞ + Với 0 < a <1: 1 =0 x → +∞ x m lim lim a x = 0 x → −∞ lim a x = 0, x →−∞ lim a x = +∞ x →−∞ + Hàm số logax có giới hạn vô hạn khi x → 0 + và khi a 0 + a 1 x + ... + a n x x → ±∞ b + b x + ... + b x m 0 1 m n + + lim 0  a = n bn ∞ x →+∞ khi n < m, khi n = m, khi n > m log a (1 + α ) = log a e α →0 α lim ln(1 + α) =1 α →0 α + lim + a α −1 = ln a α →0 α lim 1.4.2. Các tính chất của hàm liên tục Định lí 1 (Định lí Wierstrass) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên trên đoạn đó, nghĩa là tồn tại x1, x2 ∈ [a, b] sao cho: m = f(x1) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b] M = f(x2) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b] 15 Môn: Giải Tích 1 Định lí 2 Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và µ là một giá tri trung gian giữa m và M thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho f(c) = µ. Định lí 3 Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0. BÀI TẬP 1/ Tìm các giới hạn x n −1 x →1 x m − 1 3 b) lim a) lim c) lim x →+∞ x →0 x+ x x +1 1+ x − 5 1+ x x d) lim ( x + x − x ) x → +∞ 3 2 − 3 ) e) lim( x →1 1 − x 1− x x2 +1 + x f) lim x →+∞ 4 x3 + x − x 2/ Tìm các giới hạn: a) lim x→0 tgx 2 b) lim x→ 0 cos x − cos 3x x →0 x2 1 − cos x cos 2 x x →0 1 − cos x c) lim e) lim x→0 sin mx (m, n∈ Z+) sin nx d) lim arctgx x f) lim x →0 tg 6 x sin 2 x ln(1 − 4x ) x →0 tg8x 9 − x2 g) lim x → 3 sin 6( x − 3) h) lim 3/ Tìm các giới hạn 1− x 1− x  1 + x  1+ x a) lim  x →0 2 + x    1 + x  1− x b) lim   x → +∞ 2 + x   1− x  x + 1  1− c) lim   x → +∞ 2 x + 1   e) lim (1 + sin x )  x 2 −1  d) lim  2  x →+∞ x + 1   x x2 1 1 x  cos x  x 2 f) lim  x →0 cos 2 x   x →0 4/ Xét sự liên tục của các hàm số x2 − 4 a) f(x) =  x − 2  4  khi x ≠ 2 khi x = 2 1   x sin b) f(x) =  x 0 khi x ≠ 0 khi x = 0 16 Môn: Giải Tích 1 x 2 c) f(x) =  2 − x 2 khi x ≤ 1 khi x > 1  πx khi x ≤ 1 cos 2 d) f(x) =   x − 1 khi x > 1  2 x khi 0 ≤ x ≤ 1 e) f(x) =   2 − x khi 1 < x ≤ 2 5/ Tìm k để hàm số f(x) liên tục trên R  sin 3x  a) f(x) =  x  k khi x ≠ 0 khi x = 0 e x khi x < 0 b) f(x) =  x + k khi x ≥ 0 17 Môn: Giải Tích 1 CHƯƠNG.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM – CÁC PHÉP TÍNH CỦA ĐẠO HÀM – ĐẠO HÀM CẤP CAO 2.1.1. Định nghĩa đạo hàm Định nghĩa: Giả sử f là một hàm số xác định trên khoảng (a,b), xo ∈(a,b). Nếu tồn tại: f (x) − f (x 0 ) ∈ R x→x0 x − x0 lim thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, và được kí hiệu là f ’(xo). Hàm số f có đạo hàm tại điểm xo được gọi là khả vi tại điểm xo. Cách tính đạo hàm theo định nghĩa: − Cho đối số một số gia ∆x , tính số gia ∆ y của hàm số: ∆x = x - xo ∆x = f(x + ∆x ) - f(x) − Tính tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số ∆y ∆x ∆y ∆x → 0 ∆ x − Tìm giới hạn của tỉ số nói trên khi số gia của đối số dần tới 0: lim Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 ∆ y = f(x + ∆x ) - f(x) = (x + ∆x )2 - x2 = 2x ∆x + ( ∆x )2 ∆y 2 x ∆x + ( ∆x ) 2 = = 2x + ∆x ∆x ∆x ∆y = lim ( 2 x + ∆x ) = 2 x ∆x →0 ∆x ∆ x →0 lim Ta có thể viết (x2)' = 2x Đạo hàm một phía Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng [x0,b]. Nếu tồn tại lim+ x→x0 f (x ) − f (x 0 ) ∈R x − x0 thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 được kí hiệu là hay f ' ( x 0 + 0). f +' ( x 0 ) 18 Môn: Giải Tích 1 Đạo hàm trái của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự. Đạo hàm trái của f tại điểm x0 được kí hiệu là f −' ( x 0 ) hay f ' ( x 0 − 0). Hiển nhiên hàm số f: (a,b) → R có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a,b) khi và chỉ khi nó có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x0 và f +' ( x 0 ) = f −' ( x 0 ). Ý nghĩa hình học Giả sử Mo(x0,f(x0)) và M(x,f(x)) là hai điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số f. Nếu f (x) − f (x 0 ) là hệ số góc của đường thẳng MoM. Hàm số f có đạo x ≠ xo thì tỉ số x − x0 hàm f’(xo) tại điểm xo khi và chỉ khi (C) có tiếp tuyến tại điểm Mo với hệ số góc f’(xo). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f tại điểm Mo là: y – y0 = f’(x0)(x – x0). f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) = f ' (x 0 ) ∆x → 0 ∆x Biểu thức định nghĩa có thể viết dưới dạng: lim Dùng liên hệ giữa giới hạn và vô cùng bé có thể biểu diễn hệ thức định nghĩa khả vi dưới dạng: f (x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) = f ' (x 0 )∆x + o(∆x) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm Từ định nghĩa đạo hàm có thể nói hàm f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi ở lân cận của x0 hàm f(x) có thể thay bằng hàm bậc nhất: f ( x) = f ( xo + ∆x) ≈ f ( x0 ) + A∆x = f ( x0 ) + A( x − x0 ) Nếu ta coi y = f(x) là phương trình chuyển động thẳng theo thời gian x, thì ∆y là đoạn đường đi được trong khoảng thời gian ∆x từ thời điểm x0 đến thời điểm x0 + ∆x ∆y chính là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian đó. và tỉ số ∆x ∆y Gọi lim là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm a (nếu giới hạn tồn tại ∆x → 0 ∆ x hữu hạn). 19