Giao thoa Coulomb - Hadron trong mô hình eikonal

  • Số trang: 52 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 70 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ======o0o====== CAO THỊ NGUYỆT GIAO THOA COULOMB –HADRON TRONG MÔ HÌNH EIKONAL LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2012 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------- CAO THỊ NGUYỆT GIAO THOA COULOMB–HADRON TRONG MÔ HÌNH EIKONAL Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS: NGUYỄN NHƢ XUÂN Hà Nội – 2012 2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB. 1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác.................................................. 6 1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal.................................................................... 7 CHƢƠNG 2 : HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ. 2.1. Hệ số dạng điện từ và công thức cho pha…………………................................ 11 2.2. Hệ số dạng khi xung lượng truyền rất nhỏ……….............................................. 13 CHƢƠNG 3 : PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB CẢI BIẾN 3.1. Phép khai triển Born eikonal………………………........................................... 16 3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm hệ số dạng.......................................................... 17 KẾT LUẬN.................................................................................................................. 22 PHỤ LỤC A. PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS…...................................... 23 PHỤ LỤC B. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH 26 SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ................................................. B.1. Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần..................................................... 26 B.2. Phương pháp hàm Green..................................................................................... 34 B.3. Phương pháp chuẩn cổ điển................................................................................ 41 B.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ sóng riêng phần về biên độ tán xạ eikonal....... 43 B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal....... 43 B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần....... 44 B.5 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ.............................. 45 PHỤ LỤC C. HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLON…………………………. 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 48 3 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết tán xạ tồn tại các bài toán, hạt thực tế tham gia đồng thời hai hay nhiều tương tác khác nhau. Ví dụ, trong tương tác hạt nhân của các hạt mang điện, ngoài tương tác hạt nhân, cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va chạm [2]. Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu được công thức cho tán xạ thế, với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân [17]. Biên độ tán xạ đàn tính được ký hiệu bằng F C  N và có thể biểu diễn một cách hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [17]: F C  N  F C  F N ei . (0.1) trong đó F C - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb, F N - biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan với tương tác mạnh),   1/137,036 là hằng số cấu trúc,  là pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng tương tác Coulomb tầm xa. Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [17]   2ln 1,06 / qa  . (0.2) trong đó q là xung lượng truyền, còn a là tham số đặc trưng cho tương tác tầm xa của hạt nhân. Công thức (0.2) đã được các nhóm thực nghiệm sử dụng để đánh giá phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trước. Phần thực của biên độ tán xạ cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [16], hay dáng điệu tiệm cân khả dĩ của tiết diện tán xạ toàn phần [10], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tương tác mạnh. Những tiến bộ trong khoa học công nghệ đã cho ra đời các máy gia tốc năng lượng cao cung cấp cho chúng ta cơ hội nghiên cứu bằng thực nghiệm các quá trình tán xạ đàn tính pp và pp ở năng lượng khối tâm ngày càng cao, đặc biệt là xác định tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình này, liên quan đến phần ảo của biên độ tán xạ trước và tỉ số giữa phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ, được suy ra từ các 4 định lý quang học. Lưu ý rằng, tiết diện tán xạ có thể suy ra được từ các nguyên lý cơ bản của lý thuyết tán xạ lượng tử và có thể dễ dàng so sánh với thực nghiệm [28]. Để xác định biên độ tán xạ phía trước thông thường người ta sử dụng sự giao thoa với biên độ giao thoa Coulomb. Nếu tiến hành chuẩn hóa biên độ tán xạ Coulomb theo công thức d   2 . dt sp cm (0.3) thì biên độ tán xạ Coulomb (cho các hạt tích điện cùng dấu) là Fc   s q2 . (0.4) với q là xung lượng truyền khối tâm. Nếu chúng ta giả thiết xung lượng này là nhỏ thì có thể coi rằng năng lượng tán xạ pp và pp tại mọi điểm là rất cao: s  M p2 . Chúng ta cũng xét quá trình tán xạ hạt – hạt trước, sau đó sẽ ngoại suy ra kết quả đối với quá trình tán xạ giữa hạt và phản hạt. Trong vùng xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ cổ điển có thể được tham số hóa dưới dạng: F N  Ae Bq 2 /2 . (0.5) trong đó : B  1015 GeV 2 . Theo định lý quang, biên độ tán xạ toàn phần bằng:  TOT  4 pcm s ImFN  q  0  . (0.6) Với năng lượng siêu cao, tiết diện tán xạ toàn phần xấp xỉ 40 mb thì Im A  4GeV 2 s khi đó biên độ tán xạ đàn tính Coulomb và hadron gần bằng xung lượng truyền q 2   4 GeV 2 . Phần lớn, biên độ tán xạ này là thuần ảo. Từ việc xác định sự giao thoa giữa biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hadron, chúng ta có thể thu được pha giao thoa của 2 quá trình này. Biểu thức (0.4) mô tả biên độ tán xạ Coulomb một cách đơn giản ở gần đúng Born. Tuy nhiên, thực tế biên độ tán xạ Coulomb được đặc trưng bởi pha Coulomb 5 liên quan đến bản chất của lực Coulomb. Hơn nữa nó cũng không thực sự mô tả đúng được biên độ tán xạ giao thoa Coulomb và hadron. Nó chỉ biểu diễn các biên độ tán xạ đơn lẻ cho từng loại tương tác. Biên độ tán xạ Coulomb ở vùng xung lượng truyền nhỏ và biên độ tán xạ hadron ở vùng xung lượng truyền lớn. Thậm chí trong vùng tương tác mạnh của các hadron, việc tìm biên độ tán xạ của chúng liên quan đến bài toán trao đổi giữa các photon “mềm” có xung lượng ảo. Rõ ràng là có sự ảnh hưởng của tương tác điện từ đến biên độ tán xạ các hadron. Giao thoa Coulomb trong chất hạt nhân cũng đã được West và Yennie [17] xem xét lại không dựa trên lý thuyết tán xạ thế mà hoàn toàn dựa vào giản đồ Feynman trong lý thuyết trường lượng tử. Họ đã thành công trong việc tìm ra biểu thức tổng quát cho biểu thức của pha  theo các số hạng của biên độ tán xạ đàn tính các hadron: W-Y   ln s q2 dq '2  F N (q '2 )    '2 1 . s 0 | q  q 2 |  F N (q 2 )  (0.7) Bằng cách tham số hóa thích hợp cho biên độ tán xạ hadron dưới dạng: F N  exp(-Bq2 / 2 ) , suy ra: W Y   ln  Bq 2 / 2     O  Bq 2  . (0.8) với   0, 577... là hằng số Euler. West và Yennie cũng đã xem xét một vài vấn đề khác của bổ chính tương tác điện từ với tương tác mạnh của các hadron. Họ xét đến sự bức xạ các photon thực một yếu tố quan trọng trong tán xạ  p nhưng lại bỏ qua vấn đề này trong tán xạ pp. Các giản đồ Feynman được họ xem xét, chỉ bao gồm các thế phân kỳ hồng ngoại và họ nhấn mạnh rằng có thể bỏ qua các giản đồ này vì nó chỉ cho sự đóng góp vào pha  mà thôi. Một điểm cần lưu ý nữa là cần phải tính đến sự đóng góp của giản đồ phân cực chân không đối với lực tương tác Coulomb [4]. Nó dẫn đến sự phụ thuộc của hằng số tương tác điện từ vào bình phương xung truyền q2 :   (q 2 )   1    q2  ln . 3 4me2  6 (0.9) Kết quả này sẽ làm tăng khoảng 50% giá trị hằng số tương tác  trong khoảng q2 được quan tâm. Mục đích của Luận văn Thạc sỹ khoa học sẽ xem xét lại vấn đề này kèm theo việc xác đinh lại pha  trong khuôn khổ mô hình eikonal. Nó sẽ cung cấp toàn bộ bức tranh vật lý của quá trình tán xạ và đưa ra cách nhìn hơi khác biệt so với các tính toán của West và Yennie [8]. Bản luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu dẫn và các phụ lục. Chƣơng 1: Mô hình eikonal và giao thoa Coulomb. Ở đây ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1 ta tính biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal ở đây ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb. Chƣơng 2: Hệ số dạng điện từ . Để vấn đề giao thoa Coulomb được hiểu rõ hơn, trong chương này chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của nuclon. Về mặt vật lý, thì nuclon ở đây không phải là hạt điểm như quan niệm trước đây, mà nó có cấu trúc. Cấu trúc này được xác định bằng các hệ số dạng điện từ ( bao gồm hệ số dạng điện và hệ số dạng từ, xem trong phụ lục C). Trong Luận văn này ta bỏ qua spin của hạt, nên các hệ số dạng điện từ đơn giản chỉ còn là một hàm số. Trong mục 2.1 nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng điện từ, và ta thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng được xem xét ở mục 2.2. Chƣơng 3: Pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến. Kể hệ số dạng của nuclon sẽ làm thay đổi biên độ tán xạ Coulomb. Ở đây ta xem xét phép khai triển hỗn hợp Born – eikonal cho biên độ tán xạ và tính pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến. Trong mục 3.1 ta xem xét phép khai triển hỗn hợp Born – eikonal cho biên 7 độ tán xạ và cụ thể hóa trong trường hợp hoàn toàn Coulomb. Việc kể thêm bổ chính của hệ số dạng của hạt và tìm biểu thức cho pha sẽ được xem xét ở mục 3.2. Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận việc mở rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán trong lý thuyết trường lượng tử. Phần phụ lục A sẽ đưa ra một số tính toán bổ sung cho pha khi biên độ tán xạ ở dạng Gauss. Trong phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên độ tán xạ từ các cách giải khác nhau phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử. Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ  x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x  thì các véctơ tọa độ hiệp biến  x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  , trong đó g   g  1 0 0 0    0 1 0 0     0 0 1 0     0 0 0 1 Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. 8 Chƣơng 1 MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1 ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb được trình bầy ở mục 1.2. 1.1. Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tƣơng tác. Mô hình eikonal được thuận tiên sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ   b  sẽ chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ. F  q2     s 2 iq .b e2i (b )  1 . d be  4 i (1.1) Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao tổng quát, với ý nghĩa, nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học của quá trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha  (b) . Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của khối tâm. Ở năng lượng siêu cao pha  (b) được xác định bởi biểu thức:  b  1 d 2 s  2 qeiq.b FBorn  q 2  . (1.2) Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc s của biên độ tán xạ Born. Khi đó, biên độ tán xạ eikonal ở vùng năng lượng lớn là: Feik  q 2   s d 2beiq.b e2i (b )  1 .  4 i (1.3) Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal,  C và  N , tương ứng với 2 quá trình tán xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là: F N C  q 2   s 2 iq.b  2i ( C ( b )  N ( b )) d be e  1 .   4 i  9 (1.4) Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng: F C  q2   s 2 iq.b  2i C ( b ) d be e  1 .   4 i  (1.5) Cón nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ các hadron trong hạt nhân: F N  q2   s 2 iq.b  2i N ( b ) d be e  1 .   4 i  (1.6) Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ (1.4) dưới dạng F N C  b   F C  q 2   F N  q 2   C N s d 2beiq.b e2i (b )  1 e2i (b )  1     4 i   c N i q  q' .b s 2 iq' b  2i  b  e   e2i b  1  F q   F q   d be e  1      4 i    C 2 N 2  F C  q2   F N  q2    (1.7)  2 i d 2 q ' F C  q '2  F N q  q '  .  s Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán xạ các nuclon trong hạt nhân khi có sự trộn lẫn cả 2 loại tương tác, tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân. 1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal. Để có thể áp dụng biểu thức này cho các bài toán về sau, chúng ta cần lấy biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng eikonal. Từ biểu thức (1.2) và (0.4), chúng ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ  để khử phân kỳ hồng ngoại:  C b   1 d 2 s  2   s  qeiq.b  2 2  q   (1.8)    1  1   d 2 qeiq.b  2   K 0 (b )   ln  b     O(b )  . 2   2  2    q   các số hạng dạng O(b ) có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ tiến tới không. Như vậy thay (1.8) vào (1.5) ta có: F C  q   4 i  d be 2 s 2  iqb  2i ln  12 b    e      1   10    s 2 i qb   e   d be   4 i   2q  2 i  bq  2 i   1  (1.9)    e 2i  s 2 i   dbbJ 0  qb   bq  1     2i 0  2q   . Sử dụng công thức tích phân sau [10]:  1      2    dx x J ( x )  2 . 0 0  1      2   ( 1.10) Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc nhất của hằng số tương tác :    e  dbbJ qb   0 0  2q  1   e   2  q  2q  2 i 22i 1 2i  bq  2 i 1   e   2  q  2q  2i   d  qb bq  J 0  qb  đ (1  i ) . (1  i ) s   e  1 2i (1  i ) s ieikC ( q2 ) F (q )  2   e .   2iq 2  2q  (1  i ) q2 C 2 i 1 2 (1.11) với  2  . 2  q  C eik (q 2 )  ln  (1.12) Do tính kì dị của F C (q 2 ) tại q 2  0 vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như sau: F N C N ' 2   i i   2 ' C '2 2 C '2  F ([q  q ] ) (q )  F (q )  F (q ) 1  d ( q ) F ( q )  d F ( q )  1    N 2   s  s   F (q )   2 C 2 N 2 (1.13) Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho   0 . Tóm lại chúng ta có thể viết: 11  s ieikc  q2  e  F N  q2   2 q F N C  q 2     N    '  2    F  q  q    c '2    i  s  ieikc  q' 2  i    2 ' 2 '   s  ieik  q     1  d q  '2 e  d q  '2 e  1  2 2    s F N q   q    q   s         N    '  2    i 2   F   q  q      s  s   q  i  i c  q2  i    1 2 ' 2 '   s   2  F N  q 2  e eik  d q  d q   '2  '2   2 2   '2    N q s s F q   q    q   q       F N C (q 2 )eieik ( q )   C 2 s q2 i Q   i C ( q2 ) i Q  s   q2  i  s   F N (q '2 )   2 ' 2 ' eik  F ( q ) e  d q   d q  1       '2 2 '2 ' 2  N 2 s  s   q    q   [q  q ]   F (q )    N (1.14) 2 Trong biểu thức này chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để nhằm khử các phân kỳ xuất hiện khí lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung lượng q2 lớn. Sau khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn Q2   sẽ thu được biểu thức hữu hạn. Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14) là: e   c  ieik q2  2   2  q  i  2  i  s   q 2  2 '  d q     2  '2 2  '2 s   q    q  q   i  Q2   2  q   i  2   2  q   i  Q2   2  q   i  i   i  1  i ln q  2 i d 2 q ' q '2 Q2 . q2  2  i 1 (1.15) Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là: F N C q  e 2 C  ieik ( q2 ) Q    F N (q '2 )   Q2 1    2  F  q  1  i ln 2  i  dq '2 2  1  .(1.16) '2  N 2 q q | q  q |  F (q )     0  s N 2 chú ý rằng: 2 1  d 2qq cos   q ' 0 '2  2 . | q  q '2 | (1.17) 2 Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So sánh biểu thức (1.16) và (0.5), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng: 12 eik Q 2   F N (q '2 )   1  Q  '2  lim ln  dq  1   2 2 '2  N 2  2 Q  | q  q |  F (q )   0   q  eik Q   F N (q '2 )   q2 1   '2  lim  ln  dq  1   2 2 '2  N 2  2 Q  Q | q  q |  F (q )   0    2 2 (1.18) Kết quả này phù hợp với kết quả thu được (0.7) của West và Yennie bằng phương pháp sử dụng giản đồ Feynman. 13 Chƣơng 2. HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ Để bài toán giao thoa Coulomb hiện thực tốt hơn, trong chương này chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của proton. Về mặt vật lý, thì proton ở đây không phải là hạt điểm như quan niệm trước đây, mà nó có cấu trúc. Cấu trúc này được xác định bằng các hệ số dạng điện từ (bao gồm hệ số dạng điện và hệ số dạng từ, xem trong phụ lục C). Trong Luận văn này ta bỏ qua spin của nuclon, nên các hệ số dạng điện từ đơn giản chỉ còn là một hàm số. Vấn đề giao thoa Coulomb trong bài toán tán xạ bao gồm cả hai tương tác điện từ và tương mạnh của nuclon. Trong mục 2.1 nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb bằng việc kể thêm hệ số dạng điện từ qua số hạng gần đúng Born f 2 (q 2 ) , và ta thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng được xem xét ở mục 2.2. 2.1. Hệ số dạng điện từ và công thức cho pha Khi bỏ qua spin cua hạt, thì hệ số dạng còn lại là hàm vô hướng f 2 (q 2 ) . Kể thêm hệ số dạng, thì biên độ tán xạ Coulomb (1.11) trong gần đúng Born bây giờ có dạng : i   s    2  F (q )   2 f 2 (q 2 ) . 2  2   q    q  C 2 (2.1) Sử dụng (2.1) vào biên độ tán xạ Coulomb (1.13), chúng ta thu được biên độ tán xạ cải biến: F N C (q )   2 s  2  i   q  q2  2 f 2 (q 2 ) i  i  s    2  2 ' 2 '2  F (q ) 1   d q  q'2   2  q'2  f (q )  s  N 2 i    2   F N ([q  q ' ]2 )     s  i   d 2 q '  '2  f 2 q '2  '2    1  . N 2 s   q   q   F (q )  F N C  2  (q )  2  q  2  i  s q 2 f 2 (q 2 ) 14 i 2  i  i  s   q 2     2 '  F (q )  2   d q  '2 f 2 (q '2 ) 2   '2   q s  q    q     N 2 N ' 2  i  2 '   s  2 '2  F ([ q  q ] )  d q f q  1 .     '2 N 2  s   q   F (q )  (2.2) Ở biểu thức này đã chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất của  trong số hạng cuối. Tích phân của số hạng cuối trong biểu thức (2.2) được xác định như sau: i i  s   q 2  2 ' d q f 2 ( g '2 )   '2 2   '2  s  q   q    i  dq '2 (q 2 )i f 2 (q '2 ) '2 2 1i (q   ) i  i  '2 2  q2  '2  q    2 '2 '    2    dq   [ f (q ) ] 2    q  0 i   q2  q '2  2 '2 ' 2    2    dq ' 1  i ln  [ f (q ) ] q     0 i   q2  q '2  1   2   i  dq '2 ln 2 [ f 2 (q '2 )' ] . q   0 ( 2.3) Ở đây các ký hiệu dấu phẩy ở ngoặc vuông có nghĩa là lấy đạo hàm theo q’2. Gộp biểu thức (2.3) thế vào (2.2) bây giờ có dạng: F  i  N C 2 ' d q  2  (q )  2  q  2  i    q '2 2 '2 2 2 N 2 '2 f ( q )  F ( q ) 1  i  dq ln [ f (q )]'  2  q2 q 0  s f 2 (q '2 )  F N ([q  q ' ]2 )     1  .  2 N 2 q   F (q )  (2.4) Bây giờ chúng ta dễ dàng đi xác định biên độ tán xạ góc của các hadron N F (q '2 , q 2 )    N 1 q 2  2qq ' cos   q '2  / F N (q 2 ) . d  . F  2 (2.5) biểu thức này có tính chất là: N F (0, q 2 )  1 . (2.6) 15 Tiếp tục, chúng ta có:  2 '2 f 2 (q '2 )  F N ([q  q ' ]2 )  '2 f (q )  N d q  1   dq F (q, q ' )  1   2 N 2 2      q q  F (q )  0 2 ' '      N 2 '2  N '2 2 '2 '2 '2 '2 2 2 '2      f  q F  q , q   1 .ln q   dq ln q  F  q , q  f  q     0        0   ' N    dq '2 ln q '2  F (q '2 , q 2 ) f 2 (q '2 )  f 2 (q '2 )  .   0 (2.7) Sử dụng biểu thức (2.7), thì biểu thức (2.4) trở thành: F N C  2  (q )  2  q   i  2 s q f 2 (q 2 )  2   ' '  N q '2 i F N  q 2  1  i  dq '2 ln 2  f 2  q '2   .  dq '2 ln q '2  F  q '2 , q 2  f 2  q '2   f 2  q '2     q  0 0  F N C  2  (q )  2  q   i  2   q '2 2 2 N 2 '2 f ( q )  F ( q ) 1  i  dq ln  0 q2 q2  s '  f 2 (q '2 ) F N (q '2 , q 2 )      . (2.8)  So sánh lại với biểu thức (0.1), chúng ta thấy rằng:      dq '2 ln 0 q '2 d  2 '2 N '2 2  ' f (q ) F (q , q )  .  q dq '2  (2.9) Thực tế là q2 là nhỏ so với thang đo, là nghịch đảo kích thước nuclon, vì thế chúng ta có thể tổng quát hóa phép gần đúng N F (q'2 , q 2 )  F N (q'2 ) / F N (0) . (2.10) Từ đó suy ra biểu thức tổng quát cuối cùng của pha       dq '2 ln 0 q '2 d  f 2 (q '2 ) F N (q '2 ) / F N (0)  . '2  q dq (2.11) 2.2. Hệ số dạng khi xung lƣợng truyền rất nhỏ. Sự tham số hóa chuẩn của biên độ tán xạ hadron ở bậc thấp của q2 được cho bởi biểu thức (0.5). Dạng tham số thích hợp của hệ số tương tác điện từ là [2] : 2  2  f (q )   2 ;  2  0.71GeV 2 2  q   2 16 (2.12) Hệ số dạng trong gần đúng bậc thấp theo q2, ta có thể chọn một dạng công thức khác f (q 2 )  e2 q 2 / . (2.13) Sử dụng (2.13), để cho pha ta thu được :  q '2 d  4 q' 2 / 2  Bq' 2 /2     dq ln 2 '2 e e  q dq 0 '2  1  q' 2     dq '2 e q 0 '2 8  B 2 2 2  K 0  Bq 2   Bq 2  8      ln      ln 1  2 .  B   2  (2.14) Nói cách khác, đối với hệ số dạng lưỡng cực, thì pha có dạng :  Bq 2   B 2     g   .  2   2     ln  (2.15) trong đó:  z 2 z3  11 2 z z 2 g ( z )  1  z    e z E1 ( z )    . 2 6 6 3 6  (2.16) và E1 ( z ) là biểu thức tích phân [8]:  E1 ( z )   1 dt  zt e . t (2.17) Hai kết quả cho pha (2.14) và (2.15) có thể được so sánh bằng cách chọn tham số B, độ dốc. Với B = 13 GeV-2 thì hệ số dạng dạng hàm mũ cho biểu thức pha  của (2.14) là    ln  Bq2 / 2     0.62 , còn hệ số dạng lưỡng cực của (2.15) bằng    ln  Bq 2 / 2     0.60 . Rõ ràng sự khác nhau ở đây là không đáng kể. So sánh thêm với cách tham số hóa của mô hình Wu – Yang [19] trong tán xạ đàn tính pp thấy rằng, trong mô hình này tiết diện tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bậc 4 của hệ số tương tác điện từ. Trong mô hình này thì B và  2 liên hệ với nhau bởi hệ thức B2  8 . Khi đó pha giao thoa tham số mũ của (0.4) bằng:    ln  Bq 2 / 2     ln 2 , 17 còn pha giao thoa lưỡng cực của (2.15) bằng:    ln  Bq2 / 2     (  ln 4  363 / 140) . Số hạng cuối cùng trong ngoặc gần bằng - 0.63, nó không sai khác nhiều lắm so với – ln2 = - 0.69. Tất nhiên trong mô hình của Wu – Yang cũng không xem xét một cách chính xác, thậm chí cho các mục đich của họ, vì rằng tham số B phụ thuộc vào xung lượng s chứ không phải là  2 . Do sự khác nhau giữa biểu thức (2.14) và (2.15) là nhỏ, biểu thức (2.14) đơn giản hơn thích hợp và tiện lợi cho việc tính toán pha tán xạ  . 18 Chƣơng 3 PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB CẢI BIẾN Kể thêm hệ số dạng đã làm thay đổi biên tán xạ Coulomb bằng số hạng f 2 (q 2 ) . Thêm vào đó, nó có thể làm thay đổi pha của biên độ tán xạ. Ở phần này chúng ta không lặp lại cách hiệu chỉnh số hạng gần đúng Born một cách đơn giản như phần trên nữa mà chúng ta đi hiệu chỉnh biên độ tán xạ bằng cách khai triển biểu thức biên độ tán xạ (2.1) theo hằng số tương tác  . 3.1. Phép khai triển Born eikonal. Để xác định các bổ chính cho biểu thức (2.1), ta trở lại mô hình eikonal các biểu thức (1.2), (1.3) được khai triển theo chuỗi hỗn hợp Born - eikonal: Feik (q 2 )  s d 2beiq.b e2i (b )  1  4 i ( 3.1)   4 2  b  s 2 iq .b  d be 1  2 i  ( b )   ...  1   4 i  2    s d 2beiq.b  2i (b)  2 2 (b)  ...  4 i  FBorn (q 2 )  i d 2 s  2 q ' FBorn (q '2 )FBorn ([q  q ' ]2 )  ... (3.2) (3.3) Xét một ví dụ: xét biên độ tán xạ thuần túy chỉ có tương tác Coulomb thì: FBorn (q 2 )   s . q  2 2 Số hạng gần đúng Born bậc hai là: i 2 s   ( s)2  d 2 q ' i 2 s i ( s) 1 1 2 ' 2 q   (q  q )   2 '2 1 2  dx  d 0 1 2 q' 1 [q  2qq x  xq 2   2 ]2 '2 ' 1  s   dx  p 2 2 2 s [ p  xq 2 1  x    2 ]2 2 0  i 1 1  s    dx 2 2 2 s p  xq 1  x    2 2 0 19 (3.4) i  2 s  (  s   1 2 2ln q 2 q 4  4q 2 x 2 q 2  q 4  4q 2 x 2 q 2  q 4  4q 2  2  s q2 )( i  ) ln q2 2 (3.5) Với bậc này thì ta có biên độ tán xạ eikonal bằng:  s 1  i ln  2 / q2  q2 Feik (q 2 )    s i ln  2 / q2 e . q2 (3.6) Biểu thức (3.6) hoàn toàn phù hợp với (1.12). 3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng. Tiếp theo chúng ta xét trường Coulomb cùng với hệ số dạng (form factor). Để cho đơn giản chúng ta lấy: FBorn (q 2 )   s  L2   . q 2   2  L2  q 2  (3.7) Nó đưa đến hiệu chỉnh trạng thái bậc thấp của q2 nếu chúng ta chọn: L2  2 / 4 . Số hạng gần đúng Born bậc hai trong mô hình eikonal có thể được xác định bằng cách tham số hóa Feynman như chúng ta đã làm ở trên: Feik2 (q 2 )   i 2 s i 2 s ( sL2 )2  d 2 (q ' ). 1 1 z 1 y  z 0 0 0 ( sL2 )2  dz  dy  1 [q   ][q  L ][(q  q ' )2   ][(q  q ' )2  L2 ] '2 2 '2 2 dx  d 2 q ' .6{(1  x  y  z )(q '2   2 )  x(q '2  L2 ) (3.8)  y[(q  q ' )2   2 ]  z[(q  q ' )2  L2 ]}4     Thay thế: p  q  ( y  z )q và tiến hành lấy tích phân theo p , chúng ta tìm được: F (q )  2 eik 2 i 2 s 1 1 z 1 y  z 0 0 0 ( sL )   dz  dy 2 2  dx. dp 2 20
- Xem thêm -