Mô tả:
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN
TOÁN LỚP 12
CÁC CHUYÊN ĐỀ :
HÀM SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
SỐ PHỨC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
Kỹ Năng Cơ Bản Giải Đề Thi TNTHPT
Câu I
1. Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước trong bài toán KSHS.
a. Tập xác định.
b. Sự biến thiên
Giới hạn; đường tiệm cận(nếu có)
Tính y’; xét dấu y’
Kết luận về sự đồng biến và nghịch biến; cực trị của hàm số (* Chú ý)
Lập bảng biến thiên.
c. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên xác định đơn vị và vẽ hệ trục tọa độ cho hợp lí.
Khi vẽ đồ thị phải vẽ hết mặt phẳng tọa độ
2. Bài toán liên quan
2.1 Tiếp tuyến: Biết tọa độ tiếp điểm( hoặc tìm được tọa độ tiếp điểm). Biết hoặc tìm
được hệ số góc.
2.2: Tương giao giữa hai đồ thị: Biến đổi phương trình làm xuất hiện hàm số vừa khảo
sát.
2.3 Bài toán về sự đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng
2.4 Bài toán về cực trị: Sử dụng dấu hiệu 1 và 2
Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị; tính
khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
2.5 Các điểm đặc biệt: Điểm có tọa độ nguyên. Điểm cách đều hai trục tọa độ; điiểm
cách đều hai đường tiệm cận.
Câu II:
1: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng của đồ thị
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Học sinh cần giải các phương trình; bất phương trình đơn giản; có thể đưa về dạng cơ
bản(Bằng các phép biến đổi đã học)
2. GTLN; GTNN của hàm số: Cần nắm vững qui trình tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên một khoảng; đoạn.
3. Nguyên hàm, tích phân:
Lưu ý : Kĩ năng nhận dạng chọn phương pháp hợp lí.
Chú ý các dạng bài tập tích hợp nhiều phương pháp
(Sau khi biến đổi ra hai tích phân độc lập và sử dụng hai phương pháp riêng biệt)
Câu III:
Kĩ năng vẽ hình. Tính diện tích; khoảng cách; thể tích
(viết công thức tính; thay các yếu tố đã biết)
Kĩ năng tính độ dài đoạn thẳng(ghép vào tam giác; chọn tam giác phù hợp)
Câu IV: Rèn luyện:
Kĩ năng tính tọa độ vectơ; điểm. Kĩ năng viết phương trình mặt cầu; ptđt; ptmp.
Ghi nhớ chính xác công thức tính góc; khoảng cách; thể tích; diện tích.
Câu V
1. Số phức: Ôn tập như trong SGK
2. Ứng dụng của tích phân: Ôn tập như trong SGK
-2-
Tổ: Toán – Tin
Chủ đề tự chọn 12
Chủ đề I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1; 2;…;n) mà tại đó y’=0 hoặc
không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: dựa vào định lý sau để Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến.
Định Lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f '(x) > 0, x �K thì y = f(x) đồng biến trên K.
Nếu f '(x) < 0, x �K thì y = f(x) nghịch biến trên K.
*Chú ý: Nếu f (x) = 0, x �K thì f(x) không đổi trên K.
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
a) y = x3 – 3x2 + 2
b) y = − x4 + 4x2 – 3 c)
y
x 1
x2
d)
y 3 x2
e) y = x – ex
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Chứng minh hàm số y 2 x x 2 nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Chứng minh hàm số y x 2 9 đồng biến trên nửa khoảng [3; + �).
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến
trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai.
f'(x) �0 )
f(x) đồng biến trên K f’(x) ≥ 0; x K ( min
x�K
f'(x) �0 )
f(x) nghịch biến trên K f’(x) ≤ 0; x K ( max
x�K
Hàm số bậc 3
Tập xác định
Đạo hàm
y/
(
y’
=
0
ax2
+
bx
Hàm số tăng trên (từng khoảng xác định): y/ 0; x
+
�a 0
�
.
� �0
Hàm số giảm trên (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; x
c
=
0)
Giải Tìm m.
�a 0
�
.
� �0
Giải Tìm m.
Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có tham số thì phải xét khi a = 0
Hàm số nhất biến :
y
ax b
cx d
Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số tăng (giảm) trên từng khoảng xác định : y / > 0 ( y/ < 0 ) ad − bc (tử) > 0
(<0)
Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0
Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x;m) đồng biến trên K”.
B1.
Tính
đạo
hàm
f’(x;m).
B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K f’(x;m) 0; x K m g(x); xK (m
g(x))
B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
f ( x)
-3-
1 3
x ax 2 4 x 3
3
đồng biến trên .
Chủ đề tự chọn 12
Cho hàm số
Tổ: Toán - Tin
1 m �3
�
2
y�
�x 2 2 m x 2 2 m x 5
�3 �
a. Định m để hàm số luôn luôn đồng biến;
b. Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến
Định m để hàm số y
Tìm m để hàm số y
Định m để hàm số:
x 2 2mx 3m 2
x 2m
đồng biến trong từng khoảng xác định .
mx3
1
m 1 x 2 3 m 2 x
3
3
y x2
m
x 1
luôn đồng biến trên
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT (nâng cao)
Đưa BĐT về dạng f(x)>0 (hay f(x)≥ 0);x(a;b)
Tính f’(x); xét dấu f’(x) suy ra f(x) đồng biến (hay nghịch biến trên (a;b)
Áp dụng định nghĩa:
f(x) đồng biến x1 < x2 f(x1) < f(x2); f(x) nghịch biến x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Kết luận BĐT cần phải chứng minh.
( f(x) đồng biến / [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b); f(x) nghịch biến /[a; b] thì f(a) ≥ f(x) ≥
f(b))
��
� �
1) Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x K = �0; 2 �
Giải:
Xét
1
x �K ta có 0< cosx <1 cosx > cos2x nên f’(x) > cos2x + cos 2 x − 2
��
� �
1
2 .
cos 2 x
(cos 2 x 1)2
=
>0
cos 2 x
f'(x) = cos x
f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục /K ta có
��
� �
f đồng biến/ �0; 2 � f(x) > f(0) x ��0; 2 � ĐPCM
2) CMR: a) f(x) = 2sinx + tanx −3x tăng trên
3)
b)
��
2sin x tan x 3 x, x ��
0; �.
� 2�
1 cos x 2 cos x 1
2
��
0, x ��
0; � Kết
� 2�
��
��
Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0; x ��0; 2 �� 2sin x tan x 3 x, x ��0; 2 �(đpcm).
� �
� �
x3
� �
��
0;
tan
x
x
, x ��
0; �.
CMR: a) f(x) = tanx − x đồng biến trên � 2 �.
b)
3
� �
� 2�
a) Hàm số liên tục
b)
��
trên �0; 2 � và
� �
��
0; �.
�
� 2�
f’(x) =
cos 2 x
quả.
Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó
f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí
hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x i;
-4-
Tổ: Toán – Tin
Chủ đề tự chọn 12
f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi
Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x)
= 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y 2 x 3 3x 2 36 x 10
Qui tắc I
Qui tắc II
D=
D=
y ' 6 x 2 6 x 36
y ' 6 x 2 6 x 36
x2
�
y ' 0 � 6 x 2 6 x 36 0 � �
x 3
�
x2
�
y ' 0 � 6 x 2 6 x 36 0 � �
x 3
�
x
y'
−∞
+
y
−3
0
71
−
2
0
+∞
+
+∞
− 54
−∞
Vậy x =
−3 là điểm
cực đại và
ycđ =71
x= 2
y”= 12x + 6
y’’(2)
=
30
>
0
nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = − 54
y’’(−3)
=
−30
<
0
nên hàm số đạt cực đại tại x = −3 và ycđ =71
là điểm cực tiểu và yct = − 54
Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y = 10 + 15x + 6x 2 x 3
b. y = x 4 8 x 3 432
d. y = x 4 5x 2 + 4
e. y = 5x 3 + 3x 2 4x + 5
c. y = x 3 3x 2 24 x 7
f. y = x 3 5x
x2 x 5
(x - 4) 2
x 2 3x 3
c. y = 2
d. y =
x 1
x 2x 5
x 1
x+1
5
3x
x
2
b. y =
c. y =
d. y =
e. y = x 3 - x
a. y = x 4 - x
x2 1
1 - x2
10 - x 2
* a. y x sin 2 x +2 b. y 3 2 cos x cos 2 x c. y 2sin x cos 2 x ( x �[0; ])
a. y =
x+1
x2 8
b. y =
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
I) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
�f '(a ) 0
tìm được giá trị của m
�f ''(a ) �0
B2: �
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì
f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
II) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a
�f '(a ) 0
tìm được giá trị của m
�
�f ''(a ) p 0
III) điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a
�f '(a ) 0
tìm được giá trị của m
�
�f ''(a ) f 0
IV) Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)
� f 0
�a �0
y’=0 có 2 nghiệm phân biệt � �
V) Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị
Y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
Ta có y ' 3 x 2 6mx m 1 .
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 � 3.(2)2 6m.2 m 1 0 � m 1
-5-
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
Với m = 1 ta được hàm số: y = x 3 – 3x2 + 2 có :
x0
�
y ' 3x2 6 x � y ' 0 � �
x2
�
tại x = 2
hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
Tìm m để hàm số
Tìm m để hàm số
2
y x3 mx 2 (m ) x 5 có
3
2
x mx 1
y
đạt cực đại
xm
cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT
tại x = 2.
Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1.
Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x 3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x
= 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 ax2 + bx + c=0 có 2 nghiệm phân biệt.
a �0
�
.
� y' 0
hàm số có 2 cực trị � �
hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi yCĐ.yCT < 0.
hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi xCĐ.xCT < 0.
�yCĐ yCT 0
.
�CĐ . yCT 0
hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi �y
�yCĐ yCT 0
.
�CĐ . yCT 0
hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi �y
đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi yCĐ.yCT = 0
1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m (−3 < m < 1 và m ≠ 2); b) y =
x 2 2m 2 x m 2
x 1
(−1 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên
> 0 có 2 điểm cực trị.
-9-
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
− Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(x o; yo) với xo là nghiệm của phương trình
�
y�
0
Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
− Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0)
− Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm nhất biến: y =
ax b
cx d
(c ≠ 0; ad – bc ≠ 0)
d
d
− Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; − c ) và (− c ; +∞).
d
− Tiệm cận đứng: x = − c ; tiệm cận ngang y =
a
c
.
− Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a) Bài toán 1:
Tìm số giao điểm của hai đường C1 : y f x và C2 : y g x
Lập phương trình hoành độ giao điểm của C1 và C2 : f x g x .
Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai
đường.
b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là
phương trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại
Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).
Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d)
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0 x0 ; f ( x0 )
(C).
y y0 f '( x0 ).( x x0 )
(y0 = f(x0))
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết tiếp tuyến có hệ số góc
k.
Gọi M (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm. f(x0) = k(*) Giải pt (*), tìm được x0. Từ
đó viết pttt.
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(x1; y1).
VD2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số sau tại các giao điểm của
(C) với trục hoành:
y 2 3x x 3
Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) )
a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo).
( x0 ) tìm x0 ; tìm y0.
b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng k f �
Tiếp tuyến // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a f’(x0 ) = a; giải
phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 .
Tiếp tuyến d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k =
1
a
giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 .
Bài 1: 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x3 – 3x2
- 10 -
f’(x0 ) =
1
a
;
Tổ: Toán – Tin
Chủ đề tự chọn 12
2/Tìm k để phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có 3 nghiệm phân biệt. Đáp số :( − 2 < k <
−1)
Bài 2: Cho hàm số y = x4 + kx2 − k −1 ( 1)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi k = −1
2/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
x
2
− 1.
ĐS : y= −2x−2
3/. Xác định k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = −2.
Bài 3: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = (x−1)2 ( 4 − x )
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) .
ĐS : y = 3x − 4
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A( 4 ; 0 ) .
Đáp số : y = 0 và y = −9x + 36
Bài 4: Cho hàm số y=
1 4
x
2
– ax2 + b
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a =1 ; b = −
3
2
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với Ox
Đáp số : y 4 3.x 12 và y 4 3.x 12
Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=
1
2
x4 − 3x2 +
3
2
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn .
Đáp số : y = 4x+3 và y = −4x +3
c/ Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua diểm A ( 0;
Đáp số : y = 0 ; y = �2
2.x
3
).
2
3
2
Bài 6: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − 2 có đồ thị (Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 3
2/ Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại
A.
3/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y=
x3
x2
m2
2
3
2
có đồ thị ( Cm )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị(C) của hàm số với m = −1
2/ Xác định m để ( Cm) đạt cực tiểu tại x = −1.
3/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc : y= −
Đs: y = 2 x
19
6
x 5
2 2
.
4
; y = 2x 3
Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= −
2/ Tìm các giá trị của m để pt :
3/ Tìm m để pt :
1 3
x
3
1 3
x
3
1 3
x
3
– 2x2 − 3x + 1
+ 2x2 + 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
+2x2 +3x −2 + m2 = 0 có 1 nghiệm
4/ Viết pttt của (C) song song với đường thẳng y = −3x
Bài9 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x +1
2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C)và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao
điểm của d và (C).
ĐS: ( 0; 1) (2; 3 ) ( −2; −1 )
- 11 -
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
Bài 10 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = −
1 4
9
x 2 x2
4
4
2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1.
ĐS:
y=
3x+1
Bài 11 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 − 6x2 + 9x
2/. Với các giá trị nào của m ; đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 12 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = − x 3 + mx + n đạt cực tiểu tại
điểm x = −1 và đồ thị của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với các giá trị của m ; n tìm được .
3 2x
x 1
Bài 13: : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
2/. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân
biệt.
ĐS :
�m 6 2 5; m 6 2 5
�
�m �0
Bài 14 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x4 + x2 −3
2/. CMR đường thẳng y = −6x−7 tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có
hoành độ bằng −1 .
x 3
2x 1
Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y =
2/
Viết
phương
trình
tiếp
tuyến
với
(C)
a) tại giao điểm của (C) với trục hoành . b) tại giao điểm của (C) với trục tung .
c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0
Bài 16 : Cho hàm số y =
1 3
x (a 1) x 2 (a 3) x 4
3
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0
2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) .
ĐS : y =
4x
11
3
Bài 17 : Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx +1
1/. Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua 2 điểm A( 1; 2); B( −2; −1).
ĐS : a = 1 ; b = −1
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a và b tìm được .
Bài 18 : Cho hàm số y = x4 + ax2 + b
1/. Tìm a và b để hàm số có cực trị bằng
ĐS : a = −2 ; b =
3
2
khi x = 1.
5
2
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a =
1
2
và b = 1 .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
Bài 19 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
2
2x
2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x 2 + 1 . Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại mỗi giao điểm .
ĐS : y =
1
x 1 ;
2
y = 2x
Bài 20 : Cho Hàm số y
2x 1
(TN2009)
x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
- 12 -
Tổ: Toán – Tin
Chủ đề tự chọn 12
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -5
1
4
3
2
Bài 21 : Cho hàm số y x3 x 2 5 (TN2010)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
d) Tìm các giá trị của m để phương trình x3 6 x 2 m 0 có 3 nghiệm thực phân
biệt
Bài 22 :Cho hàm số y
2x 1
(TN2011)
2x 1
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số trên
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị(C) với đường thẳng y x 2
Bài 23.cho hàm số y x3 3x 2 m 2 x m
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại,cực tiểu và các điểm cực đại và
1
2
5
2
cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y x (đề 1)
Bài 24.cho hàm số y x3 6 x 2 9 x (đề 4)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
3
2
b) từ đồ thị hàm số đã cho suy ra đồ thị của hàm số y x 6 x 9 x
Bài 25.cho hàm số y x 4 5 x 2 4 (đề 7)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x 4 5 x 2 m 2 3m 0
1
3
2
3
3
Bài 26. cho hàm số y x x (đề 8)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b)tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị C vuông góc với đường
1
3
thẳng y x
2
3
1
3
3
Bài 27. cho hàm số y x x m ( đề 10)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=
2
3
b) tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 28. cho hàm số y x 3 2 x 2 x (đề 16)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) tìm diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng y 4 x
Bài 29.cho hàm số y x 3 3x (đề 19)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b)chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng cho bởi phương trình y m( x 1) 2
luôn cắt đồ thị hàm số tại một điểm A cố định.
Bài 30. cho hàm số y x3 3( a 1) x 2 3a(a 2) x 1 (đề 20)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi a=0
b) với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho:
1 �x �2
1
3
3
2
Bài 31. cho hàm số y x mx x m 1 (đề 25)
- 13 -
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=0
b)trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát hãy tìm tiếp tuyến có hệ
số góc nhỏ nhất
c) chứng minh với mọi m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. hãy xác định m
sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.
Bài 32 .cho hàm số y x 3 3x 2 (đề 29)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên, biết rằng tiếp tuyến ấy
1
3
vuông góc với đường thẳng y x
Bài 33.cho hàm số y
x2
(đề 39)
x 1
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) cho điểm A(0;a). xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến C sao cho hai tiếp
điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox
Bài 34. .cho hàm số y x 4 ( m2 10) x 2 9 (đề 40)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=0
b) chứng minh rằng với mọi m �0 đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt.chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (3;3) và có 2 điểm nằm ngoài (-3;3)
Bài 35 cho hàm số y 2 x3 3(2m 1) x 2 6m( m 1) x 1 (đề 41)
a) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=1
b)chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn đạt cực trị tại x1 ; x2 với x2 x1 không phụ
thuộc vào m
- 14 -
Tổ: Toán – Tin
Chủ đề tự chọn 12
Chủ đề II
HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT.
TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1) Luỹ thừa:
Các công thức cần nhớ:
an
a 0 1;
m
1
n
;
a
n am
an
Tính chất của lũy thừa:
a .a a
m
n
mn
am
a mn ;
an
;
a m a mn ;
n
n
n
�a � a
� � n
�b � b
ab a n .bn ;
n
;
Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì a m a n � m n
+ Với 0 < a < 1 thì a m a n � m n
2) Căn bậc n:
n
a.b n a . n b
;n
a
b
n
a
n
b
;
n
am
a
n
m
;
m n
a mn a
3) Lôgarit:
Định nghĩa: Cho a, b 0; a �1 : log a b � a b
Tính chất: log a 1 0; log a a 1; log a a ; a log b b
Quy tắc so sánh: + Với a > 0 thì: log a b log a c � b c
+ Với 0 < a <1 thì: log a b log a c � b c
a
log a b1 .b2 log a b1 log a b2 ;
Quy tắc tính:
log a b log a b ;
Công thức đổi cơ số:
log a b
Chú ý:
hiệu là lnx
log a
b1
log a b1 log a b2
b2
log a b
1
log a b
log a b.logb c log a c
log b c
log a c
log a b
hay
1
log b a
hay
log a b.log b a 1 ;
;
Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx, Lôgarit cơ số e kí
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Hàm số mũ y = ax:
TXĐ: ; y = ax > 0 với mọi x.
Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
a f ( x ) a g ( x )
a f ( x ) g ( x )
f
(
x
)
g
(
x
);
f ( x ) log a g ( x )
2) Dạng cơ bản:
0 a 1
0 a 1, g( x ) 0
a 1
0 a 1
a f (x) a g(x)
f
(
x
)
g
(
x
)
f ( x ) g( x )
Dạng 1:Phương pháp Đưa về cùng cơ số
1.Biến đổi đưa về dạng : a f ( x ) a g ( x )
Chú ý đến các công thức sau:
x
ax
a x
x y a
a
;
( )
y
x
a
b
b
1
x
a
a x .a y a x y ;
a 0 1; a x
Ví dụ 1)
2x
2
3x2
1
;
4
2)
x 2 3 x 1
�1 �
��
�3 �
3;
3)
- 15 -
2 x 1 2 x 2 36 ;
4)
5 x.2 2 x 1 50
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
1) pt 2 x 3 x 2 22 x2 + 3x – 2 = −2 x2 + 3x = 0 x = 0 x = − 3
2) pt 3 ( x 3 x 1) 31 … x2 – 3x + 2 = 0 x = 1 x = 2
2
2
2x
8.2 x 2 x
36 �
36 � 9.2 x 36.4 � 2x 24 � x 4
4
4
4x
50 � 5x. 50 � 20 x 100 � x log 20 100
2
3) pt 2.2 x
4) 5x.22 x 1
3.Biến đổi về dạng Phương Trình Tích: A(x).B(x)=0
2.Biến đổi về dạng : a f ( x ) b � f ( x) log a b;(0 p a �1; b f 0)
Dạng 2. đặt ẩn phụ (Đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2,3)
1.Biến đổi đưa phương trình về dạng: m.a 2. f ( x ) na f ( x ) b 0
Cách giải: B1: đặt t a f ( x ) ĐK t f 0
B2: Phương trình trở thành m.t 2 nt b 0
2.Biến đổi đưa về dạng: m.a f ( x ) na f ( x ) b 0
Cách Giải: B1: đặt t a f ( x ) ĐK t f 0
1
t
B2 Phương trình trở thành m.t n b 0
Ví dụ 1) 32 x 8 4.3x 5 27 0 ;
2) 25 x 2.5 x 15 0 ;
2
1) pt 38.32 x 4.35.3x 27 0 � 6561. 3x 972.3x 27 0 (*)
3)
Đặt t = 3x > 0 ta có phương trình (*) 6561t2 – 972t + 27 = 0
t
Với
1
� 3x 32 � x 2 ;
9
2) pt 5 x
2
2.5 x 15 0
Với
(*). Đặt
t
t
3x 2 32 x 24
1
1
�t
9
27
1
� 3x 33 � x 3
27
t 5x 0 ;
(*) � t
2
t 5
�
2t 15 0 � �
t 3 (loai)
�
Với t = 5 5x = 5 x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1.
2
9
24 0 � 9. 3x 24.3x 9 0 (*)
x
3
t 3
�
2
�
x
t 3 0 . Pt (*) � 9t 24t 9 0 � � 1
t ( loai)
� 3
t 3 � 3x 3 � x 1 ; Vậy phương trình có nghiệm: x 1
3) pt
Đặt
Với
9.3x
Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – 6 = 0. (TNBTT2007) 7 x 2.71 x 9 0
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12
b) 92x +4 − 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0
x 1
x
d)
g)
�5 � �2 � 8
� � 2 � � 0 e) 5
�2 � �5 � 5
5 2 6
x
5 2 6
x
x
53
x
f)
20
10
4
15
h) 32 x 1 9.3x 6 0
4
x
i)
Dạng 3. Logarit hóạ
1.phương pháp lấy logarit hai vế với cơ số thích hợp
Dạng Tổng Quát: a f ( x ) .b g ( x ) .c h ( x ) d
Cách Giải: Lấy logarit hai vế ta có
log a (a f ( x ) .b g ( x ) .c h ( x ) ) log a d
� log a a f ( x ) log a b g ( x ) log a c h ( x ) log a d
� f ( x) g ( x) log a b h( x) log a c log a d
a) 2x − 2 = 3
b) 3x + 1 = 5x – 2
c) 3x – 3 =
- 16 -
5x
2
7 x 12
15
x
2
22 x 2 9.2 x 2 0
Tổ: Toán – Tin
Chủ đề tự chọn 12
x 1
d) 2 x 2 5 x 5 x 6
e) 5x.8 x 500
f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); 0 a �1 . Tập giá trị:
Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1
Phương trình và bất phương trình cơ bản:
2
�
0 a 1
�
�
�
0 f ( x) g ( x)
0
a
�
1
�
�
log a f ( x) log a g ( x) � �f ( x) g ( x) 0 log a f ( x) log a g ( x ) � �
�
a 1
�
�
�
�
�
�f ( x) g ( x) 0
�
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Các kiến thức cần nhớ:
log a x b � x a b (0 p a �1; x f 0)
x a loga x ( x f 0); x log a a x ;log a a 1
log a
x1
log a x1 log a x2 ;log a ( x1 .x2 ) log a x1 log a x2
x2
log a x
log b x
1
(0 p b �1);log a b
;
log b a
log b a
log a x .log a x;log a x
1
log a x
Dạng 1: Biến đổi về dạng
log a f ( x ) log a g ( x ) � f ( x ) g ( x )
�f ( x) f 0
�
�g ( x ) f 0
a)
b)
d)
log 2 x log 2 x 1 1 ;
log 2 3 x log 2 1 x 3
log 4 x 2 log 4 x 2 2log 4 6
c) log x 1 log 1 x log 2 x 3
e) log4x + log2x + 2log16x = 5
f)
log 3 x 2 log 3 x 2 log 3 5
g) log3x = log9(4x + 5) +
KQ: a) 1;
c) 1
b) −1;
2
log 2 9 x 2 7 2 log 2 3x 2 1
l) log 2 x 3log 2 x log 12 x 2
n) log3(3x – 8) = 2 – x
o)
2
KQ: h)
2;
1
16
; i)
Dạng 3 mũ hóa
d) ; e) 4
;
2
; f) 3; g) 6
51
(TNTHPT 2010) giải : 2 log 22 x 14 log 4 x 3 0
2
3
i) log 22 x 1 log 2 x 1 7
Dạng 2. đặt ẩn phụ
h) log 22 x 6 log 4 x 4
j)
5
1
.
2
7
4
�1 �
3; � � 1 ;
�2 �
k)
1
2
1
4 ln x 2 ln x
m)
3 log 3 x log 3 3 x 1
log 3 4.3x 1 2 x 1
j) 2; 3; k) e; e2; l)
p)
1
; 2
2
log 3 5 4.log 3 ( x 1) 2
; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4.
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ a)
4 x 2 15 x 4
�1 �
2� �
�2 �
23 x 4
b)
2 x5
�1 �
��
�3 �
9
c)
6
9 x �3 x 2
d) 4 x x 6 1
e) 16x – 4 ≥ 8
f) 52x + 2 > 3. 5x g) (1/2) 2x − 3≤ 3
1
1
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17
b) 52x – 3 – 2.5x −2 ≤ 3
c) 4 x 1 2 x 2 3
2
- 17 -
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x
e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15
Bất phương trình logarit
a) log4(x + 7) > log4(1 – x)
4
d) log ½ (log3x) ≥ 0
1
g)
1
1
1
1 log x log x
h)
1
x
u
(e ) ' u '.eu
(ln x ) '
(ln u ) '
c) log 2( x2 – 4x – 5) <
e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3
f) log2x(x2 −5x + 6) <
(a x ) ' a x .ln a
(log a x ) '
1
log 2 x 6
k)
log 4 (3x 1).log 1 (
4
3x 1 3
)�
16
4
1
a x ln a
(a u ) ' u '.au .ln a
u'
u
(log a u ) '
b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
log x 2.log x 16 2
Bảng đạo hàm:
(e x ) ' e x
f) 4x +1 −16x ≥ 2log48
u'
u.ln a
Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin2x biết F( ) = 0.Đáp số : F(x) =
CM: F(x) = ln
x x2 1 c
là 1 nguyên hàm của f(x) =
1
x2 1
1
1
x sin 2 x
2
4
2
. Hd: Cm F /(x) = f(x)
CHỦ ĐỀ 3 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I /Tóm tắt kiến thức
A Nguyên hàm
1/Khái niệm nguyên hàm
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
Nếu F x f x , x �K ( K là khoảng ,đoạn hoặc nửa đoạn của R )
-Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) +C là họ tất cả các
nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu
f ( x) dx F x C ; C ��
�
2/ Tính chất nguyên hàm
a/
'
f x dx f x và
�
f x dx f x C
�
'
b/�
Kf x dx K �
f x dx
c/�
�
f x dx ��
g x dx
�f x dx �g x dx �
� �
3/Phương pháp tính nguyên hàm
f u x u ' x dx F u x C
a/Đổi biến số : �
b/Tính nguyên hàm từng phần
udv uv �
vdu
�
B Tích phân
- 18 -
Tổ: Toán – Tin
Chủ đề tự chọn 12
1/Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn a; b .Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên đoạn a; b
b
�f x dx F b F a
Ta có
a
2/Tính chất của tích phân
b
b
a
a
a/�
Kf x dx K �f x dx
b
(K là hằng số)
b
b
a
a
b/�
�
g x dx
�f x dx �g x dx �
� �f x dx ��
a
c
b
b
a
c
a
c / �f x dx �f x dx �f x dx
với a c b
3/ Phương pháp tính tích phân
a/ Đổi biến số
'
�f x dx �f t t dt
Dạng 1:
b
a
Với a; b và a � t �b; t � ;
Dạng 2:
b
u (b )
a
u (a )
�f x dx � g (u )du
'
với f x g u x u x
b/Tích phân từng phần
b
b
b
�udv uv a �vdu
a
a
Với u=u(x) ,v=v(x) có đạm hàm liên tục trên đoạn a; b
C/Ứng dụng của tích phân trong hình học
1/Tính diện tích hình phẳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên
đoạn a; b và các đường thẳng x=a ;x=b là
b
S �f x g x dx
a
2/Tính thể tích vật thể
a/ Tính thể tích vật thể V là
b
V �
s x dx
a
Trong đó S(x) là diện tích hình phẳng của thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với
trục ox tại x � a, b với vật thể V
b/Quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y=f(x) y=o;x=a;x=b xung
quanh trục ox ta được khối tròn xoay có thể tích V là
b
V �f 2 x dx
a
II/CÁC VÍ DỤ
1/ Tính các nguyên hàm của các hàm số sau
- 19 -
Chủ đề tự chọn 12
Tổ: Toán - Tin
a/�
sin 9 xcos xdx
2x 1
b/�
dx
x2 x 3
1
c / � x dx
1 e
d/�
cos 5 x cos 3xdx
e/�
1 x e x dx
Giải
a/ Đặt
u sin x � du cos xdx
��
sin 9 x cos xdx �
u 9 du
1 10
1
u C sin10 x C
10
10
b/Đặt
u x 2 x 3 � du 2 x 1 dx
2x 1
du
��
dx � 2 u c 2 x 2 x 3 c
2
u
x x3
u cos x � du sin xdx
c / u e x 1 � du e x dx
x 0 �u 1
1
ex
du
� � x dx � x dx � ln u c ln 1 e x c
2
x �u
1 e
1 e
u
4
2
1
1
1
d/�
cos 5 x cos 3 xdx �
cos8 x cos 2 x dx sin 8 x sin 2 x c
2
16
4
e / u 1 x � du dx
dv e x dx � v e x
��
e x dx e x 1 x e x C e x 2 x C
1 x e x dx e x 1 e x �
2/Tính các tích phân sau
sin 3 x
4
a/�
dx
0 cos 2 x
1
b/�
x 1 e x dx
0
e
c / � x ln xdx
1
Giải
a/Đặt
u cos x � du sin xdx
x 0 �u 1
x
2
�x
4
2
2 1 u
du 1 �1 1�du � 1 u � 3 2 2
sin 3 x
2
� � 2 dx �
2 �2
� �
�2
2
�
1
cos x
u
u
2
� �u
�
2 �
4
0
1
2
2
b/Đặt
u x 1 � du dx
dv e x dx e x
Suy ra
- 20 -
- Xem thêm -
.DOC 
41 
324 
50 
