Giáo án toán 10 chuẩn ktkn

  • Số trang: 93 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 40 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

WWW.ToanCapBa.Net HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu uuu r(gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB). r r r u r + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, y,... B a A b uuu r uuu r (Chú ý: AB �BA ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): r Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0 uuuur uuu r Ví dụ: MM , AA ,.... uuu r r uuu r + Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ uuu r không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: r + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí uuu r r hiệu là | a |, | AB | AB  BA  Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài r r r r Nếu a bằng b thì ta viết a = b . uuu r uuu r r r AA  BB = 0 , | 0 |= 0. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm r A B a) Tất các vectơ khác 0 ; o b) Các vectơ cùng phương; D c) Các vectơ bằng nhau. C Các kí hiệu thường gặp uuur uuur uuur uuur kí hiệu: AB // CD AB cùng phươnguuCD ur uuur uuur uuur kí hiệu: AB  CD AB cùng hướng CD uuur uuur uuur uuur AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD -1- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng r uuu r r uuu Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, r {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0 r r Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho: r uuuu r AM cùng phương a Giải  m r r Gọi  là giá của a r uuuu r a Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//  Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //  r uuuu r Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau: r r � r r | a || b | r + Sử dụng định nghĩa: r uu �� a  b a, b cuøng höôùng � + Sử dụng chất bình hành thì uuu rtínhuuu r ucủa uur các uuurhình . Nếu ABCD là hình A B AB  DC , BC  AD ,… o r(hoặc r rviếtr ngược r lại) r D + Nếu a  b, b  c � a  c C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC uuurcó D, uuurE, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. A Chứng minh: EF  CD Giải Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD, E F uuur uuur 1 EF= BC=CD EF=CD EF  CD (1) 2 uuur uuur CD (2) EF cùng hướng uuur uuur C B D Từ (1),(2)  EF  CD Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành uuur uuur 1 EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF  CD 2 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, Kuulà điểm DM M D uu rgiao uuu r uuurcủauu r và CN. C Chứng minh: AM  NC , DK  NI Giải I Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành K uuuu r uuur  AM  NC Tương tự MCDN hình bình hành nên K là trung điểm B N uuur ulà uuu r A của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành, uur uuuur uuur uur suy ra NI = KM  DK  NI Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). -2- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Giải uuu r uuur Giả sử AB  AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC. (trường hợp điểm cuối trùngr nhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho: uuuu r r a) AM = a ; r r uuuu r b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |. Giải r Giả sử  là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//  (nếu A thuộc  thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho: r  AM1=AM2=| a | d Khiuuđó ta có: r uur r a a) AM1 = a A uuuur uuuuu r r b) AM1 = AM 2 cùng phương với a Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trực uuuH r làuu uur tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Chứng minh: AH  B ' C . Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác?   Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó.    Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng uuur uuur Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm uuurP,uQ, uur Ruulần u r trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP . -3- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi uuurM, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ; uuur b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ; uuur c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ; uuuu r uuur d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB . Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O uuu r r a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ; uuur b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ; uuur c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD r có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O uuu r uuu a) bằng vectơ AB ; OB uuu r b) Có độ dài bằng  OB  Bài 9: Cho tứ giác ABCD. uuu r uuur Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB  DC uuu r uuur uuur uuur Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB  DC thì AD  BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : MN QP ; NP MQ Bài 12 : Xác địnhuvị phân uurtrí tương đối củauu3u uuu r biệt A, B và C trong các trường hợp sau: uuu r rđiểm a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |; uuur uuu r b) AB và AC ngược hướng; uuur uuu r c) AB và AC cùng phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng uuur r AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ  0 . HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. Bài 2: có, đó là vectơ-không     Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. Bài 5: A P B R Q C Bài 6: A B M N O D -4- WWW.ToanCapBa.Net C WWW.ToanCapBa.Net uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur Bài 7: a) DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF uuur uuur uuur b) OC , ED, FO c)+ u uur Trên uuu rtia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB khi đó BB '  AB uuur * FO là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy uuuC’ u r sao uuu rcho CC’=OC=AB Do CC’//AB  CC '  AB +uu tương u r uutự ur uuu r uuur Bài 8: a) AB  DC , OB  DO uuu r uuur uuur uuur b) | OB || BO || DO || OD | A B O D C Bài 9: Chứng minh chiều  : * ABCD là hình bình hành  AB // CD   AB  CD  AB // CD  AB  DC *   AB  CD Chứng minh chiều  : * AB = DC  AB , DC cùng hướng và AB  DC * AB và DC cùng hướng  AB // CD (1) CD  AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành * AB u uu r uuur uuur uuur Bài 10: AB DC  AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành  AD BC Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1 AC 2 Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành  đpcm Bài 12 : Xác địnhuvị phân uurtrí tương đối củauu3u uuu r biệt A, B và C trong các trường hợp sau: uuu r rđiểm a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |; uuur uuu r b) AB và AC ngược hướng; uuur uuu r c) AB và AC cùng phương; uuur uuu r uuu r uuur HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B uuur uuu r b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C c) Cùng phương thì có thể cùng hướng uuu r uuurhay ngược hướng uuu r uuur + cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C. + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng -5- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net uuur r AM BA , MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 . uuuu r uuu r uuur uuur uuu r HD: Ta có AM  BA; NP  DC  AB  AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP uuurcũngr là hình bính hành (2) Từ (1)&(2) AQ AQ  0 -6- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ  1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD  a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.   CMR : MQ = NP 1. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.  a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN  b/ Xác định các vectơ bằng NP    2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.   3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR :   a/ I là trung điểm AB và DI = CB    b/ AI = IB = DC     4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN   a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN   c/ CMR : AL = 0 -7- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net §2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ        Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC =b. B      Khi đó a + b = AC b a Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ  uuu r uuur . uuAur c  Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC C uuu r uuur uuur  Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC B C 2. Vectơ đối A D   + Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ r      a +(- a )= 0 a , kí hiệu là - a uuu r uuu r + Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là uuu r uuu r = - BA AB r r + vectơ đối của 0 là 0 . 3. Hiệu các vectơ (phép trừ) �  �  Định nghĩa: a - b = a +(- b )  Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r (hoặc OA  OB  BA )hay AB  OB  OA OB  OA  AB r r r 4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có: r r r r + Giao hoán : a  b = b  a r r r r r r ( a  b ) + c = a  (b + c ) r r r r r + a +0=0+a =a r r r r r + a +( a )= a + a = 0 A r r r r r r + | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng. r r r r r r r r + a  b và | b | ≥ | a |  | a + b |=| b || a | r r r r r r + a =b a + c =b + c G r r r r r r r r r + a +c =b  a =b c , c =b a r r r r r r r r r r r r + a ( b + c )= a  b  c ; a ( b  c )= a  b + c I B Ghi chú: uu r uur r + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB  0 uuu r uuu r uuur r + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0 + Kết hợp C D CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. điểm M uuu r uu uu r uuuu rHaiuu ur uuu r vàuuN ur lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng NC  MC ; AM  CD; AD  NC uuuu r uuur uuu r uuur b) Chứng minh : AM  AN  AB  AD -8- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Giải: uuuu r uuur a) + Vì MC  AN nên ta có uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur NC  MC = NC  AN = AN  NC = AC uuur uuu r +Vì CD  BA nên ta có uuuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r AM  CD = AM  BA = BA  AM = BM uuur uuuu r +Vì NC  AM nên ta có uuur uuur uuur uuuu r uuur AD  NC = AD  AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED. uuuu r uuur uuur b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM  AN  AC uuu r uuur uuur Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB  AD  AC uuuu r uuur uuur uuur Vậy AM  AN  AB  AD Bài 2: Cho lục giác đều uuu rABCDEF uuu r uutâm ur O. uuur uuur uuur r Chứng minh: OA  OB  OC  OD  OE  OF  0 Giải Vì lục uuu rO làuutâm ur của r uu u r giác uuurđềur nên: uuur uuur r OA  OD  0; OB  OE  0; OC  OF  0  đpcm Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. uuu r uuu r uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng vectơ OA  OB; OC  OE đều cùng phương OD uuu r uuur b) Chứng minh AB và EC cùng phương. Giải a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của uuu r uuu r uuuu r ngũ giác đều. Ta có OA  OB  OM , trong đó M là đỉnh uuur uuur uuur hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC  OE  ON uuu r uuu r uuur uuur uuur , N  d. Vậy OA  OB và OC  OE cùng phương OD vì cùng giá d. b) AB và EC cùng vuông góc d  AB//EC uuu r uuur  AB // EC Bài 4: Cho tamugiác lần trung uuu r ABC. uuur Các uuuu r điểm uuurM,uuN, uu r Pu uur lượt uuu r là u uu r điểm của AB, AC, BC. a) Tìm AM  AN ; MN  NC ; MN  PN ; BP  CP . uuuu r uuur uuuu r b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP . Giải uuuu r uuur uuuur a) AM  AN = NM uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur MN  NC = MN  MP = PN (Vì NC  MP ) uuuu r uuur uuuu r uuur uuur MN  PN = MN  NP = MP uuu r uuu r uuu r uuur uuur BP  CP = BP  PC = BC uuuu r uuur uuur uuuu r b) AM  NP  MP  MN � =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur Tính | AB  AD |;| BA  BC |;| OB  DC | Giải � =600 nên AC= a 3 Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD và uuu rBD=a. uuur Khiuuđó ur ta cóuu:u r uuur AB  AD  AC | AB  AD | AC  a 3 B A C -9- WWW.ToanCapBa.Net D uuu r uuur uuu r uuu r uuur WWW.ToanCapBa.Net BA  BC  CA �| AB  AD | CA  a 3 uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur a 3 OB  DC  DO  DC  CO �| OB  DC | CO  2 Bài 6: Cho hình uuu rvuông uuu r ABCD uuu r cạnh uuur a cóuuO ur là ugiao uur điểm của hai đường chéo. Tính | OA  CB |; | AB  DC |;| CD  DA | Giải uuu r uuu r uuur uuu r uuur Ta có AC=BD= a 2 ; OA  CB  CO  CB  BO uuu r uuu r a 2 | OA  CB | BO  2uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur | AB  DC || AB |  | DC | 2a (vì AB ��DC ) uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur Ta có CD  DA  CD  CB  BD  | CD  DA |=BD= a 2 Do đó * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh. Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.      Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB (theo 3 cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  BD  DB  AD  CB Cách 2: u (sử uu r dụng uuurhiệu) uuu r uuur uuur uuur AB  AD  CB  CD � DB  DB Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, uuu r E,uuF. u r uuur uuur uuur uuur Chứng minh: AB  BE  CF  AE  BF  CD Giải uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur VT = AB  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF uuur uuur uuur uuur uuur uuu r = AE  BF  CD  ED  DF  FE uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r = AE  BF  CD (vì ED  DF  FE  0 )=VP đpcm Bài 9: Cho 5 điểm A, B, u C, E.uur uuur uuu uurD, u r uuu r uuu r Chứng minh rằng: AC  DE  DC  CE  CB  AB Giải uuur uuur uuu r uuur Ta có  DC  CD;  CE  EC nên uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r VT = AC  DE  DC  CE  CB = AC  DE  CD  EC  CB uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r = AC  CD  DE  EC  CB  AB =VP đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm Ouubất u r kìuuta u r có:uuur uuuu r uuur uuu r OA  OB  OC  OM  ON  OP Giải uuu r uuu r uuur VT = OA  OB  OC uuuu r uuur uuur uuur uuu r uuur = OM  MA  ON  NB  OP  PC uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuur = OM  ON  OP  MA  NB  PC -10- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net uuur uuuur uuur Mà NB  NM  NP uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuu r uuur r  MA  NB  PC = MA  NM  NP  PC  NA  NC  0 uuuu r uuur uuu r  VT= OM  ON  OP =VP đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ     1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC 5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.      CMR : AB + CD + EA = CB + ED 6. Cho 6 điểm B, uuur A,uu ur C,uD, uurE, F. uuur uuur uuu r CMR : AE  BF  CD  AF  BD  CE 7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.         CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF 8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :     a/ DO + AO = AB      c/ OA + OB + OC + OD = 0      b/ OD + OC = BC  d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý) 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.     CMR : OD + OC = AD + BC    10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'       CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .   11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính  AB  AD  theo a 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.       a/ Tính  AB  AD  b/ Dựng u = AB  AC . Tính  u  13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a     a/ Dựng v = AB  AC . b/ Tính  v . uuu r uuur uuur uuur 14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC , OD có độ dài bằng uuu r uuu r uuur uuur nhau và OA  OB  OC  OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.     2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB  CD = AC + DB 15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :        a/ CD + FA  BA  ED + BC  FE = 0             b/ AD  FC  EB = CD  EA  FB c/ AB  DC  FE = CF  DA + EB 16. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :         a/ MA  MB + MC = 0 b/ MB  MC + BC = 0         c/ MB  MC + MA = 0 d/ MA  MB  MC = 0      e/ MC + MA  MB + BC = 0 -11- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.       a/ Tính  AD  AB  b/ Dựng u = CA  AB . Tính  u  18. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.   a/ Tính  AB  AC    b/ Tính  BA  BI    19. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB  AC  BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau: � uu r uuur uuur uuu r a) v  u b) m  AB  CD  BC  DA AB  DC  BD  CA ur uuu r uuur uuur uuur c) n  BC  CD  AB  DB . d) p  AB  BC  CD  DE uuur r uuur r Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b r r uuur uuur uuur uuur Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b uuur uuur uuur uuur Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a. Bài 4: Cho hình nhật ABCD uuur chữ uuuu r có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa uuur a)  AO - AD =  MO  uuur uuur uuur b)  AC - AD =  NB  Bài 5: Cho 7 điểm Au;uu B ; D ; Euu;u . Chứng minh rằng : r ; Cuu rF ; G uuur ur uuur a) AB + CD + EA = CB + ED r uuur uuu uuur uuu r uuu r uuur b) AD + BE + CF = AE + BF + CD uuu r uuur uuu r uuur uuur uur uuur c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF uuur uuu r r uuur uuu r uur uuur d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0 Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA  OB OM , OA  OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ? Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OA  OB  OC  OD  OE O Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có: OA  OB  OC OA'  OB'  OC ' Bài 9: Chouu lụ ur giác uuurđềuuuABCDEF ur uuur ucó uur tâm uuu rlà Or . CMR : uuur uuur uuur r a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 b) OA + OC + OE = 0 uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng HB + HC = HD uuur uuur uuur uuuur b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH ' uuur uuu r uuur uuu r Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng :  CA + CB  =  CA - CB  -12- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net VỚI MỘT SỐ r r PHÉP NHÂN rVECTƠ r 1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k  � ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: r r + c cùng phương a r r + c cùng hướng a khi k>0 r r + c ngược hướng a khi k<0 r r r + | c |=| k a |=|k|.| a | r r r r Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0 r r 2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h  �, khi đó r r r r + k( a + b )= k a +k b r r r + (k+h) a = k a +h b r r + k(h a )= (kh) a r r r r + 1. a = a ; (1) a = a * Tính chất trung điểm: Irlà trung uuurNếu uuu uuu r điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có: MA  MB  2MI * Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có: uuur uuur uuuu r uuuu r MA  MB  MC  3MG 3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r r r  a , b ; a cùng phương b ≠ 0   0≠k  � : a =k b r r r r r r r ( a , b ; b cùng phương a ≠ 0   0≠k  � : b =k a ) 4) Điều kiện để ba điểmuu A, ur B, C thẳng hàng uuu r uuur uuu r  AB cùng phương AC  0≠k  � : AB  k AC 5) Phân tích (biểu diễn) một r vectơ theo hai vectơ không cùng phương: r r r Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó  x bao giờ cũng tìm được hai số m, r r r n sao cho: x = m a +n b . A Nếu G là trọng tâm AG= AG=2GI G B 2 1 AI; GI= AI 3 3 C I CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN r 1. Xác định vectơ k a r PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất r uuu r 1) Cho a  AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho : uuuu r r uuur r OM  3a; ON  4a r Giải a N O M r r r Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O  giá của a thì d là giá của a ) -13- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net r uuuu r r uuuu r r  Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM  3a . r uuur r uuur r  Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON  4a 1 2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các 5 đẳng thức sau: uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r a ) AM  k AB; b) MA  k MB; c) MA  k AB Giải A M B uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r | AM | AM 1 1 r   , vì AM ��AB  k= a) AM  k AB �| k | uuu AB 5 5 | AB | 1 1 b) k=  c) k=  4 5 r r 3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a r r r r b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b Giải r r r r a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a r r r r r r r r r r b) (2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b c) Tương tự 2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương 1) Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và r uuur r uuur uur uuur uuur uuur I là giao điểm của AD và EF. Đặt u  AE ; v  AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC theo r r hai vectơ u, v . A uur 1 uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r AD  ( AE  AF )  u  v ) 2 2 2 2 uuur 2 uuur 2 r 2 r AG  AD  u  v 3uu 3ur 3r uuur u r uu r DE  FA   AF  0.u  (1)v uuur uuu r uuur uuur r r DC  FE  AE  AF  u  v Giải Ta có AI  C uuuu r 2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai r uuur r uuur vectơ u  AB, v  AC . Giải uuuu r uuu r uuuu r uuu r 2 uuur BC 3 uuur uuur uuu r mà BC  AC  AB uuuu r uuu r 2 uuur uuu r 1r 2r  AM  AB  ( AC  AB )  u  v 3 3 3 Ta có AM  AB  BM  AB  3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng uuur uuu r uuur uuu r + A, B, C thẳng hàng  AB cùng phương AC  0≠k  � : AB  k AC uuu r uuur + Nếu AB  kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD. -14- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 1 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC. 3 Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải uur uuu r uuuu r uuu r 1 uuur 2 BI  BA  BM  BA  BC 2 Ta có uur uuu r uuur 4 BI  2 BA  BC (1) Ta có uuur uuu r uuur uuu r 1 uuur BK  BA  AK  BA  AC 3 uuu r 1 uuur uuu r 2 uuu r 1 uuur  BA  ( BC  BA)  BA  BC 3 3 3 uuur uuu r uuur 3BK  2 BA  BC (2) uuur uur uuur 4 uur Từ (1)&(2) 3BK  4 BI � BK  BI  B, I, K thẳng hàng. 3 2) Cho tam giác ABC. u Hai xác uur điểm uuur M,r Nuđược uu r uu u r định uuurbởir hệ thức: BC  MA  0 , AB  NA  3 AC  0 . Chứng minh MN//AC Giải uuur uuur uuu r uuu r uuur r BC  MA  AB  NA  3 AC  0 uuur uuuu r uuur r uuuu r uuur hay AC  MN  3 AC  0 � MN  2 AC uuuu r uuur uuur uuuu r MN / / AC . Theo giả thiết BC  AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành  M không thuộc AC MN//AC 4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số 1) Gọi M, N u lần uuu rlượtuulà ur trung uuur điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: 2MN  AC  BD M Giải uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur VP  AC  BD  AM  MN  NC  BM  MN  ND uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur  2MN  AM  BM  ND  NC uuuu r  2MN A C N B D uuu r uuur uuur uuur 2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB  2 AC  AD  3 AC . Giải uuu r uuur uuur Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB  AD  AC uuur uuur uuur uur  VT= AC  2 AC  3 AC  VP (đpcm) 3) Chứng minh rằng lần uuuurnếuuuuG r và uuurG’ uu uu r lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG '  AA '  BB '  CC ' . Giải -15- WWW.ToanCapBa.Net uuur uuur uuuu rWWW.ToanCapBa.Net VP  AA '  BB '  CC ' uuur uuuu r uuuuu r uuur uuuu r uuuuu r uuur uuuur uuuuu r  AG  GG '  G ' A '  BG  GG '  G ' B '  CG  GG '  G ' C ' uuuu r uuur uuur uuur uuuuu r uuuuu r uuuuu r  3GG '  AG  BG  CG  G ' A '  G ' B '  G ' C ' uuuu r uuu r uuu r uuur uuuuu r uuuuu r uuuuu r  3GG '  (GA  GB  GC )  G ' A '  G ' B '  G ' C ' uuuu r  3GG ' 5. Xác định uuu rvị trí r của một điểm nhờ đẳng thức véctơ + ‫ۺ‬AB  0 A rB uuuu r r + Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM  a uuu r uuur ‫ۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺ‬+ AB AC B uuur C ; AD uuur BD A B uuur uuur 1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG  2GD . Giải uuur uuur A AG  2GD  A,G,D thẳng hàng. AG=2GD gà G nằm giữa A và D. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. G uu r uur r 2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA  2 IB  0 . HD I B I A C D B uu r uur r uu r uur uu r uur IA  2 IB  0  IA  2 IB  IA  2 IB uu r uur 1 uuu r uuu r uuu3r uuur r 3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA  GB  GC  GD  0 hay IA=2IB , IA   IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB Giải uuu r uuu r uur Ta có GA  GB  2GI , trong đó I là trung điểm AB uuur uuur uuur Tương tự GC  GD  2GK , K là trung điểm CD uuu r uuu r uuur uuur uur uuur GA  GB  GC  GD  2GI  2GK uur uuur r hay GI  GK  0 I B C K A  G là trung điểm IK D BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.     a/ CMR : AM + BN + CP = 0       b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP   Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC      a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM   b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG -16- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.    a/ CMR : AD + BC = 2 EF      b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0      c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)     d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD  nhỏ nhất Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.      a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0         b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH     c/ CMR : AB  AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.     CMR : AD + BE + CF = 3 GH Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :      a/ OA + OB + OC + OD = 0     b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB     c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC 1   Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = NC . 2 Gọi K là trung điểm của MN.  1  1   a/ CMR : AK = AB + AC 4 6 1  1  b/ CMR : KD = AB + AC 4 3     Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : 1  1   a/ AM = AB + AC 3 8 1  3   b/ MI = AB + AC 6 8 Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a u uuu uuu uuu a) Phân tích AD theo AB và AF b) Tinh 1 uuu 1 uuu AB  BC theo a 2 2 Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC). uuuu uuu uuu Phân tích AM theo AB và AC Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung uuu uuu uuu điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC . Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. uu uu uuuuuu a) Tính AI , AJ theo AB, AC -17- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net uuur uur uuur b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ   Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.         Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0     a/ Tính PM , PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau : uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r ur uuur uuur   C� a/ MA  MB . b/ MA  MB  MC  O c/ |   �� uuuu r uuur  uuuu r uuuur uuuu r uuur uuuu r uuuur   C�  �    � d/ � e/ |   C�  �    �  -18- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ r  Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng r 1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox r i x x 'r O I O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.  Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục r uuuu r r + Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM  mi . Số m gọi là r uuuu r tọa độ của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của OM ). r r r r + Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u  xi . Số x gọi là tọa độ của r r vectơ u đối với trục (O; i ).  Độ dài đại số của vectơ trên trục r r Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho. r Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i *Nhận xét:uuu r r + Nếu AB ��i thì AB = AB uuu r r + Nếu AB ��i thì AB = AB r + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = ba  Tính chất: uuu r uuur uuu r uuur + AB  CD � AB  CD + AB  BC  AC (hệ thức Salơ) 2. Hệ trục tọa độ y  j  i O x  Hệ trục tọa độ Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oyr vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là r r r i , vectơ đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ). + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.  Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ r r r r r r Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a . r r Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y) r r Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’)  r r x  x' a =b � y  y ' r r  Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó: r r 1) a  b = (x  x’; y  y’) -19- WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net r 2) k a =(kx ; ky) với  k � r r 3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’) r r r r r x y x  kx ' � xy ' yx '  0 4) a // b  0  có số k thỏa a =k b    y  ky ' x' y'   Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ uuuu r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, uuuu r y cặp số (x ; y) là tọa độ của M  OM =(x ; y) M(x;y) M2 Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y) + x gọi là hoành độ điểm tung độ điểm M r M,ry gọiuulà uuuu r uu r M1 O x + M(x ; y) OM  xi  y j  OM =(x;y) x= OM1 ; y= OM 2 + Gốc tọa độ là O(0;0) uuuu r  Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ; yuu M) và N(xN ; yN) ta có : uu r MN = (xM – xN ; yM – yN)  Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì: xP = xM  x N y  yN ; yP = M 2 2  Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo công thức: xG = x A  xB  xC y  yB  yC ; yG = A 3 3 1) | u | = x 2  y 2 với u = (x;y)  2) | AB | = ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB) 3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k 1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø: x  kx B y  ky B xM  A yM  A ; (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB) 1 k 1 k 4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng xC  x A yC  y A uuur uuu r xC  x A yC  y A  �  AC / / AB   ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi xB  x A y B  y A x x y y   B -20- WWW.ToanCapBa.Net A B A
- Xem thêm -