§Ò c¬ng «n tËp hÌ
M«n : To¸n 10-n¨m 2010
A. §¹i sè
TiÕt 1+2:
Bµi 1: Hµm sè
I.Hµm sè bËc nhÊt:
1.§Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt:
+D¹ng : y= ax+b (a 0)
+TXD: D=R
+Hµm sè ®ång biÕn nÕu a > 0.
+ Hµm sè nghÞch biÕn nÕu a <0.
b
+®å thÞ lµ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(0;b) vµ B( ;0).
a
2.C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n:
D¹ng 1: vÏ ®å thÞ hµm sè:
Bµi 1: VÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
a. y= 2x-3
b. y= -x+2
c. y= -3x -2
d. y= 4x+3
D¹ng2: X¸c ®Þnh hµm sè biÕt tÝnh chÊt cña nã:
Bµi2: T×m a sao cho hµm sè sau: y=2x - a(x-1)
a.Đi qua gèc to¹ ®é O.
b.§i qua A(-1;2).
c. song song víi ®êng th¼ng y= -3x-2.
Bµi 3: Trong mçi trêng hîp sau x¸c ®Þnh a vµ b sao cho ®êng th¼ng y=ax+b
a.C¾t ®êng th¼ng y=2x+5 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng -2 vµ c¾t ®êng th¼ng y=-3x+4 t¹i ®iÓm cã tung ®é
b»ng -2.
1
1
b.Song song víi ®êng th¼ng y= x vµ ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng y x 1 vµ y=3x+5.
2
2
TiÕt 3+4:
II.Hµm sè bËc hai:
1.§Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt:
+D¹ng: y= ax 2 bx c(a 0)
+ TXD: D=R
+B¶ng BiÕn thiªn:
+D¹ng ®å thÞ : §å thÞ cña hµm sè y= ax 2 bx c(a 0) lµ parabol cã ®Ønh lµ ®iÓm (
b
;híng bÒ lâm lªn khi a>0 vµ xuèng khi a<0.
2a
*PhÐp tÞnh tiÕn ®å thÞ:Cho hµm sè y= f(x) cã ®å thÞ (C) ;p vµ q lµ hai sè kh«ng ©m.
+Khi tÞnh tiÕn (C) lªn trªn q ®¬n vÞ , ta ®îc ®å thÞ cña hµm sè y= f(x)+q.
+ Khi tÞnh tiÕn (C) xuèng díi q ®¬n vÞ ,ta ®îc ®å thÞ hµm sè y=f(x)-q.
+Khi tÞnh tiÕn (C) sang tr¸i p ®¬n vÞ ,ta ®îc ®å thÞ hµm sè y=f(x+p).
+Khi tÞnh tiÕn (C) sang ph¶i p ®¬n vÞ , ta ®îc ®å thÞ hµm sè y=f(x-p).
®èi xøng lµ ®êng th¼ng x=
2.C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n:
b
) ;cã trôc
;
2a 4a
1
Bµi1: Cho hµm sè: y= x 2 (C)
2
a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho
b. NÕu tÞnh tiÕn (C) lªn trªn hai ®¬n vÞ ta ®îc ®å thÞ hµm sè nµo?
c. NÕu tÞnh tiÕn (C) xuèng díi ba ®¬n vÞ ,ta ®îc ®å thi hµm sè nµo?
d. NÕu tÞnh tiÕn (C) sang ph¶i mét ®¬n vÞ ta ®îc ®å thÞ hµm sè nµo?
e. NÕu tÞnh tiÕn (C) sang tr¸i bèn ®¬n vÞ ta ®îc ®å thÞ hµm sè nµo?
2 2
x (C)
3
a.VÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè trªn
b.Tõ ®é thÞ (C) ,b»ng phÐp tÞnh tiÕn h·y vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
Bµi2: Cho hµm sè y
+y
2 2
x 1
3
+y
2 2
x 2
3
2
+ y ( x 2) 2
3
2
+ y ( x 3) 2
3
2
+ y ( x 1) 2 2
3
Bµi 3: Cho hµm sè: y= x 2 4 x 3 (C)
a.VÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho
b. Dùa vµo ®å thÞ (C) h·y chØ ra kho¶ng mµ trªn ®ã hµm sè chØ nhËn gi¸ trÞ d¬ng
c. Dùa vµo ®å thÞ (C) h·y chØ ra c¸c kho¶ng mµ trªn ®ã hµm sè chØ nhËn gi¸ trÞ ©m.
Bµi tËp t¬ng tù
Bµi 1:T×m hµm sè y=ax+b mµ ®å thÞ cña nã ®i qua hai ®iÓm A(2;-1) vµ B(-1;8).H·y vÏ ®å thÞ ®ã
Bµi 2: a. T×m hµm sè y=ax +b mµ ®å thÞ cña nã song song víi ®êng th¼ng y=3x vµ ®i qua giao ®iÓm cña
hai ®êng th¼ng y=-x+1 vµ y=2x-3
b.x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè avµ b sao cho ®å thÞ cña hµm sè y= ax+b ®i qua c¸c ®iÓm sau:
2
+A( ; 2) vµ B(0;1)
3
+ M(-1;-2) vµ N(99;-2)
+ P(4;2) vµ Q(1;1)
Bµi 3:T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ sau:
a.y= 6 x 2 3 x 1 vµ y= 2x+5
b. y 8 x 2 9 x 14 vµ y 7 x 2 4 x 6
bµi 4:LËp b¶ng biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè sau:
a. y x 2 2 x 2
b. y x 2 4 x 3
Bµi 5: X¸c ®Þnh hµm sè bËc hai y= ax 2 4 x c , biÕt r»ng ®å thÞ cña nã :
a.Đi qua hai ®iÓm A(1;-2) vµ B(2;3)
b.Cã ®Ønh lµ I(-2;-1)
c.Cã hoµnh ®é ®Ønh lµ -3 vµ ®i qua ®iÓm P(-2;1)
d.Cã trôc ®èi xøng lµ ®êng th¼ng x=2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm Q(3;0)
TiÕt:5-13:
phÇn II : Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh
I.ph¬ng tr×nh d¹ng :ax+b=0
+ D¹ng : ax+b=0 (1)
+ C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn :
(1) ax=-b
- NÕu a 0 , th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt: x=
-NÕu a=0 khi ®ã (1) 0x=-b
. NÕu b=0 th× ph¬ng tr×nh ®óng víi mäi x R
. NÕu b 0 th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
1. D¹ng 1 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh d¹ng ax+b =0
vÝ dô 1: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. m(x+2)=3x+1
b. m 2 ( x 1) 4 x 2m
c.3(m-2)x+5=3x-2(m+1)
d .m 2 ( x 2) 4( x m)
e.x 3m 2 m 2 ( x 1)
f .(m 2 1) x (3 x)m 2
2.D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh quy vÒ d¹ng ax+b=0
* D¹ng (a1 x b1 )(a2 x b2 ) 0 (1)
a x b1 0(2)
+ BiÕn ®æi (1) 1
a2 x b2 0(3)
+ Gi¶i biÖn luËn (2) vµ (3)
+ kÕt luËn.
VÝ dô2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.(2x-3)(3+4x)=0
b.(3x+4)(5x-2)=0
3.D¹ng 3:
(ax b) 2 (cx d ) 2 (1)
ax b cx d
(1)
ax b (cx d )
VÝ dô 3: gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
b
a
a.(2 x 3) 2 (5 2 x) 2 ; b.(3 x 4) 2 (2 x 3) 2 ; c.(4 5 x) 2 (3 x 1) 2
4.D¹ng 4: ax b cx d (1)
cx d 0
(1) ax b cx d
ax b (cx d )
VÝ dô 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 2 x 3 x 3; b. x 4 3 x 6; c. 3 x 5 x 1; d . 1 2 x x 2
ax b cx d (1)
5.D¹ng 5:
ax b cx d
(1)
ax b (cx d )
VÝ dô 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 2 x 3 x 2
b. 3 x 1 2 x 3
c. 2 x 1 3 2 x
II.Ph¬ng tr×nh v« tØ
6.D¹ng 6:
f ( x) g ( x)(1)
f ( x) 0
(1) (1)
f ( x) g ( x)
VÝ dô 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 2 x 1 3 x 2
b. 2 x 2 x 1 2 x 2 x 3
c. 3 x 2 x 4 3 x 2 2 x 2
7.d¹ng 7:
f ( x) g ( x)(1)
g ( x) 0
(1)
2
f ( x) g ( x)
VÝ dô 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 4 x 2 3 x 2 2 x 1
b. x 2 3 x 3 2 x 1
c. 2 x 2 3 x 1 x 3
c¸c d¹ng bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 2(x+3)-5=3(2-x)+4
b. 3x-7=4(2x+2)-6
c.3-5x=4-(4-3x) d. 6(2-5x)+3=4x-7
Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. (2 x 5) 2 (3 x 4) 2
b. (1 2 x) 2 (2 x 3) 2
c. (5 x 2) 2 ( x 1) 2 0
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.(3x+1)(2x-5)=0
b.(4x+3)(5x-2)=0
c.(3-7x)(4+6x)=0 d.(1-3x)(9x+2)=0
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 4 x 2 x 1
b. x 3 3 x 5
c. 2 x 3 3 x 8
d. 2 x 1 2 x
Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. x 5 3 x 1
b. 2 4 x x 3
c. 3 x 5 1 x 0
d. 5 x 2 3 x 0
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. x 2 x 1 2 x
b. x 2 3 x 2 x 4
d. x 3 3 x 1
c. 2 x 2 3 x 1 x 3
c. 3 x 2 5 x 1 x 4
c. 2 x 3 3 x 2 6 x 1
III.Ph¬ng tr×nh bËc hai
1.Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh d¹ng ax 2 bx c 0
VÝ dô: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.(m 1) x 2 (m 3) x 2 0
b.(4m 1) x 2 4(m 1) x m 0
c.(m 1) 2 x 2 2(m 1) x 1 m 2 0
2.C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai:
a.Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng:
+ D¹ng: ax 4 bx 2 c 0 ( a 0)
+C¸ch gi¶i: §Æt t= x 2 (t 0)
VÝ dô1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.x 4 5 x 2 6 0
b.3 x 4 7 x 2 4 0
b. Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e trong ®ã a+b=c+d
* C¸ch gi¶i: §Æt (x+a)(x+b) = t (*) (®k.......) Ta cã ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t. gi¶i pt bËc hai ®ã t×m t . So
s¸nh ®k . thay vµo (*) gi¶i t×m x.
VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.( x 1)( x 6)( x 5)( x 2) 252; b.16( x 2 1)( x 2 8 x 15) 105
c.( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 3; d .( x 2 3 x 4)( x 2 x 6) 24
c.D¹ng : ( x a ) 4 ( x b) 4 c
* C¸ch Gi¶i: §Æt x
ab
a b
a b
a b
t xa t
;xb t
.§Æt
, ta cã pt:
2
2
2
2
(t ) 4 (t ) 4 c
2t 4 12 2t 2 2 4 c 0
VÝ dô 3: gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.( x 3) 4 ( x 5) 4 2; b.( x 5) 4 ( x 2) 4 17; c.( x 6) 4 ( x 8) 4 15
d.Ph¬ng tr×nh d¹ng : ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0(*)
*C¸ch gi¶i: + XÐt x=0
+ x 0 , chia hai vÕ cña (*) cho x 2 ,ta ®îc pt: a ( x 2
1
1
) b( x ) c 0
2
x
x
1
§Æt t= ( x ) ta cã ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t
x
VÝ dô 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.x 4 2 x 3 6 x 2 2 x 1 0
b.x 4 10 x 3 26 x 2 10 x 1 0
c.x 4 4 x 3 x 2 4 x 1 0
e.Ph¬ng tr×nh d¹ng: a. f ( x) b f ( x) c 0
+ c¸ch gi¶i: §Æt
f ( x) t (dk :..........)
Ta cã ph¬ng tr×nh: at 2 bt c 0
VÝ dô 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a.( x 1)( x 4) 3 x 2 5 x 2 6; b.x 2 4 x 2 x 2 8 x 12 6 0
c.x 2 x 9 x 2 x 9 12; d .x 2 4 x 3 x 2 4 x 20 10
3
e. x 1 5
x 1
Bµi tËp t¬ng tù: Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai:
1. Ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
f ( x) g ( x)
D¹ng 1: f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
VÝ dô :Gi¶i c¸c pt sau:
a. x 3 2 x 5 ; b. 3 x 1 4 2 x ; c. 3 x 2 3 x 5 ; d . 2 x 3 4; e. 1 4 x 2
f ( x) m
D¹ng 2: f ( x) m(m 0)
f ( x) m
D¹ng 3: f ( x) g ( x) (1)
C¸ch 1: b×nh ph¬ng hai vÕ cña pt (1), Ta ®îc pt hÖ qu¶:
(1) f 2 ( x) g 2 ( x) ..... .... x1 ; x2 .... Thay x1 ; x2 .... vµo pt (1) lo¹i nghiÖm kh«ng tho¶
m·n.
A, khiA 0
C¸ch 2: Sö dông ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : A
A, KhiA 0
+ NÕu f(x) 0; Ta cã pt f(x)=g(x)
+ nÕu f(x) < 0; ta cã pt -f(x)=g(x)
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
C¸ch 3: (1)
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
VÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 2 x 3 x 5; b.2 x 5 3 x 2 ; c. 1 3 x 2 x; d . 3 x 1 x 3
2.Ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n:
D¹ng 1:
f ( x) m(m 0)(1)
§kx® cña pt: f ( x) 0
(1) f ( x) m 2
VÝ dô: Gi¶i c¸c pt sau:
a. 2 x 3 3; b. 3 5 x 4; c. 3 x 1 5; d . 2 5 x 6; e. 1 4 x 3
D¹ng2:
f ( x) g ( x)(1); Dkxd : f ( x) 0
C¸ch1:
g ( x) 0
(1)
2
f ( x) g ( x)
C¸ch 2: B×nh ph¬ng hai vÕ cña pt (1), ta ®îc pt hÖ qu¶: f ( x) g 2 ( x)
VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a. 3 x 1 3 x; b. 2 x 1 2 x; c. 3 2 x x 2; d . x 1 x 1; e. 1 2 x 2 x 1
f . 3 x 3 x 5; g . x 5 2 x 7; h. x 2 x 4
k . x 4 4 x; l. x 2 2 x 2 x 1; m. 4 x 2 x 4 3 x 2
f ( x) 0
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
VÝ dô: Gi¶i c¸c pt sau:
D¹ng 3:
a. 2 x 3 1 4 x ; b. 3 x 4 x 1; c. x 2 4 x 3 2 x 4; d . x 2 2 x 2 x 4
IV.HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
a x b1 y c1
*.D¹ng: 1
a2 x b2 y c2
**. C¸ch gi¶i: Cã thÓ dïng pp thÕ hoÆc céng ®¹i sè hoÆc dïng ®Þnh thøc(quy t¾c crame):
+TÝnh : D
a1 b1
a2 b2
a 1 b2 a2b1 ; Dx
c1 b1
c2 b2
c1b2 c2b1 ; Dy
a1 c1
a2 c2
a1c2 a2 c1
Dx
x D
+ BiÖn luËn:-NÕu D 0,hÖ cã nghÞªm duy nhÊt
y Dy
D
-NÕu D=0 vµ Dx 0 hoÆc Dy 0 th× hÖ v« nghiÖm
-NÕu D= Dx Dy 0 hÖ cã v« sè nghiÖm tho¶ m·n pt: a1 x b1 y c1
1.D¹ng to¸n 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn b»ng quy t¾c crame:
2 x 3 y 5 5 x 6 y 4 2 x 5 y 7
a.
b.
c.
3 x 4 y 1 3 x y 7 4 x 3 y 1
2. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
VÝ dô 1:Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
mx y m 1 mx 4 y m 2 x my 0
a.
b.
c.
x my 2
x my m
mx y m 1
mx 4 y m 2
VÝ dô 3 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
x my m
a.t×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
b.T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt nguyªn
x 2 y 4 m
VÝ dô 4: Cho hÖ ph¬ng tr×nh:
2 x y 3m 3
a.T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
b.T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a nghiÖm (x;y) cña hÖ kh«ng phô thuéc vµo m
c.Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm (x;y) tho¶ m·n: x 2 y 2 ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt.
bµi tËp t¬ng tù
Bµi1: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
mx (m 2) y 2
(m 1) x y 2m 2
; b.
a
2mx 3(m 1) y 3 x (m 1) y m
mx y 2m
Bµi 2:Cho hÖ :
x my m 1
a.Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh trªn theo m.
b.Khi hÖ cã nghiÖm ( x0 ; y0 ) t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x0 , y0 kh«ng phô thuéc m
c.Khi hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ( x0 ; y0 ), t×m gi¸ trÞ nguyªn cña m sao cho x0 , y0 lµ nh÷ng sè nguyªn
Bµi 3: T×m m ®Ó hÖ pt sau cã v« sè nghiÖm
mx y 3
4 x my 6
Bµi 4: T×m m ®Ó hÖ pt sau cã nghiÖm (x;y) nguyªn
mx 2 y m 1
mx y 3m
a.
; b.
2 x my 2m 1 x my 2m 1
Bµi 5: Cho hÖ pt:
(m 1) x my 2m 1
a.
2
mx y m 2
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm (x;y) mµ tÝch x.y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
V.HÖ ph¬ng tr×nh bËc hai hai Èn
1.HÖ gåm 1pt bËc nhÊt vµ 1 pt bËc hai:
ax 2 bxy cy 2 dx ey f (1)
+ D¹ng :
a1 x b1 y c1 (2)
+C¸ch gi¶i: rót 1Èn tõ pt (2) thÕ vµo pt (1)
VÝ dô 1: gi¶i hÖ pt sau:
9 x 2 4 y 2 36
a.
2 x y 5
VÝ dô 2: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c hÖ pt sau theo m:
x 2 4 y 2 8 9 x 2 16 y 2 144
a.
b.
x
2
y
m
x y m
VÝ dô 3: t×m a ®Ó hÖ pt sau cã nghiÖm duy nhÊt;
x2 y 2 1
x y a
2.HÖ pt ®èi xøng lo¹i I:
+ §N : HÖ hai pt chøa Èn x,y gäi lµ ®èi xøng lo¹i 1 nÕu mçi pt cña hÖ kh«ng thay ®æi nÕu ta ho¸n vÞ xvµ y.
x y S
+ C¸ch Gi¶i: §Æt :
, ( S 2 4 P)
xy
P
biÕn ®æi hÖ ®· cho vÒ hÖ hai Èn S vµ P.Gi¶i hÖ nµy t×m SvµP.
Víi mçi cÆp (S;P),( S 2 4 P ) , x;y la lµ nghiÖm cña pt : X 2 SX P 0
Lu ý : nÕu hÖ cã nghiÖm (x;y) th× còng cã nghiÖm (y;x)
VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c hÖ pt sau:
1
x 2 y xy 2 2
x y xy
x
y
4
x
xy
y
11
2
a. 2
; b. 2
; c. x y 5
; d.
2
2
x xy y 13 x y xy 30 y x 2 0 xy ( x y ) 5
2
x2 y 2 m
VÝ dô 2 :Cho hÖ pt:
x y 6
a.Gi¶i hÖ khi m=26
b.T×m m ®Ó hÖ v« nghiÖm
c.T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
d.T×m m ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt
VÝ dô : t×m m ®Ó hÖ pt sau cã nghiÖm duy nhÊt :
x y xy m xy x y m 2
a. 2
; b. 2
2
2
x y m
x y xy m 1
Hd: -§iÒu kiÖn cÇn: NÕu hÖ cã nghiÖm (a;b) th× còng cã nghiÖm(b;a),thay vµo hÖ ,suy ra m
-§iÒu kiªn ®ñ: thay c¸c gi¸ trÞ m võa t×m ®îc vµo hÖ vµ thö l¹i vµ kÕt luËn.
VÝ dô 3: gi¶i c¸c hÖ pt sau:
2 x 2 2 y 2 3 xy 4 x 4 y 15
a. 2
(ds : (3; 5), (5;3))
2
x xy y 19
3 x 2 3 y 2 3 xy 2 x 2 y 1 0
1 2
2 1
b. 2 1
ds : ( ; ), ( ; )
2
3 3
3 3
2 x xy 2 y x y 2 0
2
x 2 y 2 xy x y 15 0
c.
ds : vn(t x)
2 x xy 2 y 3 0
3 x 2 3 y 2 5 xy x y `1 0
1 37 1 37 1 37 1 37
d.
ds : (
;
), (
;
)(t x)
6
6
6
6
3 x 3 y xy 2 0
3. HÖ ®èi xøng lo¹i II
+§N: HÖ hai pt Èn x,y ®îc gäi lµ ®èi xøng lo¹i II nÕu ho¸n vÞ x,y th× pt nµy biÕn thµnh pt kia cña hÖ.
+C¸ch gi¶i: Trõ vÕ víi vÕ cña hai pt cña hÖ ,ta ®îc pt cã d¹ng(x-y)g(x,y)=0
Tõ ®ã ta cã hai hÖ pt.
VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c hÖ pt sau;
y
x 3y 4
x y y x 13 x 4 y 2 x 3 x y 2
x
a.
; b. 2
; c. 2
; d.
2
2
y x x y 13 y 4 x 2 y 3 y x 2 y 3 x 4 x
y
2
2
2
2
x y 2 y m
VÝ dô 2: Cho hÖ :
2
y x x m
a.Gi¶i hÖ khi m=0
b.T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
c.T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.(hÖ cã nghiÖm (a;b)th× còng cã nghiÖm (b;a) suy ra a=b)suy m=1
x 2 y axy
VÝ dô 3 ; Cho hÖ : 2
y x axy
T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.§S: a=1
x 2 3 x 2 y x 2 2 y 2 2 x y x 1 y 7 4
VÝ dô 4: Cho hÖ 2
; b. 2
; c.
2
y 3 y 2 x y 2 x 2 y x y 1 x 7 4
Gi¶i c¸c hÖ pt trªn
4 x 2 5 x 3my
VÝ dô 5: Cho hÖ: 2
4 y 5 y 3mx
a.Gi¶i hÖ khi m=1
b.t×m m ®Ó hÖ cã hai nghiÖm.
Bµi 4: bÊt ph¬ng tr×nh
I.DÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt : y= ax+b (a 0)
1. B¶ng xÐt dÊu:
+ a> 0:
x
-
f(x)
+ a< 0:
x
-
-
f(x)
b
a
0
+
+
+
b
a
+
0
-
2. øng dông:
* XÐt dÊu biÓu thøc chøa nhÞ thøc bËc nhÊt :
vÝ dô 1: xÐt dÊu c¸c nhÞ thøc sau:
a. f(x)= 2x-5
b.f(x)= -5x-6
c.f(x)= -4x+1
vÝ dô 2:xÐt dÊu c¸c biÓu thøc sau:
a. f(x)= (2x-3)(3x+5)
d.f(x) = ( x 2 4)(2 3 x)
b.f(x)= (2-5x)(3x-1)(x+2)
e. f ( x)
3 x 5
9 x2
g.f(x) =
d.f(x) = 2x+3
c. f(x)=
(2 x 3)(3 x 7)
2 5x
(2 x 5)(1 3 x)
1
3
h. f ( x)
x 1
x 2 2x 3
* Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh
vÝ dô 3: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
1
2
3
3
2; b.
4; c.
1; d .
2; e.(2 x 3)(4 x) 0; f .( x 3)(3 x 5) 0
2x 1
3x 1
2 x 3
4 x 1
vÝ dô 4: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a.
a. 2 x 3 x 2 2 x 5; b. 3 x 2 x 1 0; c. 2 x 5 3 x 1 0
vÝ dô 5: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a. 2 x 3 3
b. 4 2 x 5
c. 3 x 2 4; d . 4 x 3 2
d. 2 x 3 3 x 2
e. 4 x 3 5 x 3 ; f 1 3 x 4 x 2 ; g . 2 3 x 3 x 1
vÝ dô 6: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a 2 x 3 3 x 1 0; b. 2 4 x 2 x 5; c. 4 x 1 3 x 5 2; d . 3 4 x 3 x 1 0
vÝ dô 7: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a.
1
2
3
1
2
1
1
2
; b.
c.
; d.
x 2 x 1 2 x 1 3x 2 4 x 3 3x 5
x 3 x 1
II.DÊu cña tam thøc bËc hai:
1.®å thÞ hµm sè y= ax 2 bx c (a 0) vµ dÊu cña f(x)
2. øng dông :
!. xÐt dÊu tam thøc bËc hai:
a.f(x)= 2 x 2 3 x 4
b. f(x)= x 2 3 x 2
c.f(x)= x 2 6 x 9
d.f(x)= 2 x 2 5 x 7
!!.gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh bËc hai:
vÝ dô1 : gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a. 2 x 2 3 x 2 0
3
1
2
x 4x 3
d.
b. x 2 7 x 6 0
e.
c.- x 2 12 2 x 9 0
x 2 3x 1
1
x2 4x 3
f.
2 x2 5x 3
0
x 2 3x 2
!!!. xÐt dÊu c¸c biÓu thøc
vÝ dô 2: xÐt dÊu c¸c biÓu thøc sau:
a.f(x)= ( x 2 8 x 15)( x 2 3 x 4)
c. f ( x)
b.f(x)=( x 2 9)(3 x 2 4 x 1)
2x 3
x2 4x 3
;
d
.
f
(
x
)
x2 5x 6
2x 1
VÝ dô 3: Gi¶i c¸c hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau:
2
x 3 x 2 0
a. 2
2 x 5 x 3 0
2
2 x 13 x 18 0
b. 2
3 x 20 x 7 0
2
x 6 x 8 0
c. 2
x 5 x 6 0
2
x 7 x 12 0
d.
2
2 x 7 x 5 0
*D¹ng to¸n 1: T×m gi¸ tri cña tham sè ®Ó tam thøc bËc hai gi÷ nguyªn dÊu.
pp: Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax 2 bx c (a 0)
0
+ f(x) = ax 2 bx c > 0 víi mäi x
a 0
0
+ f(x) = ax 2 bx c < 0 víi mäi x
a 0
0
+ f(x) = ax 2 bx c 0 víi mäi x
a 0
0
+ f(x) = ax 2 bx c 0 víi mäi x
a 0
VÝ dô 4: t×m m ,®Ó c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:
a. (2m 3) x 2 6mx 4 0 (vn)
b. (1 4m) x 2 3(m 2) x m 0 ( m
VÝ dô 5: T×m m ,®Ó c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x:
a. x 2 (2m 1) x 3 0
b. (m 1) x 2 2(m 1) x 3m 3 0
VÝ dô 6: T×m m ®Ó c¸c pt sau cã nghiÖm:
(m 4) x 2 2(m 2) x 2m 1 0; b.(2m 1) x 2 (3m 1) x m 1 0
c.(m 2 5) x 2 (m 4) x 2 0
20 2 163
)
7
VÝ dô 7: T×m m ®Ó c¸c biÓu thøc sau lu«n d¬ng :
a.x 2 4 x 3m
b. x 2 (m 2) x 2m 1
c. (2m 1) x 2 (m 3) x 5
VÝ dô 8: T×m tËp x¸c ®inh cña c¸c hµm sè sau :
a. f ( x)
2x 1
; b. f ( x)
x2 4
x2 5x 4
; c. f ( x)
3x 2
1
2
x 1 x 3
Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 1:
Cho tam thøc bËc hai: f(x)=( m 1) x 2 2mx 4(m 1)
a.T×m m ®Ó f(x)>0 víi mäi x
b. t×m m ®Ó f(x) 0 víi mäi x
c.t×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh f(x) >0 v« nghiÖm
d.T×m m ®Î bÊt ph¬ng tr×nh f(x) < 0 v« nghiÖm
Bµi 2:T×m m sao cho víi mäi x,ta cã:
a. 5 x 2 x m 0
b. mx 2 10 x 5 0
c. mx 2 2(m 1) x 4m 0
d.( m 2) x 2 (3m 1) x m 1 0
Bµi 3:T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh: mx 2 2(m 1) x m 3 0
a.Cã hai nghiÖm ttr¸i dÊu.
b.Cã hai nghiÖm d¬ng.
c. Cã hai nghiÖm ©m.
Bµi 4: T×m m sao cho ph¬ng tr×nh: x 4 (1 2m) x 2 a 2 1 0
a. V« nghiÖm;
d. Cã ®óng 3 nghiÖm
b.cã ®óng 1 nghiÖm
c. Cã ®óng hai nghiÖm
e. Cã ®óng 4 nghiÖm
Bµi 5 : Cho tam thøc f(x)= (m+1)x 2 2mx 4(m 1)
a.T×m m ®Ó f(x)>0 víi mäi x.
b. T×m m ®Ó f(x) 0 víi mäi x.
c.T×m m ®Ó bÊt pt f(x)>0 v« nghiÖm
d.T×m m ®Ó bÊt pt f(x) < 0 v« nghiÖm.
Bµi 6: T×m m ®Ó c¸c biÓu thøc sau lu«n d¬ng :
a.x 2 4 x m 5
c. c.x 2 4 x (m 1) 2
b. x 2 (m 2) x 8m 1
d. (3m 1) x 2 (3m 1) x m 4
Bµi 7: T×m m ®Ó c¸c biÓu thøc sau lu«n ©m:
a. (m 4) x 2 (m 1) x 2m 1
b. (m 2) x 2 5 x 4
Bµi 8: gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a.
2x 1 x 5
x 1 x 1
b.
x2 x 2
3
2
x 4
x2
c.
x 2 3x 8
1
x2 x 1
D¹ng to¸n 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc
1.
f ( x) g ( x) (1)
f ( x) 0
(1) g ( x) 0
f ( x) g 2 ( x)
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
PhÇnIII: TiÕt14-23 : Gãc lîng gi¸c vµ c«ng thøc lîng gi¸c
I.KiÕn thøc c¬ b¶n:
1.c¸c c«ng thøc lîng gi¸c c¬ b¶n:
a.sin 2 cos 2 1; b.1 tan 2
1
, k , k Z
2
cos
2
1
, k , k Z ; d .tan .cot 1, k , k Z
2
sin
2
c.1 cot 2
2.Gi¸ trÞ lîng gi¸c cña c¸c cung ®èi nhau:
a.cos( ) cos ; b.sin( ) sin ; c.tan( ) tan ; d .cot( ) cot
3. Gia trÞ lîng gi¸c cña hai cung bï nhau:
a.sin( ) sin ; b.cos( ) cos ; c.tan( ) tan ; d .cot( ) cot
4. Gi¸ trÞ lîng gi¸c cña c¸c cung h¬n kÐm :
a.sin( ) sin ; b.cos( ) cos ; c.tan( ) tan ; d .cot( ) cot
5.Gia trÞ lîng gi¸c cña c¸c cung phô nhau:
a.sin( ) cos ; b.cos( ) sin ; c.tan( ) cot ; d .cot( ) tan
2
2
2
2
6.Gi¸ trÞ lîng gi¸c cña c¸c cung h¬n kÐm
2
:
a.sin( ) cos ; b.cos( ) sin ; c.tan( ) cot ; d .cot( ) tan
2
2
2
2
7.C«ng thøc céng:
a. cos(a-b)= cosacosb+ sinasinb
c.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
e.tan(a-b)=
tan a tan b
1 tan tan b
g .cot(a b)
b.cos(a+b)= cosacosb- sinasinb
d.sin(a+b)= sinacosb+ cosasinb
f. tan(a b)
tan a tan b
1 tan tan b
cot a cot b 1
cot a cot b 1
; h.cot(a b)
cot a cot b
cot a cot b
8.C«ng thøc gãc nh©n ®«i:
cos 2 a sin 2 a
a.cos 2a 2 cos 2 a 1
1 2sin 2 a
(sin a cos a ) 2 1
2 tan a
cot 2 a 1
; b.sin 2a 2sin a cos a
; c.tan 2a
; d .cot 2a
1 tan 2 a
2 cot a
2
1 (sin a cos a )
1 tan 2 a
2 tan a
; b.sin 2a
2
1 tan a
1 tan 2 a
Ta còng cã : a. cos 2a
9.C«ng thøc biÓu diÔn theo t=tan
a.sin a
a
2
2t
1 t2
2t
1 t2
;
b
.cos
a
;
c
.tan
a
;
d
.cot
a
1 t2
1 t2
1 t2
2t
10. C«ng thøc nh©n ba:
a.sin 3a 3sin a 4sin 3 a; b.cos 3a 4 cos3 a 3cos a
c.tan 3a
tan a (3 tan 2 a )
cot 3 a 3cot a
(
a
,3
a
k
);
d
.cot
3
a
1 3 tan 2 a
2
3cot 2 a 1
11.C«ng thøc h¹ bËc :
1 cos 2a
1 cos 2a
1
; b.sin 2 a
; c.sin a cos a sin 2a
2
2
2
1 cos 2a
sin 3a 3sin a
cos 3a 3cos a
d .tan 2 a
; e.sin 3 a
; f .cos3 a
1 cos 2a
4
4
a.cos 2 a
12.C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng:
1
1
cos(a b) cos(a b) ; b.sin a sin b cos(a b) cos(a b)
2
2
1
1
c.sin a cos b sin(a b) sin(a b) ; d .cos a sin b [sin(a b) sin(a b)]
2
2
a.cos a cos b
*§Æc biÖt:
a.4 cos x cos( x) cos( x) cos 3 x; b.4 cos x.cos( x) cos( x) cos 3 x
3
3
3
3
c.4 tan x.tan( x).tan( x) tan 3 x
3
3
13.C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch :
ab
a b
ab
a b
cos
; b.cos a cos b 2sin
sin
2
2
2
2
ab
a b
ab
a b
c.sin a sin b 2sin
cos
; d .sin a sin b 2 cos
sin
2
2
2
2
a.cos a cos b 2 cos
sin(a b)
sin(a b)
sin(b a )
(a, b k );; f .cot a cot b
(a, b k ); g .cot a cot b
cos a cos b
2
sin a sin b
sin a sin b
2
cos(a b)
h.tan a cot a
; k .cot a tan b
; l.cot a tan a 2 cot 2a
sin 2a
sin a cos b
e.tan a tan b
§Æc biÖt : y A sin x B cos x A2 B 2 sin( x ) ( y= A2 B 2 cos(a ))
Trong ®ã: cos
A
A B
2
2
;sin
B
A B
2
2
( A2 B 2 0;0 2 )
*sin x cos x 2 sin( x ) 2cos ( x )
4
4
*sin x cos x 2 sin( x ) 2 cos( x )
4
4
*cos a sin a 2 sin( a ) 2 cos( a )
4
4
14.b¶ng gi¸ trÞ lîng gi¸c cña c¸c cung ®Æc biÖt
a
hslg
-
2
-
-
3
- 900
- 600
-1
0
1
2
sina
cosa
3
2
4
- 450
2
2
-
2
2
tana
kx®
cota
0
3
1
3
-1
-
0
6
300
-
0
1
2
0
3
2
0
1
3
900
1200
1350
1500
1800
1
3
2
2
2
6
4
3
300
450
600
2
2
3
2
1
2
1
3
2
0
1
3
kx®
5
6
2
2
3
1
2
0
1
3
1
1
3
3
-1
3
4
2
2
3
kx®
0
1
2
2
2
3
-1
1
3
-1
1
2
0
3
2
-1
1
3
0
3
kx®
VÝ dô 1: Sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng vµ tæng thµnh tÝch ®Ó tÝnh :
1
a.
4 Sin700 ( DS 2)
0
sin10
b.cos140 cos1340 cos1060 ( DS 0)
VÝ dô 2: CMR:
a.sin 200 2sin 400 sin1000 sin 400
b.
sin(450 a ) cos(450 a )
tan a
sin(450 a ) cos(450 a )
c.sin 2000 sin 3100 _ cos 3400 cos 500
3
2
VÝ dô 3: biÕn ®æi thµnh tÝch:
a.A=sina+sinb+ sin(a+b)
b.B= cosa+cosb+cos(a+b)+1
c.C=1+sina+sinb
d.D=sin3a=sin3a+sin 5a+sin7a
II. C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n:
1.sö dông c¸c c«ng thøc lîng gi¸c c¬ b¶n :
Bµi 1 : TÝnh c¸c gi¸ trÞ lîng gi¸c cña cung biÕt :
a.sin
3
2
3
vµ b. b.cos ,
; c.tan 3, ; d .cot 2, 0 2
4
2
3
2
2
Bµi 2: CMR: a.víi
k
sin
,k Z :
cos cos3 ; b.sin 4 a cos 4 a 2 cos 2 a 1
2
tan cot
c.tan 2 a.sin 2 a tan 2 a sin 2 a; d . sin 4 a 4 cos 2 a cos 4 a 4sin 2 a 3
Bµi 3: Cho cosa - sin a = 0,2. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = cos3 a sin 3 a ( A=0,296)
Bµi 4:cho sina+ cosa=
4
.TÝnh gia trÞ c¸c biÓu thøc sau :
3
a. A sin a cos a; b.B sin 3 a cos3 a; c.C sin a cos a
Bµi 5:CMR: a.sin 4 a cos 4 a 2sin 2 a 1; b.sin 4 a cos 4 a 1 2sin 2 a cos 2 a; c.
1 cos a
sin a
sin a
1 cos a
2. Sö dông hÖ thøc vÒ gi¸ trÞ lîng gi¸c cña c¸c cung cã liªn quan ®Æc biÖt :
Bµi 1 : CMR:
3
3
a ) cos a; b.cos( a ) sin a
2
2
3
sin( a ) cot( a )
2
2
c.
.
sin a
tan( a ) tan(a 3 )
2
a.sin(
Bµi 2 : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A= tan1200 cot1350 sin 3150 2 cos 2100
( A=
2 2
)
2
5
1 sin( a ) cos( a )
4
4
Bµi 3: Rót gän biÓu thøc sau: B=
( B 1)
sin 2 ( a ) sin 2 ( a )
4
4
3. sö dông c«ng thøc céng :
Bµi 1 : CMR : A
sin(a b) sin(b c)
sin(c a )
0
cos a.cos b cos b.cos c cos c.c os a
2
4
Bµi 2 : TÝnh : sin(2a );cos(2a ) BiÕt : sin a ; a
6
3
5 2
Bµi 3: a.BiÕt sin a=
3
vµ a . tÝnh tan(a+ )
5
2
3
4
8
b.BiÕt : sin a (00 a 900 ),sin b (900 b 1800 ) . TÝnh: cos(a+b) vµ sin(a-b)
5
17
1
1
c. cho hai gãc nhän a vµ b víi tana= ; tan b .TÝnh a+b
2
3
d.BiÕt tan(a+ ) m, m 1 .TÝnh tana
4
4. Sö dông c¸c c«ng thøc nh©n ®«i vµ c«ng thøc h¹ bËc :
Bµi 1 : CMR:
1
3
3
5
a.cos 4 a sin 4 a cos 4a ; b.cos 6 a sin 6 a cos 4a
4
4
8
8
Bµi 2 : TÝnh :
a. A sin
16
.cos
16
.cos
8
; b.B sin100 sin 500 sin 700
1
Bµi 3: CMR: sinxcosxcos2xcos4x= cos8 x
8
¸p dông tÝnh gi¸ trÞ cña :
a. A sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 ; b.B cos
7
cos
3
5
cos
7
7
Bµi 4: CMR:
a.cot a tan a
2
sin 2a
1 cos 2a
; b.cot a tan a 2 cot 2a; c.
tan a; d .
tan 2 a
sin 2a
1 cos 2a
1 cos 2a
Bµi 5: tÝnh:
a. A sin
11
5
5
7
11
11
cos
( A sin 2 ); b.B sin sin
sin
sin
(sin
cos ....)
12
12
12
24
24
24
24
24
24
1
c.C cos100 cos 500 cos 700 ; d .D cos 200 cos 400 cos800 ( D )
8
tan 2a
; b. 1 sin a 1 sin a
tan 4a tan 2a
Bµi 7: Chõng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo a:
Bµi 6: Rót gän : a.
a. A 2(sin 6 a coa 6 a ) 3(sin 4 a cos 4 a )
b.B 4(sin 4 a cos 4 a ) cos 4a
c.C 8(cos8 a sin 8 a ) cos 6a 7 cos 2a
5. Sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng :
Bµi 1: cho A =cos(a+b) sin(a-b)+cos(b+c) sin(b-c)+ cos(c+d) sin(c-d)+cos(d+a)sin(d-a).
CMR : A= 0
3
8
6. Sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch :
Bµi 1; Cho tam gi¸c ABC . CMR:
Bµi 2: CMR: sin 200.sin 400 sin 800
a.sin A sin B sin C 4 cos
A
B
C
cos cos ; b.cos 2 A cos 2 B cos 2 C 1 2 cos A cos B cos C
2
2
2
A
B
C
sin sin ; d .sin 2 A sin 2 B sin 2C 4sin A sin B sin C
2
2
2
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC .CMR:
c.cosA+ cosB+cosC=1+ 4 sin
a.tan
A
B
B
C
C
A
sin 2 A(sin 2 B sin 2C )
tan tan tan tan tan 1; b.sin 3 A cos( B C )
2
2
2
2
2
2
2
Bµi 3: CMR: cos
9
Bµi 4: TÝnh A= cos
cos
5
7
cos
0
9
9
2
4
6
1
cos
cos
( HD : nh©n hai vÕ víi sin )( A )
7
7
7
7
2
«n tËp hÌ : M«n h×nh häc
Bµi 1: TiÕt:1
VÐc t¬
I.VÐc t¬ vµ c¸c phÐp to¸n trªn vÐc t¬:
1. phÐp céng vÐc t¬: AB BC AC
2. HiÖu cña hai vÐc t¬: OB OA AB
3. TÝch vÐc t¬ vÐct¬ mét sè:
+Cho a vµ b(b 0) khi ®ã a, b cïng ph¬ng khi vµ chØ khi : cã mét sè k sao cho: a kb
+ Ba ®iÓm A,B ,C th¼ng hµng khi vµ chØ khi cã sè k kh¸c 0 ®Ó : AB k AC
4.trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng vµ träng t©m cña tam gi¸c:
+ NÕu I lµ trung ®iÓm cña AB th× víi mäi M,ta cã: MA MB 2 MI
+ NÕu G lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× víi mäi ®iÓm M, ta cã: MA MB MC 3MG
II. HÖ trôc to¹ ®é:
1.HÖ trôc to¹ ®é vµ to¹ ®é cña vÐc t¬:
a. HÖ trôc to¹ ®é:
b.to¹ ®é cña vÐc t¬: Trong mÆt ph¼ng Oxy,cho vÐct¬ U ,khi ®ã ta nãi: U ( x; y ) U xi y j
x x ,
Lu ý: cho U ( x; y );V ( x , ; y , ) th×: U V
,
y y
c.To¹ ®é cña mét ®iÓm: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, cho ®iÓm M. ta nãi M (x;y) hay
M=(x;y) OM xi y j
d. Lien hÖ gi÷a to¹ ®é cña vÐc t¬ vµ to¹ ®é cña ®iÓm trong mÆt ph¼ng;
Cho A( x A ; y A ); B ( xB ; yB ) .Ta cã: AB ( xB x A ; yB y A )
2.To¹ ®é cña c¸c vÐc t¬ u v; u v; ku
3.To¹ ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng , to¹ ®é träng t©m cña tam gi¸c :
x A xB
xM 2
+ Gäi M lµ trung®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB, ta cã:
y y A yB
M
2
x A xB xC
xG
3
+Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC, Ta cã:
y y A y B yC
G
3
III.c¸c d¹ng bµi tËp ¸p dông:
1.T×m to¹ ®é cña ®iÓm
VÝ dô1: cho tam gi¸c ABC. b BiÕt c¸c trung ®iÓm cña BC, CA, AB lÇn lît lµ M(-1;2);N(1;1) vµ P( 3:4)
VÝ dô 2:cho h×nh b×nh hµnh ABCD .BiÕt A(3;2) , B(-11;0) C(5;4). t×m to¹ ®é ®iÓm D
VÝ dô 3: cho ba ®iÓm A(1;4) B(-2;2) vµ C(4;0)
a. Chøng minh r»ng A,B,C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c
b.TÝnh to¹ ®é cña vÐct¬ AM víi M lµ trung ®iÓm cña BC
c.TÝnh to¹ ®é cña träng t©m G cña tam gi¸c ABC
VÝ dô 4: cho vÐct¬ a (2m 1;3m 2); b (2;1)
a.t×m m ®Ó hai vÐct¬ trªn cïng ph¬ng
b.T×m to¹ ®é cña vÐct¬ cã ®é dµi b»ng 1 vµcïng ph¬ng víi b
VÝ dô 5: cho hai ®iÓm A(-2;1) vµ B(-4;5)
a.T×m ®iÓm M trªn trôc Ox sao cho A,B,M th¼ng hµng
b.T×m N trªn trôc Ox sao cho ABNO lµ h×nh thang c¹nh ®¸y AO;
c.T×m giao ®iÓm I cña hai ®êng chÐo cña h×nh thang.
Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC, biÕt A(2;-2) ,B(10;-6), C n»m trªn Oy, träng t©m G n»m trªn trôc Ox.T×m to¹ ®é
cña C vµ G
Bµi 2 :a. Cho A(-1;8), B(1;6) vµ C(3;4) CMR A,B,C th¼ng hµng
b. Cho A(1;1) , B(3;2) vµ C (m+4;2m+1) . t×m m ®Ó A,B ,C th¼ng hµng
Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC .C¸c ®iÓm M(1;1) N(2;3) ,P(0;-4) lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC ,
CA;AB. TÝnh to¹ ®ä c¸c ®Ønh cña tam gi¸c ABC.
Bµi 4: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é ,cho ba ®iÓm A(-3;4) , B(1;1) ,C(9;-5)
a.CMR A,B ,C th¼ng hµng
b.T×m to¹ ®é ®iÓm D sao cho a lµ trung ®iÓm cña BD
c.T×m to¹ ®é ®iÓm E trªn Ox sao cho A ,B ,E th¼ng hµng.
Bµi 5: TRong mÆt ph¼ng cho c¸c ®iÓm A(1;2) ,B(4;0) C(m;m-2)
a.T×m m ®Ó C n»m trªn trôc hoµnh , trôc tung
b.T×m to¹ ®é ®iÓm D ®Ó tø gi¸c OADB lµ h×nh b×nh hµnh
c.T×m m ®Ó tø gi¸c OACB lµ h×nh thang.
Bµi 6 : Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é , cho ba ®iÓm A(-1;3) ; B(4;2) ; C(3;5)
a. CMR : A, B ,C kh«ng th¼ng hµng
b. T×m to¹ ®é ®iÓm D sao cho AD 3BC
c.T×m to¹ ®é ®iÓm E sao cho O lµ träng t©m tam gi¸c ABE
- Xem thêm -