1
PHẦN 1 :HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ I : KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN
A. KHOẢNG CÁCH.
1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a trong không gian là độ dài đọan thẳng MH,
trong đó MH a với H a.
2) Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đọan MH, trong đó MH (P) với
H (P).
3) Nếu đường thẳng a // (P) thì khỏang cách từ a đến (P) là khỏang cách từ một điểm M bất kì của a
đến (P).
4) Nếu hai mặt phẳng song song thì khỏang cách giữa chúng là khỏang cách từ một điểm bất kì của
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
5) Hai đường thẳng chéo nhau a và b luôn luôn có đường thẳng chung . Nếu cắt a và b lần
lượt tại A và B thì độ dài đọan thẳng AB gọi là khỏang cách giữa a và b chéo nhau nói trên.
Muốn tìm khỏang cách giữa hai đường thẳng chéo nhau người ta còn có thể:
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
b) Hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai và
song song với đường thẳng thứ nhất.
c) Hoặc tìm khỏang cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng đó và song song với
nhau.
B. GÓC
1) Góc (0 90 0 ) giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng
đi qua một điểm tùy ý trong không gian và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
2) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông
góc của nó trên mặt phẳng.
3) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
đó.
VẤN ĐỀ II : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật.
V = abc
2. Thể tích của khối lập phương.
V = a3
3. Thể tích của khối lăng trụ.
V = B.h
4. Thể tích của khối chóp.
( a, b, c là 3
kích thước)
2
1
V = 3 B.h
( B là diện tích của đáy )
Chú ý : Tỉ số thể tích
S
I’
C’
A’
B’
I
C
A
B
VẤN ĐỀ III : DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l
2
2. Thể tích khối trụ: V = .R .h
( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
( h : độ dài đường cao )
3. Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = .R.l
1
. .R 2 .h
3
4. Thể tích khối nón: V =
2
5. Diện tích mặt cầu: S = 4. .R
4
.R 3
6. Thể tích khối cầu: V = 3
Phần II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Tọa độ điểm và véctơ :
Tọa độ điểm: M x;y;z OM xi y j zk
Tọa độ véctơ : a a1 ;a 2 ;a 3 a a1 i a 2 j a 3 k
CÔNG THỨC :
Cho A x A ; y A ; z A , B xB ; yB ; z B , C xC ; yC ; Z C
a a1; a2 ; a3 , b b1; b2 ; b3 ta có:
1. Toạ độ véc tơ : AB xB x A ; yB y A ; z B z A
3
2. Tổng – Hiệu hai véc tơ : a b a1 b1; a2 b2 ; a3 b3
3. Nhân một số với một véc tơ :
k .a ka1; ka2 ; ka3
a1 b1
4. Điều kiện hai véc tơ bằng nhau : a b a b
2 2
a b
3 3
a kb ; k R
a1:a 2 : a 3 b1:b 2 : b3
5. Điều kiện hai véc tơ cùng phương : a / / b a1 a 2 a 3
b1 b 2 b3
a, b 0
6. Điều kiện ba điểm thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng AB // AC
7. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước . ( k 1 )
ĐN : Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k MA k .MB
Khi đó:
xM
x1 kx2
y ky2
z kz2
; yM 1
; zM 1
1 k
1 k
1 k
8. Toạ độ trung điểm I của đoạn AB :
xI
x A xB
y yB
z z
; yI A
; zI A B
2
2
2
xM ' 2 xI xM
8. Toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua điểm I :
yM ' 2 y I yM
z 2z z
I
M
M'
9.
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : x x A xB xC ; y y A yB yC ; z z A z B zC
G
G
G
3
3
3
10. Toạ độ trọng tâm K của tứ diện ABCD :
xK
x A xB xC xD
y yB yC yd
z z z zD
; yK A
; zk A B C
4
4
4
11. Tích vô hướng của hai véc tơ :
12. Độ dài véc tơ : a
a.b a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32
13. Độ dài đoạn thẳng ( Khoảng cách giữa hai điểm AB ) :
AB AB
xB x A
14. Góc giữa hai véc tơ :
Gọi a, b 0;
2
yB y A zB z A
2
a.b
cos
a.b
2
4
Lưu ý: Góc giữa hai véc tơ thường dùng để tính số đo góc tam giác .
15. Điều kiện hai véc tơ vuông góc :
a b a.b 0
Công thức về tích có hướng và tích hỗn tạp
1/
2/
a, b, c
a, b .c 0
đồng phẳng
a, b, c không đồng phẳng a, b .c 0
3/ A,B,C,D đồng phẳng
4/ ABCD là tứ diện
5/ Diện tích tam
A B , A C .A D 0
A B , A C .A D 0
giác ABC :
S ABC
1
AB , AC
2
V AB, AC . AA '
6/ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:
7/ Thể tích tứ diện ABCD :
VABCD
1
AB, AC . AD
6
Chú ý:
† Một số điểm đặc biệt :
1. M Ox M( x;0;0 ) , M Oy M( 0;y;0 ) , M Oz M( 0;0;z )
2.M Oxy M( x;y;0 ), M Oxz M( x;0;z ), M Oyz M( 0;y;z)
II.
Mặt phẳng :
Định lý : Mp qua điểm
x0; y0; z0
có phương trình tổng quát là :
n
A; B; C làm VTPT
và nhận
A x x0 B y y0 C z z0 0
Chú ý:
MpOxy có phương trình : z = 0
MpOxz có phương trình : y = 0
MpOyz có phương trình : x = 0
k
0;0;1
có VTPT
j 0;1;0
có VTPT
i 1;0;0
có VTPT
Định lý :mặt phẳng chắn các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c
với a, b, c 0 có pttq là :
x y z
1
a b c
5
III. Đường thẳng:
Định lý: Đường thẳng d đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 và nhận a a1; a2 ; a3 làm VTCP có
x x0 a1t
phương trình tham số là : y y 0 a 2t
z z a t
0
3
t
và phương trình chính tắc là :
Chú ý:
R
x x0 y y 0 z z 0
( a1 , a2 , a3 0 )
a1
a2
a3
x t
Trục Ox có phương trình y 0
z 0
x 0
có VTCP i 1;0;0 , Trục Oy có phương trình y t
z 0
x
0
, Trục Oz có phương trình y 0 có VTCP k 0;0;1
z t
VTCP j 0;1;0
IV. Vị trí tương đối của đường thẳng - mặt phẳng:
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
1 : A1x B1y C1z D1 0
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
TH1 :
1
cắt
2
TH2 :
1
song song
TH3 :
1
A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2
2
2
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
Đường thẳng
TH1:
d1
TH2:
d1
d2
d1
có VTCP a a1; a2 ; a3 và qua điểm A
có VTCP b b1; b 2 ; b 3 và qua điểm B
a // b
a1 : a2 : a3 b1 : b 2 : b3
cắt d 2
a, b .AB 0
a, b .AB 0
song song d 2 a // b không cùng phương AB
có
6
TH3:
d1
TH4:
d1 , d 2
d2
a // b // AB
chéo nhau
a, b .AB 0
,
đồng
phẳng
d
d
a
1 2
, b .AB 0
Chú ý:
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cách 1:
Cho đường thẳng
d có VTCP a a1; a2 ; a3 và qua điểm A x 0 ; y 0 ; z 0
Mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n A; B; C
TH1:
d cắt ( ) n.a 0
(a n)
n.a=0
n.a=0
TH2: d // ( )
A.x o +B.y o +C.z o +D 0
A mp
n.a=0
TH3: d ( )
A mp
n.a=0
A.x o +B.y o +C.z o +D=0
Cách 2 : Tìm giao điểm và đưa ra kết luận
n
Chú ý: d ( ) // a a1 : a2 : a3 = A : B : C
V. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm M đến mp ( )
Cho điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 mp( ) : Ax + By + Cz + D = 0
Ta có : d M;
Chú ý :
Ax0 By 0 Cz 0 D
A 2 B 2 C2
d M; mpOxy z 0
, d M; mpOxz y 0
,
Các dạng khoảng cách khác :
i. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Phương pháp: Lấy 1 điểm M
mp
và
d , d M,
ii. Khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng
Phương pháp: Lấy 1 điểm M
đường thẳng
d M; mpOyz x0
7
d , d M,
2. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng
Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đt
B1: Lập mặt phẳng
B2: H =
qua điểm M và vuông góc đt
B3: d M, MH
Công thức: có véctơ a và đi qua điểm A
a ,A M
d M ,
a
Chú ý: Để tính khoảng cách từ điểm M đến trục Ox , Oy , Oz ta tìm hình chiếu vuông góc H của
điểm M trên trục tương ứng và tính MH
Hệ quả: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1 và d 2
d1 có véctơ a và đi qua điểm A
d 2 có véctơ b và đi qua điểm B d
a, AB
d1 , d 2
a
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2
d1 có véctơ a và đi qua điểm A
d 2 có véctơ b và đi qua điểm B
Phương pháp:
Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song d2 .
d d1; d 2 d B,
a, b .AB
Công thức: d d , d
1 2
a, b
VI. Góc :
1. Góc giữa hai mặt phẳng
1 va 2
8
n1.n2
cos
n1 . n2
Gọi
1 , 2 0 ,90
Hệ quả:
1
0
n1.n2 0
2
0
2. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 :
0
d2
Gọi d
1 , d 2 0 ,90
Hệ quả:
d1
0
a.b
cos
a.b
a.b 0
Chú ý : Trong tam giác ABC ta có : A AB, AC
3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
Gọi d
, 00 ,900
Hệ quả:
d
n // a
AB. AC
cosA=
AB. AC
n.a
sin
n.a
VII. Mặt cầu:
ĐL1: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ;c ) và bán kính R có phương trình:
x a y b z c
2
2
2
R2
ĐL2: Mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0 đk: a2 + b2 + c2 – d > 0 đều là
phương trình mặt cầu tâm I( a ; b ; c ) và bán kính R a 2 b 2 c 2 d
Vị trí tương đối của mặt phẳng
TH1:
cắt ( S )
TH2:
TH3:
tiếp xúc ( S )
d I ; R
không cắt ( S )
Thường hợp này
và mặt cầu ( S ) :
d I ; R
d I ; R
gọi là tiếp diện
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình mặt phẳng
Phương pháp: Tìm một điểm và một véctơ pháp tuyến ( hoặc một cặp VTCP ).
VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình mặt đường thẳng
9
Phương pháp : Tìm một điểm và một véctơ chỉ phương (hoặc một cặp VTPT) .
VẤN ĐỀ 3: Hình chiếu – Đối xứng.
Dạng 1: Hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng
Phương pháp: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp
B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vuông góc mp
B2: H = d
Chú ý: Điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp
M’ cũng đối xứng với điểm M qua điểm H
x M / 2x H x M
y / 2y H y M
M
z
M / 2z H z M
Dạng 2: Hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d
Phương pháp: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đt d
B1: Lập mặt phẳng
B2: H = d
qua điểm M và vuông góc đt d
Đặc biệt : Cho điểm M (x;y; z) ta có:
+ Hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox có tọa độ là ( x;0;0 )
---------------------------------------M trên trục Oy có tọa độ là ( 0;y;0 )
---------------------------------------M trên trục Oz có tọa độ là ( 0;0;z )
+Hình chiếu vuông góc của điểm M trên Mp(Oxy) có tọa độ là (x;y;0 )
---------------------------------------M trên Mp(Oxz) có tọa độ là (x;0;z )
--------------------------------------M trên Mp(Oyz) có tọa độ là (0;y;z )
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ là M’( x;-y;-z )
-----------------------------------M qua trục Oy có tọa độ là M’( -x;y;-z )
-----------------------------------M qua trục Oz có tọa độ là M’( -x;-y;z )
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ là M’(x;y;-z)
------------------------------------M qua Mp(Oxz) có tọa độ là M’(x;-y;z)
------------------------------------- M qua Mp(Oyz) có tọa độ là M’(-x;y;z)
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ là M’( -x;-y;-z )
Dạng 3: Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d xuống mặt phẳng
Phương pháp: Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của đtd xuống mp
10
B1: Tìm giao điểm I của đt d và mp
B2 : Lấy 1 điểm A
đường thẳng d và tìm hình chiếu H của A trên mp
KL : Đt d’ qua hai điểm I và A .
x x0 a1t
Đặt biệt: Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d : y y a t
0
2
z z a t
0
3
x x0 a1t
y y 0 a 2t
z 0
trên mặt phẳng tọa độ Oxy có pt là :
x x0 a1t
y 0
z z a t
0
3
trên mặt phẳng tọa độ Oxz có pt là :
x 0
y y 0 a 2t
z z a t
0
3
trên mặt phẳng tọa độ Oyz có pt là :
VẤN ĐỀ 4: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2
d1 có véctơ a và qua điểm A
d 2 có véctơ b và qua điểm B
Phương pháp : Gọi là đường vuông góc chung của d1 và d 2
B1: Gọi u là VTCP của đường vuông góc chung
d1
u a, b
d2
Vì
B2: Lập mặt phẳng
chứa và d1
qua điểm A và có cặp VTCP a, u
B3: Tìm giao điểm I của
với d 2
KL: Đường vuông góc chung qua điểm I và có VTCP u
VẤN ĐỀ 5: Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước và thỏa điều kiện khác .
Dạng 1: Lập đường thẳng qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1 , d 2
Phương pháp:
B1: Lập mặt phẳng
B2: Tìm giao điểm I của
qua điểm M và chứa đường thẳng d1 .
với d 2
11
Đường thẳng qua hai điểm M và I
B3: So sánh VTCP của và VTCP của đường thẳng d1 Kết luận .
Dạng 2: Lập đường thẳng qua điểm M , vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng
d2
Phương pháp:
B1: Lập mặt phẳng
qua điểm M và vuông góc đường thẳng d1 .
B2: Tìm giao điểm I của với d 2
Đường thẳng qua hai điểm M và I
Dạng 3 : Lập đường thẳng qua điểm M , vuông góc và cắt đường thẳng d
Phương pháp:
B1: Lập mặt phẳng
qua điểm M và vuông góc đường thẳng d .
B2: Tìm giao điểm I của với d
Đường thẳng qua hai điểm M và I
Dạng 4 : Lập đường thẳng qua điểm M , song song mặt phẳng ( P ) và cắt đường thẳng d
Phương pháp:
B1: Lập mặt phẳng
qua điểm M và song song mặt phẳng ( P )
B2: Tìm giao điểm I của với d .
Đường thẳng qua hai điểm M và I
Dạng 5 : Lập đường thẳng nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước.
Phương pháp:
B1: Tìm giao điểm A và B của d1 , d2 và mp( P )
B2: là đường thẳng qua hai điểm A và B .
VẤN ĐỀ 6 : Lập đường thẳng nằm trong mp( P ) và cách đường thẳng d P
cho
trước một khoảng L .
Phương pháp : Cho đường thẳng
Mặt phẳng
n A; B; C
B1: Lập mặt phẳng
d có VTCP a a1; a2 ; a3 và qua điểm A x 0 ; y 0 ; z 0
P
: Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
vuông góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d và cách điểm A một
12
khoảng L .
B2: Lấy một điểm M P
Đường thẳng qua điểm M và có VTCP a a1; a2 ; a3
VẤN ĐỀ 7 : Lập đường thẳng nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d cho trước tại
giao điểm I của d và mp (P).
Phương pháp:
B1: Tìm giao điểm I của d và mp( P )
P
B2: Vì
d có VTCP u n P , ad
d
Đường thẳng qua điểm I và có VTCP u
VẤN ĐỀ 8: Lập phương trình mặt cầu ( S ).
Phương pháp1: Tìm tâm và bán kính
Phương pháp2: (Có dữ kiện mặt cầu qua điểm)
B1 : Chỉ dạng
Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc
Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
Nếu không có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc
Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0
B2 : Khai thác các dữ kiện để lập hệ phương trình .
VẤN ĐỀ 9: Đường tròn giao tuyến
1. Phương trình đường tròn giao tuyến:
Khi mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) ta có đường tròn giao tuyến có pt :
Ax+By+Cz+D=0
2
2
2
2
(x-a) +(y-b) +(z-c) =R S
1.1. Tâm của đường tròn giao tuyến:
Gọi K là tâm của đường tròn giao tuyến
K là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng
B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vuông góc mp
B2: H = d
13
IA2 IB 2
Chú ý: Toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ : IA2 IC 2
AB, AC . AI 0
1.2. Bán kính của đường tròn giao tuyến
r = R 2 - IK 2
hoặc
r = R 2 - d 2 I ,
VẤN ĐỀ 10: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S).
(Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc)
Dạng 1: Tiếp diện tại điểm M thuộc (S)
Phương pháp :
Tiếp diện tại điểm M vuông góc IM có véctơ pháp tuyến là IM
Dạng 2: Tiếp diện song song mặt phẳng hoặc song song hai đường thẳng không cùng phương
hoặc vuông góc đường thẳng cho trước.
Phương pháp:
Phương trình của tiếp diện có dạng : Ax + By + Cz + m = 0
B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc
d I ,tieáp dieän = R
- Xem thêm -
.PDF 
13 
118 
80 
