Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

  • Số trang: 40 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 73 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 BUỔI 1 : HẰNG ĐẲNG THỨC A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: 1. Nh©n ®a thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS HS ghi ®Ò, thùc hiÖn theo nhãm 1. Bµi 1: Rót gän biÓu thøc HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän 2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4 b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 1 2 2 c) (3x + 1) – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bµi 2: T×m x biÕt: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = HS ghi ®Ò bµi 172 gi¶i theo nhãm Ýt phót ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc (1), (2), (3) ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc nµo ®Ó gi¶i 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = BiÕn ®æi, rót gän vÕ tr¸i 172 � 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) = 172 � …. � 8x = 96 � x = 12 Bµi 3: Cho x + y = a; xy = b. tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu HS ghi ®Ò bµi, tiÕn hµnh bµi gi¶i thøc sau theo a vµ b: 2 2 4 4 Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x +y; x +y x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 Bµi 4: chøng minh r»ng 3 2 2 3 4 4 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 a) (x + y)(x – x y + xy – y ) = x – y b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra ®iÒu g×? c) NÕu: x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0 th× x = y = z Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 =? Tõ ®o ta cã ®iÒu g×? d) cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2 HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh gi¶i cïng víi GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3y4 = x4 – y4 = VP (®pcm) b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 � a2 - 2ab + b2 = 0 � (a – b)2 = 0 � a – b = 0 � a = b (®pcm) c) Tõ : x + y + z = 0 � (x + y + z)2 = 0 � x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0 � x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0) 1 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 c/m: a4 + b4 + c4 = 2 HD c¸ch gi¶i t¬ng tù Bµi 5: So s¸nh: a) A = 1997 . 1999 vµ B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 - 1 TÝnh 4 theo 32 – 1? Khi ®ã A = ? ¸p dông h»ng ®¼ng thøc nµo liªn tiÕp ®Ó so s¸nh A vµ B Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – 1 ch÷ sè 0) Cmr: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng � x=y=z d) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0 � a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 � ab + bc + ca = -1 (1) Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2) Tõ (1) � (ab + bc + ca)2 = 1 � a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2 a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – 1 < 19982 � A < B 2 b) V× 4 = 3  1 nªn 2 A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 = 3  1 (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 4 = (3 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) 2 1 = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) 2 1 = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 2 1 64 1 1 = (3 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B 2 2 2 VËy: A < B b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè 1 vµ n ch÷ sè 5) Ta cã: b = 10n + 5 = 9….9 + 6 Cmr: Un + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng = 9(1…1) + 6 = 9a + 6 � ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng Ta viÕt: Un = = n sè 1 n sè 5 + n sèn 1+ 5.n 11 sè … 0 1 n sè 5 = 11…1.10 §Æt: a = 11…1 th× 9a + 1 = 10n Do ®ã : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III. Bài tập về nhà: Bài 1: cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 Bài 2: Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 2 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Bài 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n và n2 củng là tổng của hai số chính phương Bài 5: So sánh: xy x2  y2 A= với B = 2 (Víi 0 < y < x ) xy x  y2 BUỔI 2 : HẰNG ĐẲNG THỨC ( Tiếp) A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại nội dung bài học: Những hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) Lập phương một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5) 3 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7) B×nh ph¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) 1HS lªn gi¶i Cho HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = ...= 5x - 8 HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bµi 2: T×m x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 §Ó t×m x ta lµm thÕ nµo? HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i 1HS lªn b¶ng gi¶i (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 � x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1 � x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1 � x3 - 27 - x3 + 4x = 1 � 4x = 28 � x = 7 Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau díi d¹ng tæng cña ba b×nh ph¬ng: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i NÕu HS cha gi¶i ®îc th× gîi ý: H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2 Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt khi biÕt gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thµnh tÝch §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy. TÝnh xy nh thÕ nµo? Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. H·y t×m c¸ch tÝnh xy b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i §¹i diÖn HS lªn tr×nh bµy( NÕu kh«ng gi¶i ®îc th× theo Hd cña GV) NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×? §Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×? Khi ®ã ab + bc + ca = ? A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy Tõ x + y = 2 � x2 + y2 + 2xy = 4 � xy = - 3 (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi ®Ò B×nh ph¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1 � a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i b×nh ph¬ng Bt: (ab + bc + ca) Ta b×nh ph¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 1 1 � (ab + bc + ca)2 = 2 4 1 � a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = 4 � ab + bc + ca =  4 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? � a2b2 + b2c2 + c2a2 = Tõ ®©y, lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña Bt B Bµi 5: { ; b = 1....1 { vµ c = 6....6 { Cho a = 1....1 2n n 1 n Chøng minh r»ng: A = a + b + c + 8 lµ mét sè chÝnh ph¬ng §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m g×? A=a+b+c+8=? 9 9 Ta cã: 11...1 . ViÕt thµnh luü {  (11...1) { thõa 10? n n Thay (2) vµo (1) ta cã: B = 1 - 2. 1 1 1 =1- = 4 2 2 HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè { + 1....1 { + 6....6 { +8 A = 1....1 n 1 2n Cã nhËn xÐt g× vÒ hai vÕ cña ®¼ng thøc? Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = 2 ; y =  z=4 n 9 1....1 9 { { )+8 ( { ) + (1....1 ) + 6( 1....1 2n n  1 n 9 9 2n n 1 n = 10  1 + 10  1 + 6. 10  1 + 8 9 9 9 2n n 1 n 2n n = 10  10  10  64 = 10  16.10  64 9 9 = 2 Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 H·y biÕn ®æi vÕ tr¸i ®¼ng thøc thµnh d¹ng tæng c¸c b×nh ph¬ng? 1 (2) 4 2 2 � � 10n  8 � � 100...08 � � =� 33...36 � � � � � 1 2 3 � 3 � � 3 � � n 1 � x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 � (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0 � (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0 Râ rµng, vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lµ mét sè d¬ng víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng 0 VËy kh«ng tån t¹i c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 1 vµ 2 Bài tập về nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bài 2: a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . Tính x3 + y3 theo a và b Bài 3: Chứng minh rằng Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc 5 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 BUỔI 3 : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG A. MỤC TIÊU: - Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang - Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS - tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại một số kiến thức bài học: 1. Đường trung bình của tam giác * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác gọi là đường trung bình của tam giác - E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đường trung bình của  ABC - Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung điểm AC - EF là đường trung bình của  ABC thì EF // BC và EF = 1 BC 2 4. Đường trung bình của hình thang: * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang gọi là đường trung bình của hình thang + Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm AD, N là trung điểm BC thì MN là đường trung bình của hình thang ABCD + Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC + MN là đường trung bình của hình thang ABCD 6 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 1 A thì MN // AB // CD và MN = (AB + CD) 2 II. Bµi tËp ¸p dông: E F B Bài 1: Cho  ABC đều cạnh a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao? b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a Cho HS tìm lời giải ít phút Dự đoán dạng của tứ giác BCNM? Để c/m tứ giác BCNM là hình thang cân ta cần c/m gì? Vì sao MN // BC �=C �? Vì sao B Từ đó ta có KL gì? C A HS ghi ®Ò bµi ViÕt GT, KL, vÏ h×nh M HS suy nghÜ, t×m lêi gi¶i HS dù ®o¸n c/m: MN // BC vµ �=C � B N B Tõ GT � MN lµ ®êng trung b×nh cña  ABC 1 � MN // BC (1) vµ MN = BC (2) 2 0 � �  ABC ®Òu nªn B = C  60 (3) Tõ (1) vµ (3) suy ra tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) 1 1 1 AB = BC = a 2 2 2 1 1 BC = a, MN = BC = a 2 2 BM = NC = Chu vi hình thang cân BCNM tính như thế nào? Hãy tính cạnh BM, NC theo a BC = ? vì sao? VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC =a+ 1 1 1 5 a+ a+ a= a 2 2 2 2 VÏ h×nh Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh theo a là bao nhiêu? A M Bài 2: Cho  ABC có ba góc đều nhọn; AB > AC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Vẽ đường cao AH C B N P H C Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m: MP vµ NH cïng b»ng mét ®o¹n nµo ®ã MP lµ ®êng Tb cña  ABC nªn MP // AC vµ 7 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 a) C/m: MP = NH b) Giả sử: MH  PN. C/m: MN + PH = AH Để C/m MP = NH ta cần C/m gì? Từ GT suy ra MP có tính chất gì? Ta cần C/m gì? Gọi I = MN �AH thì ta có điều gì? Vì sao? Hoàn thành lời giải? MP = 1 AC 2 Ta cÇn C/m NH = 1 AC 2 M lµ trung ®iÓm AB vµ MI // BH ( do MN lµ ®êng trung b×nh cña  ABC) nªn I lµ trung ®iÓm AH vµ AI  MN (Do AH  BC ) �  ANH c©n t¹i N � NH = NA = 1 AC 2 VËy: MP = NH HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a Khi MH  PN th× MH  AB v× NP // AB  AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã � AMH  900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ � � ®êng cao � MAH = AHM  450 � �  ABH cã AHB  900 mµ AHM  450 nªn � HBM  450 �  ABH vu«ng c©n t¹i H. Suy ra BH = AH Mµ BH = BP + PH = MN + PH VËy: MN + PH = AH HS ghi ®Ò, VÏ h×nh, Khi MH  PN thì MH  AB? Vì sao?  AMH là tam giác gì? vì sao? A D  ABH là tam giác gì? vì sao? Q P M I Từ đó suy ra điều gì? L Bài 3: Cho  ABC. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong. kẻ IM  AB; IN  BC và IK  AC. Qua A vẽ đường thẳng a // MN; đường thẳng b // NK. A cắt NK tại E, b cắt NM tại D, ED lần lượt cắt AC, AB tại P, Q. Cmr: PQ // BC Gọi giao điểm của BC và AD là L, của BC và AE là H B N E K C H  AMI =  AKI (C. huyÒn – g. nhän) � AM = AK (1)  BMI =  BNI (C. huyÒn – g. nhän) � BM = BN (2)  CNI =  CKI (C. huyÒn – g. nhän) � CN = CK (3) Y MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH, � � = NHA � � ) MAH = BMN = BNM � NH = AM (4) Y KNLA lµ h×nh thang c©n � NL = AK (5) Tõ (1), (4), (5) � NL = NH (6) NE, ND lµ ®êng trung b×nh cña  ALH nªn: EA = EH (7) vµ DA = DL (8) Tõ (7) vµ (8) suy ra: DE lµ ®êng trung b×nh cña  ALH � DE // LH � PQ // BC HS vÏ h×nh 8 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Để c/m: AM = AK ta c/m gì?, Tương tự hãy c/m: BN = BM, CN = CK Y MNHA là hình gì? Vì sao Ta suy ra điều gì? Y KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có điều gì? Ta có thể KL gì về Mqh giữa ND, NE trong  ALH DE có tính chất gì? Bài 4: Cho  ABC có AB = c, BC = a, AC = b Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt các tia phân giác của góc B và góc C tại D và E. Từ A vẽ AP  BD; AQ  CE. PQ lần lượt cắt BE, CD tại M và N Tính MN, PQ theo a, b, c Dự đoán xem MN có tính chất gì? E A D 1 1 M Q P 1 N 1 2 2 C B Dù ®o¸n: MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang BCDE Tõ gt � BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC � =B � mµ B � =D � (so le trong – do BC // B 1 2 2 1 � =D � �  BAD c©n t¹i A. DE) � B 1 1 � mµ AP  BD PB = PD; AB = AD = c T¬ng tù  CAE c©n t¹i A Vµ AQ  CE � QC = QE vµ AC = AE = b PQ lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai ®êng chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB � MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang BCDE nªn: BC + DE BC + AE + AD a + b + c =  2 2 2 BC + DE PQ = MN–(MQ + NP) = - BC 2 AD + AE - BC b+c-a =  2 2 MN = Hãy C/m BCDE là hình thang Dự đoán và c/m dạng của  BAD Tõ ®ã ta cã ®iÒu g×? PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy ra tÝnh chÊt cña MN H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: 1 � = 900); AB = CD = AB Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A 2 kÎ CH  AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×? b) C/m : AC  BC 9 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 c) EF = 1 1 DC = AB 2 4 Bµi 2: Chøng minh r»ng: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai ®êng chÐo cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa hiÖu hai ®¸y BUỔI 4 – PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị của biểu thức, của biến B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: * Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: Sö dông H®t ®Ó viÕt ®a thøc thµnh tÝch * Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö: Nhãm c¸c h¹ng tö nµo ®ã víi nhau ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc * Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö : Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau: ViÕt tÝch ac = b1b2 = b3b4 = sau ®ã chän ra 2 thõa sè cã tæng b»ng b. T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2 Khi ®ã a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: §Æt Èn phô ®Ó ®a biÓu thøc cÇn ph©n tÝch thµnh mét biÓu thøc dÔ ph©n tÝch h¬n * Ph¬ng ph¸p Thªm bít cïng mét h¹ng tö : Thªm hoÆc bít cïng mét h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc mét h»ng ®¼ng thøc * Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p: sö dông ®ång thêi nhiÒu ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch II. Bµi tËp vËn dông: 10 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Ho¹t ®éng cña Gi¸o viªn Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) 25x4 – 10x2y + y2 ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x4 + 2x3 – 4x - 4 Ta ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch Ho¹t ®éng cña häc sinh HS: ¸p dông PP dïng H®t 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2 = (5x2 – y)2 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) ¸p dông ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) 3 2 = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x +2x y – x – 2y b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) 2 2 3 c) ac x – adx – bc x + cdx +bdx – c x = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) 3. Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö 2 a) x – 6x + 8 HS ghi ®Ò ¸p dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch? C¸ch 1: Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo? V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) t¸ch nh thÕ nµo? Cã thÓ t¸ch nh thÕ nµo kh¸c n÷a ®Ó xuÊt nªn ta cã: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) hiÖn h»ng ®¼ng thøc råi tiÕp tôc ph©n C¸ch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …? tÝch C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..? T¬ng tù, GV cïng HS t×m ra c¸c c¸ch HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c ph©n tÝch kh¸c trong ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö b) a4 + a2 + 1 H·y t¸ch a2 thµnh 2 h¹ng tö ®Ó ph©n tÝch b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 H·y t¸ch h¹ng tö -19x ®Ó ph©n tÝch c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö = (x + 3)(x – 5)(x + 2) a) a4 + 64 D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö thªm vµ bít 2ab ta cã; nµo ®Ó xuÊt hiÖn mét h»ng ®¼ng thøc a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 - 1 b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) 11 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta ®· cã a3 + b3, vËy nªn thªm bít c¸c h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sö dông ph¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS lµm t¬ng tù nh c©u a Bµi 6: a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = 0 � ? b) cho xy �0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 C/m: a b  x y = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) §Æt (x2 + x ) = y ta cã (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Æt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8 ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Tõ a + b + c = 0 � (a + b + c )2 = 0 � a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 � (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 � a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) � a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). V× a + b + c = 0 � a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 � (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0 � a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = 0 � a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0 � (ay – bx)2 = 0 � ay – bx = 0 � ay = bx � a b  (®pcm) x y III. Bài tập về nhà: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 c) x2 – 7xy + 10y2 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bài 2: Chứng minh rằng a) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8 b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n �N 12 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 BÀI 5: HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình bình haønh vaø hình chöõ nhaät * Vaän duïng thaønh thaïo kieán thöùc vaøo caùc baøi taäp veà Hbh vaø hcn * HS coù höùng thuù vaø nghieâm tuùc trong hoïc taäp B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Nhaéc laïi kieán thöùc baøi hoïc: Hình bình hành Hình chữ nhật ABCD là Hcn �=B �=C �=D �  900 �A Kiến thức 2. Tính chấtAB CD là Hbh ABCD là Hbh , AC �BD = O ABCD là Hcn , AC �BD = O AB = CD, AD = BC � �� � � � A=C,B=D � �� OA = OC, OD = OB � � AC = BD � AB = CD, AD = BC � �� � � � �� A=C,B=D � OA = OC, OD = OB AB // CD � � �� AD // BC � 1. Định nghĩa 3. Dấu hiệu nhận biết AB // CD, AD // BC � AB = CD, AD = BC � � � � � � � A=B,C=D �� OA = OC, OB = OD � � ( O = AC � BD) � � + + ABCD có AB // CD Và + ABCD là Hbh có: - AC = BD ABCD là Hbh II. Bài tập vận dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS1. Bài 1: � = 1200 . Đường phân HS ghi đề, vẽ hình Cho Hbh ABCD có A giác của góc D đi qua trung điểm của AB a) C/m: AB = 2AD b) Gọi F là trung điểm của CD. C/m  ADF đều,  AFC cân c) C/m AC  AD 13 � ABCD Là hcn Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Giải Gọi E là trung điểm của AB. Ta có  ADE là tam giác gì? Vì sao? Hãy C/m điều đó Hãy C/m  ADF cân tại A có một góc 600 Hãy C/m  AFC cân tại F Từ  AFC cân tại F ta suy ra điều gì? Góc DFA bằng hai lần góc nào của  AFC � =? DAC 2. Bài 2: Cho  ABC và O là điểm thuộc miền trong của tam giác đó. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy Giải Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy ta C/m gì? Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường chéo của hai hbh có chung một đường chéo Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m như thế nào? Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì? Hai Hbh này có chung đường chéo nào? Từ đó ta có kết luận gì? Những Hbh nào có tâm trùng nhau? E A B C F D a)  ADE là tam giác cân � = 1200 , mà ABCD là Hbh nên Ta có A � = 600 � ADE � = AED � = 300 �  ADE cân tại A D � AD = AE mà AB = 2 AE Nên AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD là Hbh) 1 1 CD, AD = AB. Suy ra 2 2 � = 600 AD = DF �  ADF cân trại D có D vậy:  ADF là tam giác đều Ta có AF = DF (do  ADF đều) mà DF = Mà DF = FC (F là trung điểm của BC) Suy ra AF = FC �  AFC cân tại F � = 2FAC � c)  AFC cân tại F � DFA (Góc ngoài tại đỉnh của tam giác cân) � = 600 (do  ADF đều). Suy ra Mà FDA � = 300 � DAC � = 900 hay AC  AD FAC HS ghi đề, vẽ hình A L D F O M B N E C HS suy nghĩ , phát biểu HS ghi nhớ phương pháp c/m E, F là trung điểm của BC, CA � EF là đường trung bình của  ABC suy ra 3. Bài 3: 14 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH  AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, CD. Chứng minh BE  EF Giải Gọi K là trung điểm của AB ta có điều gì? Vì sao? Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao? EI có tính chất gì? Vì sao? EF // AB, EF = 1 AB (1) 2 Tương tự LM là đường trung bình của  OAB 1 2 suy ra LM // AB, LM = AB (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFLM là Hbh C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh (Vì có NE //= LD) Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy tại trung điểm của LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM và NLDE có tâm trùng nhau F D C HS ghi đề, vẽ hình H E  BFE là tam giác gì? Vìa sao? 4. Bài 4: Cho  ABC cân tại A. Từ điểm D trên BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ nhật BDEH và CDFK a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng hàng b) C/m: A là trung điểm của HK c) Goi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng IJ khi D di động trên BC Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì? Hãy C/m AH, AK cùng song song với một đường thẳng nào ? Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như thế nào? Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra điều gì? � EI = 1 1 CK = BF 2 2  BFE có trung tuyến EI = 1 BF nên là tam 2 giác vuông tại E � BE  EF HS ghi đề , vẽ hình H F A I P Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra điều gì Có cách C/m nào khác? I Gọi K là trung điểm của AB ta có A K B EK // HB (Vì EK là đường trung bình của  AHB) mà BH  AC � EK  AC � = 900 suy ra CEK �  CEK vuông tại E Tứ giác BCFK có BK //= CF và có � = 900 nên là hình chữ nhật nên hai đường B chéo BF và CK cắt nhau tại I và BF = CK � I là trung điểm của BF , CK � EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền CK của  CEK E M K Q J HS phát biểu 15 B G N D C Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A C/m AH, AK cùng song song với IJ là trung điểm của HK ta C/m gì? Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là HS nêu cách c/m � trung điểm của DH để AH = AK Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và Kẻ MN  BC và đường cao AG thì MN CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra MI có tính chất gì? và MJ lần lượt là đường trung bình của các tam giác AHD và AKD M cách BC một khoảng không đổi thì m Nên MI // AH và MJ // AK hay AH và AK nằm trên đường nào? cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) HS nêu cách C/m khác � = ACB �  ABC cân tại A nên ABC (1) I là tâm của hcn BDEH nên suy ra  BID cân � = DBI � hay ABD � = BDI � (2) tại I � BDI Từ (1) và (2) suy ra AB // DK mà IH = ID nên AH = AK mà A, H, K thẳng hàng nên A là trung điểm của HK c) Kẻ MN  BC (N � BC); đường cao AG ta có MN = 1 AH (vì MN là đường trung bình 2 của  ADG )không đổi, nên M nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một 1 AH không đổi chính là đường 2 trung bình PQ của  ABC (PQ // BC) khoảng bằng III. Bài tập về nhà: 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Chứng minh BM vuông góc với MK 2. cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều ABM, AND. Gọi E, F, Q theo thứ tự là trung điểm của BD, AN, AM a) tam giác MNC là tam giác gì? Vì sao? � b) Tính FEQ 16 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 BUỔI 6 – PHÉP CHIA ĐA THỨC A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức * Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán khác * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học tập và vận dụng vào thực tiễ B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại một số kiến thức: 1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong A chia hết cho luỹ thừa cùng biến đó trong B 2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q 3. Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B khi R = 0 ; A không chia hết cho b khi R � 0 II. Xaùc ñònh heä soá ñeå ña thöùc A chia heát cho ña thöùc B: 1. Phöông phaùp: 1.1- Caùch 1: + Chia A cho B ñöôïc thöông laø Q, dö laø R + Cho R = 0, tìm heä soá töông öùng baèng ñoàng nhaát thöùc 2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh Ña thöùc bò chia coù baäc laø m, ña thöùc chia coù baäc laø n thìo thöông coù baäc laø m – n Neáu goïi thöông laø xm – n + C (C laø moät ña thöùc chöa xaùc ñònh) Thì A = (xm – n + C ). B A chia heát cho B khi heä soá cuûa cuøng moät luyõ thöøa ôû hai veá phaûi baèng nhau 3.1 - Caùch 3: duøng giaù trò rieâng (chæ aùp duïng khi ña thöùc bò chia coù nghieäm) Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C Tìm moät giaù trò cuûa bieán ñeå C = 0 roài duøng heä soá baát ñònh ñeå xaùc ñònh heä soá III. Baøi taäp aùp duïng: Hoaït ñoäng cuûa GV Hoaït ñoäng cuûa HS III.1 - Daïng 1: HS ghi ñeà , tìm caùch giaûi Baøi 1: xaùc ñònh a, b ñeå A(x) = x3 + ax + b 2 chia heát cho B(x) = x + x – 2 HS thöïc hieän pheùp chia: Haõy thöïc hieän pheùp chia A(x) cho B(x) x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b -2 Ñeå A(x) chia heát cho B(x) thì phaûi coù Ñk gì Ñeå A(x) MB(x) � (a + 3)x + b - 2 = 0 Haõy duøng heä soá baát dònh ñeå tìm a vaø b a+3=0 a=-3 � � �� �� b-2=0 b= 2 � � Thöû laïi xem coù ñuùng khoâng 17 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 Baøi 2: Tìm a, b � Q ñeå A = x4 + ax + b chia heát cho B = x2 – 4 Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc naøo? HS thöû laïi: HS ghi ñeà vaø tìm caùch giaûi Goïi thöông laø x2 + c ta coù ñaúng thöùc x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c ) � x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân Ñaúng thöùc xaåy ra vôùi x � Q neân ta coù ñieàu gì? Haõy tìm a, b, c töông öùng a0 a0 � � � � c40� � c4 � � � b  4c b  16 � � III.2 – Daïng 2: Caùc baøi toaùn chöùng minh 1. Baøi 1: Chöùng minh ñònh lí Bô-du “ Soá dö trong pheùp chia f(x) cho nhò thöùc x – a baèng giaù trò ña thöùc aáy taïi x = a” Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ? Khi x = a thì f(x) = ? HS tieáp caän yeâu caàu Ta coù f(x) = (x – a). q(x) + r Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r � f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a)) 2. Baøi 2: chöùng minh raèng: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1 Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì? HS tieáp caän ñeà baøi Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 = (x – 1). Q(x) + r (ñònh lí Bô-du) f(1) = (1 + 1 – 1)10 + (1 – 1 + 1)10 – 2 = 0 � (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 Mx – 1 3. Baøi 3: Chöùng minh raèng Vôùi m, n �Z thì: A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia HS tieáp caän ñeà baøi heát cho B = x2 + x + 1 Ñeå C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia heát HS phaùt bieåu: cho B = x2 + x + 1 ta C/m A M(x3 – 1) Vì x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) M(x2 + x + Vì sao? Ñeå C/m ñieàu naøy ta laøm theá naøo? 1) 3m 3 3m – 1 3m – 2 A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x + x – 1 = (x – 1)(x +x + … + 1) coù 1) chia heát cho x3 – 1? = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – 1 = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) Töông töï ta coù keát luaän gì? chia heát cho x3 – 1 neân chia heát cho x2 + x + 1 � x(x3m – 1) Mx2 + x + 1 (1) Töông töï: x2 (x3n – 1) M x2 + x + 1 (2) III. 3- Daïng 3: Caùc baøi toaùn khaùc Vaø x2 + x + 1 M x2 + x + 1 (3) Töø (1), (2), (3) suy ra ñpcm 18 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 1. Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia A(x) = x50 + x49 + ... + x + 1 cho B(x) = x2 – 1 Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ? Khi ñoù A(x) =? Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân ta coù ñieàu gì? Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta coù: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b Ñaúng thöùc ñuùng vôùi moïi x neân x2 – 1 = 0 � x = 1 hoaëc x = -1 A(1) = a + b 51  a + b � � �a = 25 �� �� � A(-1) = - a + b � �1 = - a + b �b = 26 Vaäy R(x) = 25x + 26 2. Baøi 2: Tìm ña thöùc f(x) bieát raèng f(x) chia x – 3 thì dö 2; chia x + 4 thì dö 9 vaø chia cho x2 + x – 12 ñöôïc thöông laø x2 + 3 coøn dö * So saùnh x2 + x – 12 vôùi (x + 3)(x + 4) ? Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + 4 laàn löôït laø p(x), q(x) ta coù ñieàu gì? HS ghi ñeà baøi x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phaùt bieåu � f(x) = (x - 3).p(x) + 2 (1) � f(x) = (x + 4).q(x) + 9 (2) � � f(x) = (x - 3)(x + 4)(x 2 + 3) + ax + b (3) � Töø (1) � f(3) = 2 ; töø (3) � f(3) = 3a + b � 3a + b = 2 (4) Töø (2) vaø (3) sy ra : -4a + b = 9 (5) Töø (4) vaø (5) suy ra: a = -1; b = 5 Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5 = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31 Töø (1) vaø (3) suy ra ñieàu gì? Töø (2) vaø (3) suy ra ñieàu gì? Töø (4) vaø (5) ta coù a =?; b = ? Vaäy ña thöùc caàn tìm laø ña thöùc naøo? III. Bài tập về nhà: Bài 1: Xác định a; b để a) A = x4 + a x2 + b chia hết cho B = x2 + x + 1 b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – 2 có dư là R = 2x – 3 c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + 1 dư - 6 và chia R = x – 2 dư 21 d) Bài 2: Chưng minh rằng e) a) mn(m2 – n2) chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n f) b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n g) Bài 3: h) a)Tìm số dư trong phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11 i) b) Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức A = x3 – 3x2 – 3x – 1 chia hết cho giá trị biểu thức B = x2 + x + 1 19 Giáo án båi dìng häc sinh giái Toán 8 BUỔI 7 – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG Ngaøy soaïn: 28 – 11 - 2010 Ngaøy daïy: - 11 - 2010 A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình thoi, hình vuoâng: tính chaát vaø daáu hieäu nhaän bieát * Vaän duïng tính chaát cuûa hình thoi vaø hình vuoâng vaøo caùc baøi toaùn chöùng minh caùc ñoaïn thaúng, goùc baèng nhau, ñöôøng thaúng vuoâng goùc, song song,… * Naâng cao kyõ naêng chöùng minh hình hoïc cho HS B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Heä thoáng kieán thöùc: Hình thoi Hình vuoâng Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau vaø 4 goùc Ñònh Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau baèng nhau nghóa - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - Caùc caïnh ñoái song somg, baèng nhau - caùc goùc ñoái baèng nhau - caùc goùc ñoái baèng nhau Tính - Hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau - Hai ñöôøng cheùo baèng nhau, vuoâng goùc chaát taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø truïc ñoùi vôùi nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng, laø xöùng cuûa hình thoi truïc ñoùi xöùng cuûa hình vuoâng - moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa - moãi ñöôøng cheùo laø phaân giaùc cuûa hai hai goùc ñoái nhau goùc ñoái nhau - Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai - Taâm ñoái xöùng laø giao ñieåm hai ñöôøng ñöôøng cheùo cheùo - Ñöôøng trung bình laø truïc ñoái xöùng - Töù giaùc coù 4 caïnh baèng nhau - Töù giaùc coù 4 caïnh vaø 4 goùc baèng nhau - Hbh coù 2 caïnh keà baèng nhau - hình thoi coù 1 goùc vuoâng Daáu - Hbh coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi - hình thoi coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau - hình chöõ nhaät coù 2 caïnh keà baèng nhau hieäu nhau nhaän - hbh coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc - hình chöõ nhaät coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng cuûa 1 goùc goùc vôùi nhau bieát - Hình chöõ nhaät coù ñöôøng cheùo laø tia phaân giaùc cuûa 1 goùc II. Heä thoáng Baøi taäp HS ghi ñeà vaø veõ hình Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD AB // CD, AB < CD. Goïi M, N, P , Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa CD, AB, DB, CA 20
- Xem thêm -