Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Ngày soạn : 16/1/2012
Buổi 1
Đề khảo sát
Bài 1:
a, cho A = 4 + 22 + 23 + 24 + … + 220
Hỏi A có chia hết cho 128 không?
b, Tính giá trị biểu thức
212.13 212.65
310.11 310.5
+
10
2 .104
3 9 .2 4
Bài 2 :
a, Cho A = 3 + 32 + 33 + …+ 32009
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục
bằng trung bình cộng của hai chữ số kia
Bài 3 :
Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 4 :
Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,
ƯCLN của chúng bằng 6.
Bài 5:
Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ;
OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .
So sánh AB với AC
Hướng dẫn chấm
Bài
Hướng dẫn chấm
a, 2A – A = 2 27
A128
Điểm
0.5
0.5
212.78
b, = 10
+
2 .104
0.5
21
1
=3+3 =6
2
310.16
39.16
a, Tìm được n = 2010
b, Gọi số phải tìm là abc theo bài ra ta có a + b +
c 9 và
1
0.5
1
0.5
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
2b = a + c nên 3b 9 b 3 vậy b 0;3;6;9
abc 5 c 0;5
3
4
Gọ
i2
số
ph
ải
tìm
là
a
và
b
(a
b
) ta
có
(a,
b)
=1
nê
na
=
6a/
b=
6b/
tro
ng
đó
(a/,
b/)
=1
( a,
b,a/
,b/
Xét số abo ta được số 630
Xét số ab5 ta được số 135 ; 765
P có dạng 3k + 1; 3k + 2
k N
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9 3
p + 8 là hợp số
0.5
0.5
1
2
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
N)
a/
+
b/
=
14
O
5
C
A
B
x
Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6)
nên điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB – OA
AB = 6 – 4 = 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 )
nên điểm A năm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm)
Vậy AB > AC ( 2 >1)
0.5
0.5
0.5
0.5
Ngày soạn : 23/1/ 2012
Buổi 2:
3
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Ôn tập số hữu tỉ số thực
Phần 1: Lý thuyết
1.
Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ
a
m
b
( a,b,m �Z m �0 )
m
a
b
a b
x y
m
m
m
a
b
a b
x y
m
m
m
Với x= , y=
a
, y
b
a
x. y
.
b
a
x : y
b
x
c
d
c
d
:
c
d
( y �
0)
a.c
b.d
a
d
.
b
c
a.d
b.c
2,Giá tri tuyệt đối của một số hữu tỉ
+/ Với x �Q Ta có
x neỏu x 0
x =
-x neỏu x < 0
Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
+/ Với x,y �Q Ta có
x y �x y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y �0 )
x y �x y ( //
…..
//
)
Phần II: Bài tập vận dụng
Bài 1. Thực hiện phép tính:
(
(
1
1
1
1
1 3 5 7 ... 49
...
)
4.9
9.14 14.19
44.49
89
1
1
1
1
1 3 5 7 ... 49
...
)
4.9
9.14 14.19
44.49
89
=
1 1 1 1 1
1
1
1
1 2 (1 3 5 7 ... 49)
(
...
).
5 4 9 9 14 14 19
44 49
12
=
1 1
1
2 (12.50 25)
5.9.7.89
9
(
).
5 4
49
89
5.4.7.7.89
28
4
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Bài 2: Thực hiện phộp tớnh:
A
A
212.35 46.9 2
22.3 84.35
6
212.35 46.9 2
2 .3
2
6
8 .3
4
5
510.7 3 255.492
125.7
3
59.143
510.73 255.49 2
125.7
3
59.143
10
212.35 212.34
510.7 3 5 .7 4
12 6
9 3
2 .3 212.35
5 .7 59.23.7 3
212.34. 3 1
510.7 3. 1 7
12 5
9 3
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 23
:
10
3
212.34.2 5 .7 . 6
12 5
2 .3 .4
59.7 3.9
1 10
7
6
3
2
Bài 3. a) Tìm x biết: 2x 3 x 2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi
Giải
a) Tìm x biết: 2x 3 x 2
Ta có: x + 2 0 => x - 2.
+ Nếu x -
3
thì 2x 3 x 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
2
+ Nếu - 2 x < => x = -
3
Thì 2x 3 x 2 => - 2x - 3 = x + 2
2
5
(Thoả mãn)
3
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
5
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tỡm x biết:
1 4
2
a. x 3, 2
3 5
5
b. x 7
x 7
0
- GV: Hướng dẫn giải a,
1 4
2
1 4 16 2
x 3, 2 � x
3 5
5
3 5
5
5
x 1
x 11
� x
b)
1 4 14
3 5 5
�x1 2
1
� x 2 � � 13
�x 2
3
� 3
�x21 7
3 3
��
�x21 5
3 3
�
x 1
x 11
x 7 x 7 0
� x 7
� x 7
10
�
1 x 7 � 0
�
�
10
�
1 x 7 � 0
�
�
x 1
x 1
x 1
�
�
�
0
�x 7 �
�
�
��
�
1( x 7)10 0
�
�
�
� �x 7010�x 7
( x 7) 1�x8
�
6
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
1,11 0,19 1,3.2 1 1
( ):2
2, 06 0,54
2 3
Bài tập về nhà : Bài 1,Cho
7
1
23
B (5 2 0,5) : 2
8
4
26
A
a, Rút gọn A và B
b, Tìm x�Z để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M= x 2002 x 2001
Ngày soạn : 2 /2/2012
Buổi 3:
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
CI.Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x �Q Ta có
x neỏu x 0
x =
-x neỏu x < 0
7
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
2, Tính chất : Vụựi moùi x Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
+/ Với x,y �Q Ta có
x y �x y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y �0 )
x y �x y ( //
…..
//
)
II.Bài tập
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a, A= 3x2- 2x+1 với x=
Ta có x=
1
2
1
1
1
suy ra x= hoặc x=
2
2
2
HS tính giá trị trong 2 trường hợp +/ Với x=
+/ Với x=
1
3
thì A=
2
4
1
11
thì A=
2
4
b, B= 6 x 3x 2 x 4 với x= -2/ 3
c, C= 2 x 3 y với x=1/2 và y=-3
d, D= 2 x 2 3 1 x với x=4
3
2
1
5x2 7 x 1
e, E=
với x= (về nhà )
2
3x 1
Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c
KQ:
B=20/ 9
C= -8
D = -5
Bài 2: Tìm x biết
a, x 7 2 x 5 6
x 7 =1-2x
Do x 7 0 với mọi x nên xét với 1 – 2x 0 x
Trường hợp 1:
x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=
8
(loại do không thoả mãn điều kiện
3
1
2
x )
Trường hợp 2:
x – 7 = 2x -1 x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
b, 2 x 3 x 2 x
c, x 3 x 1 3x
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày
Bài 3:
Tìm x và y biết
8
1
2
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
1
2
b, 7,5 3 5 2 x 4,5
c, 3x 4 5 y 5 0
a, 2 2 x 3
GV: Tổ chức cho học sinh làm bài
Học sinh lên bảng trình bày
Bài 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a, A= 3, 7 4,3 x
Ta có
4,3 x �0 với mọi x
� 4,3 x 3, 7 �3, 7 Hay A �3, 7
4,3 x 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4,3 x 0
x 4,3
Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3
Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c
b, B= 3x 8, 4 24, 2
c, C= 4 x 3 5 y 7,5 17,5
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a, D 5,5 2 x 1,5
b, E 10, 2 3 x 14
c, F 4 5 x 2 3 y 12
`
Buổi 4:
Ngày soạn : 10 /2/2012
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x �Q Ta có
x neỏu x 0
x =
-x neỏu x < 0
9
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
2, Tính chất
Vụựi moùi x Q, ta coự:
x 0, x = -xvaứ x x
+/ Với x,y �Q Ta có
x y �x y ( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y �0 )
x y �x y ( //
…..
//
)
II. Bài tập :
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = |a|;
b) a < |a|;
c) a > |a|;
d) |a| = - a;
e) a |a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng:
a) |a| = |b| a = b; b) a > b |a| > |b|.
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
a) x2y > 0;
b) x + y = 0;
c) xy < 0;
1
1
x
d) x y 0;
d) y 1 0.
Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) |a| + a;
b) |a| - a;
c) |a|.a;
d) |a|:a;
e) 3(x – 1) – 2|x + 3|;
g) 2|x – 3| - |4x - 1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x – 3| = 5;
b) |2x – 1| = |2x + 3|;
c) |x – 1| + 3x = 1;
d) |5x – 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|;
b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20;
b) |x| + |y| < 20.
Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu , , để các khẳng định sau đúng với
mọi a và b.
Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu
đẳng thức ?
a) |a + b|…|a| + |b|;
b) |a – b|…|a| - |b| với |a| |b|;
c) |ab|…|a|.|b|;
d)
a |a|
...
.
b |b|
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2|3x – 2| - 1;
b) B = 5|1 – 4x| - 1;
2
c) C = x + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
10
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
1
b) B = | x 1 | 3 ;
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
a) A = 5 - |2x – 1|;
Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chứng minh rằng: |a – b| < 5.
Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.
Ngày soạn : 18 /2/ 2012
Buổi 5:
Luỹ thừa của số hữu tỉ
A--Lý thuyết
11
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
1, x m . x n x m n
2, x m : x n x m n ( x �
0, m �
n)
3, ( x m ) n x m .n
4, ( x. y ) m x m . y m
x m
xm
5, (
)
(y �
0)
y
ym
1
6,
an
n
a
GV: Cho học sinh ghi lại nội dung các công thức
B – Bài tập
Bài 1:
a,Có thể khẳng định được x2 luôn luôn lớn hơn x hay không ?
1
2
Không khẳng định được như vậy chẳng hạn x=1/2 thì ( )2
1
2
b, Khi nào x2< x
x2< x � x 2 x 0 � x( x 1) 0 xảy ra nếu x và x-1 trái dấu
Vì x-1 < x nên x-1 < 0 và x > 0 suy ra 0 < x <1
Vậy 0 < x <1 thì x2 < x
Bài 2: Tính
a, (32 ) 2 (23 ) 2 (52 ) 2
1
1
� 2 1�
b, 23 3.( ) 0 ( ) 2 .4 �
( 2) : �: 8
2
2
2�
�
1
c, (4.25 ) : (23. )
16
GV : Yêu cầu học sinh làm và gọi học sinh lên bảng trình bày
Bài 3: Thực hiện phép tính :
1 2
1
1
a- 6. 3. 1 : ( 1
3
3
3
3
b-
2
2 3
2003
. . 1
3
4
2
3
2 5
.
5 12
? Hãy nêu thứ tự thực hiện phép tính
GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tính
12
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
a,
b,
0
8
3 4 1 15 1 6
7 . 15 3 . 9 . 3 . 12 4
10 4.81 16.152
4 4.675
Gv: Hướng dẫn học sinh giải
0
3 4 1 15 1 68
1 2 8 .3 8
a,
7 . 15 3 . 9 . 3 . 12 4 =1. 3 . 2 8.3 4
= 35
10 4.81 16.152
2 4.5 4.3 4 2 4.3 2.5 2 2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2 1)
b,
=
=
=….
2 8.33.5 2
2 8.33.5 2
4 4.675
124
2
2 5.7 14
4
= 4 = 4 =
3
2 .3 2 .3 3
Bài 5:
a,Tính tổng A
= 1+5+52+53+… +52008+52009
b , B= 2100-299+298-297+…..+22
suy ra 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
C, Bài tập về nhà
Bài 1: Chứng minh rằng: 76 + 75 – 74 chia hết cho 55
Bài 2: Tính tổng C = 3100- 399 + 398 - 397 +…. +32 - 3 + 1
Bài 3: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100
13
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Tuần 12- Buổi 6
Ngày dạy :10/11
Chuyên đề : Luỹ thừa của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Mục tiêu.
Kiến thức: Nắm được các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến
đổi các lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao
Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức
lũy thừa của một số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập
Kỹ năng :- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình
bày chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu
thức có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
II. Chuẩn bị :
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề
III. Tiến trình tiết dạy:
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính
cộng, trừ,
nhân, chia.
Bài 2: Tính:
a) (0,25)3.32;
b) (-0,125)3.804;
c)
82.45
;
220
d)
8111.317
.
2710.915
Bài 3: Cho x Q và x ≠ 0. Hãy viết x12 dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x9 ?
b) Luỹ thừa của x4 ?
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x15 ?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9);
b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )…(1000 – 503).
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12;
b) N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12);
c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0;
c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36;
e) 5x + 2 = 625;
f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4;
g) (2x – 1)3 = -8.
1 2 3 4 5 30 31
. ... .
= 2x;
4 6 8 10 12 62 64
h) . . .
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243.
14
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
( x 6)( x 6)
( x 5)
Bài 8: Cho biểu thức P = ( x 4)( x 5)
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231;
c) 230 + 330 + 430 và 3.2410.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x
và y nào ta
cũng có: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết
bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2.
Ngày dạy : 17/11
Buổi 7
Chuyên đề: biểu thức đại số ( tiết 1)
I.
Mục tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :
Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài
toán về dãy có quy luật
Một số bài toán khác về biểu thức đại số
15
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Kĩ năng : Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản. Biết
vận dụng vào các bài toán khác tương tự. Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và
tổng quát hóa cho các bài toán
Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến,
không nao núng khi làm bài
IIChuẩn bị:
GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các
bài tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan .
III.Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật
A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập ỏp dụng
I. Dãy số cộng
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ
1; 3; 5; 7;...
Bài 2: a) Tớnh tổng cỏc số lẻ cú hai chữ số
b) Tớnh tổng cỏc số chẵn cú hai chữ số
c) Tớnh: S 1 3 5 L 2n 1 với (n �N )
d) Tớnh: S 2 4 6 L 2n với (n �N * )
Bài 3: Cú số hạng nào của dóy sau tận cựng bằng 2 hay khụng?
1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;...
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:
n(n 1)
2
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4.
Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành
một số A. Tính tổng các chữ số của A
b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thờm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng
làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xột số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành
50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18. Tổng
cỏc chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1.
ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001
S1 1 2,
S 2 3 4 5,
Bài 5: Cho S3 6 7 8 9,
S 4 10 11 12 13 14,
...
Tớnh S100 ?
16
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S100 = 515100
Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với
số mũ băng bao nhiờu?
Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8; ...
b) 1.4; 4.7; 7.10;...
Bài 8: Cho A 1 3 32 33 ... 320 ; B 321 : 2
Tớnh B A
Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau:
A 1 2 22 23 ... 22007
B 1 2 22 23 ... 2 n
C 1 2 2 2 4 ... 2 2008
D 1 22 24 ... 22 n
E 2 23 25 ... 2 2007
F 2 23 25 ... 2 2 n 1
Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a) S 1 a a 2 a 3 ... a n , với ( a �2, n �N )
b) S1 1 a 2 a 4 a 6 ... a 2 n , với ( a �2, n �N )
c) S2 a a 3 a 5 ... a 2 n 1 , với ( a �2, n �N * )
Bài 11: Cho A 1 4 42 43 ... 499 , B 4100 . Chứng minh rằng: A
B
.
3
Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
a ) A 9 99 999 ... 999...9
123
50 ch ��
s
b) B 9 99 999 ... 999...9
123
200 ch ��
s
Tuần 14- Buổi 8
Ngày dạy :24/11
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật ( tiếp )
II. Dãy phân số có quy luật
1. Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo
qui luật:
1
1
1
1) n(n 1) n n 1 .
k
1 �
�1
k�
�
�.
n(n 1)
�n n 1 �
1
1 �1
1 �
�
3)
�
�.
n(n k ) k �n n k �
2)
17
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
k
1 �
�1
�
�.
n(n k ) �n n k �
1
1
1 �1
1 � 1 �1
1 �
�
5)
.
�
� �
�
�
2n(2n 2) 4n(n 1) 2 �2 n 2n 2 � 4 �n n 1 �
1
1 � 1
1 �
�
6)
�
�.
(2n 1)(2n 3) 2 �2n 1 2n 3 �
1
1
1
7) n.(n 1) n 2 (n 1).n .
(Trong đú: n, k � N , n 1 )
4)
2. Bài tập
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tớnh tổng :
Lời giải :
Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn
chút xíu.
Bài 1 : Tớnh tổng :
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :
Hơn nữa ta có :
ta cú bài toỏn
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khó”
18
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
khụng phải là số nguyờn.
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là cỏc số tự nhiên lớn hơn 1 và
khác nhau thỡ
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khú sau :
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44 <
a45 và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài toỏn 2: Tớnh nhanh:
1 1 1 1
1 1
3 4 L 7 8 .
2
3 3 3 3
3 3
1 1 1 1
1
1
b) B 2 3 4 L 2007 2008 .
3 3 3 3
3
3
1 1 1 1
1
1
c) C 2 3 4 L n1 n ; n �N .
3 3 3 3
3
3
a) A
Bài toỏn 3: (Bài toỏn tổng quỏt của bài toỏn 2)
1
a
Tớnh nhanh: S
1 1 1
1
1
3 4 L n 1 n ; ( n ι N ; a
2
a a a
a
a
0) .
Bài toỏn 3: Tớnh tổng 100 số hạng đầu tiờn của cỏc dóy saug:
a)
1
1
1
1
;
;
;
;...
1.2 2.3 3.4 4.5
1
6
b) ;
1
1
1
;
;
,...
66 176 336
Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đú số hạng thứ n của dóy cú dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toỏn 4: Tớnh tổng:
1
1
1
1
L
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39
1
1
1
1
L
b) S
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
2006.2007.2008
a) S
19
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
1
1
1
1
c) S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 L n.( n 1).(n 2) ; (n �N ) .
Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
1 1
1
1
1 L
3 5
97 99
a) A 1
1
1
1
1 .
L
1.99 3.97 5.99
97.3 99.1
1 1 1
1
1
L
2
3 4
99 100
B
99 98 97
1 .
L
1
2
3
99
b)
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
(1
1
1 1
1 1
1 1
100 100 100
100
) ( ) ( ) L ( )
L
99
3 97
5 95
49 51 1.99 3.97 5.95
49.51
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
100 1 100 2 100 3
100 99
L
1
2
3
99
100 100 100
100 � �
1 2 3
99 �
�
L
� � L �
b) Biến đổi số chia: �
2
3
99 � �
1 2 3
99 �
�1
1 �
1
1 �
�1 1
�1 1
100 100 � L � 99 1 100 � L
�
99 �
99 100 �
�2 3
�2 3
1
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B
.
100
Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy:
1 1
1
1
1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;...
3 8 15 24 35
Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ;
;
;
;...
3 8 15 24 35
22 32 42 52 62
;
;
;
;
;...
Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7
992
.
98.100
22 32 42 52 62
992
99
A
� � � � L
Ta cần tớnh:
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50
Do đú số hạng thứ 98 cú dạng
1
2
1
3
Bài toỏn 7: Cho A 1
1
. Hóy chứng minh rằng A khụng phải là số
100
tự nhiờn.
20
- Xem thêm -
.DOC 
45 
404 
147 
