Tài liệu Giải và biện luận phương trình mũ và logarit

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT B. Giải và biện luận phương trình logarit: I. Nhắc lại về hàm số logarit: 1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng y log a x ( a > 0, a 1 ) TXĐ: x > 0. 2. Tính chất: . a > 1: hàm số y log a x là hàm số đồng biến . 0 < a < 1: hàm số y log a x là hàm số nghịch biến. . log a a 1 , log a 1 0 , log a (a x ) x , a loga x  x . log a ( x 1 .x 2 ) log a x 1  log a x 2 x1 log a x 1  log a x 2 . log a x2 m . log a x m log a x ( m  R , x  0) 1  . log a x log a b. log b x (0  a , b, a , b 1, x  0) 1 . log a b  log b a . log a x  log a x ( x  0,  0)  II. Phương trình logarit: 1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit. 2. Phương trình logarit đơn giản: . log a x log a b (a > 0, a  1, b > 0)  x = b . log a x c  x a c (x > 0, a > 0, a  1) . Dạng tổng quát: log g ( x ) f ( x ) log g ( x ) h ( x )   g(x)  0, g(x) 1   f ( x ) h ( x )  0 3. Phương pháp giải: a. Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số): Ví dụ 1. Giải phương trình: log 2 x  log 3 x  log 4 x log10 x (1) Giải. đk: x > 0 Ta biến đổi về cùng cơ số 2: log 3 x log 3 2. log 2 x ; log 4 x log 4 2. log 2 x ; log 10 x log10 2. log 2 x (1)  log 2 x(1  log 3 2  log 4 2  log 10 2) 0  log 2 x 0  x = 1. Ví dụ 2. (Đề 81) Giải phương trình 3 log 1 ( x  2) 2  3 log 1 (4  x ) 3  log 1 ( x  6) 3 (1) 2 4 4 4 Giải. 2 Ta có: log 1 (x  2) 2 log 1 x  2 4 4 log 1 ( 4  x) 3 3 log 1 4  x 4 4 3 log 1 (x  6) 3 log 1 x  6 4 4  x2 0  Đk:  4  x  0  6  x  0   6  x   2   2  x  4 (1)  3 log 1 x  2  3 3 log 1 (4  x)  3 log 1 (x  6)  4 4 4 log 1 x  2  1 log 1 [( 4  x)(x  6)] 4 4 log 1 4 x  2 log 1 [( 4  x )( x  6)]  4 4  4 x  2 ( 4  x )(x  6)  0   4(x  2)   x 2  2x  24  2  4(x  2)  x  2x  24  nghiệm:  x 2   x 1    x 2  6x  16 0  2  x  2x  22 0  x 2   x  8  x 1  33   33 Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình: log 2 3 x 2  3x  2 + log 2  3 x  1 = log 7  4 3  a ( x  2) , a > 0 (1) Giải. Đk: x 2 – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0  x > 2 x  1 =  log 2  Ta có: (2  3 )(2  3 ) = 1  log 2  3 x  1 = log ( 2 3 ) 1 log 2  x 2  3x  2 3 log 7  4 3 + log 2   a(x  2) = log ( 2 3 3 )2 x 1  a ( x  2)  1 1 log 2  3 ( x  2) =  log 2 2 2 1 1  x2 = 4 + a a 1 a > 0  nghiệm: x =  4  . a (1)  = log 2  3 = 1 log 2 2  a(x  2)  x 1 1 log 2 3 (x  2) 2 x 1  a(x  2) =  1 log 2 3  a(x  2) 3 2 x 2  3x  2 3 3 = x – 2 =  a ( x  2)  1  x2 – 4 = x>2  x= 4 1 . a Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình: a) log 2 (4 x 1  4) . log 2 ( 4 x  1) = log 1 8 1 2 b) log x 3 + log 3 x = log x 3 + log 3 x + 1 2 2 c) log x (125x ) . log 25 x = 1 d) log 3 (sin x x  sin x) + log 1 (sin  cos 2x ) = 0. (Đề 3) 2 2 3 2) Xác định m để phương trình: 2 2 2 log 4 (2x 2  x  2m  4m 2 ) + log 1 (x  mx  2m ) = 0 2 2 2 có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 + x 2 > 1. Hướng dẫn: pt  2 log 2 (2x 2  x  2m  4m 2 ) = log 2 ( x 2  mx  2m 2 )  2x 2  x  2m  4m 2 x 2  mx  2m 2    2 2  x  mx  2m  0  x 2  (m  1)x  2m  2m 2 0  2 2  x  mx  2m  0    x 1 2m   x 2 1  m  2 2  x  mx  2m  0 (2) phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 nên x 1 , x 2 điều kiện (2)  – 1 < 0 2 2 x1 + x 2 > 1   1  m  0 2  m1 2 5 3) Tìm a để phương trình log 5 (ax) = 2 có nghiệm duy nhất. (đề 120) log 5 (x  1) Hướng dẫn: m< 1 2  ax  0   x  1  0; x  1 1  log (ax) log (x  1) 2 5  5 pt   x 2 + (2 – a)x + 1 = 0 (2)  ax  0 phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:    1  x 0 4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29) b. Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ: Ví dụ 1. Giải phương trình ( x  1) log 2  4( x  1)  = 8 ( x  1) 3 Giải.  4(x  1)  0 Đk:  x  1 0 Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được: log 2 (x  1) log 2  4( x  1)  = log 2 8(x  1) 3  log 2  4(x  1) . log 2 (x  1) = 3 + 3   log 2 (x  1)   2  log 2 (x  1) . log 2 (x  1) = 3 + 3 log 2 (x  1) (1) Đặt t = log 2 (x  1)  (1)  t 2 – t – 3 = 0.  phương trình có nghiệm: 1 t1  1 . t1  1 13 2 13 2  x 1  2 1 1  13 2  x 1  2 2 . t2  Ví dụ 2. Giải phương trình 2 2. 2 ( x  2 ) = log 2 ( 2x) Giải. Đk:  2x  0   x  2 0  x 2 1 13 2 13 2 1  13 2 ; t2  Đặt 2  2 y 2x x  2 2y x 1 = y; y 2  x = log 2 y + 1   y log 2 2x Ta được hệ phương trình:   x log 2 2y   y. 2 y = x. 2 x (1) Xét hàm số: f(z) = z. e z ; f'(z) = e z + 2 e z > 0 z 2 f(z) đồng biến trên [2;   ). Từ (1)  x = y  2 x 2x . Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = 2 x tại 2 điểm: x 1 = 1; x 2 = 2. từ x 2  x = 2 là nghiệm. Ví dụ 3. Giải phương trình log x x log 2 9 = x 2 . 3 2 – x log 2 3 (1) Giải. Đk: x>0 áp dụng công thức: a log b c = c log b a (1)  9 log 2 x = x 2 . 3 log 2 x – 3 log 2 x  3 log 2 x = x 2 – 1. t t  3 1 Đặt t = log 2 x  3t + 1 = 4 t    +   = 1 (2)  4 t  4 t  3 1 Xét f(t) =   +   là hàm nghịch biến  (2) có nghiệm duy nhất t = 1  x = 2 là  4  4 nghiệm của (1) Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình a) log 2 ( x  x 2  1) log 3 (x  x 2  1) = log 6 x  x2  1 x x 1 b) log 3 (3  1) log 3 (3  3) = 6 c) log 4 log 2 x + log 2 log 4 x = 2 d) log x 3 + log 3 x = log x 3 + log 3 x + 1 2 2) Giải và biện luận theo a a) log x ax . log a x = – 2 x2 b) ( log a2 x + 2). log a x a = log x a log a 2 a 2 1 2 3) Cho phương trình: (m – 3) log ( x  4) – (2m + 1) log 1 ( x  4) + m + 2 = 0 2 tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2 thoả mãn 4 < x1 < x 2 < 6 c. Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất: Ví dụ 1. Giải phương trình: lg(x 2  x  6) + x = lg( x  2) + 4 (1) Giải. Đk: x 2  x  6  0 , x + 2 > 0  x > 3. x2  x  6 (1)  lg( x 2  x  6) – lg( x  2) = 4 – x  lg = 4 – x  lg(x – 3) = 4 – x x2 (2) Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2). y = lg(x – 3); y' = 1 > 0 là hàm đồng biến x 3 y = 4 – x là nghịch biến  x = 4 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 2. Giải phương trình log 2 2 3 ( x 2  2 x  2) 2 = log 2  3 (x  2x  3) (1) Giải.  x 2  2x  2  0  Đk:  2  x  2x  3  0 x   1 x  3  2 (1)  log 8  4 3 ( x  2x  2) = log Đặt: a = 7 + 4 3 ; t = x 2  2x  3 (2)  log a 1 (t  1) = log a t (3) Đặt: y = log a 7 4 3  t a y t . (3)    y  t  1 (a  1) ( x 2  2x  3) (2) y y  a   1  y  +   =1 a y  1 = (a  1)    a 1   a 1  (4) y = 1 là nghiệm của (4) y > 1  VT < VP y < 1  VT > VP  y = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: 2 log 5 ( x  3) = x. Giải. Đk: x > – 3 – 3 < x  0: phương trình vô nghiệm. x > 0: Đặt log 5 (x  3) = t   log5 (x  3) t t  2 x   x  3 5t  t   x 2 1 5 t  2 5 t 3   +   =1 (*) t = 1 là nghiệm. VT của (*) là hàm nghịch biến  t = 1 là nghiệm duy nhất  x = 2 là nghiệm duy nhất. Bái tập áp dụng: 1) Tìm m để phương trình: lg 2 (10 x ) + lgx = m a) có nghiệm. b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10. log x 2) Giải phương trình: log 2 ( x  3 6 ) = log 6 x .