GIẢI TÍCH
12
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
GV: PHAN NHẬT NAM
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử y f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
f(x) khi và chỉ khi F(x) f(x), x(a, b).
Nếu y F(x) là một nguyên hàm của hàm số y f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y
f(x) là tập hợp I F( x ) c c R và tập hợp này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
I f ( x )dx F( x ) c
2. Vi phân:
2.1 Giả sử y f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x(a,b). Cho x một số
gia x sao cho (x + x) (a,b), khi đó ta có:
dy y x x
df x f x x
• Công thức vi phân theo số gia:
• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số y x dy = dx = x’.x = x dx = x.
dy y x x
dy y x dx
df x f x x
df x f x dx
Vậy ta có:
• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do df x f x x nên f(x) khả vi tại điểm x f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất: Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:
udv vdu
d u v du dv ; d uv udv vdu ; d u
v
v2
2.3 Vi phân của hàm hợp
y f (u )
và f, g khả vi thì dy f u du f u u x dx
u g( x )
Nếu
3. Quan hệ giữa đạo hàm nguyên hàm và vi phân:
f x dx F x c F x f x dF x f x dx
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
2
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì :
f x dx f x ; d f x dx f x dx
d F x F x c
4.2. Nếu F(x) có đạo hàm thì:
4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: f x g x dx f x dx g x dx
4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: kf x dx k f x dx , k 0
4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu
5. Nhận xét: Nếu
f x dx F x c thì f g x g x dx f u du F u c
f x dx F x c với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân bất định f x dx
biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
tích phân bất định sau tồn tại e x dx ;
2
dx
;
ln x
sin x dx ;
sin x
cos x
dx ;
dx … nhưng chúng không
x
x
thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Điều kiện khả tích: Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và
các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
b
2. Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì
f x dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi
a
các đường: y f(x), x a, x b, y 0
y
C3
N k-1
C 2 B2
C 1 B1
Ck
N1
Bk
Nk
Bk+1
C n Bn
Nn
C n-1
O
a =x0
1 x1 2 x2 ... ... k-1 xk-1 k xk ... ... ... ... n-1 xn-1n xn =b
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
3
x
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
3. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
4.2. Định lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x) g(x),x[a, b]
b
b
f x dx g x dx .
a
thì
Dấu bằng xảy ra f(x) g(x), x[a, b]
a
Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu
f x dx F x c thì
b
f x dx F x
b
a
F b F a
a
b
4.4. Phép cộng:
f x g x dx
a
b
b
f x dx g x dx
a
b
4.5. Phép trừ:
a
f x g x dx
a
b
b
f x dx g x dx
a
a
b
b
a
a
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0: kf x dx k f x dx , k 0
b
4.7. Công thức đảo cận tích phân:
a
b
f x dx
a
f x dx 0
b
a
4.8. Công thức tách cận tích phân:
a
f x dx f x dx ;
a
c
f x dx
a
b
f x dx
c
4.9. Công thức đổi biến số: Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x (t) khả vi,
liên tục trên đoạn [m, M] và Min t a; Max t b ; m a; M b .
t m,M
b
Khi đó ta có:
a
f x dx
t m,M
M
f t t dt
m
4.10. Công thức tích phân từng phần: Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b],
b
b
khi đó: u x v x dx u x v x a v x u x dx
b
a
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
a
4
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
dx x c
x dx
du u c
x 1
c,
1
u u ' dx u du
1
1
u'
u 1
c
1
1
1
x dx ln x C
u dx u du ln u C
e
u' e
x
dx e x C
x
dx
a
1
.a x C
ln a
u
u' a
dx e u du e u C
u
dx a u du
1
.a u C
ln a
sin xdx cos x C
u' sin udx sin udu cosu C
cos xdx sin x C
u' cosudx cosudu sin u C
dx
cos
2
x
cos
x
(cot 2 x 1)dx cot x C
sin
dx
sin
2
2
1
x
u ' dx
(tan 2 u 1)du tan u C
2
u
(tan 2 x 1)dx tan x C
u ' dx
(cot 2 u 1)du cot u C
2
u
2
dx x C
u'
u
dx
1
2 u
du u C
III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG :
1
cos ax b dx a sin ax b c
dx x c
(ax b) dx
dx
1 ax b
a 1
1
c,
1
1
ax b a ln ax b c
eax b dx
m
ax b
dx
sin ax b dx
sin
2
1
cos ax b c
a
dx
1
cotg ax b c
ax b a
dx
1
tg ax b c
ax b a
1 ax b
e
c
a
cos
1
max b c
a ln m
tan( ax b)dx
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
5
2
d (cos(ax b))
1
ln cos(ax b) c
a. cos(ax b)
a
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
dx
1
x
arctg c
2
2
a
a
a x
a
dx
1
ax
ln
c
2
2a a x
x
dx
x2 a2
a2 x2
x
dx
x2 a2
arcsin
d (sin( ax b)) 1
ln sin( ax b) c
a.sin( ax b)
a
b
ln ax b dx x a ln ax b x c
ln x x 2 a 2 c
dx
2
cot(ax b)dx
x
c
a
x a2 x2 a2
x
a x dx
arcsin c
2
2
a
2
2
eax sinbx dx
eax a sinbx b cos bx
c
a 2 b2
dx
1
x
arccos c
a
a
1
ax b
c
2
dx
1
ax b
c
2
sin ax b a ln tg
1 a x2 a2
ln
c
a
x
x x2 a2
dx
sin ax b a ln tg
eax cos bx dx
eax a cos bx b sin bx
c
a 2 b2
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại
bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
V.1. Phương pháp sử dụng phép biến đổi đạo hàm để tính nguyên hàm :
Công thức cớ sở của phương pháp :
f ( x) '.dx d f ( x)
f ( x) c
Các phép biến đổi thường gặp :
u( x)'v( x)'dx u( x) v( x) ' dx d u( x) v( x) u( x) v( x) c
(u' v uv' )dx (uv)' dx d (uv) uv c
2
u ' v uv'
u
u u
dx ' dx d c
2
v
v
v v
u'
u
dx
u ' dx
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
u c
6
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Các trường hợp riêng :
u' ( x) u( x)e dx u' ( x)e u( x).e 'dx u( x)e ' dx d u( x)e u( x)e c
u' ( x) u( x)e dx u' ( x)e u( x).e 'dx u( x)e ' dx d u( x)e u( x)e
u' ( x) au( x)e dx u' ( x)e u( x).e 'dx
u ( x)e ' dx d u ( x)e u ( x)e
c
x
x
x
x
x
ax b
x
x
u' ( x) v' ( x)u( x)e
ax b
v( x)
x
x
x
x
ax b
ax b
x
ax b
ax b
dx u ' ( x)e v ( x ) u ( x) e v ( x ) ' dx d u ( x)e v ( x ) u ( x)e v ( x ) c
Bài tập áp dụng :
1.
5.
1
1 9
x
dx
2.
x ln( e.x
x
1 x 2 (1 x 2 ) 3
2
dx
6.
4.
x
2
e (tan x tan x 1)dx
7.
e
3.
x2 x 1
9.
11. e sin x dx
4
x 3 ( x 2)
e
12.
( x 1) 3
1 x2
x
1 x2
x
14 x 1 x1
e dx
10.
( x 1) 3
e x dx
x 2 x 1
x 1
dx
3a 6
2
6x 2 7x 3 x
a 2
e dx (HD: 6 x 7 x 3 ax b ax b 3b 2a 7
12. 2
)
9 x 12 x 4
3x 2 3x 2
(3x 2) 2
b 1
2 a b 3
V.2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢN NGUYÊN HÀM (các phép biến đổi thường gặp)
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1
n
x xn ;
n
m
xm x n ;
1
1
1
xn ;
x n ;
n
xn
x
n k
m
x m x nk
1
n
xm
x
m
n
1
;
n k
x
m
nk
xm
2. Biến đổi vi phân:
dx d(x ± 1) d(x ± 2) … d(x ± p)
adx d(ax ± 1) d(ax ± 2) … d(ax ± p)
1
dx d x 1 d x 2
a
a
a
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
x p
d
a
7
www.toanhocdanang.com
dx
1 sin x
dx
1 cos x
2 x 1
e x xe x ln x
dx
8.
x
x
ln( e.x)
3 x ln x dx
)dx
c
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau
J1
x 1 x 2 x 3 x 4
7x 3
J2
dx ;
2x 5
dx ;
x x
3x 2 7x 5
J3
dx
x2
2x 3 5x 2 7x 10
4x 2 9x 10
2x 2 3x 9
J4
dx ; J5
dx ; J 6
dx
x 1
2x 1
x 110
x 3 3x 2 4x 9
J7
x 2 15
J 9 x 3
100
.5
x9
J15
5
2 3x
10
4
x 1
3
x 2 3x 5
dx ; J13
dx ; J16
x
x dx
2
ln 2
3 x2 7
dx
ex 1
1
x x2 1
dx
4
dx ; J14 x 4 . 9 2x 5 3
dx ; J17
; J 25
; J 22
ln 2
0
x3
x x2 1
3x
e2x dx
ex 1
dx
7 x2 2
2
; J 23
2x
ln 2
; J 26
e 1 dx ; J 27
0
ln 2
J 32
0
dx
; J 33
e x 3
3
J36
x
ln 4
0
dx
5 x2 3
1 ex
dx
1 ex
2
dx
dx
e3x dx
1 ln x
; J 34
; J 35
dx
x
x
x
x
e 4e
1 e
0
1
1
1
5
2
0
2
4
dx
ln 2
x
dx
1 1 ex
1
1 1 ex
dx
e x dx
dx
; J 29
; J 30 2x
; J 31
1 e x
1 e 2x
e ex
e3x
0
0
0
0
1
1 x dx ; J 37 x 1 x
2
5
0
3
e
6
1
dx ; J 38 x 3 1 x 2 dx
0
0
2
1
1 2x 1
1
dx
dx
dx
x
; J 40 x
; J 41
; J 42 e 2x 1 e x dx
x
4 x
0 4 3
0 4 2
0
0
1
J 39
2x 1
7
x
J 21
J 28
x 130
dx
dx
dx
; J19 2
; J 20 2
x 2 x 5
x 2 x2 6
x 2 x2 3
J18
J 24
dx ; J8
x 13 dx ; J10 x 12 5x 215 dx ; J11 x 2 3x 52x 133 dx
J12 2x 3
2
2x 3 5x 2 11x 4
J 43
3
tan x cot x 2 dx
2
2
6
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
J 44
2
0
8
1
dx
1 sin x
J 45 2
0
1
dx
1 cos x
J 46 2 1 sin x dx
www.toanhocdanang.com
2
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Các công thức nguyên hàm thường dùng :
1
1
ax b dx a ln ax b C
Mở rộng
u ( x) dx u ( x) d u( x) ln u ( x) C
u ' ( x)
1
1
1 (ax b) n 1 1
1
dx (ax b) n dx
C
(ax b) n
a n 1
a (1 n)(ax b) n 1
dx
1
x
arctg c
a
a2 x2 a
a
2
dx
1
ax
ln
c
2
2a a x
x
Chú ý : Với tích phân dạng :
P( x)
dx Nếu Bậc[P(x)]
Q( x)
Bậc[Q(x)] thì ta thực hiệ phép chia
s ( x)
dx trong đó Bậc[S(x)] < Bậc[Q(x)] Sau đó
P(x) cho Q(x) để chuyển tích phân trên về dạng r ( x)
Q( x)
sử dụng một trong các phương pháp sau :
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Loại I : Tính nguyên hàm : I
TH 1 : < 0
2
P( x)
dx
bx c
Với
ax2 bx c 0 (1) có b 2 4ac
{phương trình (1) vô nghiệm }
P( x)
a( x ) 2
I
ax
m
ĐNT
P( x) m( x ) n
n
Xét
1 m( x )
n
( x ) 2 dx ( x ) 2 dx
a
Giải I1 bằng cách đặt ẩn phụ : x
dx
m
n
ln ( x ) 2 .I1
2a
a
tan t
1
dt (tan 2 t 1)dt
2
cos t
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
9
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
1
1
(tan 2 t 1)dt
2
(tan t 1)
I1
Ví dụ :
dt
1
t C
0
0
x2
0
x3 x2 x
x2
x2
3
dx x 1 2
dx I 1
dx x 1 2
1 x 2 2 x 2
2
1
1
2
x 2x 2
x 2x 2
0
0
x2
x2
dx
dx
1 x 2 2 x 2
1 ( x 1) 2 1
Giải I1 : I 1
0
Đặt : tan t x 1 (tan t 1)dt dx
2
Đổi cận :
x0t
4
x 1 t 0
tan t 1
1
(tan 2 t 1)dt 4 tan t 1dt ln cos t t 4 ln 2
2
0
tan t 1
0 4 2
I1 4
0
TH 2 : = 0 {phương trình (1) có nghiệm kép x = }
P( x)
a( x ) 2
I
m
P( x)
m
n
ĐNT
2
2
x (x )
(x )
n
Xét
1 m
n
dx
dx
a x
(x )2
Ví dụ :
1
0
m
n 1
ln x
C
a
a x
1
x2
1 1 2x 1
x3 x2 x
2x 1
1
dx x 1 2
dx I 2
dx x 0
2
2
2
0
0
2
x 2x 1
x 2x 1
( x 1)
1 2( x 1) 1
1 2
2x 1
1
dx
dx
2
2
x 1 ( x 1) 2
0 ( x 1)
0
0
( x 1)
1
Giải I2: I 2
dx
1 1
2 ln x 1
2 ln 2 1
x 1 0
{phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x = và x = }
TH 3 : > 0
P( x)
a ( x )( x )
I
m
P( x)
m
n
ĐNT
( x )( x ) x x
n
Xét
1 m
n
x dx x dx
a
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
10
m
m
ln x ln x C
a
a
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Ví dụ :
3
2
3
3
3
2 x 3 5x 2 4 x 1
x 1
dx x 2
dx 2 xdx 2
2
2 x 2 5x 3
2 x 5x 3
3
x2 3
2
2
2 2
x 1
3
( x 1)( x )
2
dx
x 1
3
2( x 1)( x )
2
dx
5
2I 3
2
m n 1
n 4
3
3
Giải I3: xét ĐNT: x 1 m( x 1) n x (m n) x m n
3
2
2 m n 1 m 5
2
I3
3
2
3
5( x 1) 4( x )
2 dx 5 3 1 dx 4 3 1 dx 5 ln x 3 3 4 ln x 1 3 5 ln 3 4 ln 2
2 3
2 x 1
3
2
22
x
( x 1) x
2
2
Loại II : Tính nguyên hàm : I
ax
3
P( x)
dx
bx 2 cx d
Với ax bx cx d 0
3
2
(2)
TH 1 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x = duy nhất
P( x)
a( x )( x 2 x )
I
m
P( x)
m
nx k
ĐNT
2
n
2
( x )( x x ) x x x
k
Xét
m
1
P( x)
1 m
nx k
1
( x )( x 2 x ) dx a x dx x 2 x dx a ln x a I 2
a
Giải I2 bằng phương pháp ở loại 1
0
x2
x2
dx
dx
3
1 x 1
1 ( x 1)( x 2 x 1)
Ví dụ : I
0
Xét đồng nhất thức : x 2 m( x 2 x 1) ( x 1)(nx k )
m n 0
m 1
x 2 (m n) x (m k n) x m k ; x R m k n 1 k 1
m k 2
n 1
2
0 1
0
( x 2 x 1) ( x 1)( x 1)
x 1
I
dx
2
dx ln x 1 I 2 ln 2 I 2
1
1 x 1
1
( x 1)( x 2 x 1)
x x 1
0
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
11
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
0
x 1
1
2
Giải I2 : I 2
1
3
x
2
4
Đổi cận : x 0 t
I 2 6
6
dx Đặt x
1
3
3
tan x dx
(tan 2 x 1)dx
2
2
2
, x 1 t
6
6
3
1
tan t
3
2 6 3 sin t 1
1 6
2
2
2
dt ln cos t
tan t 1 dt
t
2
6 2 cost 2
3
3 6 3 3
3
3 2
tan t
2
4
TH 2 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x = và 1 nghiệm kép x =
P( x)
a( x )( x ) 2
I
Xét
m
P( x)
m
n
k
ĐNT
n
2
2
x x (x )
( x )( x )
k
1
P( x)
1 m
n
k
dx
dx
dx
2
2
a ( x )( x )
a x
x
(x )
m
n
k 1
ln x ln x
C
a
a
a x
2
0 4x 7x 3
4x 2 7x 3
dx
dx
Ví dụ : I 3
1 x 4 x 2 5 x 2
1 ( x 1) 2 ( x 2)
0
Xét đồng nhất thức :
4x 2 7x 3
m
n
k
2
( x 1) ( x 2) x 2 x 1 ( x 1) 2
4x2 7 x 3
(m n) x 2 (k 2m 3n) x m 2n 2k
( x 1) 2 ( x 2)
( x 1) 2 ( x 2)
0
1
2
3
I
1 x 2
x 1 ( x 1) 2
; x R
m n 3
; x R k 2m 3n 5
m 2n 2k 1
m 1
n 2
k 3
3 0
3
dx ln x 2 2 ln x 1
ln 6
x 1 1 2
TH 3 : Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt : x = ; x = và x =
P( x)
a ( x )( x )( x )
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
xét
12
m
P( x)
m
n
k
ĐNT
n
( x )( x )( x ) x x x
k
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
I
1
P( x)
1 m
n
k
( x )( x )( x ) a x dx x dx x dx
a
Ví dụ : I
m
n
k
ln x ln x ln x C
a
a
a
6 x 2 11x 1
6 x 2 11x 1
dx
dx
( x 2)( x 1)( x 1)
x3 2x 2 x 2
Xét đồng nhất thức :
6 x 2 11x 1
m
n
k
=
( x 2)( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
x R
m n k 6
m 1
6 x 11x 1 m( x 1)( x 1) n( x 2)( x 1) k ( x 2)( x 1) ; x R n 3k 11 n 2
m 2 n 2 k 1 k 3
2
2
3
1
I
dx ln x 2 2 ln x 1 3 ln x 1 C
x 2 x 1 x 1
TH 4 : Phương trình (2) có nghiệm bội ba x =
P( x)
a( x ) 3
I
xét
m
P( x)
m
n
k
ĐNT
n
3
2
3
x (x )
(x )
(x )
k
1
P( x)
1 m
n
k
dx
dx
dx
3
2
3
a (x )
a x
(x )
(x )
m
n 1
k
1
ln x
C
a
a x 2a ( x ) 2
Loại III : Tính nguyên hàm : I
Xét đồng nhất thức :
I
P( x)
dx
(x )n
A3
An
A1
A2
P( x)
...
n
2
3
x (x )
(x )
(x )
(x )n
A3
An
A
A2
P( x)
dx 1 dx
dx
dx ...
dx
x
(x )n
(x )2
(x )3
(x )n
A1 ln x A2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
13
A
A
1
1
1
3
... n
C
2
x 2 (x )
n 1 ( x ) n1
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Chú ý :
Trong loại này ta có thể dùng đồng nhất thức dạng đa thức :
Pn ( x) A0 A1 ( x ) A2 ( x ) 2 ... An ( x ) n
Hoặc có thể sử dụng công thức khai triển taylor tại điểm x = :
Pn ' ( )
Pn " ( )
Pn( n ) ( )
2
Pn ( x) Pn ( )
(x )
( x ) ...
(x )n
1!
2!
n!
3x 4 5 x 3 7 x 8
p( x)
dx
dx
Ví dụ : I
50
( x 2)
( x 2) 50
P' ( x) 12 x 3 15 x 2 7 P' (2) 149
P' ' ( x) 36 x 2 30 x P' ' (2) 204
P' ' ' ( x) 72 x 30 P' ' ' ( x) 174
P ( 4) ( x) 72 P ( 4) (2) 72
P( x) 66
P(2) 66
149
204
174
72
( x 2)
( x 2) 2
( x 2) 3 ( x 2) 4
1!
2!
3!
4!
P( x) 66 149( x 2) 102( x 2) 2 29( x 2)3 3( x 2) 4
I 66
1
1
1
1
1
dx 149
dx 102
dx 29
dx 3
dx
50
49
48
47
( x 2)
( x 2)
( x 2)
( x 2)
( x 2) 47
I 66
1
1
1
1
1
149
29
3
C
49
48
47
46
49( x 2)
48( x 2)
47( x 2)
46( x 2)
47( x 2) 47
Loại IV : Tính nguyên hàm : I
P( x)
dx
(x )n (x )n
Xét đồng nhất thức :
An
Bm
A1
A2
B
B2
P( x)
...
1
...
n
m
2
n
2
x (x )
x (x )
(x ) (x )
(x )
(x )m
I
P( x)
dx
(x )n (x )m
An
Bm
A1
A2
B
B2
dx
dx ...
dx 1 dx
dx ...
dx
2
n
2
x
(x )
(x )
x
(x )
( x )m
A1 ln x A2
A
B
1
1
1
1
... n
B1 ln x B2
... m
C
n 1
x
n 1 (x )
x
m 1 ( x ) m1
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
14
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
II. KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU
u( x) a u( x) b dx 1 u( x) a dx u( x) b dx
1
1
Công thức tổng quát :
dx
v( x)
v( x)
a b
v( x)
a b v( x)
Chú ý : Việc chọn u(x) và a, b phải đảm bảo được hai tích phân sinh ra đơn giản , dể tích hơn
tích phân đầu.
Các trường hợp thường gặp :
1
1
( x a)( x b) dx a b
( x a ) ( x b)
1
1
1
1
xb
dx
dx
dx
ln
C
( x a)( x b)
a b xb
xa a b xa
a
( x a ) ( x b)
x
b
b
( x a)( x b) dx b a ( x a)( x b) dx
b 1
a
1
1
a
dx
dx
ln x b ln x a C
ba xb
b x a a b
b
1
1 (a.x k b) a.x k
1
1
1
dx m
dx m
k
n
x m (a.x k b) n
x (a.x k b) n 1 dx a x m k (ax k b) n dx
b x (a.x b)
b
III. KỸ THUẬT CHỐNG NHỊ THỨC
(ax b) n
h
m
Dạng : I = f x,
(cx d ) m , (ax b) .(cx d ) dx
Dùng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng
ad cb
dt (cx d ) 2 dx
ax b
Đặt t
cx d
x dt b
ct a
Các trường hợp thường gặp :
1
1
1
1. I 1
dx
xa
( x a)( x b)
ba
xb
2. I 2
1
( x a )( x b)
dx
I=
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
15
1
dt b
f ct a , t dt
ad cb
ba
x b
1
( x b)
xa
ba
xb
xa
2tdt d x b
xa
Đặt t
xb
x b b a
1 t2
ax b
1
.
f x,
dx
cx d (cx d ) 2
2
dx
ba
x b
I 2 2
2
1
1
1
xa
xa
x a d x b b a ln x b C
ba
xb
dx
1
( x b) x a
x a d x b
ba
xb
1
t 1
xa xb
dt ln
C ln
C
2
t 1
1 t
xa xb
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bình luận :
Ta có thể thực hiện thao tác trên cho tích phân có dạng I 3
1
( x a)(b x)
dx
Với I2 ta còn cách giải khác là : Đặt t x a x b nhưng không thể áp dụng cách này cho I3
VI. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KIỂU ĐỐI XỨNG
Dạng :
f (x 2 )
dx (Hoặc f và g là các đa thức có hệ số đối xứng)
g(x2 )
Phương pháp :
Rút gọn phân thức (nếu có) sau đó chia tử và mẫu cho x2 để đưa về một trong 2 dạng :
1
P x
1
x
1 1 x 2 dx
Q x
x
1
P x
1
x
1 1 x 2 dx
Q x
x
hoặc
1
P x
1
x
Dạng 1: Với tích phân có dạng I
1 2 dx
1
x
Q x
x
1
1
1
t x
dt x dx 1 2 dx
Đặt :
x
x
x
Khi đó : I
P (t )
dt là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
Q (t )
1
P x
1
x
Dạng 2: Với tích phân có dạng I
1 2 dx
1
x
Q x
x
1
1
1
dt x dx 1 2
Đặt : t x
x
x
x
Khi đó : I
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
dx
P (t )
dt là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
Q (t )
16
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng :
x2 1
dx
1.
2 x 3 3x 2
2.
x 2 10 x 2
4.
dx
( x 1)( x 3 15 x 3)
5.
( x 1) 2
dx
7. 0 2
x 1
8.
1
10.
2
0
1
dx
(4 x 2 ) 4
x( x
3
2
1
11.
0
1
2
3)
dx
3.
4x 2 x
0 2 x 2 5 x 2 dx
1
x2 x 1
dx
( x 1) 3
6.
1
dx
4
x 4x 2 3
9.
3
1
2
1
dx
6
x (1 x 2 )
x5 x
dx
x8 1
dx
13.
50
x ( 2 x 7) 2
14.
( x 3) 7
dx
16.
( x 1)10
17.
( x 2)
19.
22.
24.
27.
1
dx
5
( x 1) 3
x2 1
dx
x4 1
20.
x2 1
dx
x4 1
12.
2
1
dx
1) 3
10
1 x5
dx
x(1 x 5 )
dx
3x 50 5 x
(3 x 7) 4
dx
15.
( x 1) 6
dx
(3x 4) 4
18.
(2 x 1)
21.
1
(3x 2) 5 (4 x 1) 4 dx
3
x3 x
dx
23. 6
x 4x 4 4x 2 1
1
dx
4
x x2 1
x(x
1 5
2
1
x2 1
dx
x4 x2 1
x 2011
dx
30.
(1 x 2 )1007
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
1
dx
x 1
4
25.
x4 1
dx
x6 1
x2
dx
28.
(2 3x)10
dx
31. 9
x 3x 5
17
26.
x2 1
dx
x 4 5 x3 4 x 2 5 x 1
( x 2 1)dx
29. 2
( x 5 x 1)( x 2 3x 1)
ln 5
32.
dx
e x 2e x 3
ln 3
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Công thức nguyên hàm cớ bản :
1
1
sin( ax b)dx a cos(ax b) C
tan
2
cot
2
cos(ax b)dx a sin( ax b) C
1
1
dx tan( ax b) C
a
cos (ax b)
1
1
dx cot(ax b) C
a
sin (ax b)
(ax b) 1 dx
(ax b) 1 dx
1
tan( ax b)dx a
1
cot(ax b)dx a
2
2
cos(ax b) 'dx 1
d cos(ax b) ln cos(ax b) C
a cos(ax b)
a
cos(ax b)
sin( ax b) 'dx 1
sin( ax b)
1
1
d sin( ax b) ln sin( ax b) C
a sin( ax b)
a
1
1
Các tích phân sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm cớ bản :
f sin( ax b) ; cos(mx n)dx
{ Trong đó f (sin, cos) không chứa sin, cos ở trong căn và
dưới mẫu và không nằm trong hàm hợp}
Khi đó ta cần sử dụng 2 loại công thức (hạ bậc , tích thành tổng) cho đến khi sin, cos đều ở
dạng bậc 1 và không có dạng tích thì ta sử dụng các công thức trong bảng nguyên hàm.
Ví dụ :
cos
5
x.sin 5 x.dx cos3 x cos2 x sin 5 xdx
cos3x 3 cos x 1 cos 2 x
.
sin 5 xdx
4
2
1 1
5
1
2 cos5x 2 cos3x 5 cos x sin 5xdx 32 sin 10 x 5 sin 8x 10 sin 6 x 10 sin 4 x 5 sin 2 x dx
8
1 1
5
5
5
5
cos10 x cos8 x cos 6 x cos 4 x cos 2 x C
32 10
8
3
2
2
Các phương pháp đặt ẩn phụ của tích phân lượng giác cơ bản :
Dạng 1 : I 1 f (sin x , cos x)dx
{Trong đó : f ( sin x , cos x) f (sin x , cos x) }
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :
Đặt t cos x dt sin xdx
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
18
I1 g (cos x). sin x dx
I 1 g (t ).dt
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Dạng 2 : I 1 f (sin x , cos x)dx
{Trong đó : f (sin x , cos x) f (sin x , cos x) }
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :
I 1 g (t ).dt
Đặt t sin x dt cos xdx
Dạng 3 : I 1 f (sin x , cos x)dx
I1 g (sin x). cos x dx
{Trong đó : f ( sin x , cos x) f (sin x , cos x) (*)}
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :
I1 g (tan x).
1
dx
cos2 x
Đặt t tan x dt
1
dx
cos2 x
I 1 g (t ).dt
Chú ý :
Ta có thể đặt t cot x nếu I1 dể biến đổi được về dạng
1
g (cot x). sin
2
x
dx
Với bài toán chứa căn đôi khi không cần thỏa (*) ta cũng có thể giải bằng phương pháp đặt
t tan x hoặc t cot x
Bình luận : Ở bài trên ta có thể giải bằng cách khác đơn giản hơn :
Đặt : t
Dạng 4 : I 1
1
tan x
1 tdt
dx
2
cos x
cos2 x
1
I tdt dt t C tan 2 x 2 C
t
sin x cos x
f sin x cos x , sin( x ) , cos(x ) ; sin x cos x sin( x )
dx
4
4
4
cos(x )
4
sin x cos x 2 sin( x 4 )
Dùng công thức
cos x sin x 2 cos(x )
4
để đưa tích phân về dạng :
I 1 g sin x cos x ; sin x cos x .(cos x sin x) dx
dt (cos x sin x)dx
2
Đặt : t sin x cos x
sin x. cos x t 1
2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
19
t 2 1
. dt
I1 g t ;
2
www.toanhocdanang.com
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Dạng 5 : Phương pháp hữu tỷ hóa tích phân lượng giác.
I 1 f (sin x , cos x)dx
x
dt
2
Đặt : t tan
1
2 cos2
x
2
1 t2
cos x
1 t2
2t
sin x 2
;
t 1
1 2 x
2
1dx dx 2
dt
tan
2
2
t 1
dx
I1
2t 1 t 2
2
f( 2
,
). 2
dx
2
t 1 1 t t 1
Trường hợp riêng :
I1
1
dx
sin n x
Đặt : t tan
x
2
dx
2
dt
t 1
và
2
sin x
2t
t 1
2
n 1
I1
t
n
1
2
1 t 1
dt n1
n n
2
2 t t 1
2
tn
2
2
n 1
C
k 2k
n 1
1
dt n1 k 0 n
2
t
t
dt
1 n1 k 2 k n
Cn1t dt
2 n1 k 0
x 1
C khi 1
Sử dụng công thức : x dx 1
ln x C khi 1
I2
1
dx
cosn x
I 2
Đặt : t
1
cos ( x)
2
n
dx
2
x dt dx
1
dt
sin n t
n
Giải tương tự I1
n
1
1
1
2
I 2 2 n2 dx 2 . 2 dx tan x 1 . 2 dx
cos
x
cos x
cos x cos x
1
Đặt : t tan x dt
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225
20
1
dx
cos2 x
I 3 (t 2 1) n .dt
www.toanhocdanang.com
- Xem thêm -
.PDF 
45 
112 
146 
