Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Giáo dục - Đào tạo
Toán học
Giải tích 12 ôn thi đại học (nguyễn phú khánh)...
Tài liệu Giải tích 12 ôn thi đại học (nguyễn phú khánh)
.PDF
36
118
129
tranphuong
Báo vi phạm
Tải xuống
129
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ CHUÛ ÑEÀ 1: HAØM SOÁ – ÑAÏO HAØM I. MIEÀN (TAÄP) XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh y = A(x ) A (x ) ≥ 0 y = tgx x≠ B(x ) ≠ 0 y = cot gx x ≠ kπ A(x ) ≥ 0 ⎡ arcsin x y=⎢ ⎣arccos x −1 ≤ x ≤ 1 y = [A(x )] A (x ) > 0 y= A (x ) B(x ) y = 2 n A(x ) (n ∈ Z ) + ∀x ∈ D y = 2 n +1 A(x ) II. B( x ) (n ∈ Z ) + π + kπ 2 f (D ) = (− ∞, a] 2. ⎧ B(x ) > 0 ⎨ ⎩0 < A(x ) ≠ 1 ⎡a x y=⎢ x ⎣e ⎡log x y=⎢ ⎣ ln x ∀x(a > 0) ∀x > 0 ⎡f (x ) ± g(x ) y=⎢ ⎣ f (x ) g(x ) D = D f ∩ Dg f(D): MGT f (D ) = [a, b] a ≤ f (x ) ≤ b f (D ) = [b,+∞ ) f (x ) ≥ b Taäp xaùc ñònh y = log A (x ) B(x ) MIEÀN (TAÄP) GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM SOÁ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} 1. Söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Haøm f(x) f(D): MGT Haøm f(x) f (x ) ≤ a a < f (x ) < b f (D ) = (a, b ) Ñaùnh giaù bieåu thöùc baèng caùc BÑT: * [A(x )] + a ≥ a ∀a, ∀x laøm A(x ) xaùc ñònh. 2 (a * BÑT Coâsi : a + b ≥ 2 ab . Bunhiacoâp sky : ac + bd ≤ III. Haøm soá HAØM HÔÏP gof g o f laø haøm hôïp cuûa hai haøm f : D f * Tf ∩ D f = φ ⇒ ∃g o f : Dg o f Tf vaø g : D f 2 )( + b 2 c2 + d 2 ) Z Z * ∀x ∈ D g o f : [g o f ](x ) = g[f (x )] vaø fog ≠ g o f ⎡{x | x ∈ D f ∧ f (x ) ∈ Dg }; Tf ∩ D g * Dg o f = ⎢ ⎣ D f , {(Tf ≠ 0 ) ∧ (Tf ⊂ Dg )} IV. HAØM CHAÜN – LEÛ y=f(x) ÑOÁI XÖÙNG QUA O: V. GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ: f (− x ) = f (x ) ∀x ∈ D : f chaün ⎤ ⇒ f (− x ) ≠ ± f (x ) : Haøm khoâng chaün khoâng leõ ∀x ∈ D f (- x ) = −f (x ) ∀x ∈ D : f leõ ⎥⎦ 1. Phöông phaùp 1: Khöû daïng voâ ñònh 0 0 Cô sôû cuûa phöông phaùp laø laøm xuaát hieän daïng trong bieåu thöùc haøm caùc thöøa soá (x - x0), ñeå roài giaûn öôùc chính caùc thöøa soá ñoù cuûa töû soá vaø maãu soá trong • • lim x→ x 0 f (x ) g(x ) vôùi caùc chuù yù: Neáu töû vaø maãu laø caùc ña thöùc, söû duïng pheùp chia ña thöùc töû vaø maãu cho (x - x0). Rieâng ôû ñaây ta duøng thuû thuaät chia Hormer. Neáu chæ ôû töû hoaëc maãu coù chöùa caên thöùc, ta nhaân cho töû vaø maãu moät löôïng lieân hôïp cuûa caên thöùc ñoù. llh A + B ←⎯ → A− B 3 llh A ± 3 B ←⎯ → 3 A ± 3 AB + 3 B2 Neáu töû vaø maãu ñeàu coù chöùa caên thöùc, ta seõ nhaân vaøo töû vaø maãu cuøng hai löôïng lieân hôïp giao hoaùn töông öùng. • Khoâng loaïi tröø caùc khaû naêng söû duïng nhanh caùc haèng ñaúng thöùc: 1 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ a3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a2 ± ab + b 2 ) a2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) an − b n = ( a − b ) ( an −1 + an − 2 b + an − 3 b 2 + ... + ab n − 2 + b n −1 ) a4 − b 4 = ( a2 + b 2 ) ( a − b )( a + b ) • Ñeå yù raèng vieäc bieán ñoåi sô caáp coù theå laøm daïng voâ ñònh naøy trôû thaønh daïng voâ ñònh khaùc. Chaúng haïn: lim f (x )g(x ) (daïng 0 × ∞ theo thöù töï ñoù) x →0 2. • • Phöông phaùp 2: Khöû daïng voâ ñònh ∞ ∞ PP1: Ñaët soá muõ lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc thaønh phaàn ôû töû vaø maãu laøm nhaân töû chung ñeå khöû voâ ñònh. PP2: Duøng caùc ñònh lyù giôùi haïn töông ñöông: 1/ x → ∞ ⇒ Pn (x ) ~ an x n ⎧⎪ x → +∞ ⇒ ax 2 + bx + c ~ x a ; (a > 0) 2/ ⎨ ⎪⎩x → −∞ ⇒ ax 2 + bx + c ~ −x a ; (a > 0) b + ε(x ); ⎛⎜ vôùi a > 0 vaø lim ε(x ) = 0 ⎞⎟ 3 / ax 2 + bx + c ~ a x + 2a x →∞ ⎝ ⎠ 3. Phöông phaùp 3: Khöû daïng voâ ñònh ∞ − ∞ Cô sôû cuûa phöông phaùp tìm giôùi haïn naøy laø: 1/ Söû duïng löôïng lieân hôïp. 2/ 3/ 4/ • Söû duïng bieåu thöùc tieäm caän: ax 2 + bx + c ~ a x + Söû duïng caùc haèng ñaúng thöùc. Khoâng duøng haøm soá töông ñöông cho daïng toång. 4. Phöông phaùp 4: Giôùi haïn cuûa haøm löôïng giaùc TH1: Khi x → 0 (x tính baèng radian) sin u ( x ) lim u ( x) u( x )→ 0 lim = 1 hay sinu ( x ) ~ u ( x ) 1 − cos u ( x ) u( x )→ 0 ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ 2 = llh → ( 1 − sin u ) ( 1 + sin u ) ←⎯ TH2: Khi * Ñaët: * Khi: tgu ( x ) u ( x) u( x ) → 0 = 1 hay tgu ( x ) ~ u ( x ) 2 1 1 hay 1-cos 2 u ( x ) ~ ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ 2 2 Khoâng loaïi tröø nhaân caùc löôïng lieân hôïp löôïng giaùc. • lim b + ε(x ) trong ñoù: a > 0 vaø lim ε(x ) = 0 2a x →∞ llh → ( 1 − cos u ) ( 1 + cos u ) ←⎯ x → x 0 haøm löôïng giaùc coù daïng voâ ñònh (x tính baèng rañian) ⎧ x = x0 + t t = x − x0 ⇔ ⎨ ⎩x → x 0 ⇒ t → 0 x → x 0 ⇒ t ' = x 0 − x, t ' → 0 Ghi chuù: khoâng söû duïng haøm töông ñöông cho toång soá. 5. 6. 7. ⎧⎪f (x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ), ∀x ∈ Vx 0 | {x 0 } ⇒ lim g(x ) = L ⎨ lim f (x ) = lim h (x ) = L x→x 0 ⎪⎩ x→x 0 x→x 0 ⎧ lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x → x0 ⎪ x→ x0 Haøm chöùa giaù trò tuyeät ñoái: ⎨ f ( x ) = 0 ⇒ lim f ( x ) = 0 ⎪ xlim x → x0 ⎩ → x0 ⎧⎪f (x 0 ) ∈ R, ∀x 0 ∈ D hay lim Δ y = 0 Haøm lieân tuïc: * ⎨ f (x ) = f (x 0 ) Δx 0 → 0 ⎪⎩ xlim →x 0 Haøm keïp: 2 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït * Lieân tuïc taïi x0: 8. ⎡ lim+ f (x ) = f (x 0 ) : lieân tuïc phaûi x→x lim+ f (x ) = lim− f (x ) = f (x 0 ) ⇒ ⎢ 0 x→x 0 x→x0 ⎢ lim− f (x ) = f (x 0 ) : lieân tuïc traùi ⎣ x→x 0 Coâng thöùc giôùi haïn: lim x→ 0 sin x x lim a x→+∞ =1 lim =1 x→ 0 x ( ) lim U x = 0 x→ 0 ( ) =1 U ( x) tgU ( x ) lim =1 x→ 0 U ( x ) lim x→ 0 sin U x 1 − cos x 1 = 2 2 x * Quy taéc Lopitan: VI. ÑAÏO HAØM: x lim log a x = +∞ ⎫ x →+∞ ⎪ = +∞ ⎫ ⎪ x + lim a = 0 ⎪ x→−∞ ⎪ x lim e = +∞ ⎪ x→+∞ ⎪ + x lim e = 0 ⎬ x→−∞ ⎪ x ⎪ e = +∞ ⎪ lim x→+∞ x ⎪ x lim x.e = 0 ⎪ ⎭ x→−∞ + x lim a = 0 ⎫ ⎪ x→+∞ ⎬ x lim a = +∞ ⎪ ⎭ x →−∞ tgx lim x→ 0 LHQ lim log a x = −∞ ⎪ x → 0+ ⎪ ⎪ ⎪ lim ln x = −∞ ⎬ + x→ 0 ⎪ ln x + ⎪ =0 lim ⎪ x →+∞ x − ⎪ lim x. ln x = 0 ⎪ ⎭ x → 0+ lim log a x = −∞ ⎫ ⎪ x →+∞ ⎬ lim log a x = +∞ ⎪⎭ − x→ 0 lim ln x = +∞ x →+∞ a>1 0
1 0
0 ) u' ⎞ ⎛ ⇒ y' = y(v ln u )' = u' ⎜ v' ln u + v ⎟ u⎠ ⎝ Haøm logarit: ) v (x ) Haøm soá f(x) Ñaïo haøm f’(x) sinx cosx C 0 cosx x 1 tgx 1 = 1 + tg 2 x cos 2 x ex ex ax axlna x; ( u) 1 x 1 ⎛ u' ⎞ ;⎜ ⎟ 2 x ⎝2 u ⎠ 1 − 2 x 4 -sinx Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït 1 x 1 x ln a lnx − cotgx 1 = − 1 + cot g 2 x sin 2 x ( ) LHQ logax 5. Ñaïo haøm caáp cao: Khi caàn tính ñaïo haøm caáp (n): y(n) = f(n)(x), ngöôøi ta söû duïng phöông phaùp tính quy naïp baèng ba böôùc cô baûn nhö sau: • Tính y’, y”, y’”... ñeå döï ñoaùn coâng thöùc cuûa: y(n) = f(n)(x) (1) • Giaû söû (1) ñuùng ∀k ≥ 1 , töùc laø ta coù: y(k) = f(k)(x) (2) • Laáy ñaïo haøm hai veá bieåu thöùc (2) ñeå chöùng minh: y(k+1) = f(k+1)(x); ñuùng ∀k ≥ 1 Keát luaän: Coâng thöùc (1) laø ñaïo haøm caáp (n) caàn tìm. • 6. ÖÙng duïng cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi moät ñieåm f’(x0) neáu toàn taïi heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) taïi ñieåm ñoù: t k = tgϕ = f ' (x 0 ) (laø yù nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm) • • • • (C): y = f(x) Neáu moät haøm f coù ñaïo haøm taïi x0 thì haøm f lieân tuïc taïi ñieåm x0. Nhöng moät haøm f lieân tuïc taïi x0 thì chöa chaéc coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0. Moät haøm f khoâng lieân tuïc taïi x0 thì khoâng coù ñaïo haøm taïi ñieåm x0. Giaû söû haøm f : y = f(x) coù ñaïo haøm y’=f’(x) treân D, ta coù: ) f laø haøm haèng treân D ) f ñoàng bieán treân D ) f nghòch bieán treân D ⇔ f ' (x ) = 0; ⇔ f ' (x ) ≥ 0; ⇔ f ' (x ) ≤ 0; ∀x ∈ D ∀x ∈ D ∀x ∈ D ϕ x M(x0,y0) (h.1) (1) (2) (3) Ñeå yù trong (2) vaø (3), ñaïo haøm theå hieän moät haøm soá ñôn ñieäu nghieâm caùch (ñoàng bieán hay nghòch bieán) trong D coù theå baèng khoâng taïi nhöõng giaù trò rôøi raïc cuûa bieán soá (xem h.2) nhöng khoâng theå trieät tieâu trong moät khoaûng tuøy yù cuûa A y C f'(x0,1)=0 y A (α; β) ⊂ D (xem h.3). f'(x0,1)=0 ∀x0 ∈ (α;β) D C D f'(x0,2)=0 B B x x0,2 x0,1 a 0 x b a 0 α (h.2) x0 b β (h.3) • Neáu haøm f lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a).f(b) < 0 thì phöông trình f(x) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm: • ⎧ f lieân tuïc treân [ a;b] ⎧ phöông trình f ( x ) = 0 Neáu: ⎪ ⇒⎨ ⎨f ( a) f ( b ) < 0 ⎩ coù nghieäm duy nhaát x 0 ∈ [ a;b] ⎪ f ñôn ñieäu nghieäm caùch treân a;b [ ] ⎩ x 0 ∈ (a; b ) . y B f(b) a 0 x0 A f(a) (C) : y = f(x) x (C) : y = f(x) b x a 0 f(b) 5 x0 b B (h.6) Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït • LHQ Giaû söû haøm f : y = f(x) xaùc ñònh treân ñoaïn [a;b] ) Haøm f ñaït moät cöïc ñaïi taïi ) Haøm f ñaït moät cöïc tieåu taïi x 0 ∈ (a; b ) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x 0 ) ∈ (a; b ) sao cho: f (x ) < f (x 0 ); ∀x ≠ x 0 . x 0 ∈ (a; b ) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x 0 ) ∈ (a; b ) sao cho: f (x ) > f (x 0 ); ∀x ≠ x 0 . * Ñònh lyù 1 Fermat: (Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá f coù cöïc trò) Neáu haøm f coù ñaïo haøm taïi V(x0) vaø ñaït moät cöïc trò taïi x0 ñoù thì ñieàu kieän caàn laø f’(x0) = 0. y f'(x0)=0 A f'(x0)>0 0 a x0 (h.9) (C):y=f(x) f'(x0)>0 B A f'(x0)=0 f'(x0)<0 (C):y=f(x) B f'(x0)<0 b x a x0 (h.10) b y 0 x YÙ nghóa hình hoïc: tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) : y = f(x) taïi ñieåm cöïc trò thì song song truïc hoaønh. Heä quaû: Moïi ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x) ñeàu laø ñieåm tôùi haïn. * Ñònh lyù 2: (Ñieàu kieän ñuû thöù nhaát ñeå haøm f coù cöïc trò) Neáu haøm f coù ñaïo haøm taïi V(x0) vaø f’(x0) = 0 (*), ñoàng thôøi f’ ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ñuû ñeå f ñaït moät cöïc trò taïi x0. • Khi f’(x0) = 0 vaø khi f’(x) ñi qua x0 maø khoâng ñoåi daáu, ta noùi (x0;f(x0)) laø moät ñieåm uoán vôùi tieáp tuyeán naèm ngang. Ñieàu kieän (*) coù theå thay theá baèng f’(x0) vaø f lieân tuïc taïi x0. • Tieáp ñieåm naèm treân ñöôøng cong (C) : y = f(x) laø ñieåm uoán ⇔ taïi ñoù ñöôøng cong vaën mình baêng qua tieáp ñieåm ñoù. * Ñònh lyù 3: (Toàn taïi ñieåm uoán) Neáu f coù ñaïo haøm baäc hai f” taïi V(x0) (**) vaø f”(x0) = 0; ñoàng thôøi f” ñoåi daáu khi ñi qua x0 thì M(x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (C) : y = f(x). Trong (**) neáu f” khoâng toàn taïi thì caàn coù theâm toàn taïi y A f"(x0)=0 I f"(x0)>0 0 a x 0 ∈ V(x 0 ) ñeå f lieân tuïc taïi x0; thì M vaãn laø ñieåm uoán. (C):y=f(x) B f"(x0)<0 x0 (h.10) b x • f”(x) < 0 treân (a;b) ⇔ Ñoà thò (C) : y = f(x) loài trong (a;b) veà phía y döông. • f”(x) > 0 treân (a;b) ⇔ Ñoà thò (C) : y = f(x) loõm trong (a;b) veà phía y döông. * Ñònh lyù 4: (Ñieàu kieän ñuû thöù hai ñeå moät haøm coù cöïc trò) Neáu f’(x0) = 0 trong V(x0) ñoàng thôøi f”(x0) # 0 thì haøm f coù cöïc trò taïi x0. Cuï theå: f'(x0)=0 f"(x0)>0 f"(x0)<0 f'(x0)=0 * Ñònh lyù 5: (Ñieàu kieän toàn taïi haøm ngöôïc - Ñieàu kieän ñuû) Neáu f laø moät haøm soá lieân tuïc, ñôn ñieäu ngaëc trong [a;b] thì f coù haøm soá f-1 xaùc ñònh treân [f(a);f(b)]. • Luùc ñoù f-1 cuõng lieân tuïc ñôn ñieäu ngaët treân [f(a);f(b)] vaø cuøng chieàu bieán thieân vôùi f. • Xeùt tính ñoái xöùng cuûa hai ñoà thò hai haøm ngöôïc nhau (C) : y = f(x) vaø (C-1) : y = f-1(x) qua ñöôøng phaân giaùc thöù nhaát. • Haøm f taêng nghieâm ngaët (neáu f giaûm ngaët ta seõ bieán ñoåi sô caáp chaúng haïn (-f) seõ laø haøm taêng ngaët). Luùc ñoù, ta coù: ⎧f taêng ngaët treân D ⇔ f (x ) = x; ∀x ∈ D ∩ f (D ) ⎨ −1 ⎩ f (x ) = f (x ) • Theâm moät öùng duïng cuûa ñaïo haøm vaø ñaïo haøm caáp cao laø quy taéc (ñònh lyù) L’ Hospitale nhö sau: (n 0 ) f (x ) ⎛ 0⎞ f ' (x ) f " (x ) f (x ) = lim = ... = lim (n 0 ) Daïng ⎟ = lim ⎜ x → x 0 g(x ) x→x0 g (x ) 0 ⎠ x → x 0 g' (x ) x → x 0 g" (x ) ⎝ lim 6 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 0 Trong ñoù n0 laø chæ soá döøng cuûa ñaïo haøm caáp n khi daïng voâ ñònh ⎝ ⎠ vöøa khöû. ⎛0⎞ ⎛∞⎞ Daïng ⎜ ⎟; (0 × ∞ ); (∞ − ∞ ) ... ñeàu coù theå bieán ñoåi veà daïng ⎜ ⎟ ñeå söû duïng ñöôïc quy taéc L’ Hospitale. ⎝0⎠ ⎝∞⎠ ) ) • LHQ Tính loài loõm cuûa haøm soá trong ñaúng thöùc Jensen. y y ⎛ x + x f⎜ 1 2 ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎠ f x1 + f x 2 2 f x1 + f x 2 2 ⎛ x + x2 ⎞ f⎜ 1 ⎟ 2 ⎝ ⎠ a x1 x + x x2 1 2 0 b a x x1 x1 + x 2 x 2 b 2 ⎧ ⎪⎪ ⎨f " < ⎪ ⎪⎩ 2 f lieân tuïc treân 0 treân ( a;b ) [ a;b ] ⎛ x + x 2 + ... + x n ⇒ f⎜ 1 n ⎝ [ ] ⎞ ⎟≥ ⎠ 0 x ( ) ( ) + ... + f ( x n ) f x1 + f x 2 n x 1 ; x 2 ; ...x n ∈ a; b Daáu ñaúng thöùc trong BÑT xaûy ra khi x1 = x2 = ... = xn. * Ñònh lyù Lagrance: ⎧ f lieân tuïc [a; b] ⇒ ∃ c ∈ (a; b ); f (b ) − f (a ) = (b − a)f (x ) ⎨ ⎩f khaû ñaïo (a; b ) YÙ nghóa hình hoïc: Moät haøm lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm treân [a;b] thì toàn taïi treân ñoà thò (C) : y = f(x) caùc ñieåm maø tieáp tuyeán taïi ñoù song song vôùi ñoaïn noái hai ñaàu nuùt cuûa ñoà thò. Heä quaû: (Ñònh lyù Rolle) [ ] () f coù ñaïo haøm treân ( a;b ) ⎧giöõa 2 nghieäm x1 ;x 2 phaân bieät ⎪ ⎬ ⇒ ⎨ neáu coù cuûa f ( x ) = 0 phaûi coù ⎪⎭ ⎪ ⎩ ít nhaát 1 nghieäm x 0 cuûa f' ( x ) = 0 ( )⎫⎪ f lieân tuïc treân a;b vaø f a = f b CHUÛ ÑEÀÀ 2: TÍNH ÑÔN ÑIEÄU I. TÍNH TAÊNG - GIAÛM (ÑÔN ÑIEÄU) CUÛA HAØM SOÁ: ⎡ ∀x , x ∈ (a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) f taêng treân (a; b ) ⇔ ⎢ 1 2 ⎣f ' (x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Haøm soá ñoàng bieán ⎡ ∀x1 , x 2 ∈ (a; b ) : x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) f giaûm treân (a; b ) ⇔ ⎢ ⎣f ' (x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Haøm soá nghòch bieán f(x) laø haøm baát kyø Tính chaát ñôn ñieäu (x ) ≥ 0 f luoân giaûm: f ' (x ) ≤ 0 (x ) ≥ 0 Neáu max f ' (x ) ≤ 0 Neáu min f ' II. f luoân taêng: f ' f(x) haøm baäc 3 a > 0 vaø Δ ≤ 0 a < 0 vaø Δ≤0 TAÊNG - GIAÛM TRONG KHOAÛNG: 1. Heä soá a=0 Haøm baäc 2: y = ax2 + bx + c ⇒ y' = 2ax + b . Taêng, giaûm trong (α;+∞ ) y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) m = m 1 ⇒ y' = b > 0 : nhaän m1 y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) m = m 1 ⇒ y' = b < 0 : nhaän m1 Haøm f taêng Haøm f giaûm 7 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït b − ≤α⇒m =? a>0 2a a<0 LHQ Khoâng xaûy ra − Khoâng xaûy ra y = ax3 + bx 2 + cx + d ⇒ y' = 3ax2 + 2 bx + c (α;+∞ ) hay [α;+∞ ) f taêng y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) Heä soá 2. Haøm baäc 3: * TH1: Heä soá a=0 Xeùt daáu y’ ⎧a > 0 ⎨ ⎩Δ ≤ 0 Thoûa x −∞ x1 x2 y' + 0 − 0 + ⇔ x1 < x 2 ≤ α ⎧a > 0 ⎨ ⎩Δ > 0 a<0 ⎧a < 0 ⎨ ⎩Δ ≤ 0 [α;+∞ ) ⎧a < 0 ⎨ ⎩Δ > 0 Khoâng thoûa * TH2: x y' x y' 3. y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) x −∞ x1 x2 y' − 0 + 0 − ⇔ x1 < x 2 ≤ α (− ∞; α ] hoaëc (- ∞; α ] (− ∞; α] x1 x2 0 − 0 ⎧ a>0 ⎨ ⎩α ≤ x1 ≤ x 2 + y' ≥ 0 +∞ (α; β) hoaëc [α; β] x −∞ x1 x2 y' − 0 + 0 x1 ≤ α < β ≤ x 2 + [α;+∞ ) Khoâng thoûa (− ∞; α] hoaëc (- ∞; α] vaø (α; β) hoaëc [α; β] Taêng y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) Xeùt daáu y’ a>0 +∞ − ⇔ a.y' (α ) ≤ 0 vaø a.y' (β) ≤ 0 (− ∞; α ] hoaëc (- ∞; α ] (− ∞; α] x1 x2 Giaûm y' ≤ 0 +∞ (α; β) hoaëc [α; β] x −∞ x1 x2 y' + 0 − 0 x1 ≤ α < β ≤ x 2 0 + 0 − ⎧ a>0 ⎨ ⎩α ≤ x1 ≤ x 2 ax 2 + bx + c g(x ) Haøm höõu tyû: y = = a' x + b' a' x + b' − +∞ + ⇔ a.y' (α ) ≤ 0 vaø a.y' (β) ≤ 0 Caùch 1: Giaûi nhö phaàn II.2 Caùch 2: Phaàn II.2 cuõng coù theå laøm theo caùch naøy. (α;+∞ ) hoaëc x ≥ α y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) (α;+∞ ) hoaëc x ≥ α y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) ⎛ b ⎞ ⇔ min g(x ) ≥ 0 ⇒ g(x ) taêng trong ⎜ − ;+∞ ⎟ ⎝ 2a ⎠ ⇒ min g(x ) = g(α ) ⎛ b ⎞ ⇔ max g(x ) ≤ 0 ⇒ g(x ) giaûm trong ⎜ − ;+∞ ⎟ ⎝ 2a ⎠ ⇒ max g(x ) = g(α ) b x − α +∞ ⎧ a<0 2a ⎪ b g' (x ) 0 − ⇔ ⎨− ≤α ⎪ 2a CÑ g(x ) g(x ) ⎩ g(α ) ≤ 0 +∞ f giaûm f taêng x g' (x ) g(x ) III. f giaûm a=0 y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) b ≤α⇒m =? 2a − b 2a 0 CT g(x ) α +∞ + +∞ ⎧ a>0 ⎪ b ⇔ ⎨− ≤α ⎪ 2a ⎩ g(α ) ≥ 0 DUØNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU ÑEÅ GIAÛI PT VAØ BPT: 1. Baát ñaúng thöùc: 8 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ( ) ( ) LHQ ( ) f x ≤ 0 hoaëc f x ≥ 0, ∀x ∈ a; b ⎡ f ( x ) taêng thì x ≥ 0 ⇒ f ( x ) ≥ f ( 0 ) ⎢ f ( x ) giaûm thì x ≤ 0 ⇒ f ( x ) ≤ f ( 0 ) ⎣ Neáu BÑT coù 2 bieán thì: f (α ) < f (β ) vôùi a < α < β < b ⎧ f (x ) taêng ⇔ α < β ⇒ f (α ) < f (β ) Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa f(x) trong khoaûng (α; β ) ⇒ ⎨ ⎩f (x ) giaûm ⇔ α < β ⇒ f (α ) > f (β ) ( ) ( ) f ' x ⇒ f x taêng hoaëc giaûm ⇒ • • 2. Phöông trình coù nghieäm duy nhaát: Chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù 1 nghieäm duy nhaát. ) Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình. ) Chöùng minh x0 laø nghieäm duy nhaát ⇔ f(x) luoân luoân taêng (hoaëc giaûm). Chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) coù 1 nghieäm duy nhaát. ) Suy ñoaùn x = x0 laø nghieäm cuûa phöông trình. ) Chöùng minh f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá ñoái ñôn nghieâm caùch (ñoàng - nghòch bieán). CHUÛ ÑEÀÀ 3: CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ I. CÖÏC TRÒ: ( ) f ñaït cöïc trò taïi x 0 ⇒ f ' x 0 = 0 ⇒ ⎡ f ñaït CÑ ⇔ f' ( x 0 ) > 0 ñoåi daáu ( + ) sang (-) ⎢ ⎢⎣ f ñaït CT ⇔ f' ( x 0 ) < 0 ñoåi daáu (-) sang ( + ) () () ⎡ f' a = 0 f coù ñaït cöïc trò taïi x 0 ⇒ f ' x 0 = 0 : Haøm f x nhaän M a,b laøm cöïc trò ⇔ ⎢ ⎣f a = b ( ) ( ) ( ) f ñaït CÑ vaø CT ⇔ f' x = 0 ñoåi daáu 2 laàn ⇔ ( ) { ( ) a≠0 Δ>0 ⇒ f khoâng ñaït cöïc trò { ⎡ f' ( x ) = 0 Voâ nghieäm a≠0 ⎢ f' ( x ) = 0 Nghieäm keùp ⇔ Δ ≤ 0 ⎣ ⎧⎪ f ' ( x 0 ) = 0 ⎧⎪ f ' ( x 0 ) = 0 ⇔⎨ ⇒ f ñaït CT taïi x 0 ⇔ ⎨ ⎪⎩ f " ( x 0 ) < 0 ⎪⎩ f " ( x 0 ) > 0 ⇔ f ' x = 0 khoâng ñoåi daáu ⇔ f ñaït CÑ taïi x 0 Chuù yù: Haøm soá chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù f’(x) = 0 hoaëc ñaïo haøm khoâng toàn taïi. II. CÖÏC TRÒ HAØM HÖÕU TYÛ: 2 2 ax + bx + c aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c ⇒ y' = f ' x = y= 2 a'x + b' a'x + b' ( ) ( 2 y ' = 0 ⇔ aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c = 0 ) (1) ( aa ' ≠ 0 ) *f coù CÑ, CT thì (1) coù 2 nghieäm phaân bieät ⇔ Δy' > 0 ⎛ ⎝ *f khoâng coù CÑ, CT thì (1) voâ nghieäm ⇔ Δy' < 0 hay ag ⎜ - b' ⎞ ⎟<0 a' ⎠ ( ) ⇒ C caét Ox taïi 2 ñieåm ôû 2 beân TCÑ. ⎧ y' = 0 ( Δy' > 0;x1 ≠ x 2 ) ⎨ ⎩ y max .y min > 0 ⎧ y' = 0 ( Δy' > 0;x1 ≠ x 2 ) ⇔⎨ y max .y min < 0 ⎩ *f coù CÑ, CT vaø 2 giaù trò CÑ, CT cuøng daáu ⇔ ⎧⎪ 2 ñieåm cöïc trò cuøng 1 phía ñoái vôùi Ox ⇔ ⇔⎨ ⎪⎩ ñoà thò caét Ox taïi 2 ñieåm phaân bieät *f coù CÑ, CT vaø 2 giaù trò CÑ, CT traùi daáu ⇔ Ñoà thò khoâng caét Ox ⇔ ( ) *Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå toàn taïi 1 ñieåm maø töø ñoù keû ñeán C ⎛ ⎝ ñöôïc 2 tieáp tuyeán laø: ag ⎜ − 9 ⎧ y' = 0 ⎨y = 0 ⎩ ⎧y ' = 0 ⎨y=0 ⎩ ( Δy' > 0 ) ( Δy > 0 ) ( Δy' > 0 ) ( Δy < 0 ) b' ⎞ ⎟>0 a' ⎠ Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ III. CÖÏC TRÒ HAØM TRUØNG PHÖÔNG: 1. Daïng 1: 4 2 2 y = ax + bx + c ⇒ y ' = 2x 2ax + b ( y' = 0 ⇔ ⎡ 2x = 0 ⎢ 2 ⎣ 2ax + b = 0 ) (1) ⎡ f coù 3 cöïc trò ⎡(1) coù hai nghieäm phaân bieät x ≠ 0 ⎢ f coù 2 ñieåm uoán ⇔ ⎢ ab < 0 ⎣ ⎣ ⎡ a = 0, b ≠ 0 ⎢ a ≠ 0, b = 0 ⎡ f coù moät cöïc trò ⇔ ⎢ f khoâng ñieåm uoán ⎢(1) voâ nghieäm ⎣ ⎢ ⎢⎣ ab ≥ 0 * * Daïng 2: 2 2 y = ax + bx + c + d ⇒ y ' = x 4ax + 3bx + c 4 2. ( 3 ) y' = 0 ⇔ ⎡x = 0 ⎢ 2 ⎣ 4ax + 3bx + c = 0 * ⎡Δ ≤ 0 ⎡ f chæ coù CT ⎡(2) voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎢ maø khoâng coù CÑ ⇔ ⎢(2) coù nghieäm x = 0 hoaëc 1 nghieäm x ≠ 0 ⇔ ⎢g ( 0 ) = 0 ⎣ ⎣ ⎣ Daïng 3: 2 3 2 y = ax + bx + cx + dx + e ⇒ y ' = 4ax + 3bx + 2cx + d 4 ( 3. (2) y' = x − α 3 ) ( Ax 2 + Bx + C) = ( x − α ) g ( x ) = 0 y' coù nghieäm thöïc α ⎡g ( x ) = 0 voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎡ Δ ≤ 0 ⇔⎢ ⎢ ⎢⎣g ( x ) = 0 coù nghieäm x = α hoaëc x ≠ α ⎣g ( α ) = 0 * f coù moät cöïc trò ⇔ Chuù yù: 1) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä lôùn hôn α ⇔ y' = 0 thoûa α < x1 < x 2 2) f coù cöïc trò maø hoaønh ñoä nhoû hôn α ⇔ x1 < α < x 2 hoaëc x1 < x 2 ≤ α 3) f coù cöïc trò trong α;β ⇔ y ' = 0 thoûa α < x1 < x 2 < β 4) IV. 1/ ( ) f ñaït CÑ taïi x ∈ [ α ,β ] , ñaït CT taïi ñieåm ngoaøi x 0 ∈ [ α;β ] ⇔ y ' = 0 thoûa α ≤ x1 ≤ β ≤ x 2 PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG QUA CAÙC ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ: 1. Daïng 1: Ñöôøng thaúng qua 3 ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) : y = fm(x) coù baäc ba: Goïi (x0;y0) laø ñieåm coá ñònh heä phöông trình ñaëc tröng cuûa caùc ñieåm coá ñònh töông öùng töø y0 = fm(x0) (I) laø: ⎧⎪fm (x 0 ) = a2 x 30 + b 2 x 20 + c2 x 0 + d 2 ⇔⎨ ⎪⎩g(x 0 ) = a1x 30 + b1x 20 + c1x 0 + d1 = 0 (I) (II ) Vôùi (II) laø phöông trình ñaëc tröng cho hoaønh ñoä ñieåm coá ñònh. 2/ Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng: y 0 = f (x 0 ) = γg(x 0 ) + baèng khoâng αx 0 + β phöông trình heä quaû ⇒ (d ) : y = αx + β : laø ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm); ∀m. Hay ba ñieåm coá ñònh cuûa (Cm) ñi qua ∀m thaúng haøng treân (d) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ ba toïa ñoä cuï theå cuûa ba ñieåm coá ñònh ñoù). 1/ 2. Daïng 2: Ñöôøng thaúng ñi qua hai cöïc trò cuûa haøm baäc ba (Cm) : y=fm(x) Goïi (x0,y0) laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa (Cm) thì noù thoûa heä: 10 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ⎧ y 0 = fm ( x 0 ) = ax 30 + bx 02 + cx 0 + d ⎪⎪ 2 ⎨g ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) = 3ax 0 + 2bx 0 + c = 0 ⎪ 2 ⎪⎩ vôùi: b -3ac > 0; ∀m ∈ Dm ( 2/ (I) (II) ) Thöïc hieän pheùp chia fm(x0) : g(x0) ñeå ñöa (I) veà daïng: y 0 = fm (x 0 ) = (αx 0 + β) g(x 0 ) + ⇒ (d ) : y = γx 0 + ξ; 3. 1/ LHQ baèng khoâng γx 0 + ξ phöông trình heä quaû ∀m ∈ D m : laø ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc trò . Daïng 3: Ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc trò cuûa haøm höõu tyû 2 1 (C m ) : y = fm (x ) = u(x ) v(x ) Goïi (x0;y0) laø ñieåm cöïc trò cuûa (Cm); thì noù thoûa heä: ⎧ u ( x0 ) ⎪y 0 = ( I) v ( x0 ) ⎪⎪ u ' ( x) ⇒ y0 = = αx + β ⎨ ′ v ' ( x) ⎪⎛ u ( x 0 ) ⎞ ⎟⎟ = 0 ( II ) phöông trình heä quaû ⎪⎜⎜ v x ( ) 0 ⎠ ⎩⎪⎝ 2/Ta coù: (d ) : y = αx + β laø ñöôøng thaúng qua hai cöïc trò cuûa (Cm) (maëc duø ta khoâng caàn tìm roõ toïa ñoä hai ñieåm cöïc trò cuûa noù). 4. 1/ Daïng 4: Ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm uoán cuûa (Cm) : y = fm(x) Goïi (x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (Cm); thì noù thoûa heä: ⎧y 0 = fm (x 0 ) ⎨ " 3 2 ⎩y 0 = g(x 0 ) = a1x 0 + b1x 0 + c1x 0 + d 1 = 0 Vôùi g(x0)=0 laø phöông trình ñaëc tröng cho ñieåm uoán vaø ñaõ ñöôïc chöùng minh laø coù 3 nghieäm phaân bieät. 2/ Thöïc hieän phaân tích: Bieán ñoåi theâm bôùt ñeå ruùt ra: y 0 = γg(x 0 ) + baèng khoâng αx 0 + β phöông trình heä quaû 3/ ⇒ (d ) : y = αx + β; ∀m ∈ D m : laø ñöôøng thaúng qua ba ñieåm uoán. V. PHÖÔNG TRÌNH CHUØM PARABOL: Trong heä truïc Oxy; ñöôøng cong (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0 ) laø moät Parabola coù truïc ñoái xöùng song song Oy. Khi (P) ñi qua ñoàng thôøi ba ñieåm A(xA;yA); B(xB;yB); C(xC;yC) coá ñònh thì ta luoân xaùc ñònh ñöôïc boä ba (a;b;c) duy nhaát trong heä truïc Oxy. Khi (P) chæ ñi qua hai ñieåm A, B hoaëc chæ ñi qua duy nhaát ñieåm A, thì ta seõ nhaän ñöôïc caùc Parabola löu ñoäng cuûa hoï Parabola vaø chuùng taïo thaønh chuøm (nhö chuøm ñöôøng thaúng, chuøm ñöôøng troøn... trong mp (Oxy) ñoù). y (d):y = αx + β y yB yA A xA 0 a yA B (PA) A (d):y = αx + β (PA) xB b x 0 (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + αx + β xA x (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β 11 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït y (d):y = αx + β (Δ):x = xA yB B yA A xA 0 (PA) a LHQ y xB b (d):y = yA (PA) yA A S x xA 0 x (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x 2A ) + β (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + β Taäp hôïp caùc Parabola (Pλ) ñi qua nhieàu nhaát hai ñieåm coá ñònh A vaø B goïi laø chuøm Parabol (Pλ); vôùi λ ≠ 0 laø tham soá ñaëc tröng cuûa chuøm. Khi chuøm (Pλ) qua ñuùng hai ñieåm A, B phaân bieät ta ñöôïc chuøm coù hai ñieåm ñeá, ñöôøng thaúng (AB) ñöôïc goïi laø ñöôøng ñeá cuûa chuøm (Pλ) luùc ñoù. • • d ≡ (AB) : y = αx + q laøm ñöôøng ñeá, coù daïng: (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + αx + β (λ ≠ 0) (*) Phöông trình cuûa chuøm (Pλ) ñi qua hai ñieåm ñeá A, B vaø nhaän • ) ) (y A ≠ y B vaø α ≠ 0 ) , laø tröôøng hôïp toång quaùt cuûa (*). Khi ñöôøng ñeá naèm ngang: (y A = y B hay α = 0 ) , ta coù tröôøng hôïp (P ) coù ñöôøng ñeá baèng (d ) : y = y A = β Khi ñöôøng ñeá xieân goùc: λ (vuoâng goùc vôùi caùc truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ)). (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + y A ⇒ ) Khi α ≠ 0, A ≡ B ta coù tröôøng hôïp (Pλ) laø chuøm töï tieáp xuùc (coù truïc ñoái xöùng cuûa (Pλ) song song (Oy)). (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β ⇒ ) Khi (2) α = 0, A ≡ B ta coù tröôøng hôïp (Pλ) laø chuøm töï tieáp xuùc taïi ñænh (chung ñænh, ñöôøng ñeá vuoâng goùc vôùi truïc ñoái xöùng duy nhaát cuûa (Pλ)) (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + y A ⇒ Chuøm Parabola: • (1) (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + Phaàn ñaëc tröng cho soá löôïng ñieåm coá ñònh maø ( Pλ )ñi qua ⎧ ⎪ Hoï ( Pλ ) ⎪ B1: Xaùc ñònh: ⎨ ⎪ Ñöôøng ñeá ⎪⎩ qua ( d) (3) αx + β Phaàn ñaëc tröng cho ñöôøng ñeá Hai ñieåm coá ñònh (I) Moät ñieåm coá ñònh (II) Xieân goùc (ñeá xieân) Ñeá baèng (III) (IV) B2: Hoï (Pλ) thoûa caùc caëp thöù töï (I, III); phöông trình (Pλ) coù daïng toång quaùt nhö ôû (*). ) Khi (Pλ) thoûa (I, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (1). ) Khi (Pλ) thoûa (II, III): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (2). ) Khi (Pλ) thoûa (II, IV): phöông trình (Pλ) coù daïng ñaëc bieät nhö ôû (3). B B3: Ñöa caùc giaù trò cuï theå cuûa giaû thieát vaøo phöông trình cuûa (Pλ), ta seõ xaùc ñònh ñöôïc B λ = λ0 baèng caùc phöông trình ñaëc tröng. Laáy x0 thay vaøo caùc phöông trình (Pλ) ta coù ngay ycbt. VI. TÌM GIAÙ TRÒ CUÛA THAM SOÁ ÑEÅ CÖÏC TRÒ HAØM SOÁ: 1. Naèm cuøng phía vôùi truïc hoaønh 2. Naèm ôû hai goùc phaàn tö: ⎧Δy' > 0 ⇔⎨ ⎩y1 .y 2 < 0 12 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ (I) vaø (III) ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x1 > 0; y1 > 0 hoaëc ⎪x < 0; y < 0 2 ⎩ 2 VII. (II) vaø (IV) ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x 1 < 0 < x 2 ⎪a > 0 vaø y = 0 VN ⎩ y' ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x1 < 0; y1 > 0 hoaëc ⎪x > 0; y < 0 2 ⎩ 2 ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎨x1 < 0 < x 2 ⎪a < 0 vaø y = 0 VN ⎩ y' ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 1 HOAËC 3 ÑIEÅM: y = ax3 + bx 2 + cx + d ⇒ PTHÑ giao ñieåm : ax3 + bx 2 + cx + d = 0 (*) (*) coù nghieäm ñaëc bieät x0 (x − x 0 )(ax 2 + bx + c) = 0 Coù nghieäm keùp Coù 1 nghieäm ⎡ ⎧y = 0 coù nghieäm chung ⎢⎨ ⎢ ⎩ y' = 0 ⎢ ⎡ax 2 + bx + c = 0 nghieäm keùp ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣⎢ax 2 + bx + c = 0 nghieäm x = α Coù 3 nghieäm ax 2 + bx + c = 0 voâ nghieäm hoaëc nghieäm keùp ⎧Δ ≤ 0 ⎪ ⇔⎨ b ⎪⎩x 0 = − 2a ax 2 + bx + c = 0 coù 2 nghieäm x ≠ x 0 ⎧Δ > 0 ⇔⎨ ⎩g(x 0 ) ≠ 0 (*) khoâng coù nghieäm ñaëc bieät y' = 3ax2 + 2 bx + c ⎡Δy' ≤ 0 ⎢ ⎢⎧Δy' > 0 ⎢⎣⎨⎩y max y min < 0 ⎡y max y min = 0 ⎢ ⎢⎧y = 0 nghieäm chung ⎢⎣⎨⎩y' = 0 Ghi chuù: PT baäc 3: y=0 khoâng theå coù 3 nghieäm phaân bieät VIII. ⎧Δy' > 0 ⎨ ⎩y max y min < 0 ⎧ Δy ' ≤ 0 ⇔⎨ ⎩y max y min > 0 ÑÒNH THAM SOÁ ÑEÅ HAØM BAÄC 3 CAÉT TRUÏC HOAØNH TAÏI 3 ÑIEÅM COÙ HOAØNH ÑOÄ DÖÔNG (HAY AÂM): Hoaønh ñoä Hoaønh ñoä döông Hoaønh ñoä aâm Lôùn hôn α Nhoû hôn α ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎪⎪af (0 ) < 0 ⎨x CÑ > 0 ⎪x > 0 ⎪ CT ⎪⎩y max y min < 0 ⎧Δy' > 0 ⎪ ⎪⎪af (0 ) > 0 ⎨x CÑ < 0 ⎪x < 0 ⎪ CT ⎪⎩y max y min < 0 ⎧Δy' > 0 ⎪af (α ) < 0 ⎪ ⎨ ⎪α < x1 < x 2 ⎪⎩y max y min < 0 ⎧Δy' > 0 ⎪af (α ) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ x1 < x 2 < α ⎪⎩y max y min < 0 CHUÛ ÑEÀÀ 4: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT I. • GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT TREÂN ÑOAÏN [a;b]: f lieân tuïc treân [a;b] coù M[GTLN] vaø m[GTNN] cuûa f treân [a;b] ⇔ m ≤ f (x ) ≤ M ∀x ∈ [a; b] • Tìm giaù trò cöïc trò cuûa f(x) treân [a;b] ñeå tìm maxf vaø minf. Chuù yù 1: ∃ maxf, minf ⇔ f lieân tuïc treân [a; b] ⇒ 1. M = max {f (a), f (b ), fCÑ , fCT } x∈[a; b ] m = min {f (a), f (b ), fCÑ , fCT } x∈[a; b ] m ≤ y0 ≤ M . 2. Duøng MGT tìm max, min: 3. Duøng BÑT Coâsi, Bunhiacoâpsky. 13 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ Chuù yù 2: 1. x x1 −∞ y' + y 2. x2 − 0 max 0 x x0 ) a<0 ) ) III. y +∞ GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM BAÄC 2 TREÂN ) • y' + a>0 hoaønh ñoä ñænh x0 = − 0 x +∞ min y = f (a) x1 x2 + +∞ 0 − max min f(x) taêng hoaëc giaûm treân [a;b] y • y min y' II. x 0 ∈ (a; b ) . +∞ x −∞ y' + − Neáu f(x) lieân tuïc trong khoaûng (a;b) coù ñieåm cöïc trò x0 max y = f (b ) +∞ − −∞ [α; β] : b 2a [ ] { ( ) ( )} ( ) Neáu x 0 ∉ [ α; β ] : so saùnh f ( α ) vaø f ( β ) suy ra max y vaø min y. Neáu x 0 ∈ α; β : min y = f x 0 ; max y = max f α , f β [ ] { ( ) ( )} ( ) Neáu x 0 ∉ [ α; β ] : so saùnh f ( α ) vaø f ( β ) suy ra max y vaø min y. Neáu x 0 ∈ α; β : max y = f x 0 ; min y = max f α , f β TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT, NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ: 1. ( ) ( ) ( ) Phöông phaùp 1: GTLN f x = max f x vaø GTNN f x x∈Df x∈Df x∈Df ( ) ⎧ ñn ⎪ f x ≥ m; ∀x ∈ D min f x = m ←⎯ →⎨ x∈Df ⎪⎩∃x 0 ∈ Df : f x 0 = m ( ) ( ) ( ) = min f x x∈Df ( ) ⎧ ñn ⎪ f x ≤ M; ∀x ∈ D max f x = M ←⎯ →⎨ x∈Df ⎪⎩∃x 0 ∈ Df : f x 0 = M ( ) y f a A = max f a≤ x ≤ b ( ) x B f(b) a b 0 y CT = min f a≤ x ≤ b 2. Phöông phaùp 2: B1: Kieåm tra tính lieân tuïc cuûa haøm f treân B x x D f = [a; b ] B2: Tìm caùc soá cöïc ñaïi, soá cöïc tieåu (giaù trò y0=f(x0) cuûa caùc cöïc trò ñòa phöông taïi caùc ñieåm B x 0 ∈ (a; b ) ). Tìm f(a), f(b): laø caùc soá trò bieân cuûa haøm f. B3: So saùnh f(a), f(b) vaø caùc y0, ta coù: M = max{f (a); f (b ); (caùc y 0 )} = max f (x ) B a≤ x ≤ b a≤ x ≤ b m = min {f (a ); f (b ); (caùc y 0 )} = min f (x ) a≤ x ≤ b Ghi chuù: Khi vieát a≤ x ≤ b m ≤ f (x ) ≤ M , ta coù taäp giaù trò cuûa haøm f laø: f(Df) = [m;M] 14 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït CHUÛ ÑEÀÀ 5: LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN, TIEÄM CAÄN I. LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN I(x0,f(x0)): x −∞ y" + y Loõm x 01 0 − Uoán Loài Daáu hieäu ñieåm uoán: Daáu hieäu 1: f ′′ Daáu hieäu 2: II. LHQ ( x0 ) = 0 x 02 +∞ x 0 + y" − Uoán Loõm y Loài +∞ 0 + Uoán Loõm f ′′ ( x 0 ) ñoåi daáu ( -∞ ,x 0 ) ; ( x 0 , +∞ ) ; ⎧⎪ f ′′ ( x ) = 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x 0 ) ≥ 0 x0 −∞ hoaëc ⎧⎪ f ′′ ( x ) = 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x 0 ) ≤ 0 CAÙC DAÏNG ÑIEÅM UOÁN: HÌNH DAÏNG ÑIEÅM UOÁN DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT ÑIEÅM UOÁN (T) ⎧⎪∃x ∈ ( a; b ) : f ′′ ( x ) = 0; ∃f ′ ( x ) ≠ 0 0 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′′ ( x ) ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 ( i) f"<0 I (C) ( f">0 ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 ; f x0 f">0 (T) I ⎧⎪∃x ∈ ( a; b ) : f ′ ( x ) = 0 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x ) khoâng ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 ( ) i (C) 2 ( ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 ; f x0 f"<0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ (C) f"<0 I f">0 (T) ⎧∃x ∈ a; b :gt môû roäng f ′′ x = ∞ ( i3 ) : ⎪⎨f′′ (0x) (ñoåi daá) u khi x ñi qua x( 0 ) ( i4 ) ( ⎪⎩ 0 ⎧giaù trò môû roäng f ′ ( x 0 ) = ∞ ⎪ : ⎨ f ′ ( x ) khoâng ñoåi daáu khi x baêng qua x 0 ⎪ f ′′ x ñoåi daáu khi x ñi qua x 0 ⎩ ( ) hoaëc ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 , f x0 III. TIEÄM CAÄN: Tieäm caän ñöùng x = x0 lim y = ∞ x→x 0 Tieäm caän ngang y = y0 Tieäm caän xieân y = ax+b lim y = y 0 ⎡⎧ y ⎢⎪a = lim x →∞ x ⎢⎨ [y − (ax + b )] ⎢⎪⎩b = lim x →∞ ⎢ ⎢⎧⎪lim = ∞ ⎢ ⎨ x →∞ [y − (ax + b )] = 0 ⎢⎪⎩lim ⎣ x →∞ x →∞ Chuù yù: y = ax + b + ε(x ) vôùi lim ε(x ) = 0 thì y = ax + b laø tieäm caän xieân x →∞ 15 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït P (x ) 1. Haøm phaân thöùc y = : Q (x ) TCÑ: x = x0 Tìm nghieäm x0 cuûa Q(x) = 0 LHQ TCN TCX TC cong laø Parabola Baäc P(x) ≤ Baäc Q(x) Baäc P(x) > Baäc Q(x) 1 baäc Baäc P(x) > Baäc Q(x) 2 baäc ⎛ b' ⎞ P⎜ − ⎟ ax + bx + c P (x ) a a' b − ab' a' ⎠ = = x+ + ⎝ y= 2 a' x + b' Q (x ) a' a' a' x + b' 2 2. Haøm höõu tyû: ⎛ b' ⎞ P⎜ − ⎟ a a' b − ab' a' ⎠ =0⇒y= x+ lim ⎝ : TCX x →∞ a' x + b' a' a'2 • 3. Neáu ( ) f x = Haøm voâ tyû (haøm caên thöùc): y = f(x) 2 ax + bx + c = a x+ b 2a ( ) ( ) + ε x . Vôùi lim ε x = 0 x→∞ ⎡ b ⎞ ⎛ Nhaùnh traùi : y = - a ⎜ x + ⎢ ⎟ b 2a ⎠ ⎝ ⎢ ⇒ TCX : y = a x + = 2a ⎢ b ⎞ ⎛ ⎢ Nhaùnh phaûi : y = a ⎜ x + 2a ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ p 2 Neáu f (x ) = ax + b + x + px + q = ax + b + x + + ε(x ) • 2 ⎡ ⎛ p⎞ Nhaùnh traùi : y = ax + b- ⎜ x + ⎟ ⎢ p ⎝ 2⎠ ⇒ TCX : y = ax + b + x + =⎢ 2 ⎢ ⎛ p⎞ ⎢ Nhaùnh phaûi : y = ax + b + ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ 4. ( C) Ñaëc bieät: ( ) ( ) ( ) y= f x =g x +ε x maø ⎧ lim f ( x ) = ∞ ⎪ x→∞ ⎨ ⎡ f ( x ) − g ( x ) ⎤⎦ = lim ε ( x ) = 0 ⎪⎩ xlim x→∞ →∞ ⎣ ( ) ⇒ T ( ) y = g x laø tieäm caän cong. CHUÛ ÑEÀÀ 6: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ I. • Goïi (P ) : y = f (x ) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 2 (a ≠ 0) Tam thöùc baäc hai coù daïng: (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c HAØM BAÄC HAI: Δ = b 2 − 4ac; khi Δ ≥ 0, ñaët x1,2 = -b± Δ 2a , ta coù f(x1) = f(x2) = 0 thì x1, x2 laø hai nghieäm cuûa tam thöùc baäc hai (cuõng laø hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai: ax2+bx+c = 0). Tính chaát cuûa caùc nghieäm soá x1; x2 (quy öôùc x1 < x2) • b ⎧ ⎪⎪S = x1 + x 2 = − a (Ñònh lyù Viete thuaän) ⎨ ⎪P = x x = c 1 2 ⎪⎩ a 16 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït LHQ (⇒ ) Meänh ñeà : x1 - x 2 = Δ a ) (⇒) Heä quaû (Ñònh lyù Viete ñaûo): Neáu hai soá thöïc coù toång laø S, coù tích laø P; thì hai soá ñoù laø nghieäm cuûa phöông trình: f (x ) = x 2 − Sx + P = 0 (Vôùi : S2 - 4P ≥ 0 ) ) c < 0 ⇔ x1 < 0 < x 2 (hai nghieäm traùi daáu) a b ⎡ ⎢S = − a < 0 ⇒ x1 > x 2 Ta coù hai tröôøng hôïp nhoû: ⎢ ⎢S = − b > 0 ⇒ x < x 1 2 a ⎣⎢ c ⎧ ⎪⎪P = a > 0 ⇔ x1 < x 2 < 0 (hai nghieäm ñeàu aâm) ) Neáu ⎨ b ⎪S = − < 0 ⎪⎩ a c ⎧ ⎪⎪P = a > 0 ⇔ 0 < x1 < x 2 (hai nghieäm ñeàu döông) ) Neáu ⎨ ⎪S = − b > 0 ⎪⎩ a 2 • Tính chaát ñoà thò (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c ⎛ b Δ⎞ ; ⎟ laø moät Parabola (ñöùng) coù ñænh S⎜ − ⎝ 2a 4a ⎠ b b ) Ñeå yù x S = − ; laø nghieäm keùp cuûa tam thöùc baäc hai, thì d : x = − 2a 2a Neáu ) • P= Daáu tam thöùc baäc hai: Vieát tam thöùc döôùi daïng: 4af (x ) = 4a2 x 2 + 4abx + 4ac ⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) + 4ac − b2 laø truïc ñoái xöùng cuûa (P). (a ≠ 0) 2 ⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) − Δ 2 (*); vôùi Δ = b2 - 4ac Töø (*) ta coù ñònh lyù thuaän veà daáu tam thöùc baäc hai nhö sau: Tam thöùc baäc hai luoân coù daáu cuûa heä soá a; vôùi moïi giaù trò cuûa x vaø chæ loaïi tröø hai tröôøng hôïp: ) Neáu ) Neáu Δ>0 • • • Δ=0 • ⎛ b ⎞ Δ = 0 ⇒ af ⎜ − ⎟ = 0 ⎝ 2a ⎠ Δ < 0 ⇒ af (x ) < 0; ∀x ∈ (x1; x 2 ) −∞ Toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a 2 f x = ax + bx + c ( ) [x1; x 2 ] ≠ φ;{0} x Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a [x1; x 2 ] = {0} ⇒ Söï traùi daáu bò suy bieán 2 f x = ax + bx + c ( ) 17 x1 x2 +∞ Cuøng daáu | 0 Traùi daáu | 0 Cuøng daáu a | a | a x1 = x 2 = − −∞ b +∞ 2a Cuøng daáu | 0 Cuøng daáu a | a Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït x Khoâng toàn taïi (x1;x2) maø trong ñoù f(x) traùi daáu a • Δ<0 LHQ [x1; x 2 ] = φ • −∞ +∞ Cuøng 2 f x = ax + bx + c ( ) daáu a ⇒ Söï traùi daáu bò bieán maát • Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa tam thöùc baäc hai: Daáu a a>0 Daáu Δ a<0 y y (P) Δ 4a x1 S − Δ>0 b − 2a x1 0 0 x2 Δ − 4a x2 x b 2a − x (P) S y y − b 2a 0 (P) Δ<0 − − (P) x b 2a y y (P) − x∈R − Δ 4a − b 2a x (P) x b 2a b Δ ; khi x = − 4a 2a GTNN f (x ) = − x∈R b Δ ; khi x = − 4a 2a Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai: Neáu toàn taïi soá thöïc ) S 0 S 0 − GTNN f (x ) = − max min ) Δ 4a S S Δ 4a 0 Δ=0 x Δ − 4a α thoûa af (α ) < 0 , thì tam thöùc B2 coù hai nghieäm phaân bieät x1, x2 vaø x1 < α < x 2 . Heä quaû: α vaø β sao cho f (α )f (β ) < 0 thì tam thöùc B2 coù hai nghieäm phaân bieät x1; x2 vaø coù moät nghieäm naèm trong khoaûng (α; β )(vôùi α < β ) . Chaúng haïn: x1 < α < x 2 < β hay α < x1 < β < x 2 Neáu toàn taïi hai soá • Töø ñònh lyù ñaûo ôû treân ta coù söï so saùnh moät soá thöïc α vôùi hai nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc nhö sau: af (x ) < 0 ⇔ x1 < α < x 2 ) TH1: ) TH2: Δ < 0: vieäc so saùnh khoâng ñaët ra. f (x ) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (khoâng caàn xeùt daáu Δ, vì luoân luoân coù Δ > 0). 18 Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït ⎧ ⎪Δ > 0 ⎪ ) TH3: ⎨ af ( α ) > 0 ⇔ α < x1 ⎪S ⎪ −α> 0 ⎩2 LHQ < x2 TH4: x1 α (hình 1) ) ( xem hình 1) // // S x1 + x2 = 2 2 x2 x ⎧ ⎪Δ > 0 ⎪ ⎨af (α ) > 0 ⇔ x1 < x 2 < α (xem hình 2 ) ⎪S ⎪ −α<0 ⎩2 x1 (hình 2) f (x ) = ax2 + bx + c x2 // // S x1 + x2 = 2 2 coù ít nhaát ba thöïc nghieäm α x ⇔a=b=c=0 • Tam thöùc • Hai tieáp tuyeán phaùt xuaát töø moät ñieåm baát kyø M ñeán treân ñöôøng chuaån (d) ñeán Parabola ñeàu vuoâng goùc vôùi nhau vaø ñoàng thôøi ñoaïn noái caùc tieáp ñieåm T1T2 luoân luoân ñi qua tieâu ñieåm F cuûa (P). (P) (t1) (t2) T1 T2 (d) M (C) : y = f (x ) = ax3 + bx 2 + cx + d (C) : y = f (x ) = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) MXÑ: D = (− ∞;+∞ ) • II. HAØM BAÄC BA: (a ≠ 0) Hoïc sinh xem phaàn naøy trong Sgk y′ = 3ax2 + 2 bx + c vaø y′′ = 6ax + 2b • Caùc ñaïo haøm: • Taâm ñoái xöùng laø ñieåm uoán: • Xeùt ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ I⎜⎜ − ; f ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎝ 3a ⎝ 3a ⎠ ⎠ Δ′ = Δ′y ' = b2 − 3ac . Ta ñöôïc baûng toång keát. a>0 Δ′ < 0 x −∞ +∞ y′ + +∞ y −∞ 19 y (C) I 0 − b 3a x Trích töø http://www.toanthpt.net - T.s Nguyeãn Phuù Khaùnh- Ñaø Laït x −∞ +∞ y′ − +∞ y −∞ a<0 Δ′ < 0 x a>0 Δ′ = 0 −∞ y' y x a<0 Δ′ = 0 y' y b 3a + I 0 I +∞ 0 −∞ +∞ − (C) +∞ + − y (C) +∞ 0 −∞ x1 < x 2 ) x −∞ y' + y x1 0 − CÑ x2 0 − + I +∞ 0 x1 < x 2 ) x −∞ y' − +∞ y x1 0 x2 +∞ + 0 − CÑ CT −∞ x b − 3a y a<0 Δ′ < 0 (y′ = 0 coù 2 nghieäm x b 3a (C) +∞ CT −∞ x b 3a I − y a>0 Δ′ < 0 (y′ = 0 coù 2 nghieäm x b − 3a y −∞ b 3a LHQ y (C) I (C) 0 b − 3a x Chuù yù: Xem theâm phaàn 7 CHUÛ ÑEÀà 3 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñoà thò (C) ôû treân coù ñieåm cöïc tieåu vaø ñieåm cöïc ñaïi (haøm soá coù cöïc trò) laø: y' = f ' (x ) = g(x ) = 3ax2 + 2 bx + c coù Δ′g = b2 − 3ac > 0 2. Phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò. Ba ñieåm A, I, B thaúng haøng. ⎧⎪y 0 = f (x 0 ) = ax 30 + bx 20 + cx 0 + d ⎨ ⎪⎩g(x 0 ) = 3x 20 + 2 bx 0 + c = 0 • Goïi (x0;y0) laø toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò ôû treân noù thoûa: • Thöïc hieän pheùp chia hai ña thöùc ñaõ saép xeáp f(x0) : f(x0), ta coù: • Vaäy, y 0 = f ( x 0 ) = ( Ax 0 + B) g ( x 0 ) + αx 0 + β 0 ⇔ y 0 = αx 0 + β 0 vì g ( x 0 ) = 0 (d ) : y = αx + β laø ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C). Ñieåm uoán cuûa (C) laø I ∈ (d ) hay A, I, B thaúng haøng. 20 Trích töø http://www.toanthpt.net -
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2...
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải ...
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs...
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet tr...
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi ...
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán...
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ...
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học...
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2...
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng...
76
58251
181
100 đề ôn thi tốt nghiệp thpt...
58
57709
153
Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán năm 2018 (rất...
352
57582
298
19 Vấn đề hình học giải tích trong không gian Oxyz...
55
56688
146
Www.mathvn.com - hdc toan thpt...
5
54249
135
Lý thuyết và phương pháp giải đại số - giải tích 12...
296
51590
166
KHO TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA FULL MÔN...
31
48693
1308
Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn toán hay...
62
46409
85
De tai khac phuc mot so sai lam cho hoc sinh lop 1...
14
43195
109
9pp-giai-pt-mu-logarit-ttanh-www.mathvn.com...
13
42186
118
Tailieutonghop.com---van de xap xi ngau nhien va ung...
8
41284
110
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Giáo trình điều khiển hệ đa tác tử
186
1
111
Giáo trình toán cao cấp
159
1
138
Giáo trình giải tích đa trị
224
1
143
Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán
240
1
77
Bài giảng tích phân bội và giải tích vectơ
171
1
63
Giáo trình giải tích (trường đh vinh)
285
1
129
Bài giảng tôpô
89
1
145
Bài giảng giải tích hàm
116
1
106
Bài giảng hình học vi phân của đường và mặt
61
1
81
Bài giảng đại số tuyến tính
102
1
97
Tài liệu xem nhiều nhất
32 đề thi tiếng việt lớp 2 kì 2
56
167174
190
Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải nhanh hình phẳng oxy-p2
222
75889
163
100 bài tập rút gọn và đáp án toán thcs
22
71515
195
Tailieutonghop.com---ung dung phuong phap wavelet trong khu nhieu chuoi thoi gian
8
68464
153
Tailieutonghop.com---anfis va ung dung nhan dang vi tri con lac nguoc
8
67501
130
60 đề luyện thi tốt nghiệp thpt môn toán
60
67183
149
Skkn-một số giải pháp nâng cao hiệu quả công tác phụ đạo học sinh yếu, kém về môn toán lớp 4
21
62271
190
Hàm số ôn thi đại học
109
60258
140
Thiết kế bài giảng đại số nâng cao lớp 10 - tập 2
415
58778
124
54 đề toán luyện thi đại học và cao đẳng
76
58251
181