Tài liệu Giải tích 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP.HCM GIẢI TÍCH 1 Biên Soạn: GS.TSKH. Đỗ Công Khanh (chủ biên) ThS. Lê Thị Hồng Ngọc ThS. Nguyễn Cao Trí www.hutech.edu.vn GIẢI TÍCH 1 Ấn bản 2015 MỤC LỤC I MỤC LỤC MỤC LỤC ...................................................................................................................I HƯỚNG DẪN ........................................................................................................... VI BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN .................................................... 1 1.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ....................................................................................... 1 1.1.1 Định nghĩa ..................................................................................................... 1 1.1.2 Các tính chất của giới hạn hàm số ..................................................................... 2 1.1.3 Giới hạn lim u(x)v(x), dạng vô định 1 ................................................................. 3 1.2 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN ........................................................... 6 1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................................................... 9 TÓM TẮT ................................................................................................................ 12 BÀI TẬP ................................................................................................................. 13 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 14 BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ........................................................... 15 2.1 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM............................................................................ 15 2.2 KHẢ VI, VI PHÂN .............................................................................................. 17 2.2.1 Khả vi, vi phân.............................................................................................. 17 2.2.2 Vi phân của hàm hợp, tính bất biến của dạng vi phân (cấp một) ......................... 18 2.2.3 Đạo hàm của hàm số cho bởi phương trình tham số ........................................... 19 2.2.4 Đạo hàm của hàm ẩn ..................................................................................... 19 2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ........................................................................ 21 2.3.1 Đạo hàm cấp cao .......................................................................................... 21 2.3.2 Công thức Leibniz .......................................................................................... 21 2.3.3 Vi phân cấp cao ............................................................................................. 22 2.3.4 Ứng dụng vi phân tính gần đúng ..................................................................... 22 2.4 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH .............................................................. 23 2.5 CÔNG THỨC TAYLOR ......................................................................................... 26 2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Peano ................................................................ 27 2.5.2 Công thức Maclaurin một số hàm sơ cấp .......................................................... 28 2.5.3 Sử dụng công thức Taylor tính gần đúng có đánh giá sai số ................................ 30 2.5.4 Sử dụng công thức Taylor tính giới hạn ............................................................ 31 2.6 QUY TẮC L’HOSPITAL ....................................................................................... 31 TÓM TẮT ................................................................................................................ 33 BÀI TẬP ................................................................................................................. 34 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 37 BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN ........................................................................ 39 3.1 DÙNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ 𝒚 = 𝒇(𝒙) ...................................................... 39 3.2 KHẢO SÁT HÀM SỐ CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ ..................................... 42 II MỤC LỤC 3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG TỌA ĐỘ CỰC ................................................... 45 3.3.1 Hệ tọa độ cực ................................................................................................45 3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng....................................................................................46 3.3.3 Đường cong trong tọa độ cực ...........................................................................47 3.3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong trong tọa độ cực ............................................48 TÓM TẮT ................................................................................................................ 51 BÀI TẬP ................................................................................................................. 51 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 53 BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG ................................................................................... 54 4.1 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN, CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNIZ 54 4.1.1 Tích phân xác định .........................................................................................54 4.1.2 Các tính chất của tích phân xác định .................................................................55 4.1.3 Tích phân với cận trên thay đổi ........................................................................55 4.1.4 Công thức Newton - Leibniz - định lý cơ bản của phép tính tích phân ....................56 4.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 (KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN VÔ HẠN).................... 58 4.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 ................................................................................58 4.2.2 Sử dụng công thức Newton - Leibniz .................................................................59 4.2.3 Tích phân không âm. Các định lý so sánh ..........................................................59 4.2.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................61 4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 (HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN KHÔNG BỊ CHẶN) .. 62 4.3.1 Tích phân suy rộng loại 2 ................................................................................62 4.3.2 Tích phân hàm không âm. Các định lý so sánh ...................................................63 4.3.3 Công thức Newton - Leibniz trong tích phân suy rộng .........................................64 4.3.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................64 4.3.5 Một số ví dụ ..................................................................................................64 TÓM TẮT ................................................................................................................ 67 BÀI TẬP ................................................................................................................. 67 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 68 BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................................... 70 5.1 MẶT BẬC HAI .................................................................................................... 70 5.1.1 Ellipsoid ........................................................................................................70 5.1.2 Elliptic paraboloid ...........................................................................................71 5.1.3 Hyperboloid một tầng .....................................................................................71 5.1.4 Hyperboloid hai tầng ......................................................................................72 5.1.5 Hyperbolic paraboloid .....................................................................................73 5.1.6 Mặt trụ bậc hai ..............................................................................................73 5.1.7 Mặt nón bậc hai .............................................................................................74 5.2 HÀM NHIỀU BIẾN ............................................................................................. 75 5.3 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ..................................................................................... 76 5.4 ĐẠO HÀM RIÊNG ............................................................................................... 79 5.4.1 Đạo hàm riêng ...............................................................................................79 MỤC LỤC III 5.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao .................................................................................. 80 5.5 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG, GRADIENT ................................................................. 82 5.5.1 Đạo hàm theo hướng và gradient của hàm 𝒇(𝒙, 𝒚) .............................................. 82 5.5.2 Đạo hàm theo hướng và gradient đối với hàm 3 biến ......................................... 84 TÓM TẮT ................................................................................................................ 86 BÀI TẬP ................................................................................................................. 87 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 89 BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .................................................... 90 6.1 KHẢ VI VÀ VI PHÂN .......................................................................................... 90 6.1.1 Khả vi và vi phân .......................................................................................... 90 6.1.2 Các tính chất của vi phân ............................................................................... 93 6.1.3 Tính gần đúng .............................................................................................. 93 6.1.4 Vi phân cấp cao ............................................................................................ 94 6.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP ..................................................... 96 6.2.1 Vi phân của hàm hợp. Tính bất biến của dạng vi phân cấp một ........................... 98 6.2.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp ................................................ 99 6.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN ..................................................... 100 6.3.1 Hàm ẩn ....................................................................................................... 100 6.3.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ............................................................ 101 6.4 CÔNG THỨC TAYLOR ....................................................................................... 105 TÓM TẮT .............................................................................................................. 108 BÀI TẬP ............................................................................................................... 110 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 112 BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................... 113 7.1 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN (CỰC TRỊ TỰ DO) ................................................... 113 7.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ................................................................................... 117 7.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................... 125 TÓM TẮT .............................................................................................................. 130 BÀI TẬP ............................................................................................................... 132 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 134 BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................................ 135 8.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP ......................................................................... 135 8.1.1 Bài toán thể tích........................................................................................... 135 8.1.2 Định nghĩa tích phân kép ............................................................................... 136 8.1.3 Tính chất ..................................................................................................... 137 8.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................ 138 8.3 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP..................................................... 145 8.3.1 Diện tích hình phẳng..................................................................................... 145 8.3.2 Thể tích vật thể............................................................................................ 145 8.3.3 Diện tích mặt cong ....................................................................................... 145 TÓM TẮT .............................................................................................................. 147 IV MỤC LỤC BÀI TẬP ............................................................................................................... 148 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 150 BÀI 9: ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP ................................................................ 152 9.1 TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC............................................................... 152 9.2 ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT .................................................................................... 156 9.3 ỨNG DỤNG CƠ HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP ........................................................ 157 9.3.1 Khối lượng của mảnh phẳng .......................................................................... 157 9.3.2 Mô-men quán tính (mô-men thứ hai) của mảnh phẳng ..................................... 158 9.3.3 Mô-men tĩnh (mô-men thứ nhất) của mảnh phẳng ........................................... 158 9.3.4 Trọng tâm ................................................................................................... 158 TÓM TẮT .............................................................................................................. 161 BÀI TẬP ............................................................................................................... 162 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 164 BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................................... 165 10.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN ...................................................................................... 165 10.1.1 Phương trình vi phân .................................................................................. 165 10.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân ................................................................. 166 10.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 .................................................................... 167 10.2.1 Phương trình cấp một ................................................................................. 167 10.2.2 Phương trình vi phân của họ đường cong ....................................................... 169 10.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CÓ BIẾN PHÂN LY ................................... 171 10.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP............................................................. 172 10.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN .......................................................... 176 10.6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ................................................ 178 10.6.1 Phương pháp biến thiên hằng số (phương pháp Lagrange) ............................... 178 10.6.2 Phương pháp thừa số tích phân .................................................................... 179 10.7 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI ........................................................................ 180 TÓM TẮT .............................................................................................................. 182 BÀI TẬP ............................................................................................................... 183 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 185 BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 ................................................................. 186 11.1 KHÁI NIỆM CHUNG ....................................................................................... 186 11.2 PHƯƠNG TRÌNH GIẢM CẤP ĐƯỢC ................................................................. 188 11.2.1 Phương trình không chứa y và y’ .................................................................. 188 11.2.2 Phương trình không chứa y .......................................................................... 188 11.2.3 Phương trình không chứa 𝒙 .......................................................................... 189 11.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 ................................................ 189 11.3.1 Khái niệm .................................................................................................. 189 11.3.2 Xây dựng nghiệm thứ hai khi biết một nghiệm ............................................... 195 11.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số (Tìm nghiệm riêng của … thuần nhất) ............. 196 11.3.4 Nguyên lý xếp chồng nghiệm ....................................................................... 198 MỤC LỤC V 11.4 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP CAO ......................................................... 199 11.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng ................................... 200 11.4.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao hệ số hằng .................................. 203 11.4.3 Nghiệm riêng phương trình không thuần nhất cấp hai. … bất định..................... 204 11.4.4 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất cấp cao hệ số hằng .............. 207 TÓM TẮT .............................................................................................................. 208 BÀI TẬP ............................................................................................................... 208 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 209 VI HƯỚNG DẪN HƯỚNG DẪN MÔ TẢ MÔN HỌC Môn học trang bị các kiến thức về giải tích các hàm một biến, giải tích các hàm nhiều biến và phương trình vi phân. Nội dung bao gồm: phép tính vi tích phân đối với hàm một biến và ứng dụng; hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục; tích phân suy rộng; đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn, gradient; cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến; tích phân kép, chuyển tích phân sang tọa độ cực; phương trình vi phân cấp 1, cấp 2 và phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng. NỘI DUNG MÔN HỌC  Bài 1. Trình bày về giới hạn và liên tục của hàm số một biến cùng với khái niệm về vô cùng bé.  Bài 2. Nhắc lại đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp. Khái niệm và cách tìm đạo hàm của hàm ẩn, đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. Trình bày các định lí về giá trị trung bình và công thức Taylor.  Bài 3. Ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số ở dạng tường minh, dạng phương trình tham số và trong tọa độ cực.  Bài 4. Tích phân suy rộng loại 1, loại 2. Một số tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng.  Bài 5. Khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. Đạo hàm riêng cấp một và cấp cao của hàm nhiều biến. Khái niệm đạo hàm theo hướng và gradient của hàm nhiều biến.  Bài 6. Tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến. Tìm đạo hàm riêng của hàm hợp, hàm ẩn, hàm cho bởi phương trình tham số. Công thức Taylor của hàm hai biến.  Bài 7. Tìm cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn. HƯỚNG DẪN  VII Bài 8. Trình bày về tích phân kép, đưa về tích lặp để tích tính tích phân kép và đổi thứ tự lấy tích phân. Ứng dụng của tích phân kép.  Bài 9. Đổi biến trong tích phân kép. Đổi sang tọa độ cực và tính tích phân kép trong tọa độ cực.  Bài 10. Khái niệm chung về phương trình vi phân. Một số dạng và cách giải một số dạng phương trình vi phân cấp 1 (tách biến, đẳng cấp, tuyến tính,…).  Bài 11. Trình bày phương trình vi phân cấp 2 (tổng quát) và phương trình vi phân cấp cao hệ số hằng. KIẾN THỨC TIỀN ĐỀ Môn Giải tích 1 yêu cầu sinh viên có kĩ năng cơ bản tìm giới hạn của hàm số, tìm đạo hàm và tính tích phân của hàm một biến số. YÊU CẦU MÔN HỌC Người học vận dụng được lí thuyết để tính các giới hạn và xét sự liên tục của hàm một biến; tính các đạo hàm của hàm hợp, hàm ẩn, và hàm cho bởi phương trình tham số; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm một biến trong tọa độ cực, từ phương trình tham số, của các mặt bậc hai; khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng; tìm cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm số 2, 3 biến số; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến trên miền đóng, bị chặn; tích được tích phân kép, đưa về tính trên tọa độ cực trong những điều kiện cho phép; giải được phương trình vi phân cấp 1, cấp 2 và cấp cao tuyến tính hệ số hằng. Sử dụng thành thạo các phương pháp diễn dịch, quy nạp trong toán học. Khuyến khích sinh viên sử dụng máy tính bỏ túi và các chương trình trên máy tính hỗ trợ việc tính toán trong môn học. Người học cần đi học đầy đủ, đọc các nội dung sẽ được học trước khi đến lớp, làm các bài tập về nhà và đảm bảo thời gian tự học ở nhà. VIII HƯỚNG DẪN CÁCH TIẾP NHẬN NỘI DUNG MÔN HỌC Để học tốt môn này, người học cần đọc trước các nội dung chưa được học trên lớp; tham gia đều đặn và tích cực trên lớp; hiểu các khái niệm, tính chất và ví dụ tại lớp học. Sau khi học xong, cần ôn lại bài đã học và làm các bài tập, câu trắc nghiệm. Tìm đọc thêm các tài liệu khác liên quan đến bài học và làm thêm bài tập. Tài liệu này được biên soạn dựa theo cuốn sách "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, và Ngô Thu Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm một biến và lí thuyết chuỗi, NXB ĐHQG TPHCM, 2009" và "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, và Ngô Thu Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm nhiều biến, NXB ĐHQG TPHCM, 2009". Hầu hết các kết quả lí thuyết trong bài giảng này đều không có chứng minh. Sinh viên có thể tìm đọc thêm cuốn sách nêu trên để tìm hiểu các chứng minh chi tiết cho những kết quả trong bài giảng, cũng như làm thêm bài tập để rèn luyện từ nguồn bài tập và các ví dụ đã giải sẵn trong đó. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC Môn học được đánh giá gồm hai thành phần.  Phần điểm quá trình chiếm 30%, hình thức và nội dung đánh giá điểm quá trình do giảng quyết định và công bố cho người học đầu khóa học.  Phần điểm cuối khóa chiếm 70%, hình thức bài thi trắc nghiệm trong 90 phút. BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1 BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Học xong bài này người học cần thực hiện được các điều sau. - Tìm giới hạn của hàm số một biến số dùng một số kỹ thuật biến đổi tương đương, đặc biệt là các vô cùng bé tương đương. - Xét tính liên tục của hàm số một biến số trên một khoảng xác định. 1.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 (Trên ngôn ngữ “ -”) Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với miền xác định 𝐷. Ta nói số 𝑎 là giới hạn của 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 (hay là khi 𝑥 tiến tới 𝑥0 ), nếu:  > 0,  =  ( ): 𝑥  𝐷, 0 <  𝑥 – 𝑥0  <  𝑓(𝑥) − 𝑎 <  (1) khi ấy ta viết: lim f ( x)  a. x  x0 Định nghĩa 1.1.2 (Trên ngôn ngữ dãy) Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với miền xác định 𝐷 và 𝑥0 . Ta nói số 𝑎 là giới hạn của 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 , nếu  𝑥 𝑛  𝐷, 𝑥 𝑛  𝑥0 , 𝑥 𝑛  𝑥0  𝑓(𝑥 𝑛 )  𝑎.   Các khái niệm giới hạn vô cùng  lim f ( x)     x x  0    lim f ( x)    được định nghĩa như sau:  x   hoặc giới hạn tại vô cùng 2 1. 2. BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN lim f (x)     E  0, x  xo  =  (E): 𝑓(𝑥) > 𝐸, x  D f, 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿|. lim f (x)  a    0,   () : f (x)  a  , x  Df , x   x   Tương tự với các trường hợp -. Chú ý 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.2, để chứng tỏ hàm 𝑓(𝑥) không tiến tới 𝑎 khi 𝑥  𝑥0 ta thường làm như sau: xây dựng hai dãy 𝑥 𝑛 và 𝑥 ′𝑛 cùng tiến tới 𝑥0 , nhưng sao cho 𝑓(𝑥 𝑛 )  𝑏, 𝑓(𝑥 ′𝑛 )  𝑐 và ít nhất một trong hai số 𝑏 hoặc 𝑐 phải khác 𝑎. 1 Ví dụ 1.1.1. Chứng tỏ rằng không tồn tại lim sin . x x0  Thật vậy, lấy xn = 1 1 , xn’ = . Khi ấy ta có  2n 2n  2 f(xn)  0; f(x'n) = 1  1. Vậy khi x  0 thì 𝑓(𝑥) không có giới hạn . Định lý 1.1.1. Các khái niệm giới hạn nêu trong hai định nghĩa trên là tương đương. 1.1.2 Các tính chất của giới hạn hàm số Từ định nghĩa giới hạn trên ngôn ngữ dãy và các tính chất của dãy hội tụ ta có các tính chất sau: 1) Nếu 𝑓(𝑥) có giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 thì giới hạn đó là duy nhất. 2) Nếu lim f (x)  a, lim g(x)  b , thì x  xo x  xo a) lim Cf (x)  Ca x  xo (C- hằng số) b) lim  f (x)  g(x)  a  b x  xo c) lim  f (x)g(x)  ab x  xo f (x) a  b x  xo g(x) d) với b  0, lim 3) Nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) trong một lân cận nào đó của 𝑥0 và BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN lim g(x)  b lim f (x)  a ; x  xo x  xo khi đó ta có a  b. 4) Nếu trong một lân cận nào đó của 𝑥0 ta có: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) và lim f (x)  a  lim h(x) x  xo khi đó ta có: x  xo lim g(x)  a . x  xo 1.1.3 Giới hạn lim u(x)v(x), dạng vô định 1 Trước tiên, ta xét một vài ví dụ. x Ví dụ 1.1.2. lim a x  a 0 , a  0. x  x0   Ta chỉ cần xét trường hợp a > 1. Ta có: a x  a xo  a xo a x  xo  1 Mặt khác, vì 1 n a  1, a  1 n   1 , cho nên  1 1 > 0,  N:  n > N  1 – < a n < a n < 1 +  khi ấy, với  x – 𝑥0 < 1 N ta có 1 – < a-1/N < a x  xo 0; 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0 𝑣(𝑥) = 𝑏, khi ấy ta có lim 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) = 𝑎 𝑏 . 𝑥→𝑥0  Theo b) và các tính chất của giới hạn hàm số ta có lim v(x) ln u(x)  b ln a x  xo vậy theo a) ta được lim u(x) v(x) = lim ev(x) ln u(x) = eb lna = ab. x  xo x  xo  x Ví dụ 1.1.4. Chứng minh: lim 1  1 x  1  Ta có  1   n  n 1  1   1   n 1  n  x  e. e  1   1   n 1  n 1 n 1 e n  2 1  do đó    0,  N :  n  N  e – <  1   n  n 1 n  1  ; 1    e  n 1  với x > N +1, ta có phần nguyên [x] > N, cho nên [x]  1  e    1   [x]  1    x   1 x [x]  1 1 1     1    1  x [x]      e  x Vậy lim  1   = e . x  Dễ thấy, ta cũng lại có: 1  e = lim  1   x x   x = lim (1  x o 1 x) x Bây giờ có thể xét giới hạn dạng vô định 1 qua các ví dụ sau.  x2  1   Ví dụ 1.1.5. Tìm lim  x   x2  2     x2  1   Ta có:  2   x  2   x2 x2 . 3x2 x  2  x2  2  3    3 =  1   2 x  2   2     e3 BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 5 trước tiên sử dụng c) ta có […] → 𝑒, sau đó sử dụng Mệnh đề 1.1.2. . Ví dụ 1.1.6. 1/sin x lim(cos x) x 0  1/(cos x 1)  lim [1  (cos x  1) ] x 0  cos x 1 sin x  e0  1. Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷. Số 𝑎 được gọi là giới hạn trái của hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0 (hay là giới hạn khi 𝑥 tiến tới 𝑥0 từ bên trái), nếu: ∀ > 0 ∃ ∶ ∀ 𝑥 ∈ 𝐷, 0 < 𝑥0 – 𝑥 <  ⟹ | 𝑓(𝑥)– 𝑎 | < . Khi ấy ta viết: a  lim f ( x) hoặc x x0  − 𝑎 = 𝑓(𝑥0 ). + + Tương tự, ta có khái niệm giới hạn phải: 𝑏 = lim 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥); 𝑏 = 𝑓(𝑥0 ). Ví dụ. lim [x]  1 ; lim [x]  0 ; lim 21 / x   ; lim 2 1/ x  0. x 1 x 1 x  0 x  0 Định lý 1.1.3. Hàm số 𝑓(𝑥) có giới hạn tại 𝑥0 khi và chỉ khi nó có các giới hạn trái – + + − 𝑓(𝑥0 ), giới hạn phải 𝑓(𝑥0 ) và chúng bằng nhau 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑎, khi ấy 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑎. Bạn đọc tự chứng minh. Định nghĩa 1.1.5. Hàm số 𝒇(𝒙) được gọi tăng (tương ứng tăng chặt) trên 𝑨, nếu: ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴; 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥2 ) (tương ứng 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )). Tương tự, ta có khái niệm hàm giảm và giảm chặt. Các hàm tăng, hàm giảm được gọi chung là các hàm đơn điệu. Các hàm tăng chặt, hàm giảm chặt được gọi chung là các hàm đơn điệu chặt. Định nghĩa 1.1.6. Hàm số 𝒇(𝒙) được gọi bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) trên A nếu: ∃𝐶 ∈ ℝ: 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶 (tương ứng 𝑓(𝑥) ≥ 𝐶), ∀𝑥 ∈ 𝐴. Định lý 1.1.4. Cho hàm số 𝑓(𝑥) tăng và bị chặn trên trên khoảng (𝑎, 𝑏). Khi ấy tồn tại giới hạn trái tại 𝑏: lim f ( x). xb Tương tự, nếu hàm 𝑓(𝑥) giảm và bị chặn dưới trên (𝑎, 𝑏) thì tồn tại giới hạn phải tại 𝑎, lim f ( x). x a  6 BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1.2 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN Định nghĩa 1.2.1. Hàm số (𝑥) được gọi vô cùng bé (viết tắt VCB) khi 𝑥  𝑥0 nếu lim  ( x)  0 (ở đây 𝑥0 có thể là   ). x 0 Các tính chất của VCB Từ các tính chất của giới hạn hàm số ta có: a) Nếu (𝑥), (𝑥) là những VCB khi 𝑥  𝑥0 thì (𝑥)  (𝑥), (𝑥) (𝑥) là những VCB khi 𝑥  𝑥0 . b) (𝑥) là VCB khi 𝑥  𝑥0 , (𝑥) bị chặn trong lân cận nào đó của 𝑥0 . Khi ấy (𝑥) (𝑥) là VCB khi 𝑥  𝑥0 . c) lim  a  f ( x)  a  ( x). x xo trong đó (𝑥)là VCB khi 𝑥  𝑥0 . Ví dụ 1.2.1. (x) = xsin 1 1 - VCB, khi x  0, vì x - VCB và sin bị chặn. x x Định nghĩa 1.2.2. Cho (x), (x) - VCB khi 𝑥 → 𝑥0 . Chúng được gọi là những VCB so (x)  c (c có thể ). Khi đó, nếu x  xo (x) sánh được nếu tồn tại giới hạn: lim a) c  0, c  thì ta nói (x), (x) là những VCB cùng cấp. b) c = 0, ta nói (x) là VCB cấp cao hơn (x), và ký hiệu: (x) = 0 ((x)) (khi 𝑥 → 𝑥0 ) (đọc là O - micro của (x)) c) Tồn tại r > 0 sao cho (x) cùng cấp với [(x)]r thì ta nói (x) là VCB cấp r đối với VCB (x). Ví dụ 1.2.2. a) lim x0 1  cos x x 2  1 , như vậy 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 và 𝑥 2 là những VCB cùng cấp, hơn nữa ta có 2 1 – 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0(𝑥), 𝑥  0. b) 1 1  0   , x  . x x 2 BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN c) lim x3 / 2 ( x3  2  x  x3  2) = lim x  x3 / 2 .4 3 3 x 2 x 2  lim x  4 1 2 x3  1  23 7 2 x Như vậy, các VCB (x)  x3  2  x3  2 và (x)  x3/ 2 cùng cấp. Định nghĩa 1.2.3. Cho (𝑥), (𝑥) là các VCB khi 𝑥 𝑥0 . Chúng được gọi là những VCB ( x )  1. x xo ( x) tương đương nếu lim Khi đó ta viết (𝑥)(𝑥)(𝑥 𝑥0 ). Ta có các tính chất sau của VCB tương đương (khi 𝒙  𝒙 𝟎 ): a) (𝑥)  (𝑥)  (𝑥) –  (𝑥) = 0((𝑥))  (𝑥) –  (𝑥) = 0((𝑥)). b) (𝑥) (𝑥). c) 1(x) 1(x), 2(x) 2(x) 1(x) 2(x) 1(x) 2(x) d) (𝑥) (𝑥), (𝑥) (𝑥) (𝑥) (𝑥) e) Cho (𝑥), (𝑥) là những VCB khác cấp. Khi ấy (𝑥) + (𝑥) tương đương với VCB cấp thấp hơn. f) (𝑥) 1 (𝑥), (𝑥) 1 (𝑥). Khi ấy: ( x)  ( x)  lim 1 . x xo ( x) x xo 1 ( x) lim g) (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao) Nếu các VCB (x) và (x) là tổng của các VCB khác cấp thì giới hạn của tỷ số  (x) bằng giới hạn của tỷ số hai VCB cấp thấp của tử (x) và mẫu. Ta có một vài VCB tương đương đáng nhớ sau đây (khi 𝑥  0): sin 𝑥  𝑥, tan 𝑥  𝑥. (1) arcsin 𝑥  𝑥, ln(1 + 𝑥)  𝑥, 𝑒 𝑥 – 1  𝑥. (2) n 1 x 1 ~ 1 x. n Ví dụ 1.2.3. Tính I  lim x0 (3) sin   x  2  2  x2  3tg 2 x sin x3  2 x . 8 BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Ta có sin   x2 2 ~ x2 2 ~ x 2 2 ; 𝑥 2 3𝑡𝑔3 𝑥 = 𝑂(𝑥); 𝑠𝑖𝑛𝑥 3 + 2𝑥 = 2𝑥 + 𝑂(𝑥). x x  0( x) 1  lim 2 2  Như vậy, I  lim 2 2 . x  xo 2 x  0( x) x 0 2 x 4 2 ln(1  2 x sin 2 x) . Ví dụ 1.2.4. Tính I  lim x x0 sin x 2tgx 𝑙𝑛(1 – 2𝑥 sin2 𝑥) − 2𝑥𝑠𝑖𝑛2 𝑥  − 2𝑥 3 ; 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 𝑡𝑔𝑥  𝑥 2 𝑡𝑔𝑥  𝑥 3 . Do đó, 𝐼 = −2. Định nghĩa 1.2.4 (vô cùng lớn). Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) được gọi là vô cùng lớn (viết tắt VCL) khi 𝑥  𝑥0 nếu lim f ( x)  . x x0 Rõ ràng với 𝑓(𝑥) ≠ 0 thì 𝑓(𝑥) là VCL  1 là VCB. f (x) Tương tự như VCB ta cũng có thể phân loại các VCL. f (x)  C. x  xo g(x) Cho 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) là các VCL khi 𝑥  𝑥0 và  lim a) Nếu C  0, C  ta nói 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) là các VCL cùng cấp. b) C =1, ta nói chúng là các VCL tương đương. c) Nếu f (x) - VCL ta nói 𝒇(𝒙) -VCL cấp cao hơn 𝑔(𝑥). g(x) d) Nếu 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) - các VCL khác cấp, thì 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) tương đương VCL cấp cao hơn. e) Giới hạn của f (x) có thể được thay bằng giới hạn các VCL tương đương. g(x) n n Ví dụ 1.2.5. Ta có a0  a1 x  ...  an x ~ an x , x   BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN a0  a1 x  ...an xn cho nên lim x b0  b1 x  ...bm xm  lim x an xn bm xm 9 . 1 ln x  lim ln x x  0. x x x Ví dụ 1.2.6. lim Ta có lim n n  n  1 , từ đây dễ nhìn thấy Mặt khác, với 𝑥 > 1 ta có 1  Như vậy, lim x  1 xx 1 xx  ([ x] n n  1  1. 1  1) x  [ x] 1 |x|  1)  1.  1. ln x  0. x  x Từ đây ta có lim   Ví dụ 1.2.7. lim x  ln x  . x  Theo Ví dụ 1.2.6 thì 𝑥 là VCL cấp cao hơn 𝑙𝑛𝑥, cho nên: 𝑥 − 𝑙𝑛𝑥  𝑥. 1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa 1.3.1. Hàm số 𝑓(𝑥) được gọi là liên tục tại 𝑥0 nếu nó xác định tại điểm ấy và lim f ( x)  f ( x0 ). x x0 Hàm số được xem là liên tục tại các điểm xác định cô lập. Từ các tính chất của giới hạn hàm số ta có Định lý 1.3.1. Cho 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) liên tục tại 𝑥0 . Khi ấy các hàm số 𝐶𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) liên tục tại 𝑥0 . Ngoài ra nếu 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0 thì hàm số 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) cũng liên tục tại 𝑥0 . Định lý 1.3.2. Nếu 𝒇(𝒙) liên tục tại 𝑥0 và 𝑓(𝑥0 ) > 0, khi ấy sẽ có một  - lân cận của 𝑥0 , sao cho với mọi x thuộc lân cận ấy (và thuộc miền xác định của 𝑓(𝑥)) ta có 𝑓(𝑥) > 0. 10 BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Định lý 1.3.3 (tính liên tục của hàm hợp). Cho 𝒇(𝒙) xác định trên A, f(A)  B, g(y) xác định trên B. Nếu 𝒇(𝒙) liên tục tại 𝒙 𝟎 ∈ 𝑨, 𝒈(𝒚) liên tục tại 𝒚 𝟎 = 𝒇(𝒙 𝟎 ), thì hàm hợp 𝒈(𝒇(𝒙)) liên tục tại 𝒙 𝟎 . Từ các định lý trên ta có Định lý 1.3.4 (tính liên tục của các hàm sơ cấp). Hàm số sơ cấp liên tục tại các điểm xác định của nó. Định nghĩa 1.3.2. Hàm 𝒇(𝒙) được gọi là liên tục trái tại 𝒙 𝟎 nếu nó xác định tại 𝒙 𝟎 và  lim f ( x)  f ( xo ) (tức là f ( x0 )  f ( xo )) . x xo  Tương tự ta có khái niệm liên tục phải. Định lý 1.3.5. Hàm 𝑓(𝑥) liên tục tại 𝑥0 khi và chỉ khi nó liên tục trái và liên tục phải tại điểm ấy. Ví dụ 1.3.1. Hàm 𝑓(𝑥) = [𝑥] liên tục phải tại 𝑘 ∈ ℤ nhưng không liên tục tại đó. lim  x   k  1.   lim  x   k ;   x k x k Ví dụ 1.3.3. Hàm Dirichlet 1, 𝑥 ∈ ℚ 𝜒(𝑥) = { không liên tục tại mọi điểm 𝑥 ∈ ℝ. 0, 𝑥 ∈ ℝ\ℚ Cho 𝑥0 ∈ ℚ, theo tính chất của số thực, tồn tại dãy số vô tỷ 𝑥 𝑛 hội tụ đến 𝑥0 . Khi ấy, 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 0  0 ≠ 𝑓(𝑥0 ) = 1. Vậy 𝑓(𝑥) không liên tục tại 𝑥0 . Tương tự 𝑓(𝑥) không liên tục tại các điểm vô tỷ. Định nghĩa 1.3.4. Nếu 𝑓(𝑥) không liên tục tại 𝑥0 thì điểm 𝑥0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm 𝑓(𝑥). a) Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn f(xo-) = lim f (x) x  xo  ; f(xo+) = lim f (x) x  xo  nhưng ba số 𝑓(𝑥0 ), 𝑓(𝑥0− ), 𝑓(𝑥0+ ) không đồng thời bằng nhau thì điểm 𝑥0 là điểm gián đoạn. Khi ấy ta gọi 𝑥0 là điểm gián đoạn loại 1. Các điểm gián đoạn loại 1 có thể được phân ra hai loại: - Điểm khử được nếu 𝑓(𝑥0− ) = 𝑓(𝑥0+ ) ≠ 𝑓(𝑥0 ).