Tài liệu Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VASIA VAYINGTUVUE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI HẠCH LOGARITHMIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VASIA VAYINGTUVUE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI HẠCH LOGARITHMIC Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Ngân Thái Nguyên - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020 Người viết luận văn Vasia VAYINGTUVUE i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Ngân. Cô đã tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô! Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm khoa Toán và các thầy cô trong tổ Bộ môn Giải tích - Toán ứng dụng đã tạo điều kiện cho tôi được làm luận văn, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020 Vasia VAYINGTUVUE ii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . 1.1.1 1.2 3 Khái niệm về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính chính quy, hoàn toàn chính quy, tựa chính quy . . . . . . 9 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . 15 1.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . 16 2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarthmic 2.1 3 18 Phương pháp đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . 18 Π - hạch và phương pháp đa thức trực giao . . . . 2.1.2 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Phương trình đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic . . 2.2.1 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.3 Đưa phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 iii 21 21 25 29 29 30 32 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 iv Mở đầu 1. Lý do chọn luận văn Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bài toán biên của vật lí toán. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong Thế kỷ 19. Việc tìm nghiệm của phương trình tích phân đã đưa ra hướng nghiên cứu là đưa giá trị kỳ dị của hạch vào phương trình tích phân, đây là vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, như Noether, Muskhelishvili, Gakhov, B.N. Mandal, A. Chakrabarti, ... Với mong muốn được nghiên cứu về cách giải phương trình tích phân kỳ dị, tôi đã lựa chọn đề tài “Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic" làm luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục đích của luận văn Nghiên cứu về cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic bằng cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao để biến đổi phương trình tích phân kỳ dị về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . 3. Nội dung của luận văn Tổng quan một số kết quả về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, phương pháp đa thức trực giao. Nghiên cứu một ứng dụng của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính là giải phương trình tích phân với hạch logarithmic. Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, có 2 chương nội dung - Chương 1: Trình bày tổng quan về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính chính quy, hoàn toàn chính quy, tựa chính quy, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị. 1 - Chương 2: Trong chương 2, trình bày phương pháp đa thức trực giao, một trong những phương pháp hữu hiệu để giải phương trình tích phân kỳ dị. Trình bày cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic bằng cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao đưa phương trình tích phân về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Mục 2.2.4 trình bày về một trường hợp riêng để nhận được nghiệm đúng tường minh của phương trình tích phân kỳ dị đã xét ở Mục 2.2.3. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính Trong chương này trình bày các kết quả cơ bản về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, bao gồm các định lý về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm và cơ sở lý luận của việc tìm nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị. Nội dung chủ yếu của chương này được tham khảo từ các tài liệu [2, 4, 6]. 1.1.1 Khái niệm về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính Xét hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính sau đây: xi = ∞ X ci,k xk + bi (i = 1, 2, ...), (1.1) k=1 trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các số đã biết. Định nghĩa 1.1. Tập hợp những số x1 , x2 , ... được gọi là nghiệm của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (1.1) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.1) ta có các chuỗi hội tụ và tất cả những đẳng thức được thỏa mãn. 3 1.1.2 Các định lý so sánh Định nghĩa 1.2. Hệ ∞ X Xi = Ci,k Xk + Bi , (i = 1, 2, ...), (1.2) k=1 được gọi là hệ trội của hệ phương trình (1.1) nếu  |c | 6 C , (i = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...), i,k i,k |b | 6 B , (i = 1, 2, ...). i (1.3) i Định lý 1.1. (Về sự tồn tại nghiệm). Nếu hệ trội (1.2) có nghiệm không âm Xi0 ≥ 0 thì hệ phương trình (1.1) có nghiệm x∗i , nghiệm này tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp: (n+1) xi = ∞ X (n) ci,k xk + bi (i = 1, 2, ...; n = 0, 1, 2, ..), k=1 (0) (n) xi = 0, lim xi n→+∞ = x∗i , |x∗i | 6 Xi0 . Chứng minh. Trước hết áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp đối với hệ (0) (n) (1.2), với xi = 0, còn Xi (n+1) Xi = ∞ X được xác định theo công thức lặp: (n) Ci,k Xk + Bi (i = 1, 2, ...). (1.4) k=1 (1) Ta có Xi (0) (n) = Bi ≥ 0 = Xi . Nếu Xi (n+1) Xi = ∞ X (n) Ci,k Xk + Bi ≥ k=1 (n−1) ≥ Xi ∞ X thì từ (1.4) ta có: (n−1) Ci,k Xk (n) + Bi = Xi . k=1 (n+1) (n) ≥ Xi . (0) (n) Mặt khác, Xi = 0 6 Xi0 . Giả sử Xi 6 Xi0 , khi đó từ (1.4) và Xi0 thỏa mãn hệ (1.2), ta có Như vậy, với mọi n, i ta có Xi (n+1) Xi = ∞ X (n) Ci,k Xk + Bi 6 k=1 ∞ X k=1 4 Ci,k Xk0 + Bi = Xi0 , ngoài ra từ sự hội tụ của chuỗi ở vế phải suy ra sự hội tụ của chuỗi ở vế (n) 0 trái. Trên cơ sở của nguyên lý quy n nạp o ta có ∀i, n : Xi 6 Xi . (n) Như vậy, với i cố định, dãy Xi là dãy tăng và bị chặn trên bởi Xi0 , do đó tồn tại giới hạn: (n) lim Xi n→∞ = Xi∗ 6 Xi0 (i = 1, 2, ...). (1.5) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các số Xi∗ là nghiệm của hệ (1.2). Thật vậy, chuỗi ở vế phải của (1.4) hội tụ đều theo n, vì nó được làm trội bởi chuỗi ∞ P Ci,k Xk0 . Chuyển qua giới hạn trong (1.4) khi n → ∞ ta được k=1 Xi∗ = ∞ X Ci,k Xk∗ + Bi , (1.6) k=1 nghĩa là Xi∗ là nghiệm của hệ (1.2). Ta tiếp tục vận dụng phương pháp trên đây đối với hệ (1.1). (0) Cho Xi (n) = 0 và xác định xi (n+1) xi theo công thức lặp: = ∞ X (n) ci,k xk + bi . (1.7) k=1 Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức    (n+1) (n) (n)  (n+1) − Xi . − xi  6 X i xi (1.8) Ta có    (1) (0) (0)  (1) xi − xi  = |bi | 6 Bi = Xi − Xi . Giả sử rằng đã chứng minh được    (n) (n−1)  (n) (n−1) . xi − xi  6 Xi − Xi Khi đó " # "∞ # ∞     X X   (n+1)  (n)  (n) (n−1) − xi  =  ci,k xk + bi − ci,k xk + bi  = xi   k=1 k=1   ∞ ∞ X   X    (n) (n−1) (n+1) (n) (n−1)  (n) Ci,k Xk − Xk = Xi − Xi . = ci,k xk − xk 6   k=1 k=1 Như vậy, bất đẳng thức (1.8) được chứng minh. Sử dụng điều này ta thấy chuỗi (0) xi +  (1) xi − (0) xi  + 5  (2) xi − (1) xi  + ... (1.9) hội tụ vì nó được làm trội bởi chuỗi hội tụ     (0) (1) (0) (2) (1) (n) X i + Xi − Xi + X i − Xi + ... = lim Xi = Xi∗ . (1.10) n→∞ Ký hiệu tổng của chuỗi (1.9) là x∗i :     (0) (1) (0) (2) (1) (n) xi + xi − xi + xi − xi + ... = lim xi = x∗i n→∞ (1.11) Từ (1.10), (1.11) dễ thấy rằng |x∗i | 6 Xi∗ . Cuối cùng, chuyển qua giới hạn trong (1.7), ta được x∗i = ∞ X ci,k x∗k + bi (i = 1, 2, ...). k=1 Việc chuyển qua giới hạn là hoàn toàn thực hiện được vì chuỗi ở bên ∞ P phải được làm trội bởi chuỗi Ci,k Xk0 , nên do đó nó hội tụ đều theo n. k=1 Như vậy, x∗i là nghiệm của (1.1), ngoài ra |x∗i | 6 Xi∗ 6 Xi0 . Định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.3. Các nghiệm x∗i và Xi∗ tương ứng của các hệ phương trình (1.1) và (1.2) có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cùng với những giá trị ban đầu bằng không, được gọi là nghiệm chính của các hệ đó. Định lý 1.2. (Tính duy nhất của nghiệm). Với các điều kiện và ký hiệu như trong Định lý 1.1, nghiệm duy nhất của hệ (1.1) thỏa mãn bất đẳng thức |xi | 6 P Xi∗ (P ≥ 1) là nghiệm chính x∗i . Mọi nghiệm gần đúng khác của hệ được giải bằng phương pháp  xấp xỉ liên tiếp với điều kiện ban  (0)  (0) đầu xi tùy ý thỏa mãn điền kiện xi  6 P Xi∗ thì hội tụ đến nghiệm chính x∗i . Chứng minh. Để thuận tiện trước tiên chúng ta sẽ chứng minh điều khẳng định thứ hai cuả định lý này. Cần phải chứng   minh rằng, xuất pháp từ  (0)  (0) (n) các giá trị xi thỏa mãn bất đẳng thức xi  6 P Xi∗ và xi xác định theo công thức lặp: (n+1) xi = ∞ X (n) ci,k xi + bi k=1 chúng ta sẽ có (n) lim xi n→+∞ 6 = x∗i . (1.12) Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức      (n) (n)  (n) ∗ . (1.13) xi − xi  6 P Xi − Xi Với n = 0 bất đẳng thức trên đúng:        (0)  (0)  (0)  (0) ∗ ∗ . xi − xi  = xi  6 P Xi = P Xi − Xi Từ (1.12), (1.7), (1.13), (1.4) và (1.6), ta có:   ∞ ∞  X      X  (n+1)  (n) (n+1)  (n) (n)  ∗ = Ci,k Xk − Xk − xi ci,k xk − xk  6 P = x i   k=1 k=1 " ∞ ! !# ∞   X X (n) (n+1) ∗ ∗ Ci,k Xk + Bi − Ci,k Xk + Bi =P = P Xi − Xi , k=1 k=1 do đó trong bất đẳng  thức (1.13)  có thể thay n bởi n + 1. Từ đó, áp (n) (n) (n) dụng (1.5), suy ra xi − xi → 0, và do xi → x∗i [theo (1.11)], nên (n) → x∗i và do đó khẳng định thứ hai của định lý được chứng minh. Ta giả sử xi là nghiệm nào đó của hệ (1.1), thỏa mãn điều kiện |xi | 6 (0) (n) P Xi∗ . Ta đặt xi = xi , khi đó rõ ràng là tất cả các số xi xác định liên tiếp theo (1.12) sẽ bằng xi . Theo kết quả đã chứng minh ở trên ta có xi (n) lim xi n→+∞ (n) vì xi = x∗i không phụ thuộc vào n, và bằng xi , nên xi = x∗i . Do đó khẳng định thứ nhất được chứng minh. Định lý 1.3. (Chuyển qua giới hạn). Cùng với hệ vô hạn (1.1), xét hệ vô hạn: ∞ X s s xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ...; s = 1, 2, ...) (1.14) k=1 có chung hệ trội là hệ (1.2) cùng với nghiệm không âm Xi∗ , trong đó s s lim ci,k = ci,k , s→∞ lim bi = bi . s→∞ (1.15) s Khi đó, nếu x∗i là nghiệm chính của (1.1) và x∗i là nghiệm của (1.14), thì s lim x∗i = x∗i . s→∞ 7 (1.16) Chứng minh. Đối với mỗi hệ (1.14) chúng ta vận dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với s (0) xi = 0 và công thức lặp s s ∞ X s s (n) (n+1) xi = ci,k xi + bi , k=1 (i = 1, 2, ...). (1.17) Chúng ta sẽ chứng minh s (n) lim x s→∞ i (n) = xi . (1.18) Với n = 0 điều này là rõ ràng, chúng ta chứng tỏ có thể thay n bởi n + 1. Trong hệ (1.17) chuyển qua giới hạn khi s → ∞. Vì chuỗi bên phải được ∞ P làm trội bởi chuỗi hội tụ Ci,k Xi0 , nên có thể chuyển qua giới hạn, sử k=1 dụng (1.15), (1.18) và (1.17) ta có: # "∞ s s ∞ X X s s (n) (n+1) (n) (n+1) , ci.k xk + bi = xi = lim ci,k xi + bi = lim xi s→∞ s→∞ k=1 k=1 và do đó hệ thức (1.18) được thỏa mãn với mọi n. Tiếp theo ta có (so sánh với (1.11)): s x∗i = s (0) xi + s (1) xi − s (0) xi ! + s (2) xi − s (1) xi ! + ..., trong trường hợp này chuỗi bên phải được làm trội với mọi s bởi chuỗi (1.10) và do đó có thể chuyển qua giới hạn khi s → ∞. Tiến hành điều này, sử dụng (1.18) và (1.11), ta được     s (0) (1) (0) (2) (1) ∗ lim xi = xi + xi − xi + xi − xi + ... = x∗i , và do đó hệ thức (1.16) được chứng minh. Định lý được chứng minh. Định lý 1.4. (Sự "chặt cụt"). Giả sử hệ (1.1) có hệ trội (1.2) cùng với nghiệm không âm Xi∗ . Khi đó nghiệm chính của hệ (1.1) có thể được tìm như sau: Nếu xN i là nghiệm của hệ: xi = N X ci,k xk + bi (i = 1, 2, ..., N ), (1.19) k=1 thì ∗ lim xN i = xi , N →∞ 8 (1.20) với x∗i là nghiệm chính của hệ (1.1). Chứng minh. Cùng với hệ (1.19), chúng ta xét hệ vô hạn sau đây:  ∞ P  xi = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ..., N ), k=1 (1.21)  xi = 0 (i = N + 1, N + 2, ...). Nghiệm chính của hệ này rõ ràng là dãy  N N xi , x2 , ..., xN , 0, 0, ... , N hoặc là, nếu cho xN i = 0, ∀i > N thì nghiệm của hệ (1.21) sẽ là dãy xN i (i=1,2,...). Tiếp theo, rõ ràng là giới hạn dãy nghiệm của (1.21) khi N → ∞ là nghiệm của hệ (1.1). Thật vậy chỉ với những N ≥ i, hệ số của hệ (1.21), đứng tại vị trí (i,k), cN i,k bằng ci,k , do đó, các hệ số (và cả các số hạng tự do) của hệ (1.21) tiến tới các hệ số và các số hạng tự do tương ứng của hệ (1.1). Cuối cùng, ta có hệ (1.2) là hệ làm trội của hệ (1.21). Như vậy, đối với hệ (1.21) có thể áp dụng Định lý 1.3. Vận dụng Định lý này, chúng ta có thể khẳng định được rằng, nghiệm chính của hệ (1.21) hội tụ đến nghiệm chính của hệ (1.1): ∗ lim xN i = xi , N →∞ và đó là điều phải chứng minh. 1.1.3 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính chính quy, hoàn toàn chính quy, tựa chính quy Định nghĩa 1.4. Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (1.1) được gọi là hệ chính quy, nếu ∞ X |ci,k | < 1, (i = 1, 2, ...). (1.22) k=1 Nếu ∞ X |ci,k | 6 1 − θ < 1, 0 < θ < 1, k=1 9 (i = 1, 2, ...), (1.23) thì hệ này được gọi là hoàn toàn chính quy. Ta ký hiệu ∞ X ρi = 1 − |ci,k | (i = 1, 2, ..). (1.24) k=1 Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0. Giả sử hệ (1.1) là hệ chính quy, và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện |bi | 6 Kρi (K = const > 0). (1.25) Khi đó hệ phương trình Xi = ∞ X |ci,k | Xk + Kρi , (i = 1, 2, ...) (1.26) k=1 sẽ trở thành hệ trội của hệ (1.1). Theo (1.25), rõ ràng là, điều kiện (1.3) là được thỏa mãn. Hệ (1.26) có nghiệm Xi = K > 0, bởi vì từ ρi = 1 − ∞ X |ci,k | ⇔ 1 = k=1 ∞ X |ci,k | + ρi ⇔ K = k=1 ∞ X |ci,k | K + Kρi . k=1 Định lý 1.5. (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn). Nếu các hệ số tự do của hệ vô hạn chính quy (1.1) thỏa mãn điều kiện (1.25) thì nó có nghiệm bị chặn |xi | 6 K và nghiệm này có thể tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Chứng minh. Ta có  ∞ P   |ci,k | Xk + Kρi , Xi =    k=1 (i = 1, 2, ...), |ci,k | > |ci,k | ,     Kρi > |bi | . là hệ trội của hệ chính quy (1.1):  ∞ P   ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ...), xi = k=1 ∞ P   ρ = 1 − |ci,k | > 0.  i k=1 Do đó theo Định lý 1.1 ta có hệ trội (1.26) có nghiệm Xi = K > 0 nên hệ chính quy (1.1) có nghiệm bị chặn xi thỏa mãn |xi | 6 K và nghiệm 10 này được tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.1. Trong trường hợp hệ phương trình (1.1) là hoàn toàn chính quy và có điều kiện (1.25), giả sử ρi ≥ θ và thay điều kiện này bằng điều kiện |bi | 6 Kθ := P với P - tùy ý, khi đó nghiệm xi của hệ hoàn toàn chính quy tồn tại với mọi vế phải bị chặn và nếu |bi | 6 P thì |xi | 6 Pθ (= K). Nhận xét 1.1. Đối với hệ chính quy (1.1) điều kiện (1.25) có thể được thỏa mãn nếu chọn K một cách thích hợp, nếu trong các số hạng tự do của hệ , trừ một số hữu hạn, đều bằng không. Như vậy, trong trường hợp này hệ chính quy (1.1) có nghiệm bị chặn duy nhất. Nhận xét 1.2. Chúng ta đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ chính quy với điều kiện (1.25), đã sử dụng điều là các hệ như vậy là các trường hợp riêng của các hệ có hệ làm trội với nghiệm không âm. Nhưng thực tế trường hợp riêng này hầu như trùng với tổng quát. Cụ thể là mỗi hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính dạng (1.1) có hệ trội với các số hạng tự do Bi > 0 và nghiệm dương Xi0 có thể đưa đến hệ chính quy. Định lý 1.6. (Tính duy nhất của nghiệm bị chặn). Nếu nghiệm chính của hệ (1.26) bị chặn dưới bởi một số nào đó, tức là: Xi∗ ≥ α > 0 (1.27) thì hệ chính quy (1.1) có nghiệm bị chặn duy nhất. Nghiệm này có thể tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cùng với những giá trị bị chặn ban (0) đầu xi . Trong trường hợp này Xi∗ = K . Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định thứ nhất của định lý: Với mỗi nghiệm bị chặn xi của hệ chính quy (1.1) theo Định lý 1.5 thì |xi | 6 K = Xi0 . Mặt khác, theo Định lý 1.1 thì Xi0 > Xi∗ - nghiệm chính, ta suy ra K = Xi0 = P.Xi∗ với P được chọn một cách thích hợp. Như vậy |xi | 6 P Xi∗ , theo Định lý 1.2 thì nghiệm bị chặn xi là nghiệm chính và xi tồn tại là duy nhất. Khẳng định thứ hai của định lý này được suy ra từ phần thứ hai của 11 Định lý 1.2. Cuối cùng, điều khẳng định Xi∗ = K được suy ra bằng cách áp dụng khẳng định thứ nhất của định lý cho hệ (1.26) mà nó là một hệ trội cho chính nó. Khi đó rõ ràng là nghiệm bị chặn của nó Xi0 = K phải trùng với nghiệm chính Xi∗ tức là Xi∗ = K . Định lý được chứng minh. Nhận xét 1.3. Đối với hệ hoàn toàn chính quy điều kiện (1.27) bao giờ cũng thỏa mãn. Nhận xét 1.4. Hệ chính quy chỉ gồm có một số hữu hạn phương trình nhất thiết phải là hệ hoàn toàn chính quy. Tương tự Định lý 1.4, đối với hệ chính quy ta có định lý: Định lý 1.7 (Sự “chặt cụt”). Nghiệm chính x∗i của hệ chính quy xi = ∞ X ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ...) (1.28) k=1 cùng với các hệ số tự do thỏa mãn điều kiện |bi | 6 Kρi có thể tìm bằng phương pháp “chặt cụt” nghĩa là, nếu xN i là nghiệm của hệ hữu hạn xi = N X ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ..., N ) (1.29) k=1 thì x∗i = lim xN i . (1.30) N →∞ Định lý 1.8. Hệ chính quy chỉ có thể có không quá một nghiệm tiến đến không, nghĩa là lim xi = 0. i→∞ Trong trường hợp này, nếu các hệ số và các số hạng tự do tiến đến không thì nghiệm là nghiệm chính. Chứng minh. Trước hết chúng ta chứng tỏ rằng hệ thuần nhất không thể có quá một nghiệm tiến đến không và khác không. Thật vậy, giả sử xi là nghiệm của hệ xi = ∞ X k=1 ci,k xk ; ∞ X |ci,k | < 1, k=1 12 (1 =, 1, 2, 3, ...). Ký hiệu Q > 0 là cận trên đúng của |xi |. Vì xi → 0 nên bắt đầu từ số i nào đó (i ≥ i1 ) ta có |xi | < 21 Q và vì thế tìm được chỉ số i0 < i1 , sao cho |xi0 | = Q. Với chỉ số i0 ta có ∞ ∞ X X |ci0 ,k | , Q = |xi0 | 6 |ci0 ,k | |xk | 6 Q k=1 k=1 suy ra Q = 0, vì thế xi = 0. Phần thứ nhất của định lý được chứng minh. Chuyển sang phần thứ hai của định lý. Trước hết nhận xét rằng nếu bắt đầu với ci,k ≥ 0 và bi ≥ 0 hệ có nghiệm dương {xi } thì nghiệm chính không thể vượt quá nó: 0 6 x∗i 6 xi . Điều này được suy ra từ Định lý 1.1, nếu cho Xi0 = xi . Vì thế, nếu nghiệm như vậy là đã biết thì nó phải tiến đến không xi → 0, và do đó x∗i → 0, khi đó theo chứng minh ở trên ta có xi = x∗i , nghĩa là {xi } là nghiệm chính. Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.2. Nếu thực hiện biến đổi dạng xi = Hi .zi , (Hi 6= 0) lim Hi = ∞. i→∞ Trong hệ chính quy (1.1) ta nhận được hệ đối với ẩn zi : zi = ∞ X ci,k k=1 bi Hk zi + Hi Hi cũng là hệ chính quy, nghĩa là   ∞ X  Hk  |ci,k |   = 1 − ρ0i ; Hi (i = 1, 2, ...) ρ0i > 0, (1.1*) |bi | ≤ K 0 Hi ρ0i k=1 và hệ đã cho có nghiệm bị chặn duy nhất. Chứng minh. Mỗi một nghiệm bị chặn xi của hệ chính quy (1.1) cho nghiệm zi = 1 Hi xi của hệ (1.1*) tiến đến không, nhưng vì hệ chính quy (1.1) không thể có quá một nghiệm như vậy, nên nghiệm bị chặn của hệ (1.1*) là duy nhất. Điều khẳng định trên đây cho ta phương pháp thiết lập tính duy nhất của nghiệm bị chặn của hệ chính quy. Định nghĩa 1.5. Cho hệ phương trình ∞ X xi = ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ...), k=1 13 trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các số đã biết. Giả sử có điều kiện: ∞ X |ci,k | < 1, (i = N + 1, N + 2, ...) (1.31) k=1 và ∞ P    |ci,k | < +∞, (1 = 1, 2, ..., N ), k=1 ∞ P   |ci,k |), (i = N + 1, N + 2, ...; K = const). |bi | ≤ Kρi = K(1 − k=N +1 (1.32) Một hệ có tính chất như trên được gọi là hệ vô hạn tựa chính quy. Mệnh đề. Nếu hệ hữu hạn gồm N phương trình ban đầu của hệ vô hạn tựa chính quy tồn tại nghiệm thì hệ vô hạn tựa chính quy tồn tại nghiệm. Chứng minh. Xét hệ chính quy xi = ∞ X ci,k xk + bi + k=N +1 N X ! ci,k xk (i = N + 1, N + 2, ...). (1.33) k=1 Hệ tương tự với hệ (1.33) với các số hạng tự do là bi có nghiệm là |ξi | ≤ K ; (k̃) với các số hạng tự do ci,k̃ (k̃ = 1, 2, ...N ), hệ có nghiệm bị chặn ai , ta    (k̃)  có ai  ≤ 1 vì một mặt là ∞   X   |ci,k | , ci,k̃  ≤ 1 − k=N +1 có được do điều kiện (1.31) như sau ∞ X |ci,k | < 1 (i = 1, 2, ...) k=1 ⇔ |ci,1 | + |ci,2 | + ... + |ci,N | + |ci,N +1 | + |ci,N +2 | + ... < 1 ⇔ |ci,1 | + |ci,2 | + ... + |ci,N | < 1 − (|ci,N +1 | + |ci,N +2 | + ...) ∞   X   ⇔ ci,k̃  ≤ 1 − |ci,k | (k̃ = 1, 2, ..., N ), k=N +1 14