GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO
Tài liệu này được soạn để tặng các bạn học sinh lớp 12A2 (khóa 2010 – 2013),
trường THPT Thái Lão. Mong rằng với tài liệu này các bạn sẽ có một số kỹ năng để
làm tốt bài thi trong kỳ thi đại học của chúng ta sắp tới!
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
1
I. Sơ lược về một số chức năng cơ bản của máy tính CASIO 570ES và CASIO 570MS:
Trong phần này xin đƣợc khất các chức năng của máy tính CASIO 570MS vì các
máy này có tính năng khá tƣơng tự nhau. Thế nhƣng khi khi sử dụng chức năng thứ hai thì
một số loại máy CASIO 570MS không chính hãng sẽ gây ra rắc rối: nhiều lúc không thể
thao tác đƣợc. Vì vậy bản thân tôi khuyến khích các bạn sử dụng máy tính CASIO 570ES
hoặc Plus để thao tác đƣợc thật nhanh và tiện dụng.
1. Chức năng 1: Tính giá trị của một biểu thức với nhiều giá trị khác nhau của biến:
Ví dụ, khi ta đang vẽ đồ thị của một hàm số, ta cần đƣợc biết đƣợc ngoài các điểm
đặc biệt của đồ thị nhƣ các điểm cực trị, điểm uốn,… thì ta cần tìm thêm một số điểm khác
không đặc biệt để vẽ đồ thị cho chính xác. Khi đó để tính nhanh ta sẽ dùng chức năng
CALC của máy tính bỏ túi.
Chức năng này khá đơn giản với các bƣớc thực hiện nhƣ sau:
Bƣớc 1: Nhập biểu thức cần tính giá trị
Thƣờng thì biểu thức chỉ có một biến là X, ví dụ nhƣ:
P x4 x3 8x2 26 x 3 .
Q sin x 3 cos x cos 2 x 1 .
Nhƣng lƣu ý rằng cách này vẫn áp dụng đƣợc với các biểu thức hai, ba hay biến (có thể
biến là X, Y, A, B, C, …), ví dụ nhƣ:
S 227 x2 134 y 2 195x2 y 4 262 x 155 y 221x 4 1611y 4 .
Bƣớc 2: Bấm nút CALC , lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị của biến. Ta nhập
(các) giá trị của biến và nhấn dấu = để lấy giá trị biểu thức.
Bƣớc 3: Sau khi nhận đƣợc giá trị của biểu thức, ta lại bấm CALC để tiếp tục nhập thêm
các giá trị khác của biến. Làm tƣơng tự nhƣ Bƣớc 2 ở trên.
Áp dụng cụ thể cho một bài toán:
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức y x4 2x2 2 tại các giá trị x = 1 ; x = 3 ; x = –5.
Đầu tiên ta nhập biểu thức vào máy tính: X4 + 2X2 + 2.
Bấm nút CALC màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá
D
Math
X?
trị của biến nhƣ hình bên.
0
Ta nhập giá trị 1 vào và bấm = .
Màn hình hiện kết quả là 5 nhƣ hình bên.
D
Math
Để tiếp tục với các giá trị x = 3 ta chỉ cần bấm tiếp X4 + 2X2 + 2
nút CALC và bấm tiếp 3 = .
5
Màn hình hiện kết quả là 101.
Tiếp tục với giá trị x = –5, ta chỉ cần bấm thêm CALC – 5 = .
Màn hình hiện kết quả 677.
Lƣu ý: Ta cũng nên áp dụng cách tính nhƣ thế này để tính giá trị biểu thức với một giá trị
của biến nếu giá trị của biến là một con số khá dài (ví dụ nhƣ: 2207 ; 9.10–9 ; …).
2. Chức năng 2: Dò nghiệm gần đúng của một phương trình một biến X bất kỳ:
Giả sử nhƣ có một phƣơng trình ẩn x mà ta chƣa biết đƣợc nghiệm. Đó có thể là
phƣơng trình bậc hai, bậc ba (với phƣơng trình bậc hai và bậc ba thì đã có chức năng giải
riêng của máy tính) hay bậc 4, phƣơng trình vô tỷ, và cung có thể là một phƣơng trình
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
2
lƣợng giác. Với các phƣơng trình dạng hữ tỉ thì nếu ta nhẩm đƣợc một nghiệm thì có thể
dùng sơ đồ Hooc – ne (hoặc chia đa thức) để làm phân tích thành phƣơng trình tích và làm
giảm bậc của phƣơng trình. Vì vậy chức năng này sẽ khá hữu dụng với việc tìm nghiệm
những phƣơng trình bậc cao có nghiệm không dễ nhẩm.
Chức năng này đƣợc thực hiện nhƣ sau:
Bƣớc 1: Nhập phƣơng trình cần dò nghiệm vào.
Phƣơng trình nhập vào máy nhất thiết ẩn phải là ẩn X, nếu nhập phƣơng trình ẩn Y hay ẩn
A, B, C thì máy sẽ báo lỗi).
Ví dụ: Nếu muốn dò nghiệm phƣơng trình x4 2 x2 30 x 104 0 .
Thì ta nhập: X4 – 2X2 – 30X – 104 = 0 (dấu = ở trong biểu thức này đƣợc nhập bằng các
phím bấm ALPHA CALC )
Nếu muốn dò nghiệm của phƣơng trình 1 sin x cos x cos2 x sin 2 x .
Thì ta nhập: 1 + sin(X) = – cos(X) – cos(2X) – sin(2X).
Nếu muốn dò nghiệm của phƣơng trình 2 y 4 15 y3 30 y 148 0 (*)
Thì ta nhập: 2X4 – 15X3 – 30X + 148 = 0 (nghiệm của phƣơng trình này cũng là nghiệm
của (*), ta chỉ thay đổi ẩn).
Bƣớc 2: Bấm SHIFT SOLVE , lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị khởi tạo
của ẩn X. Ta nhập vào một giá trị bất kỳ và bấm nút = .
Thực ra việc nhập giá trị khởi tạo cho X này khá quan trọng. Vì thƣờng thì máy tính sẽ dò
nghiệm trong một khoảng lân cận nào đó của X. Vì vậy, đối với phƣơng trình hữu tỉ thông
thƣờng thì việc này khá quan trọng. Nếu giá trị khởi tạo không phù hợp thì nhiều lúc máy
sẽ báo không dò đƣợc nghiệm (mặc dù vẫn có nghiệm).
Còn đối với phƣơng trình lƣợng giác thì do tính chất tuần hoàn của hàm lƣợng giác nên có
rất nhiều giá trị nghiệm đủ “phân bố” nhiều trục số. Vì vậy nên việc tạo giá trị khởi đầu
thực ra không cần quan trọng lắm. Thế nhƣng để tiện cho việc nhìn nghiệm lƣợng giác thì
ta nên tạo giá trị khởi đầu nằm trong đoạn [0 ; 180] (đối với chế độ là độ D ) hoặc 0;
(nếu dùng chế độ rađian R ).
Đến đây ta chỉ còn việc chờ kết quả dò nghiệm.
D
Math
+) Nếu dò nghiệm thành công thì màn hình sẽ có ba
X=
dòng nhƣ sau:
L–R=
– Dòng 1: Phƣơng trình ta đã nhập.
– Dòng 2: X = .
Đây chính là nghiệm của phƣơng trình (giá trị này có thể là nghiệm gần đúng hoặc nghiệm
đúng).
– Dòng 3: L – R = .
Khi tìm ra đƣợc nghiệm, nếu màn hình hiện L – R = 0 (L là Left, tức là vế trái của phƣơng
trình, R là vế phải của phƣơng trình) thì nghiệm tìm đƣợc là nghiệm chính xác của phƣơng
trình. Còn nếu L – R khác 0 thì tức là vế trái vẫn chƣa bằng vế phải, thế nên đó là nghiệm
gần đúng của phƣơng trình.
+) Nếu việc dò nghiệm quá lâu, máy có thể hiện lên màn hình hỏi có nên dò nghiệm tiếp
hay không. Lúc này màn hình có ba dòng:
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
3
– Dòng 1: Continue: [ = ].
D
Math
Continue
:
[
=
]
Nếu muốn tiếp tục việc dò nghiệm, ta bấm phím = .
X=
– Dòng 2: Giá trị hiện tại của X.
L–R=
– Dòng 3: L – R = .
Nếu không muốn tiếp tục việc dò nghiệm ta bấm phím AC .
+) Nếu máy không thể dò đƣợc nghiệm. Lúc này
D
Math
Can’t Solve
màn hình sẽ hiện Can’t Solve.
: Cancel
Điều này có hai nguyên nhân. Thứ nhất là phƣơng [AC]
trình đã nhập luôn vô nghiệm. Thứ hai có thể là do [◄] [►] : Goto
giá trị khởi tạo không đƣợc phù hợp. Vì vậy ta có thể tiếp tục công việc dò nghiệm bằng
cách một trong hai nút điều chỉnh ◄ hoặc ► để trở lại bƣớc nhập phƣơng trình và cho
một giá trị khởi tạo phù hợp hơn.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau: 2 x4 19 x3 47 x2 180 0 .
Đầu tiên ta nhập phƣơng trình vào máy: 2X4 + 19X3 + 47X2 – 180 = 0.
Bấm SHIFT SOLVE , sau đó nhập giá trị khởi tạo
D
Math
4
3
2
là 1 chẳng hạn và bấm nút = , màn hình hiện kết 2X +19X +47X –180=0
X=
1.5
quả X = 1,5 với độ sai lệch là 0.
L–R=
0
3
Vậy phƣơng trình có nghiệm là x . Dùng sơ đồ
2
Hooc–ne chia đa thức ta phân tích đƣợc phƣơng trình trên thành:
3
x
3 3
2
2 x x 11x 40 x 60 0
2
3
2
2
x 11x 40 x 60 0 (1)
Bây giờ ta đi giải phƣơng trình bậc ba trên. Bấm máy tính ta đƣợc nghiệm X = –6 nên ta
phân tích (1) thành: x 6 x2 5x 10 0 x 6 (dễ thấy x2 5x 10 0 ).
Lƣu ý: Khi nhập phƣơng trình dạng f x 0 ta có thể không nhập phần “= 0” của
phƣơng trình mà chỉ cần nhập f x . Và tôi cũng khuyên các bạn rằng nên bỏ phần “=0”
của phƣơng trình, không nên nhập phần này.
Một phƣơng trình dạng f x g x (ví dụ x2 3x 1 3x3 ) thì đầu tiên ta nên chuyển
nó về dạng f x g x 0 để nhập (và không nhập phần “=0”).
Một mẹo để không cần viết nháp giai đoạn chuyển vế f x g x 0 , đó là ta nhập kiểu:
f x ( g x ) và bấm SHIFT SOLVE.
Nguyên nhân tại sao lại nên nhập nhƣ vậy thì tôi xin trình bày nhƣ sau:
– Khi nhập phƣơng trình dạng f x 0 hay f x g x thì do chứa dấu = nên nếu ta
nhập sai sót mà lỡ bấm SHIFT SOLVE rồi thì sẽ không sửa đƣợc, tức là mất thêm thời
gian nhập lại. Thời gian nhập một phƣơng trình (nếu một phƣơng trình phức tạp hoặc một
phƣơng trình lƣợng giác) không phải là ngắn, còn thời gian sửa một phƣơng trình thì sẽ rất
ít.
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
4
– Khi ta chỉ nhập phƣơng trình mà khuyết dấu “=” thì ta hoàn toàn có thể sửa đƣợc. Cụ thể
ta dùng thêm một bƣớc nhƣ sau:
Sau khi nhập phƣơng trình, ta bấm nút = để tính giá trị của biểu thức vừa nhập với giá trị
biến X là giá trị hiện thời đƣợc lƣu. Lúc này máy tính sẽ lƣu lại trong bộ nhớ biểu thức
vừa nhập. Máy tính sẽ hiện kết quả tính đƣợc (ta không cần quan tâm kết quả này) mà cứ
tiếp tục bấm SHIFT SOLVE nhƣ thƣờng.
Nếu sau khi bấm SHIFT SOLVE mà ta biết đã nhập sai phƣơng trình thì bấm liên tục nút
AC cho đến khi xuất hiện màn hình trắng (chú ý không bấm ON , nếu bấm ON thì tất
cả bộ nhớ tạm thời về biểu thức đã nhập sẽ “bay” đi hết!). Sau đó bấm nút ◄ là phƣơng
trình sẽ hiện lại cho chúng ta.
Trên đây là các bƣớc cơ sở để thực hiện các phép dò nghiệm phù hợp cho một phƣơng
trình lƣợng giác – chủ đề chính mà ta sẽ đề cập đến ở đây.
II. Áp dụng vào việc giải phương trình lượng giác:
1. Một số kiến thức cơ bản và các kết luận cần nắm được:
Thực ra việc sử dụng máy tính bỏ túi nhiều lúc sẽ cho kết quả không nhƣ ý ta nếu
phƣơng trình lƣợng giác đó có nghiệm “không đẹp chút nào”. Vì vậy các bạn đừng nên
quá dựa dẫm quá vào chiếc máy tính đang cầm trên tay mà hãy trang bị một kiến thức thật
vững chắc!
Đề thi đại học các năm gần đây đã thiên về việc phân tích nhân tử chung để giải
phƣơng trình lƣợng giác. Và “lợi dụng” việc có nghiệm đẹp của các phƣơng trình thi đại
học nên ta sẽ sử dụng cách bấm máy tính và đoán nhân tử chung để giải phƣơng trình
lƣợng giác.
Đầu tiên ta sẽ nhớ lại một số tính chất của
phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
– Phƣơng trình sin x = 1 có nghiệm là
x k 2 (biểu diễn trên đƣờng tròn lƣợng
2
giác chỉ là một điểm B).
– Phƣơng trình sin x = –1 có nghiệm là
x k 2 (biểu diễn trên đƣờng tròn lƣợng
2
giác chỉ là một điểm B’).
– Phƣơng trình sin x = 0 có nghiệm là x k
(biểu diễn trên đƣờng tròn lƣợng giác bằng hai
điểm A và A’).
– Phƣơng trình cos x = 1 có nghiệm là x k 2 (biểu diễn trên đƣờng tròn lƣợng giác chỉ là
một điểm A).
– Phƣơng trình cos x = –1 có nghiệm là x k 2 (biểu diễn trên đƣờng tròn lƣợng giác
chỉ là một điểm A’).
– Phƣơng trình cos x = 0 có nghiệm là x k (biểu diễn trên đƣờng tròn lƣợng giác
2
bởi hai điểm B và B’)
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
5
– Phƣơng trình cos x = m (với –1 < m < 1) có hai nghiệm đối nhau (biểu diễn trên đƣờng
tròn lƣợng giác bằng hai điểm đối xứng nhau qua trục ngang).
– Phƣơng trình sin x = m (với –1 < m < 1) có hai nghiệm bù nhau (biểu diễn trên đƣờng
tròn lƣợng giác bằng hai điểm đối xứng với nhau qua trục dọc).
– Phƣơng trình tan x = m có hai họ nghiệm hơn kém nhau một lƣợng là (biểu diễn trên
đƣờng tròn lƣợng giác bằng hai điểm đối xứng nhau qua gốc O.
Từ những nhận xét tƣởng chừng nhƣ đơn giản trên mà chúng ta sẽ rút ra một số kinh
nghiệm giải phƣơng trình lƣợng giác nhƣ sau:
– Nếu một phƣơng trình lƣợng giác có hai điểm biểu diễn là điểm A và A’ thì có thể nó có
một nhân tử chung là (sin x – 0) hay chính là sin x.
– Nếu một phƣơng trình có một điểm biểu diễn là A (mà không có A’) thì có thể nó có một
nhân tử chung là (cos x – 1).
– Nếu một phƣơng trình có một điểm biểu diễn là A’ (mà không có A) thì có thể nó có một
nhân tử chung là (cos x + 1).
– Nếu một phƣơng trình lƣợng giác có một điểm biểu diễn là điểm B và B’ thì có thể nó có
một nhân tử chung là (cos x – 0) hay chính là cos x.
– Nếu một phƣơng trình có một điểm biểu diễn là B (mà không có B’) thì có thể nó có một
nhân tử chung là (sin x – 1).
– Nếu một phƣơng trình có một điểm biểu diễn là B (mà không có B’) thì có thể nó có một
nhân tử chung là (sin x + 1).
– Nếu một phƣơng trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua trục dọc thì nó có
thể có một nhân tử chung là (sin x – m) (với m giá trị lƣợng giác sin ứng với hai điểm đó).
– Nếu một phƣơng trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua trục ngang thì nó có
thể có một nhân tử chung là (cos x – m) (với m giá trị lƣợng giác cos ứng với hai điểm đó).
– Nếu một phƣơng trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với nhau qua gốc O thì nó có thể
có một nhân tử chung là (tan x – m) (với m giá trị lƣợng giác tan ứng với hai điểm đó).
Thành thạo việc tƣ duy bằng đƣờng tròn lƣợng giác nhƣ thế này sẽ giúp việc giải
phƣơng trình lƣợng giác đơn giản hơn mà không cần vẽ đƣờng tròn lƣợng giác!
2. Các cách để giải nhanh phương trình lượng giác bằng máy tính bỏ túi:
Hai cách làm sau đây thực ra là giống nhau, vì vậy ai muốn sử dụng cách nào cũng
đƣợc. Với những bạn mới sử dụng thì tôi vẫn khuyên các bạn dùng cách thứ nhất, và máy
tính nên để ở chế độ là độ D (bởi vì việc nhập các giá trị rađian lâu hơn một tí).
Cách 1: Giải bằng chức năng CALC bằng cách thông dụng
Bƣớc 1: Nếu phƣơng trình có hai vế thì chuyển hết về một vế để đƣợc phƣơng trình
f x 0 .
Sau đó nhập f x vào trong máy.
Bƣớc 2: Lần lƣợt thử các giá trị lƣợng giác đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng
CALC . Giá trị nào làm giá trị f x 0 thì đó chính là nghiệm của phƣơng trình.
(Các giá trị đặc biệt là
+) 0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ;120 ;135 ; 150 ; 180 cùng các giá trị đối của nó (nếu máy ở chế độ
độ D )
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
6
5 3 5
; ; ; ;
;
;
; cùng các giá trị đối của nó (nếu máy ở chế độ
6 4 3 2 6 4 6
rađian R )).
Bƣớc 3: Giá trị nào là nghiệm của phƣơng trình thì đánh dấu ngay trên đƣờng tròn lƣợng
giác.
Bƣớc 4: Từ các kết luận rút ra ở mục II.1 ta nhận định nhân tử chung (có thể nhận định
đƣợc nhiều cách phân tích)
Bƣớc 5: Thử phân tích phƣơng trình thành nhân tử chung. Nếu phân tích đƣợc thì việc giải
phƣơng trình đã thành công. Nếu việc phân tích quá khó khăn thì ta lại chuyển hƣớng phân
tích nhân tử chung khác.
Sử dụng Cách 1 này khá lâu.
Cách 2: Dùng chức năng CALC tối ƣu hơn
Bƣớc 1: Giống Bƣớc 1 của cách 1.
Bƣớc 2: Lần lƣợt thử các giá trị lƣợng giác đặc biệt vào biểu thức trình bằng chức năng
CALC . Giá trị nào làm giá trị f x 0 thì đó chính là nghiệm của phƣơng trình và ta
+) 0 ;
dừng lại ở đó. Giả sử nghiệm vừa tìm đƣợc là α.
Bƣớc 3: Thử các giá trị sau:
+) Giá trị ĐỐI với α, tức là (– α). Nếu (– α) cũng thỏa mãn (làm giá trị biểu thức bằng 0)
thì ta nghĩ ngay đến nhân tử chung là (cos x – cos α) (α xác định nên cos α là một hằng số)
+) Giá trị BÙ với α, tức là (1800 – α). Nếu (1800 – α) cũng thỏa mãn thì ta nghĩ đến nhân
tử là (sin x – sin α).
+) Giá trị NGƢỢC PHA với α, tức là (α + 900). Nếu (α + 900) cũng thỏa mãn thì nghĩ đến
nhân tử chung là (tan x – tan α) hay chính là (sin x – tan α . cos x) (tùy trƣờng hợp mà ta sử
dụng nhân tử chung nào cho hợp lý).
Riêng đối với trƣờng hợp α có biểu diễn là một trong các điểm A, B, A’, B’ thì việc làm
này có thể “thừa”. Cụ thể là nếu trong ba giá trị ĐỐI, BÙ và NGƢỢC PHA trên đều không
thỏa mãn phƣơng trình thì tùy giá trị của α mà ta sẽ nghĩ đến các nhân tử chung khác nhau
(ví dụ nhƣ α là điểm A thì nhân tử chung
Nếu α có biểu diễn là khác tất cả các điểm A, B, A’, B’ mà các giá trị ĐỐI, BÙ và
NGƢỢC PHA trên đều không thỏa mãn thì ta phải quay về Bƣớc 1 để thử các giá trị khác.
Bƣớc 4: Thử phân tích thành nhân tử chung.
Cách 2 này phù hợp với những ngƣời đã quen sử dụng máy, thao tác và kĩ thuật nhanh.
Cách 3: Sử dụng chức năng SOLVE (thƣờng sử dụng ở chế độ độ D )
Bƣớc 1: Nhập phƣơng trình vào máy.
Bƣớc 2: Nhập giá trị khởi tạo trong [ 0 ; 360 ] và dò nghiệm.
Sở dĩ ta không dùng chế độ rađian vì nghiệm khi hiển thị ra rất lẻ, nó không ở các dạng
2
hay
, … mà lại ở dạng số thập phân 1,570796327 hay 1,047917551, … nên chúng ta
3
khó nhận biết đƣợc nghiệm.
Bƣớc 3: Đến đây làm tiếp các bƣớc tƣơng tự nhƣ Bƣớc 3, rồi Bƣớc 4 của Cách 2.
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
7
Cách 3 áp dụng đối với những bài toán có nghiệm không là những giá trị lƣợng giác đặc
biệt mà chúng lại khó nhẩm (chẳng hạn nhƣ
; ; ;... )
12 8 6
Sau đây là các ví dụ cụ thể giúp các bạn có thể luyện tập đƣợc các bấm máy:
Ví dụ 3: (Đề thi Đại học Khối B năm 2005)
Giải phƣơng trình lƣợng giác: 1 sin x cos x sin 2 x cos2 x 0 .
Cách 1: Thử các giá trị đặc biệt ta thấy các giá trị thỏa mãn là 1200 , 1350 , 450 , 1200 .
Thấy rằng 120 và –120 là hai giá trị đối nhau, còn 135 và –45 là các giá trị ngƣợc pha
nhau. Vậy nên ta nghĩ đến hai nhân tử chung có thể có của phƣơng trình là:
( cos x cos1200 ) hoặc ( tan x tan1350 )
1
Hay chính là ( cos x ) hoặc ( sin x cos x ) (phƣơng trình này chỉ chứa sin và cos nên ta
2
ƣu tiên lấy dạng ( sin x cos x ) hơn là lấy dạng ( tan x 1))
1
Thử phân tích theo nhân tử ( cos x ). Ta sẽ ƣu tiên nhóm sin2x trƣớc (luôn là vậy đối
2
với phƣơng trình dạng này). Số hạng mà khi nhóm với sin2x mà xuất hiện nhân tử chung
nhƣ trên chính là sin x .
(Thực ra ngoài nháp ta làm nhƣ sau:
1 1
1
sin 2 x 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x
2 2
2
Nhƣ vậy “phần thiếu” là sinx)
Với hƣớng đó ta phân tích phƣơng trình nhƣ sau:
sin 2x sin x 1 cos2 x cos x 0
1
2sin x cos x 1 2cos 2 x 1 cos 2 0
2
1
1
1
2sin x cos x 2cos x cos x 0 2 cos x sin x cos x 0 .
2
2
2
Đến đây thì việc giải trở nên rất đơn giản. Và nhận thấy rằng hai nhân tử chung mà ta dự
đoán đều đúng!
Một câu hỏi nho nhỏ đặt ra: Ta phải dùng công thức nhân đôi đối với số hạng cos2x nhƣ
thế nào trong ba công thức: cos2 x 2cos2 x 1 1 2sin 2 x cos2 x sin 2 x cho hợp lý?
Xin đƣợc trả lời nhƣ sau: Các bạn phải xác định nhân tử chung chứa hàm gì?
1
– Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm cos (ví dụ nhƣ bài này nhân tử chung là ( cos x ))
2
2
thì ta quy cos2x 2cos x 1 (tức là quy cos2x về cosx).
– Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm sin thì ta quy cos2x 1 2sin 2 x (tức là quy cos2x về
sinx).
– Nếu nhân tử chung chứa CẢ HAI hàm sin và cos (hay chính là chứa hàm tan) thì ta quy
cos2 x cos2 x sin 2 x .
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
8
Cách 2: Thử các giá trị đặc biệt từ 00 trở đi, ta dừng lại tại giá trị α = 1200. Bấm thấy ngay
1
giá trị –1200 cũng thỏa mãn nên ta đoán nhân tử chung là ( cos x )
2
Tiếp tục cách giải nhƣ trên.
Cách 3: Nhập phƣơng trình và sử dụng chức năng SOLVE với giá trị khởi tạo là 0 (ở chế
độ là độ) thì sau khoảng gần 20s máy tính cho kết quả –450. Thực hiện lấy các giá trị góc
ĐỐI (450), BÙ (2250) thì đến giá trị NGƢỢC PHA mới thấy thỏa mãn. Nhƣ vậy đoán
đƣợc nhân tử chung là ( tan x tan(450 ) ) hay chính là ( sin x cos x ).
Vẫn ƣu tiên nhóm sin2x trƣớc. Làm nháp:
sin 2 x 2sin x cos x 2 sin x cos x cos x 2cos 2 x 2 sin x cos x cos x cos 2 x 1
Vì vậy nên để hợp lý ta sẽ nhóm sin2x với (cos2x + 1).
Nếu phân tích theo cách:
sin 2 x 2sin x cos x 2 sin x cos x sin x 2sin 2 x
Thì ta lại thêm bớt trong phƣơng trình một lƣợng là 2sin 2 x để nhóm cho đủ:
sin 2x 2sin x cos2x 1 2sin x sin x cos x 0
2 sin x cos x sin x 2cos x 2sin x sin x cos x 0
2
2
2
2
Đến đây thì không khó để phân tích thành nhân tử chung ( sin x cos x ).
Ví dụ 4: (Đề thi chọn lớp 12 năm 2012 – 2013 THPT Thái Lão)
2sin 2 x 3cos 2 x 11sin x 2cos x 4
0.
Giải phƣơng trình:
2cos x 3
Với dạng phƣơng trình này thì cách giải lại còn đƣợc rút ngắn hơn nữa!
Thấy rằng thật không đẹp chút nào khi cho cái mẫu đó vào. Vì nếu bình thƣờng thì ta chỉ
cần giải phƣơng trình tử = 0 là đƣợc rồi. Suy luận nhƣ thế cho thấy rằng việc cho cái mẫu
nhƣ vậy chỉ là để loại nghiệm mà thôi. Vì vậy nên trong các giá trị thỏa mãn để mẫu = 0 sẽ
có ít nhất một giá trị là nghiệm của phƣơng trình tử = 0.
3
k 2 .
x k 2 và x
6
2
6
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng: 2sin 2 x 3cos2 x 11sin x 2cos x 4 0
Điều kiện cos x
(*).
k 2 thỏa mãn phƣơng trình trên. Áp dụng cách 2
6
5
ta thử thấy giá trị bù với nó là x
thỏa mãn phƣơng trình trên. Nhƣ vậy ta dự đoán
6
1
phƣơng trình sẽ có một nhân tử chung là ( sin x ).
2
1
Ta phân tích đƣợc ngay: 2sin 2 x 4sin x cos x 4 sin x cos x 2cos x .
2
Nhƣ vậy ta sẽ nhóm 2sin2x với (–2cosx). Trình bày lời giải nhƣ sau:
(*) 2sin 2 x 2cos x 3cos2 x 11sin x 4 0
Dùng máy tính thử ta thấy ngay x
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
9
2cos x 2sin x 1 31 2sin 2 x 11sin x 4 0
2cos x 2sin x 1 6sin 2 x 11sin x 7 0
2cos x 2sin x 1 2sin x 13sin x 7 0
2sin x 1 2cos x 3sin x 7 0
1
(dễ thấy phƣơng trình 2cos x 3sin x 7 0 vô nghiệm)
2
5
x k 2 x
k 2 k .
6
6
sin x
Kết hợp với điều kiện ta tìm đƣợc phƣơng trình có một họ nghiệm là x
5
k 2 .
6
Qua việc giải hai phƣơng trình trên ta rút ra một chú ý sau:
Khi giải phƣơng trình dạng: a sin 2 x b cos2 x c sin x d cos x e 0 hoặc biến dạng
của nó (thay sin2x bằng sinx.cosx ; hoặc thay cos2x bằng sin 2 x hay cos2 x ) thì việc đầu
tiên ta nên làm đó là nhóm asin2x với csinx hoặc nhóm với dcosx. Bởi vì việc nhóm nhƣ
thế này rất dễ làm xuất hiện nhân tử chung!
Ví dụ 5: (Đề thi Đại học Khối D năm 2012)
Giải phƣơng trình: sin 3x cos3x sin x cos x 2 cos 2 x (**).
Phƣơng trình này không khó với những ai đã rành công thức lƣợng giác. Thế nhƣng ta hãy
thử ứng dụng cách giải này vào giải phƣơng trình này xem sao.
Thử nghiệm từ 0 trở đi. Ta thấy ngay giá trị 450 thỏa mãn.
Tiếp tục thử các giá trị đối, bù và ngƣợc pha với 450 thì tất cả các giá trị này đều thỏa mãn.
Ghép cặp (450 và –1350), (–450 và 1350) (các cặp ngƣợc pha nhau) thì ta nhận thấy phƣơng
trình này có thể có hai nhân tử là (sinx – cosx) và (sinx + cosx).
Ta chọn nhân tử chúng là (sinx – cosx).
Thấy rằng phƣơng trình đã cho thì (– sinx + cosx) và 2 cos 2x đều đã chứa (sinx – cosx).
Nhƣ vậy (sin3x + cos3x) cũng sẽ phải chứa (sinx – cosx). Thực hiện phép hạ bậc thấy ngay
nhân tử chung đó.
sin3x cos3x 3sin x 4sin 3 x 4cos3 x 3cos x 4 cos3 x sin 3 x 3sin x cos x
4 cos x sin x cos2 x sin x cos x sin 2 x 3sin x cos x
sin x cos x 1 4sin x cos x
Vậy phƣơng trình đã cho biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ sau:
(**) sin x cos x 1 4sin x cos x sin x cos x 2 cos 2 x
sin x cos x 2 4sin x cos x 2 cos 2 x
2 cos x sin x sin x cos x 2 cos 2 x
2
2 cos2 x sin 2 x sin x cos 2 cos2 x
2cos 2 x. sin x cos x 2 cos 2 x .
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
10
Đến đây mọi chuyện trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Lưu ý: Bài giải trên ta chỉ chọn cách phân tích nhân tử chung là (sinx – cosx). Thế nhƣng
nếu mạnh dạn hơn “dám” chọn cả hai nhân tử chung thì phƣơng trình sẽ có một nhân tử
mới GỌN HƠN chính là: (sinx – cosx) (sinx + cosx) = sin 2 x cos2 x cos2 x . Từ đây ta
cố biến đổi vế trái của phƣơng trình xuất hiện cos2x nữa là xong.
Ở trên ta đã ghép cặp (450 và –1350), (–450 và 1350) (các cặp ngƣợc pha nhau) nhƣng nếu
ta ghép cặp theo cách khác thì kết quả vẫn nhƣ vậy:
+) Các cặp đối nhau (450 và –450), (1350 và –1350) thì hai nhân tử chung dự đoán sẽ phải
1
1
là (cosx –
) và (cosx +
). Ta lại có:
2
2
1
1
1 1
2
cos
x
cos
x
cos
x
cos 2 x .
2
2
2
2
Từ đây ta lại dự đoán nhân tử chung gọn hơn là cos2x.
+) Các cặp bù nhau (450 và 1350), (–450 và –1350) thì hai nhân tử chung dự đoán sẽ là
1
1
(sinx –
) và (sinx +
). Ta lại có:
2
2
1
1
1
1
2
sin x
sin x
sin x 2 2 cos 2 x .
2
2
Nên ta lại dự đoán nhân tử chung gọn hơn cũng lại là cos2x.
Từ các kết quả trên ta nhận xét rằng với cách dự đoán nhân tử chung rất đa dạng và phong
phú, nhƣng dƣờng nhƣ những cách đó đều cho ra một kết quả!
Ví dụ 6: (Đề thi Đại học Khối B năm 2011)
Giải phƣơng trình lƣợng giác: sin 2 x cos x sin x cos x cos2 x sin x cos x .
Thử đến giá trị 600, ta dừng lại và thử thấy –600 cũng thỏa mãn phƣơng trình nên có thể
1
nhân tử chung của phƣơng trình là (cosx – ).
2
Bởi vì nhân tử chung chứa hàm cos nên ta cố ý GIỮ NGUYÊN các hàm độc lập (hoặc có
thể quy về hàm độc lập) đối với cos đó là cos2x và cosx (chỉ chứa cosx mà không chứa
sinx). Vậy nên ta sẽ biến đổi ba số hạng còn lại của phƣơng trình là sin2x.cosx, sinx.cosx,
1
sinx cho phù hợp để xuất hiện nhân tử chung (cosx – ).
2
1
1 1
sin x .
Nhận thấy sin x cos x sin x cos x sin x nên ta sẽ nhóm sinx.cosx với
2
2 2
Thực hiện lời giải nhƣ sau:
sin 2 x cos x sin x cos x cos2 x sin x cos x
1
1
sin x cos x sin x sin 2 x cos x cos 2 x cos x
2
2
1
1
sin x cos x 2 sin x cos 2 x sin x 2cos 2 x 1 cos x
2
4
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
11
1
1
sin x cos x 2sin x cos 2 x 2cos 2 x cos x 1
2
4
1
1
1
1
sin x cos x 2sin x cos x cos x 2 cos x cos x 1
2
2
2
2
1
1
sin x cos x 2cos x 2 2 cos x cos x 1
2
2
cos x 1 x k 2
1
1
cos x cos x 1 2sin x 2 0 cos x x k 2
k
2
2
3
sin x 1
x k 2
2
Ví dụ 7: (Đề thi Đại học Khối A năm 2007)
.
Giải phƣơng trình lƣợng giác: 1 sin 2 x cos x 1 cos2 x sin x 1 sin 2 x .
Phƣơng trình này không khó, thoạt nhìn ta cũng có thể nhận thấy ngay tính đối xứng của
hai vế trong phƣơng trình. Chúng đều chứa nhân tử chung (sinx + cosx). Thế nhƣng hãy
thử giải phƣơng trình này bằng hƣớng khác xem sao nhé!
Còn đối với bạn nào vẫn chƣa tinh ý thì đầu tiên ta thử các giá trị lƣợng giác bắt đầu từ 00.
Giá trị thỏa mãn đầu tiên chính là 00. Thử giá trị bù với nó (tức 1800) ta thấy không thỏa
mãn. Nhƣ vậy có thể phƣơng trình này có nhân tử chung là (cosx – 1).
Để thay đổi cách giải một chút, ta sẽ áp dụng cách thêm bớt sau: “Ta cứ thêm cho đủ nhân
tử chung rồi trừ đi lượng vừa thêm”, cụ thể ta thực hiện:
1 sin x cos x 1 1 sin x cos x 2cos x 1sin x 2sin x cos x 1 2sin x cos x
1 sin x cos x 1 sin x. cos x 1 sin x 0
cos x 1 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin x 1 cos x 0
cos x 1 1 sin x sin x cos x sin x 1 cos x 1 cos x 0
cos x 1 sin x sin x cos x sin x cos x 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos x 1 sin x cos x sin x 1 0
x k 2
cos x 1
sin x cos x 0 x
k 2
k .
4
sin x 1
x k 2
2
Vậy là ta đã giải quyết xong!
Nhận xét: Với bài toán này nếu dùng cách 1 thì phƣơng trình đã cho gần nhƣ đã bị “lộ tẩy”
hoàn toàn:
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
12
Các giá trị nghiệm đặc biệt: 00 (điểm A) ; 900 (điểm B) ; 1350 và –450 (ngƣợc pha nhau).
Từ đây có thể thấy phƣơng trình có các nhân tử chung là (cosx – 1), (sinx – 1) và nhân tử
(sinx + cosx)!
Ví dụ 8:
Giải phƣơng trình lƣợng giác: 4sin x cos x 3sin x tan x 3tan x 3
(1).
Điều kiện x k k .
2
Lần lƣợt thử các giá trị bắt đầu từ 0, ta dừng lại tại giá trị 1350. Thử các giá trị đối, bù và
ngƣợc pha thì chỉ có giá trị ngƣợc pha là thỏa mãn phƣơng trình. Vậy phƣơng trình sẽ có
nhân tử chung là (tanx + 1) hay chính là (sinx + cosx).
Ta thêm bớt cho đủ nhân tử chung (tanx + 1):
(1) 4sin x cos x 3sin x tan x 1 3sin x 3 tan x 1 3 3
sin x cos x 3sin x tan x 1 3 tan x 1 0
cos x 1 tan x 3sin x tan x 1 3 tan x 1 0
tan x 1 cos x 3sin x 3 0
tan x 1
cos x 3sin x 3
Đến đây các bạn có thể giải đƣợc và tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình.
Ví dụ 9:
Giải phƣơng trình lƣợng giác: sin 2 x cos8x cos7 x cos6 x sin x (1).
Với những bài toán mà chứa các số hạng với các giá trị lƣợng giác là bội số khá lớn của ẩn
(nhƣ bài toán này thì đó là 6x , 7x , 8x) thì ta nên sử dụng Cách 1 (có thể phối hợp thêm
cách 3). Bởi vì khi đó ta sẽ có cái nhìn bao quát về các nghiệm của phƣơng trình và có thể
chọn đƣợc nhân tử chung phù hợp nhất.
Ta thƣờng giải những phƣơng trình nhƣ thế này đó là áp dụng các công thức biến đổi tổng
thành tích, tích thành tổng cho thật hợp lý để có thể làm giảm đƣợc bội số của x và để dễ
dàng nhìn nhận nhân tử chung.
Các giá trị lƣợng giác thỏa mãn phƣơng trình trên là 450, 1200, –1200, –1350.
Nhóm từng cặp nghiệm ta thấy có một cặp đối nhau (1200 và –1200) và một cặp ngƣợc pha
1
nhau (450 và –1350). Vì vậy ta dự đoán phƣơng trình sẽ có nhân tử chung là (cosx + )
2
hoặc (tanx – 1).
1
Nếu nhân tử chung là (cosx + ). Lúc đó ta sẽ nhóm đƣợc sin2x và sinx để xuất hiện nhân
2
tử chung này. Vậy còn lại tổng của ba số hạng còn lại: cos8x cos7 x cos6 x . Dùng công
thức biến đổi tổng thành tích: cos8x cos6 x 2cos7 x cos x , ta thấy đƣợc ngay nhân tử:
cos8x cos6 x cos7 x 2cos7 x cos x cos7 x 2cos x 1 cos7 x
Vì vậy nên ta sẽ trình bày lời giải nhƣ sau:
(1) sin 2 x sin x cos8 x cos6 x cos7 x 0
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
13
2sin x cos x sin x 2cos7 x cos7 x 0
sin x. 2cos x 1 cos7 x 2cos x 1 0
2cos x 1sin x cos7 x 0
Đến đây có thể tiếp tục giải đƣợc phƣơng trình.
Với bài toán trên, ta cũng nhận xét rằng do bội số của x khá lớn làm chu kỳ tuần hoàn
giảm đi do đó sẽ có “kha khá điểm” phân bố trên đƣờng tròn lƣợng giác. Các điểm này
nếu trùng với các điểm lƣợng giác đặc biệt thì sẽ gây rắc rối cho ngƣời phụ thuộc máy
tính. Nhƣ với bài toán trên, nếu nhìn nhận nhân tử chung là (tanx – 1) thì hƣớng đi sẽ rất
phức tạp và khó nhận đƣợc kết quả.
III. Kết luận:
Phƣơng pháp này đƣợc áp dụng cho phần lớn các bài toán giải phƣơng trình lƣợng
giác mà chứa bội số của x, cụ thể là đối với 3x ở dạng cơ bản nhƣ:
1. a cos2 x b sin 2 x c cos x d sin x e 0 .
2. a cos3x b sin3x c cos2 x d sin 2 x e cos x f sin x g 0 .
(Với a, b, c, d, e, f, g là các hằng số)
Và nó cũng sẽ rất hữu dụng trong việc giải phƣơng trình lƣợng giác cho các kỳ thi
sắp tới, bởi vì gần đây thì các phƣơng trình lƣợng giác trong các đề thi đại học chủ yếu là
ra ở dạng phƣơng trình tích!
Với các phƣơng trình lƣợng giác chứa bội số cao hơn hoặc những bài bắt biến đổi
thông minh thì việc giải bằng cách này còn rất hạn chế.
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:
1. (Khối A, A1 năm 2012): 3 sin 2 x cos 2 x 2cos x 1 .
sin 2 x 2cos x sin x 1
0.
2. (Khối D năm 2011):
tan x 3
3. (Thi thử đại học THPT Thái Lão năm 2012):
6sin 2 x sin 2 x 15cos x cos x 6
2
0.
2cos x 3
cos3x sin 3x
4. (Khối A năm 2002): 5 sin x
cos 2 x 3 .
1
2sin
2
x
cos 2 x
1
5. (Khối A năm 2003): cot x 1
sin 2 x sin 2 x .
1 tan x
2
2
6. (Khối B năm 2004): 5sin x 2 31 sin x tan x .
7. (Khối D năm 2008): 2sin x 1 cos2 x sin 2 x 1 2cos x .
Giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão
14
.PDF 
14 
769 
87 
