Giải hệ phương trình bằng các phương pháp tổ hợp

  • Số trang: 11 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 16 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Giải hệ bằng các phương pháp tổng hợp Loại 1. Giải hệ bằng phương pháp thế A. Nội dung phương pháp Ý tưởng chung: +) Từ một trong hai phương trình, rút y theo x để được y  f  x  . +) Thay y  f  x  vào phương trình còn lại, ta được một phương trình đối với x . Giải phương trình này để tìm x . +) Với mỗi x tìm được, ta suy ra y tương ứng. B. Một số ví dụ 1  1 x   y  x y. Ví dụ 1. [ĐHA03] Giải hệ   2 y  x3  1  Giải Điều kiện: x  0 , y  0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với y  x  x y  y  xy  x  xy  x  y    x  y   0   xy  1 x  y   0   1.  y   x 2 2 +) Thế y  x vào phương trình thứ hai của hệ ta có x  1 2 x  x  1  x  2 x  1  0   x  1  x  x  1  0   .  x  1  5  2 3 +) Thế y   2 3 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta có x  2  x3  1 x  x 4  x  2  0  x  . 2 2 1  1 3  ( x  x  2   x  x  1   x  x  1   x 2     x     0 x ) 2  2 2  4 4 2 2 Vậy hệ đã cho có ba nghiệm  x; y   1;1 ,  x; y    1 5 2 ; 12 5 ,  1 5 2 ; 12 5 . Nhận xét. Ở Ví dụ 1, phương trình thứ nhất của hệ có dạng f  x   f  y  . Phương trình dạng này bao giờ cũng đưa được về dạng  x  y  g  x; y   0 . 1  3 x  y  x  y Ví dụ 2. [ĐHB02] Giải hệ  .  x  y  x  y  2 Giải Điều kiện: x  y . Mũ 6 hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được  x  y 2 3   x  y  2  x  y   x  y  1  0 y  x .    y  x 1 Thế y  x vào phương trình còn lại của hệ ta được x  0 2x  2x  2   2  x  1 ,  y  1 (thỏa mãn). 2 x  x  1 Thế y  x  1 vào phương trình còn lại của hệ ta được  x  12 3 1 2x 1  2 x  1   2  x   y  (thỏa mãn). 2 2 4 x  4 x  1  2 x  1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y   1;1 ,  x; y    32 ; 12  . log 1  y  x   log 4 1y  1 Ví dụ 3. [ĐHA04] Giải hệ  4 . 2 2 x  y  25  Giải y  0 Điều kiện:  . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với y  x log 1  y  x   log 1 y  log 1 4 Thay x  4 4 1 4  log 1  y  x   log 1 4 4 y 4  yx y 4  x 3 y. 4 3 y vào phương trình còn lại của hệ ta đươc 4 3  4 2 y  4  y   y 2  25    x  3 (thỏa mãn). y   4 loaï i     Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x; y    3; 4  . 2 2  xy  x  y  x  2 y Ví dụ 4. Giải hệ [ĐHD08]  .  x 2 y  y x  1  2 x  2 y Giải Điều kiện: y  0 , x  1 . Coi phương trình thư nhất của hệ là phương trình bậc hai đối với x : 2 x 2   y  1 x  2 y 2  y  0 . 2  * 2 Ta có    y  1  4  2 y 2  y    3 y  1 . Do đó   y  1   3 y  1   y x  2 .  *   y  1   3 y  1    2y 1 x   2 Ta thấy trường hợp x   y không thỏa mãn điều kiện. Thay x  2 y  1 vào phương trình còn lại của hệ ta được  2 y  1  y  1 2y  y 2y  2y  2  2 y  2  y  1   y  1   2y 2  0  y  1 (loaïi)    x  5 (thỏa mãn). y  2 Nhận xét. Ở ví dụ trên, phương trình thứ nhất của hệ có dạng ax 2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0 . Ta thường xử lý phương trình này như sau: coi phương trình là phương trình bậc hai đối với x , từ đó ta có thể giải x theo y . Tương tự, nếu coi phương trình là phương trình bậc hai đối với y thì ta cũng có thể giải y theo x .  x 4  2 x 3 y  x 2 y 2  2 x  9 Ví dụ 5. [ĐHB08] Giải hệ  2 .  x  2 xy  6 x  6 Giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với xy  1 x2  6x  6 .  2 1 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x 2 2  xy   2 x  9 .  2 Thế 1 vào  2  ta có 2 2  2 1  1 2  2  x  2   x  6 x  6   2 x  9   2 x  3x  3   2 x  9     x  0 3 .  x 4  12 x3  48 x 2  64 x  0  x  x  4   0    x  4 Ta thấy x  0 không thỏa mãn 1 . Thay x  4 vào 1 suy ra y  17 . 4 3 17   Vậy hệ có nghiệm suy nhất là  x; y    4;  . 4  Nhận xét. Trong ví dụ trên, phép thế được thực hiện cho cả cụm xy . Để làm xuất hiện “cụm thế” ta cần thực hiện một vài phép biến đổi. Các ví dụ tiếp theo sẽ làm rõ hơn điều này. 23 x  5 y 2  4 y Ví dụ 6. [ĐHD02] Giải hệ  4 x  2 x1 .  2 x  2  y Giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với 4 x  2 x1 2x  2 y   2x 2x  2 2x  2   y  2x  y . 1 ( y  0) Phương trình thứ nhát của hệ tương đương với x 3 2   5 y2  4 y .  2 Thế 1 vào  2  ta được  y  0  loaïi   y3  5 y 2  4 y  y3  5 y2  4 y  0   y  1 . y  4  Thay y  1 vào 1 ta được x  0 , y  4 vào 1 ta được x  2 . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y    0;1 ,  x; y    2; 4  . 4 C. Bài tập  x  1  2  y  1 Bài 1. [ĐHB05]  . 2 3 3log 9  9 x   log 3 y  3  x 2  4 x  y  2  0 Bài 2. [ĐHB10]  2 log 2  x  2   log 2 y0 ĐS: 1;1 ,  2; 2  . . log 2  3 y  1  x Bài 3. [ĐHB10]  x . x 2 4  2  3 y ĐS:  3;1 . ĐS:  1; 12  . 5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2  x  y   0 Bài 4. [ĐHA11]  . 2 2 2 xy x  y  2  x  y      ĐS: 1;1 ,  1; 1 ,  2 10 5 ; 10 5  ,  2 10 5 ;  x 3  2 xy 2  12 y  0 Bài 5.  2 . 2 8 y  x  12 10 5  ĐS:  2; 1 ,  2;1 . 2 3 4 2 3 4  x  x  x  x  y  y  y  y Bài 6.  2 . 2  x  y  1  1 1  ĐS:  ; ,  2 2 1   1 ;   ,  0; 1 ,  1;0  . 2 2   x 2  xy  2  3x  y Bài 7.  2 . 2  x  y  2  y x 26    Bài 8.  x y 5 .  x 2  y 2  24  ĐS: 1; 1 , 1;1 . ĐS:  5;1 ,  5; 1 . 5 Loại 2. Phương pháp ẩn phụ A. Một số ví dụ  x  x  y  1  3  0 Ví dụ 1. [ĐHD09] Giải hệ  . 2 5  x  y   x 2  1  0 Giải Điều kiện: x  0 . Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho x ta được  x  y   3. 1 1  0 . x u  x  y  Đặt   v  0 và hệ đã cho trở thành 1 v  x u  3v  1  0 .  2 2 u  5v  1  0 1  2 u  3v  1 .  3 Từ 1 , ta rút được u theo v Thế  3 vào  2  ta được v  1  3v  1  5v  1  0  4v  6v  2  0   1 . v  2 2 2 2 x  1 +) v  1    x  y 1. u  2 x  2 x  2 1   +) v    1   3. 2 u  2  y   2 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y   1;1 và  x; y    2;  32  .  xy  x  1  7 y Ví dụ 2. [ĐHB09] Giải hệ  2 2 . 2 x y  xy  1  13 y  Giải 6 Thay y  0 vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1  0  x  . Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho y và chia hai vế của phương trình thứ hai cho y 2 , ta được hệ phương trình tương đương x 1  x  y  y  7    x 2  x  1  13  y y2 Đặt u  x   1 x  x     7 y y  .   2   1 x   x  y   y  13   1 x , v  , hệ nói trên trở thành y y u  v  7  2 u  v  13 v  7  u u  4 u  5 hoặc  .   2   u   7  u   13 v  3 v  12 1  x  4 1  x  1  y u  4 x  3  3 y   4  y +)  hoặc        1. y  1 y  v  3  x 3 x  3y  3   y 1  x   5 1   y u  5  12 y   5 y +)       x v  12   12  x  12 y   y (vì 12 y   x; y    1  5  12 y 2  5 y  1  0 vô nghiệm). y  1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  x; y    3;1 và  x; y    1;  .  3 5  2 3 2 x  y  x y  xy  xy    4. Ví dụ 3. [ĐHA08] Giải hệ  5  x 4  y 2  xy 1  2 x     4 Giải Hệ đã cho tương đương với 5  2 2  x  y   xy  x  y   xy   4 .   x 2  y 2  xy   5  4 7 u  x 2  y Đặt  , hệ đã cho trở thành v  xy  5  5  5 2 2 u  u   4  u     4  u    4       v   5  u 2  4 5  u  uv  v   4  u 2  v   5  4  5 1  5  5  3 2 2 u  u2  u  0 u  u   4  u     4  u    4   4         v   5  u 2 v   5  u 2   4 4 1  u u  0    2.   5 hoặc  3 v   4 v    2  5 x2  y  0  y   x2 u  0 x  3     4 +)  . 5   5   3 5   v   4  xy    x    y   1 3 25  4  4  2 2 1  1 1 1   2  y  x2  u   x  y   y   x2  x  1     2     2 2 2 +)          3. 1 3 3 3 1 3   y   2 3 x  x     v    xy   x  x   0  2      2 2 2 2 2 2 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm  x; y    3 5 4 ;3 25 16  ,  x; y   1;  3 2 . 8 B. Bài tập  2 1 x x  y2  y  3  Bài 1.  . x  1  x  3  y y ĐS: 1;1 . x  x  y   4 y Bài 2.  .  x 2  xy  y  0  2   2  3 2 3  , ĐS:  ,   3 3 3 3     x  x  2 y   6 y Bài 3.  . 2  x  2 xy  6 y  0   x  y   Bài 4.  x  y   x y  4 y x x2 y 2  4 y x   3 3 ĐS:   3(3  3); 2 3    .  2   ,     2   2  3  2 3 ,   3 3 3 3  .         6 2 3 3   ; 2 3  3 .  3 3    ĐS: 1;1 .  11   x  x  1    1  4 y y  Bài 5.  . ĐS: 1;1 ,  1; 1 .  3 3 2 2 3  x y  x y  xy  1  4 y  x2 y2 1    2 2 2. Bài 6.   y  1  x  1  3 xy  x  y  1  1 1 ĐS: 1;1 ,   ;   .  3 3 2 x3   y  2  x 2  xy  m Bài 7. [ĐHD11] Tìm m để HPT sau có nghiệm  2 .  x  x  y  1  2m ĐS: m  2 3 2 . 9 Loại 3. Phương pháp hàm số A. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD06] Chứng minh rằng với mọi a  0 , hệ sau có nghiệm duy nhất e x  e y  ln 1  x   ln 1  y  .   y  x  a Giải Từ phương trình thứ hai của hệ, rút y theo x và thay vào phương trình thứ nhất, ta được e x  e x  a  ln 1  x   ln 1  x  a   e x  a  e x  ln 1  x   ln 1  x  a   0 .  * Dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất   * có nghiệm duy nhất. Xét f  x   e x  a  e x  ln 1  x   ln 1  x  a  , với x  1 . Ta có f '  x   e xa  e x  1 1  1 x 1 x  a  e x  e a  1  a  0 x  1 (do a  0 ) 1  x 1  x  a   f đồng biến trên  1;   . Lại có lim f  x    , lim f  x     đồ thị hàm số y  f  x  có đúng một điểm chung x  x 1 với trục hoành   * có nghiệm duy nhất  hệ có nghiệm duy nhất (ĐPCM).  4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0 Ví dụ 2. [ĐHA10] Giải hệ  . 4 x 2  y 2  2 3  4 x  7 Giải 3   x  4 5  u2 u2 1 Điều kiện:  . Đặt u  5  2 y  y  , phương trình thứ nhất  y 3  5 2 2 y   2 của hệ trở thành  4x 2  1 x  u2 1 u  2  2 x   2 x  2  1  u  u 2  1 .  1 Nếu đặt f  t   t  t 2  1 thì 1 trở thảnh f  2 x   f  u  . Ta thấy f '  t   3t 2  1  0 t  f đồng biến trên  . Do đó 10 1 Thay y  x  0  .  2x  u  2 x  5  2 y   5 2 y   2 x  2 5  2 x 2 vào phương trình còn lại của phương trình ta được 2 2 5  4x    2x2   2 3  4x  7 . 2  2  2 2 3 5  Xét g  x   4 x    2 x 2   2 3  4 x , với 0  x  . 4 2  2 4x 4 5  Ta có g '  x   8 x  8 x   2 x 2    4 x  4 x 2  3  0 3  4x 3  4x 2   3 x   0;   4  g 1  3 1 nghịch biến trên  0;  , mặt khác g    7   2  có nghiệm duy nhất là x   hệ có 2  4 2 1  nghiệm duy nhất  x; y    ; 2  . 2  11
- Xem thêm -