Giải hệ bằng các phương pháp tổng hợp
Loại 1. Giải hệ bằng phương pháp thế
A. Nội dung phương pháp
Ý tưởng chung:
+) Từ một trong hai phương trình, rút y theo x để được y f x .
+) Thay y f x vào phương trình còn lại, ta được một phương trình đối với x . Giải
phương trình này để tìm x .
+) Với mỗi x tìm được, ta suy ra y tương ứng.
B. Một số ví dụ
1
1
x y
x
y.
Ví dụ 1. [ĐHA03] Giải hệ
2 y x3 1
Giải
Điều kiện: x 0 , y 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
y x
x y y xy x xy x y x y 0 xy 1 x y 0
1.
y x
2
2
+) Thế y x vào phương trình thứ hai của hệ ta có
x 1
2 x x 1 x 2 x 1 0 x 1 x x 1 0
.
x 1 5
2
3
+) Thế y
2
3
1
vào phương trình thứ hai của hệ ta có
x
2
x3 1
x
x 4 x 2 0 x .
2
2
1
1 3
( x x 2 x x 1 x x 1 x 2 x 0 x )
2
2 2
4
4
2
2
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm x; y 1;1 , x; y
1 5
2
; 12
5
,
1 5
2
; 12
5
.
Nhận xét. Ở Ví dụ 1, phương trình thứ nhất của hệ có dạng f x f y . Phương trình dạng
này bao giờ cũng đưa được về dạng x y g x; y 0 .
1
3 x y x y
Ví dụ 2. [ĐHB02] Giải hệ
.
x y x y 2
Giải
Điều kiện: x y . Mũ 6 hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được
x y
2
3
x y
2
x y x y 1 0
y x
.
y x 1
Thế y x vào phương trình còn lại của hệ ta được
x 0
2x 2x 2 2
x 1 , y 1 (thỏa mãn).
2 x x 1
Thế y x 1 vào phương trình còn lại của hệ ta được
x 12
3
1
2x 1 2 x 1 2
x y (thỏa mãn).
2
2
4 x 4 x 1 2 x 1
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x; y 1;1 , x; y 32 ; 12 .
log 1 y x log 4 1y 1
Ví dụ 3. [ĐHA04] Giải hệ 4
.
2
2
x
y
25
Giải
y 0
Điều kiện:
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
y x
log 1 y x log 1 y log 1
4
Thay x
4
4
1
4
log 1 y x log 1
4
4
y
4
yx
y
4
x
3
y.
4
3
y vào phương trình còn lại của hệ ta đươc
4
3
4
2
y 4
y y 2 25
x 3 (thỏa mãn).
y
4
loaï
i
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y 3; 4 .
2
2
xy x y x 2 y
Ví dụ 4. Giải hệ [ĐHD08]
.
x 2 y y x 1 2 x 2 y
Giải
Điều kiện: y 0 , x 1 .
Coi phương trình thư nhất của hệ là phương trình bậc hai đối với x :
2
x 2 y 1 x 2 y 2 y 0 .
2
*
2
Ta có y 1 4 2 y 2 y 3 y 1 . Do đó
y 1 3 y 1 y
x
2
.
*
y 1 3 y 1
2y 1
x
2
Ta thấy trường hợp x y không thỏa mãn điều kiện. Thay x 2 y 1 vào phương trình còn lại
của hệ ta được
2 y 1
y 1
2y y 2y 2y 2
2 y 2 y 1
y 1
2y 2 0
y 1 (loaïi)
x 5 (thỏa mãn).
y 2
Nhận xét. Ở ví dụ trên, phương trình thứ nhất của hệ có dạng ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 .
Ta thường xử lý phương trình này như sau: coi phương trình là phương trình bậc hai đối với x ,
từ đó ta có thể giải x theo y . Tương tự, nếu coi phương trình là phương trình bậc hai đối với y
thì ta cũng có thể giải y theo x .
x 4 2 x 3 y x 2 y 2 2 x 9
Ví dụ 5. [ĐHB08] Giải hệ 2
.
x 2 xy 6 x 6
Giải
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
xy
1
x2 6x 6 .
2
1
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
x
2
2
xy 2 x 9 .
2
Thế 1 vào 2 ta có
2
2
2 1
1 2
2
x 2 x 6 x 6 2 x 9 2 x 3x 3 2 x 9
x 0
3
.
x 4 12 x3 48 x 2 64 x 0 x x 4 0
x 4
Ta thấy x 0 không thỏa mãn 1 .
Thay x 4 vào 1 suy ra y
17
.
4
3
17
Vậy hệ có nghiệm suy nhất là x; y 4; .
4
Nhận xét. Trong ví dụ trên, phép thế được thực hiện cho cả cụm xy . Để làm xuất hiện “cụm
thế” ta cần thực hiện một vài phép biến đổi. Các ví dụ tiếp theo sẽ làm rõ hơn điều này.
23 x 5 y 2 4 y
Ví dụ 6. [ĐHD02] Giải hệ 4 x 2 x1
.
2 x 2 y
Giải
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
4 x 2 x1
2x 2
y
2x 2x 2
2x 2
y 2x y .
1
( y 0)
Phương trình thứ nhát của hệ tương đương với
x 3
2
5 y2 4 y .
2
Thế 1 vào 2 ta được
y 0 loaïi
y3 5 y 2 4 y y3 5 y2 4 y 0 y 1
.
y 4
Thay y 1 vào 1 ta được x 0 , y 4 vào 1 ta được x 2 .
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x; y 0;1 , x; y 2; 4 .
4
C. Bài tập
x 1 2 y 1
Bài 1. [ĐHB05]
.
2
3
3log 9 9 x log 3 y 3
x 2 4 x y 2 0
Bài 2. [ĐHB10]
2 log 2 x 2 log
2
y0
ĐS: 1;1 , 2; 2 .
.
log 2 3 y 1 x
Bài 3. [ĐHB10] x
.
x
2
4 2 3 y
ĐS: 3;1 .
ĐS: 1; 12 .
5 x 2 y 4 xy 2 3 y 3 2 x y 0
Bài 4. [ĐHA11]
.
2
2
2
xy
x
y
2
x
y
ĐS: 1;1 , 1; 1 ,
2 10
5
;
10
5
,
2 10
5
;
x 3 2 xy 2 12 y 0
Bài 5. 2
.
2
8 y x 12
10
5
ĐS: 2; 1 , 2;1 .
2
3
4
2
3
4
x x x x y y y y
Bài 6. 2
.
2
x y 1
1 1
ĐS:
;
,
2 2
1
1
;
, 0; 1 , 1;0 .
2
2
x 2 xy 2 3x y
Bài 7. 2
.
2
x y 2
y x 26
Bài 8. x y 5 .
x 2 y 2 24
ĐS: 1; 1 , 1;1 .
ĐS: 5;1 , 5; 1 .
5
Loại 2. Phương pháp ẩn phụ
A. Một số ví dụ
x x y 1 3 0
Ví dụ 1. [ĐHD09] Giải hệ
.
2
5
x y x 2 1 0
Giải
Điều kiện: x 0 .
Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho x ta được
x y 3.
1
1 0 .
x
u x y
Đặt
v 0 và hệ đã cho trở thành
1
v x
u 3v 1 0
.
2
2
u 5v 1 0
1
2
u 3v 1 .
3
Từ 1 , ta rút được u theo v
Thế 3 vào 2 ta được
v 1
3v 1 5v 1 0 4v 6v 2 0 1 .
v
2
2
2
2
x 1
+) v 1
x y 1.
u 2
x 2
x 2
1
+) v
1
3.
2
u 2
y 2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x; y 1;1 và x; y 2; 32 .
xy x 1 7 y
Ví dụ 2. [ĐHB09] Giải hệ 2 2
.
2
x
y
xy
1
13
y
Giải
6
Thay y 0 vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1 0 x . Chia hai vế của phương
trình thứ nhất cho y và chia hai vế của phương trình thứ hai cho y 2 , ta được hệ phương trình
tương đương
x 1
x y y 7
x 2 x 1 13
y y2
Đặt u x
1 x
x 7
y y
.
2
1
x
x y y 13
1
x
, v , hệ nói trên trở thành
y
y
u v 7
2
u v 13
v 7 u
u 4
u 5
hoặc
.
2
u 7 u 13
v 3
v 12
1
x 4
1
x 1
y
u 4
x 3
3 y 4
y
+)
hoặc
1.
y
1
y
v 3
x 3
x 3y
3
y
1
x 5
1
y
u 5
12 y 5
y
+)
x
v 12
12
x 12 y
y
(vì 12 y
x; y
1
5 12 y 2 5 y 1 0 vô nghiệm).
y
1
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x; y 3;1 và x; y 1; .
3
5
2
3
2
x
y
x
y
xy
xy
4.
Ví dụ 3. [ĐHA08] Giải hệ
5
x 4 y 2 xy 1 2 x
4
Giải
Hệ đã cho tương đương với
5
2
2
x y xy x y xy 4
.
x 2 y 2 xy 5
4
7
u x 2 y
Đặt
, hệ đã cho trở thành
v xy
5
5
5
2
2
u u 4 u 4 u 4
v 5 u 2
4
5
u uv v 4
u 2 v 5
4
5
1
5
5
3
2
2
u u2 u 0
u u 4 u 4 u 4
4
v 5 u 2
v 5 u 2
4
4
1
u
u 0
2.
5 hoặc
3
v 4
v
2
5
x2 y 0
y x2
u 0
x 3
4
+)
.
5
5 3
5
v 4
xy
x
y 1 3 25
4
4
2 2
1
1
1
1
2
y x2
u
x
y
y x2
x 1
2
2
2
2
+)
3.
1
3
3
3
1
3
y
2
3
x x
v
xy
x x 0
2
2
2
2
2
2
2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x; y
3 5
4
;3
25
16
, x; y 1;
3
2
.
8
B. Bài tập
2 1 x
x y2 y 3
Bài 1.
.
x 1 x 3
y y
ĐS: 1;1 .
x
x y 4
y
Bài 2.
.
x 2 xy y 0
2
2
3
2 3
,
ĐS:
,
3 3 3 3
x
x 2 y 6
y
Bài 3.
.
2
x 2 xy 6 y 0
x y
Bài 4.
x y
x y
4
y x
x2 y 2
4
y
x
3 3
ĐS: 3(3 3);
2 3
.
2
,
2
2
3
2 3 ,
3 3 3 3 .
6 2 3 3
; 2 3 3 .
3 3
ĐS: 1;1 .
11
x x 1 1 4
y y
Bài 5.
. ĐS: 1;1 , 1; 1 .
3 3
2 2
3
x y x y xy 1 4 y
x2
y2
1
2
2
2.
Bài 6. y 1 x 1
3 xy x y 1
1 1
ĐS: 1;1 , ; .
3 3
2 x3 y 2 x 2 xy m
Bài 7. [ĐHD11] Tìm m để HPT sau có nghiệm 2
.
x x y 1 2m
ĐS: m
2 3
2
.
9
Loại 3. Phương pháp hàm số
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD06] Chứng minh rằng với mọi a 0 , hệ sau có nghiệm duy nhất
e x e y ln 1 x ln 1 y
.
y x a
Giải
Từ phương trình thứ hai của hệ, rút y theo x và thay vào phương trình thứ nhất, ta được
e x e x a ln 1 x ln 1 x a
e x a e x ln 1 x ln 1 x a 0 .
*
Dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất * có nghiệm duy nhất.
Xét f x e x a e x ln 1 x ln 1 x a , với x 1 .
Ta có
f ' x e xa e x
1
1
1 x 1 x a
e x e a 1
a
0 x 1 (do a 0 )
1 x 1 x a
f đồng biến trên 1; .
Lại có lim f x , lim f x đồ thị hàm số y f x có đúng một điểm chung
x
x 1
với trục hoành * có nghiệm duy nhất hệ có nghiệm duy nhất (ĐPCM).
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0
Ví dụ 2. [ĐHA10] Giải hệ
.
4 x 2 y 2 2 3 4 x 7
Giải
3
x 4
5 u2
u2 1
Điều kiện:
. Đặt u 5 2 y y
, phương trình thứ nhất
y 3
5
2
2
y
2
của hệ trở thành
4x
2
1 x
u2 1
u
2
2 x 2 x
2
1 u u 2 1 .
1
Nếu đặt f t t t 2 1 thì 1 trở thảnh f 2 x f u . Ta thấy f ' t 3t 2 1 0 t f
đồng biến trên . Do đó
10
1
Thay y
x 0
.
2x u 2 x 5 2 y
5
2
y
2
x
2
5
2 x 2 vào phương trình còn lại của phương trình ta được
2
2
5
4x 2x2 2 3 4x 7 .
2
2
2
2
3
5
Xét g x 4 x 2 x 2 2 3 4 x , với 0 x .
4
2
2
4x
4
5
Ta có g ' x 8 x 8 x 2 x 2
4 x 4 x 2 3
0
3 4x
3 4x
2
3
x 0;
4
g
1
3
1
nghịch biến trên 0; , mặt khác g 7 2 có nghiệm duy nhất là x hệ có
2
4
2
1
nghiệm duy nhất x; y ; 2 .
2
11
- Xem thêm -
.PDF 
11 
109 
87 
