Tài liệu Giải bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện trường bằng phương trình poisson và bằng phương pháp ảnh điện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ SEMINAR ĐIỆN HỌC Giải bài toàn tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện trường bằng phương trình Poisson và bằng phương pháp ảnh điện NHÓM THỰC HIỆN: Lớp Sư phạm Lý 2 Thành viên: Lê Đại Nam (NT) Nguyễn Sơn Hoành Trần Thị Diệu Linh Thành phố Hồ Chí Minh, 2012 37102062 37102030 37102052 Mục lục nội dung 1 Lý do chọn đề tài: ................................................................................................................3 2 Sơ lược về vật dẫn cân bằng tĩnh điện và hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện: ...........................3 2.1 3 4 2.1.1 Vật dẫn : ................................................................................................................3 2.1.2 Điều kiện cân bằng tĩnh điện của vật dẫn: ..............................................................3 2.1.3 Các tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện: .........................................................4 2.2 Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (điện hưởng):..............................................................5 2.3 Bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và trường ngoài: ............................................5 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng đặt trong trường ngoài: .....................................6 3.1 Thành lập phương trình Poisson: ...................................................................................6 3.2 Đưa về phương trình Laplace: .......................................................................................6 3.3 Điều kiện biên để khử về phải của phương trình Poisson: ..............................................6 3.4 Một số ví dụ cơ bản:......................................................................................................7 3.4.1 Quả cầu kim loại nối đất trong điện trường đều: .....................................................7 3.4.2 Mặt phẳng kim loại vô hạn nối đất trong điện trường đều: ......................................9 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm: ............................9 4.1 Điều kiện biên để khử về phương trình Laplace: ...........................................................9 4.2 Giải phương trình Laplace đối với một số bài toán cụ thể: ........................................... 10 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với một điện tích điểm: .......... 10 4.2.2 Quả cần kim loại nối đất tương tác với một điện tích điểm: .................................. 11 4.3 5 6 7 Vật dẫn cân bằng tĩnh điện: ...........................................................................................3 Phương pháp giải đối với bài toán tổng quát:............................................................... 13 Phương pháp ảnh điện: ...................................................................................................... 13 5.1 Cơ sở lý thuyết ............................................................................................................ 13 5.2 Một số ví dụ tiêu biểu: ................................................................................................ 13 5.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với điện tích điểm: .................. 13 5.2.2 Quả cầu kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm: ......................................... 14 5.2.3 Quả cầu kim loại cô lập tương tác với điện tích điểm: .......................................... 15 Một số lưu ý khi dùng phương pháp ảnh điện: ................................................................... 16 6.1 Cách lấy ảnh điện: ....................................................................................................... 16 6.2 Thế năng tương tác giữa điện tích và ảnh: ................................................................... 16 Một số bài tập áp dụng: ..................................................................................................... 17 1 Lý do chọn đề tài: Hưởng ứng tĩnh điện là một hiện tượng phổ biến trong thiên nhiên. Mặc dù, việc giải thích định tính đối với các hiện tượng có liên quan thì tương đối dễ dàng nhưng việc giải quyết định lượng các bài toàn có liên quan là một công việc vô cùng khó khăn. Tiêu biểu nhất chính là bài toán vật dẫn cân bằng tĩnh điện được đặt trong điện trường ngoài. Có nhiều phương pháp dùng để giải quyết bài toán trên: phương pháp giải phương trình Poisson, phương pháp hàm Green, phương pháp ảnh điện, … Ở cấp độ phổ thông, chúng ta thường gặp các bài toán vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm và giải quyết chúng bằng phương pháp ảnh điện. Tuy nhiên, việc áp dụng máy móc phương pháp ảnh điện rất dễ dẫn đến những sai lầm. Để có thể hiểu rõ hơn về phương pháp ảnh điện, về phạm vi ứng dụng và để tránh những sai lầm mắc phải, chúng tôi so sánh cách giải bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện tích điểm theo phương pháp ảnh điện và phương pháp giải phương trình Poisson. Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra những lưu ý có liên quan đến phương pháp ảnh điện nhằm giải quyết một số bài toán cụ thể. 2 Sơ lược về vật dẫn cân bằng tĩnh điện và hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện: 2.1 Vật dẫn cân bằng tĩnh điện: 2.1.1 Vật dẫn : Vật dẫn là vật có chứa các hạt mang điện tích tự do; các hạt mang điện này có thể chuyển động trong toàn bộ vật dẫn. Có nhiều loại vật dẫn (rắn, lỏng và khí) nhưng chúng ta chủ yếu đề cập đến vật dẫn kim loại. Trong các vật dẫn kim loại, các điện tích tự do chính là các electron tự do, hay các electron dẫn chuyển động tự do từ nguyên tử này đến nguyên tử khác trong mạng tinh thể kim loại. 2.1.2 Điều kiện cân bằng tĩnh điện của vật dẫn: Khi vật dẫn đạt trạng thái cân bằng tĩnh điện, các điện tích tự do sẽ đứng yên (không xuất hiện chuyển động có hướng) trong vật dẫn. Chính từ điều kiện này, ta có: xét một điện tích q nằm cân bằng bên
  trong vật dẫn. Khi đó, lực điện tác dụng lên điện tích này là F = 0 . Do   đó, điện trường bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện là Ein = 0 . Như vậy, ta có điều kiện thứ nhất vế sự cân bằng tĩnh điện của vật dẫn cân bằng.  a) Điều kiện thứ nhất: “ Vector cường độ điện trường Ein tại mọi điểm trong vật dẫn phải   bằng không: Ein = 0 ” Ngoài ra, để không xuất hiện dòng chuyển dời có hướng của các điện tích trên bề mặt của vật dẫn, điện trường ngoài ngay tại bề mặt vật dẫn phải vuông góc với bề mặt vật dẫn. Từ đó, ta có thêm điều kiện thứ hai về sự cân bằng t ĩnh điện của vật dẫn cân bằng.  b) Điều kiện thứ hai: “Thành phần tiếp tuyến của vector cường độ điện trường E tại mọi   điểm trên mặt ngoài vật dẫn phải bằng không: Et = 0 ”. Khi điều kiện này được thỏa mãn, các hạt mang điện tự do bên trong và trên bề mặt vật dẫn không có chuyển động có hướng, khi đó chúng chỉ có chuyển động nhiệt hỗn loạn. Và khi đó, cường độ dòng điện bên trong và bề mặt vật dẫn cân bằng cũng bằng 0. 2.1.3 Các tính chất của vật dẫn cân bằng t ĩnh điện: a) Vật dẫn cân bằng tĩnh điện là một vật đẳng thế: Từ định nghĩa, ta có: điện thế tại một điểm M nào đó là ψ M thì điện trường tại điểm M là




 




   EM = − grad ψ M . Do đó, điện trường bên trong vật dẫn cân bằng t ĩnh điện là E = − grad ψ = 0 ⇒ ψ = const , hay nói cách điện thế tại mọ i điểm bên trong vật dẫn là như nhau. Đối với tại các





  điểm nằm trên bề mặt vật dẫn, ta cũng có: E = − grad ψ = E n ⇒ ψ = const , tức là điện thế tại mọ i điểm trên bề mặt vật dẫn cũng như nhau. Như vậy, từ hai điều kiện cân bằng t ĩnh điện của vật dẫn, ta rút ra được kết luận: vật dẫn cân bằng t ĩnh điện là một vật đẳng thế. b) Điện tích của vật dẫn cân bằng tĩnh điện chỉ nằm trên bề mặt vật dẫn, bên trong vật dẫn không có điện tích: Để chứng minh có điều này, ta xét định lý Ostrogradsky – Gauss cho một mặt Gauss Σ bất kỳ bên trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện. Khi đó, ta có:   D dS q E = ⇒ ε ∫ in ∑ in 0 ∫ in dS = ∑ qin = 0 ⇒ ∑ qin = 0 Điều này đúng với mọ i mặt Gauss bất kỳ bên trong vật, do đó, bên trong vật dẫn cân bằng t ĩnh điện không có điện tích. Điều này đồng nghĩa với việc điện tích của vật dẫn cân bằng t ĩnh điện chỉ nằm trên bề mặt vật dẫn. c) Sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dẫn cân bằng tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng của nó: Đây là tính chất mà lý thuyết và thực nghiệm đều chứng minh được. Đối với các vật có hình dạng bất kỳ, điện tích sẽ phân bố không đồng đều. Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì do điện trường luôn nằm vuông góc với bề mặt của vật dẫn, nên tại các chỗ nhọn đường sức điện trường tập trung nhiều hơn tại các chỗ lõm, do đó mà điện tích tập trung tại các chỗ nhọn nhiều hơn tại các chỗ lõm. Chính sự phân bố điện tích không đều giữa các chỗ lồ i và lõm khác nhau nên sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dãn cân bằng tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng của nó. d) Điện trường trên bề mặt vật dẫn cân bằng tĩnh điện: Giả sử ta xét một mặt Gauss như hình bên, mặt Gauss này là một mặt trụ có tiết diện dS, bao lấ y một diện tích dS rất bé nằm trên bề mặt vật dẫn. Điện trường bên ngoài vật dẫn tại điểm đó là E, mật độ điện mặt tại điểm đó là σ . Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho mặt trụ trên, ta có: Dout dS + Din dS = dq ⇒ Eout =  σ  dạng vector, ta có: Eout = n . ε0 σ . Hay viết dướ i ε0 Ta thấy điện trường này có độ lớn gấp đôi điện trường của một mặt phẳng vô hạn tích điện với mất độ tương ứng gây ra. Điều này có thể giải thích như sau:  Eout là điện trường tổng hợp do phần diện tích dS gây ra tại điểm M và do phần còn lại của vật (S – dS) gây ra lên vật tại điểm M.    Hai thành phần điện trường đó lần lượt là E1 và E2. Ta có: Eout = E1 + E2 . Xét một điểm N nằm bên trong vật dẫn, và ở rất gần điểm M, khi đó: điệ n trường tại N bằng 0, do phần diện tích dS gây ra và phần còn lại (S – dS)    gây ra: Ein = E1′ + E2′ = 0 .    E1′ = − E1   Ta dễ dàng thấy:    ⇒ Eout = 2 E1 .  E2′ = E2 Điện trường E1 này xem như do một mặt phẳng rộng vô hạn gây ra với mật  σ  độ điện mặt σ . Khi đó ta tính được: E1 = n . Ta cũng rút ra được: 2ε 0   σ  Eout = 2 E1 = n . ε0 2.2 Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (điện hưởng): Giả sử ta đặt vật dẫn A tích điện Q lại gần một vật B nào đó. Khi đó, trên vật dẫn B xuất hiệ n điện tích q. Giữa hai vật A và B đã xuất hiện hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện. Điện tích q được gọi là điện tích hưởng ứng. Nếu mọ i đường sức từ vật dẫn A đều sang vật dẫn B thì |q| = |Q|, ta nói giữa hai vật A và B xả y ra hiện tượng điện hưởng toàn phần. Nếu không phải tất cả các đường sức từ vật dẫn A đều sang vật dẫn B thì |q| < |Q|, ta nói giữa hai vật A và B xảy ra hiện tượng điện hưởng một phần. 2.3 Bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và trường ngoài: Giả sử ta có một vật dẫn cân bằng S đặt trong điện trường ngoài ( có thể là điện trường đều, điện trường do điện tích điểm gây ra hoặc do vật dẫn khác gây nên). Khi đó, chúng ta cần phải tính toán và xác định một số đại lượng vật lý có liên quan đến tương tác giữa vật dẫn và điện trường ngoài này. Tùy theo nhu cầu của từng tính huống cụ thể, chúng ta thường cần phải xác định: điện trường tổng hợp bên ngoài, điện thế bên ngoài, mật độ điện tích phân bố trên bề mặt vật dẫn, lực do trường ngoài tác dụng lên vật dẫn, v.v.v. Những dạng bài toán này thuộc dạng bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng và điện trường ngoài. Để giải bài toán này, chúng ta có thể đi theo hai hướng: giải phương trình Poisson hoặc sử dụng phương pháp ảnh điện. Chúng ta sẽ khảo sát cụ thể từng phương pháp trên. 3 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng đặt trong trường ngoài: 3.1 Thành lập phương trình Poisson:




  Đối với một điện trường t ĩnh bất kỳ, ta luôn có: E = − grad ψ (1) , với ψ là điện thế tương ứng tại một điểm nào đó. Nếu ta xét trong chân không thì định lý Ostrogradsky – Gauss có thể viết lạ i thành: đối với một mặt Gauss Σ nào đó thì: ε 0 ∫ EdS = ∑ qi = ∫ ρ dV với ρ là mật độ điện tích trong miền không gian V giới hạn bởi mặt Gauss trên. Áp dụng định lý Divergence cho vế trái của phương trình, ta có: ρ ε 0 ∫ divEdV = ∫ ρ dV ⇒ divE = ( 2 ) ε0 Từ (1) và (2) ta có được phương trình Poisson: ∆ψ = − ρ ( 3) với ∆ là toán tử Laplace. ε0 Trong bài toán vật dẫn cân bằng t ĩnh điện tương tác với điện trường ngoài, sự khác biệt giữa bài toán này và các bài toán tĩnh điện khác nằm ở các điều kiện biên. 3.2 Đưa về phương trình Laplace: Để đưa phương trình Poisson (3) về dạng phương trình Laplace, ta xét phương trình (3) đố i với các điểm bên ngoài vật dẫn cân bằng và các điện tích trong không gian. Khi đó ρ = 0 . Phương trình (3) trở thành phương trình Laplace: ∆ψ = 0 ( 4 ) 3.3 Điều kiện biên để khử về phải của phương trình Poisson: Để giải phương trình Laplace (4) trong bài toán vật dẫn cân bằng t ĩnh điện tương tác với trường ngoài, ta phải đưa các điều kiện biên vào để việc khử về phải của phương trình Poisson (3) là thích hợp. Ở đây nhóm đưa ra một số điều kiện biên đặc biệt thường sử dụng trong bài toán này: - Điều kiện biên thể hiện sự xuất hiện của vật dẫn cân bằng: điện thế trên mặt S là hằng số ψ S = const , phương trình Laplace xét trong không gian và bỏ đi mọ i điểm bên trong mặt S. Điều kiện biên thể hiện sự xuất hiện của điện trường đều: điện thế tại những điềm nằm rất xa  vật dẫn cân bằng chỉ do điện trường gây ra: ψ r ≫ S = − E.r . Điều kiện biên thể hiện sự xuất hiện của điện tích điểm: điện thế tại các vị trí của điện tích điểm M vô cùng lớn: ψ M = ∞ . Tuy nhiên, để khử dạng vô cùng trong điều kiện biên này, chúng ta sẽ sử dụng một thủ thuật nho nhỏ được đề cập đến trong phần sau. 3.4 Một số ví dụ cơ bản: 3.4.1 Quả cầu kim loại nố i đất trong điện trường đều: Ta xét bài toán trong hệ tọa độ trụ ( r, ϕ , z ) đặt tại gốc. Do quả cầu kim loại này nối đất nên điện thế trên bề mặt kim loại này là ψ z 2 + r 2 = R2 = 0. E. z Ở cách tâm rất xa thì điện thế xem như chỉ do điện trường đều gây ra: ψ →− z 2 + r 2 →∞ ( ) Do bài toán lúc này có tính đối xứng trụ (với trục là trục Oz) nên toán tử Laplace được viết 1 ∂  ∂  ∂2 thành: ∆ = . ( do đối xứng trụ nên không phụ thuộc vào góc ϕ , do đó toán tử r + r ∂r  ∂r  ∂z 2 1 ∂2 Laplace lúc này không có thành phần 2 ). r ∂ϕ 2 1 ∂  ∂ψ  ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ψ ∂ 2ψ =0⇔ 2 + + = 0. Phương trình (4) trở thành: r + r ∂r  ∂r  ∂z 2 ∂r r ∂r ∂z 2 E.z , do đó, ψ ( r , z ) = − E.z +ψ 0 ( r , z ) với ψ 0 → Ta biết rằng ψ →− 0. ( z 2 + r 2 )→∞ ( z 2 + r 2 )→∞ Ngoài ra, ta lại có: ψ z 2 + r 2 = R2 = 0 ⇒ψ z 2 + r 2 = R2 = − E. z + ψ 0 z 2 + r 2 = R2 = 0 ⇒ ψ 0 ( r , z ) = zψ 1 ( r , z ) . 0 ψ 1 → ( z 2 + r 2 )→∞ Cuối cùng ta có dạng: ψ ( r , z ) = − E.z + z.ψ 1 ( r , z ) với điều kiện biên:  . ψ = E  1 z 2 + r 2 = R2 Như vậy ta có thể dự đoán một dạng nghiệm của ψ 1 ( r , z ) như sau: n  R2  ψ 1 ( r, z ) = E  2 2  . r +z  Thay nghiệm ψ ( r , z ) = − E.z + z.ψ 1 ( r , z ) như ta đã dự đoán vào trong phương trình Laplace, ta tìm được n. Cụ thể là: ∂ 2ψ 1 z ∂ψ 1 ∂ 2ψ 1 ∂ψ z 2 + +z 2 +2 1 =0 ∂r r ∂r ∂z ∂z n 2n ( 2n − 3) z  R 2  ⇔   =0 r2 + z2  r2 + z2  ⇔n=3 2 3   2  R 2   Thay vào ta được nghiệm của điện thế như sau: ψ ( r , z ) = E. z  2 − 1 . Do điện trường   r + z 2     ngoài và vật dẫn này duy nhất nên điện thế bên ngoài phải duy nhất, như vậy nghiệm trên chính là nghiệm của bài toán chúng ta đang khảo sát. Thật ra, nếu bài toán này, ta sử dụng hệ tọa độ cầu kết hợp với phép khai triển đa cực và hai điều kiện biên như trên thì phép tính sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Điện trường ngoài tổng hợp bởi quả cầu và điện trường đều là:  ∂ψ  Ez = − ∂z




   E = − grad ψ ⇒   ∂ψ  Er = − ∂r    r 2 − 2z 2  R2  ez = 1 −   R2  r 2 + z 2   5/ 2  3rz  R 2  er = 2  2  R  r + z2  5/ 2    E.ez   E.er   3z 2   Ez = R 2 E.ez 3z Tại bề mặt của quả cầu thì:  ⇒ E′ = E  R  E = 3 zr E.e r r 2  R Từ đây ta cũng xác định được mật độ điện mặt trên quả cầu 3z là σ = ε 0 E ′ = ε 0 E . R Việc xác định mật độ điện mặt giúp ta xác định được lực do điện trường ngoài tác dụng lên quả cầu nố i đất:     dF = dqE ⇒ F = qE với q = ∫ σ dS = 0 Do đó, lực do điện trường tác dụng lên quả cầu bằng 0. Điều này có thể giải thích là do lực điện tác dụng lên nửa “âm” và nửa “dương” cân bằng với nhau. 3.4.2 Mặt phẳng kim loại vô hạn nối đất trong điện trường đều: Ta xét bài toán trong hệ tọa độ trụ ( r , ϕ , z ) đặt tại gốc O nào đó. Do mặt phẳng kim loại này nố i đất nên điện thế trên bề mặt kim loại này là ψ z =0 = 0. Bài toán này khác với bài toán trên ở chỗ, tính đối xứng của bài toán. Nếu bài toán 3.4.1 là một bài toán đối xứng trụ thì ở bài toán này, ta thấy rằng mọ i điểm nằm trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng vô hạn kia đều có tính đố i xứng như nhau. Hay nói cách khác, mặt đẳng thế tại một điểm bất ký là một mặt song song với mặt z = 0. Điện tích phân bố đều trên tấm kim loại σ và điện trường bên ngoài vật dẫn là E ′ = E + có: E ′ = σ . Tại bề mặt vật dẫn, từ phần 2.1.2d, ta đã 2ε 0 σ ⇒ σ = ε 0 E và E ′ = 2 E . ε0 Điện thế tại một điểm M bất ký lúc này là ψ ( r , ϕ , z ) = 2 E.z 4 Phương trình Poisson của vật dẫn cân bằng tương tác với điện tích điểm: 4.1 Điều kiện biên để khử về phương trình Laplace: Như đã đề cập ở phần 3.3, khi có một điện tích điểm q đặt tại vị trí M thì ta có điều kiện biên ψ M = ∞ . Tuy nhiên, với điều kiện biên này, chúng ta chưa đủ cơ sở để có thể thể hiện hoàn chỉnh được điện tích điểm q đặt trong không gian. Do đó, chúng tôi đưa ra một cách thể hiệ n điều kiện biên này như sau: Xét một lân cận ε bao quanh điểm M, khi đó, điện thế tại lân cận trên xem như là chỉ do điện tích điểm q gây ra, và ta biểu diễn dưới dạng toán học là: q . ψ ε − M  → ε →0 4πε 0ε Với cách biểu diễn này, ta có thể biểu diễn được điện tích điểm hiện diện trong không gian. (Trong điện động lực học, người ta biểu diễn điện tích điểm bằng hàm Delta Dirac xuất hiện ở vế phải phương trình Poisson, do đó, đây có thể xem là một cách khéo léo nhằm khử vế phải). 4.2 Giải phương trình Laplace đối với một số bài toán cụ thể: 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nố i đất tương tác với một điện tích điểm: Ta xét mặt phẳng rộng vô hạn ở phần 3.4.2 tương tác với một điện tích điểm đặt tại điể m ( r ,ϕ , z ) = ( 0, 0, a ) . Khi đó, ta có các điều kiện biên như sau: Do mặt phẳng này nố i đất nên ψ z =0 = 0. Điện tích điểm đặt tại M 0 nên ψ ε −M 0  → ε →0 q 4πε 0ε . Ta dễ dàng nhận thấy rằng, bài toán này có tính đối xứng trụ, với trục là trục Oz, do đó, điện thế không phụ thuộc vào góc ϕ . 2 ∂ 2ψ 1 ∂ψ ∂ 2ψ  ∂ψ + = 0 ⇔ + + = 0.  2 ∂r 2 r ∂r ∂z 2  ∂z Để giải nghiệm này, ta xem xét điều kiện biên. Từ điều kiện biên thứ hai, ta thấy rằng ψ bao gồm do điện tích q và mặt phẳng rộng vô hạn trên gây ra. Ai Ngoài ra, ta biết được phương trình Laplace có nghiệm riêng dạng , rất giống vớ i 2 r 2 + ( z − ai ) điện thế do một điện tích điểm gây ra. Do đó, ta thử xét phương trình trên với nghiệm sau: Ai A1 A2 . ψ =∑ = + 2 2 2 i r 2 + ( z − ai ) r 2 + ( z − a1 ) r 2 + ( z − a2 ) Phương trình Laplace trở thành: ∆ψ = 1 ∂  ∂ψ r r ∂r  ∂r Từ điều kiện biên thứ hai, ta giả sử khi đó điện thế chỉ còn có số hạng thứ nhất, khi đó: q   A1 = 4πε 0  a = a  1 Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có: q   A2 = − 4πε + =0⇒ 0 , để tránh vi phạm đ iều kiên biên thứ hai thì ta chỉ 4πε 0 r 2 + a 2 r 2 + a22 a 2 = a 2  2 chọn được: q A2 q   A2 = − 4πε 0  a = − a  2   q  1 1  − 2  2 4πε 0  r 2 + ( z − a ) 2 r + ( z + a)   Số hạng thứ nhất là điện thế do điện tích điểm q gây ra, còn số hạng thứ hai thì ta có thể xem do điện tích điểm –q gây ra đặt tại điểm z = -a. Về lưu ý này sẽ được đề cập rõ hơn ở phần phương pháp ảnh điện. Từ đây, ta xác định được lực do mặt phẳng tương tác với điện tích điểm như sau: Vậy điện thế lúc này của ta có dạng: ψ ( r , z ) = F= q2 16πε 0 a 2 4.2.2 Quả cần kim loại nố i đất tương tác với một điện tích điểm: Ta xét quả cầu kim loại nố i đất ở phần 3.4.1 tương tác với một điện tích điểm đặt tại điể m ( r ,ϕ , z ) = ( 0, 0, a ) . Khi đó, ta có các điều kiện biên như sau: Do mặt phẳng này nố i đất nên ψ r 2 + z 2 = R2 = 0. Điện tích điểm đặt tại M 0 nên ψ ε −M 0  → ε →0 q 4πε 0ε . Ta dễ dàng nhận thấy rằng, bài toán này có tính đối xứng trụ, với trục là trục Oz, do đó, điện thế không phụ thuộc vào góc ϕ . 2 ∂ 2ψ 1 ∂ψ ∂ 2ψ  ∂ψ + = 0 ⇔ + + = 0.  2 ∂r 2 r ∂r ∂z 2  ∂z Để giải nghiệm này, ta xem xét điều kiện biên. Từ điều kiện biên thứ hai, ta thấy rằng ψ bao gồm do điện tích q và quả cầu kim loại trên gây ra. Ai Ngoài ra, ta biết được phương trình Laplace có nghiệm riêng dạng , rất giống vớ i 2 2 r + ( z − ai ) điện thế do một điện tích điểm gây ra. Do đó, ta thử xét phương trình trên với nghiệm sau: Ai A1 A2 . ψ =∑ = + 2 2 2 2 2 2 i r + ( z − ai ) r + ( z − a1 ) r + ( z − a2 ) Phương trình Laplace trở thành: ∆ψ = 1 ∂  ∂ψ r r ∂r  ∂r Từ điều kiện biên thứ hai, ta giả sử khi đó điện thế chỉ còn có số hạng thứ nhất, khi đó: q   A1 = 4πε 0  a = a  1 Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có: q A2 + =0 2 2 4πε 0 r 2 + ( z − a ) r 2 + ( z − a2 ) ⇒ r2 + ( z − a) 2 r 2 + ( z − a2 ) 2  q  =   4πε 0 A2  2 2 R 2 + a 2 − 2 za  q  ⇒ 2 =  R + a22 − 2 za2  4πε 0 A2  Do vế phải là một hằng số nên vế trái cũng là một hằng số, không phụ thuộc vào z. Do đó, ta có:  a2 = a 2 = 0 ⇔ a ( R + a ) − a2 ( R + a ) = 0 ⇔  a = R R 2 + a22 −2a2  2 a để tránh vi phạm điều kiên biên thứ hai thì ta chỉ chọn được: R2 + a2 −2a q R   A2 = − 4πε a  0  2 a = R  2 a 2 2 2 2 2   q  1 Ra  Vậy điện thế lúc này của ta có dạng: ψ ( r , z ) = −   2 2 2 4πε 0 r 2 + ( z − R2 a )   r + ( z − a )  Số hạng thứ nhất là điện thế do điện tích điểm q gây ra, còn số hạng thứ hai thì ta có thể xem do điện tích điểm qR a gây ra đặt tại điểm z = R 2 a . Về lưu ý này cũng sẽ được đề cập rõ hơn ở phần phương pháp ảnh điện. Từ đây, ta xác định được lực do quả cầu kim loại tác dụng với điện tích điểm như sau: F= q 2 Ra 4πε 0 ( a 2 − R 2 ) 2 4.3 Phương pháp giải đối với bài toán tổng quát: Đối với một bài toán tương tác giữa vật dẫn cân bằng t ĩnh điện tương tác trong điện trường của một điện tích điểm, ta có các bước như sau: - Thành lập phương trình Laplace và các điều kiện biên như đã đề cập ở phần 3.3 và 4.1. - Từ các điều kiện biên, chọn các nghiệm riêng thích hợp của phương trình Laplace và tổ hợp tuyến tính của chúng sao cho thỏa mãn được các điều kiện biên. Đây là một việc tương đố i khó, tuy nhiên, chúng ta có thể đoán được một số nghiệm riêng như: nghiệ m riêng do điện tích điểm, nghiệm riêng do điện trường đều, v.v.v - Tìm được biểu thức tường minh của điện thế. Đến bước này, một nửa bài toán xem như đã được giải quyết. Việc còn lại chỉ ra tìm các đại lượng tương ứng để khảo sát như điện trường, mật độ điện mặt trên bề mặt vật dẫn, lực tương tác giữa chúng, v.v.v 5 Phương pháp ảnh điện: 5.1 Cơ sở lý thuyết Phương pháp ảnh điện dựa trên một kết quả như sau: “ Nếu ta thay một mặt đẳng thế nào đó trong điện trường bằng một vật dẫn có cùng hình dạng và cùng điện thế với mặt đẳng thế đang xét thì điện trường ở ngoài vật dẫn ấy sẽ không bị thay đổi.” Để có thể hiểu rõ được phát biểu trên, chúng ta khảo sát các trường hợp cụ thế. 5.2 Một số ví dụ tiêu biểu: 5.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nố i đất tương tác với điện tích điểm: Ta xét lại bài toán 4.2.1 bằng cách sử dụng phương pháp ảnh điện. Ta xét một hệ hai điện tích q và –q nằm đối xứng với nhau qua mặt phẳng z = 0, chúng cách mặt phằng này một khoảng a. Khi đó, điện thế tại mọi điểm trên mặt phẳng trung trực V = 0. Ta thấy rằng, mặt đẳng thế trên có cùng hình dạng và điện thế với mặt phẳng kim loại ta đang cần xét, do đó, theo phát biểu ở 5.1 thì ta có thể thay tấm kim loại bằng một điện tích “ảnh” –q đối xứng với q qua mặt phẳng kim loại. Khi đó lực tương tác giữa điện tích –q và q chính là lực tương tác giữa mặt phẳng kim loại và điện tích q. F= q2 16πε 0 a 2 Kết quả này tương tự với kết quả thu được ở phần 4.1 Với nhận xét ở phần 4.1, ta thấy rằng, số hạng thứ hai trong nghiệm của phương trình Laplace chính là do điện tích “ảnh” này gây ra. 5.2.2 Quả cầu kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm: Trước khi tìm “ảnh” của điện tích q, ta khảo sát về tương tác giữa quả cầu và điện tích q trước. Quả cầu là một vật đẳng thế, bên trong quả cầu điện trường bằng 0, do đó, điện thế tại mọi điểm bên trong và bên trên bề mặt quả cầu đều bàng 0. Ta xét tại tâm quả cầu, điện thế tại tâm O do các điện tích điểm phân bố trên bề mặt quả cầu ∆q′ và điện tích điểm q gây ra. Ta có kết quả sau: VO = q 4πε 0 a + ∑ ∆q′ = 0 ⇒ q′ = −qR . 4πε 0 R a Như vậy, khi ta thay quả cầu kim loại bởi một mặt đẳng thế do điện tích q và một điện tích nào − qR đó gây ra thì điện tích đó phải là điện tích q′ = . a Ta xét điện tích q đặt tại A và điện tích q’ đặt tại B như hình vẽ. Khi đó, trên mặt đẳng thế V = 0 q q′ a d giữa hai điện tích điểm, thỏa mãn: + = 0 ⇒ 1 = , tỉ sổ này không đổi. d1 d 2 d2 R Theo định lý Apollonius trong hình học, quỹ tích các điểm thỏa mãn điều kiện trên là một mặt cầu tâm O thỏa mãn: R2 . a Ta thấy rằng, mặt đẳng thế trên có cùng hình dạng và điện thế với quả cầu kim loại ta đang cần xét, do đó, theo phát biểu ở 5.1 thì ta có thể thay quả cầu kim loại bằng một điện tích “ảnh” q’ R2 cách tâm O một khoảng OB = . a OB = a2 − R2 . a Lực tương tác giữa q’ và q chính là lực tương tác giữa quả cầu và điện tích điểm q: qq′ q 2 Ra F= = 4πε 0 AB 2 4πε ( a 2 − R 2 )2 0 Khi đó, AB = 5.2.3 Quả cầu kim loại cô lập tương tác với điện tích điểm: Tương tự bài 5.2.2, ta tính điện thế tại các điểm trên mặt quả cầu, cũng bằng điện thế tại tâm O q ∑ ∆q′ = q . và bằng: VO = + 4πε 0 a 4πε 0 R 4πε 0 a Như vậy, để có thể xét bài toán một cách dễ dàng, ta xem quả cầu kim loại này là sự chồng chập của một quả cầu nối đất có điện tích q’ tính như bài 5.2 và một quả cầu có điện tích –q’ phân bố đều trên bề mặt của nó. Khi đó, ta sẽ thấy rằng, “ảnh” trong trường hợp này gồ m hai điện tích điểm: điện tích q’ được đặt như trong bài 5.2 và điện tích –q’ được đặt tại tâm O của quả cầu. Lực tương tác tác dụng lên điện tích điểm q của quả cầu cô lập là: qq′ qq′ q 2 Ra q2R F= + = + 4πε 0 AB 2 4πε 0OA2 4πε ( a 2 − R 2 ) 2 4πε 0 a 3 0 6 Một số lưu ý khi dùng phương pháp ảnh điện: 6.1 Cách lấy ảnh điện: Trong hai trường hợp đơn giản: mặt phẳng rộng vô hạn và quả cầu thì việc xác định điện tích “ảnh” tương đối dễ dàng. Thông qua các trường hợp trên, ta rút ra các bước cơ bản để xác điện tích “ảnh”: - Xác định chính xác hình dạng của mặt đẳng thế và điện thế của mặt đẳng thế đó. - Xác định điện tích hướng ứng xuất hiện trên mặt đẳng thế - bởi sau đó ta dùng điện tích này để xác định điện tích “ảnh”. - Từ việc xác định điện tích “ảnh”, ta khảo sát điện thế do các điện tích gây ra, và sử dụng điều kiện về điện thế nằm trên mặt đẳng thế cần xét để tìm ra vị trí của điện tích “ảnh”. Trong một số trường hợp, “ảnh” của điện tích điểm bao gồm nhiều điện tích điểm khác nhau, quan trọng là điều kiện về mặt đẳng thế được đảm bảo để có thể sử dụng phát biểu 5.1. 6.2 Thế năng tương tác giữa điện tích và ảnh: Lấy ví dụ đơn giản trong bài 5.2.1, nếu chúng ta cần xác định thế năng tương tác giữa mặt phẳng rộng vô hạn và điện tích điểm q là bao nhiêu thì chúng ta xác định nó như thế nào? Theo cách nghĩ thông thường, ta thấy rằng: tương tác giữa mặt phẳng rộng vô hạn và điện tích q chính là tương tác giữa điện tích “ảnh” – q và điện tích điểm q, do đó, thế năng tương tác giữa −q 2 chúng là: W ′ = . Liệu kết quả này có chính xác hay không? 8πε 0 a Ta thử tính thế năng tương tác giữa mặt phẳng và điện tích q theo cách sau: a −q 2 dz −q 2 . = 2 2 πε z πε a 16 16 0 0 ∞ a W = A∞ = ∫ Fds = ∫ ∞ Như vậy, thực tế rằng, thế năng tương tác giữa mặt phẳng và điện tích q chỉ bằng một nửa so vớ i tương tác giữa hai điện tích –q và q. Điều này có thể được giải thích như sau: do miền không gian chứa điện trường thực chất chỉ còn một nửa (do mặt phẳng kim loại chắn điện trường), cường độ điện trường tại mỗ i điểm trong hai trường hợp là như nhau, do đó, mật độ năng lượng điện trường là như nhau, nên năng lượng điệ n trường tích trữ dưới dạng thế năng trong trường hợp mặt phẳng kim loại tương tác với điện tích điểm giảm đi một nửa. Nếu ta tính tương tự cho bài 5.2.2 thì ta sẽ thấy: W′ = a a qq′ −q 2 R q 2 Rzdz −q 2 R = còn . W = A = Fds = = ∞ ∫∞ ∫ 2 2 2 4πε 0 AB 4πε 0 ( a 2 − R 2 ) 8πε 0 ( a 2 − R 2 ) ∞ 4πε 0 ( z − R ) Ta cũng thây rằng, thế năng tương tác giữa quả cầu và điện tích q chỉ bằng một nửa so với giữa điện tích q và điện tích ảnh của nó. Như vậy, tốt nhất, để xác định thế năng trong bài toán tương tác với vật dẫn cân bằng, ta sử dụng định nghĩa của thế năng và không được sử dụng thế năng tương tác giữa ảnh và điện tích điểm. 7 Một số bài tập áp dụng: Bài 1. Một mặt phẳng được uốn thành dạng góc vuông như hình vẽ. Một điện tích điểm có khố i lượng m và điện tích Q được đặt ở vị trí cách mỗ i mặt phẳng một đoạn d. Thả tự do điện tích. Hãy xác định: a) Gia tốc của điện tích khi vừa thả tự do. b) Vận tốc của điện tích điểm khi nó đi được một đoạn d 2 Bài 2. Một quả cầu kim loại nố i đất, được giữ cố định với bán kính R. Từ một khoảng cách rất xa, có một điện tích q bay đến trên đường thẳng cách tâm quả cầu đoạn 2R. Vận tốc của điện tích q lúc đó v0. Hãy xác định khoảng cách bé nhất giữa điện tích điểm và tâm O của quả cầu kim loại. Bài 3. Tính điện dung của một sợi dây dẫn hình trụ, bán kính R dài vô hạn mang điện dương, đặt song song với mặt đất và cách mặt đất một khoảng h ≥ R . Bài 4. Tính thế năng tương tác giữa một quả cầu kim loại cô lập bán kính R và điện tích điểm q đặt cách tâm O một khoảng a ≥ R . Bài 5. Xác định sự phân bố điện tích trên bề mặt quả cầu nố i đất bán kính R khi tương tác với một điện tích điểm q đặt cách tâm O của quả cầu một đoạn a. Bài 6. Xác định lực tương tác giữa một lưỡng cực điện p và một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn được nố i đất cách tâm lưỡng cực một khoảng a trong các trường hợp: a) Lưỡng cực đặt song song với mặt phẳng kim loại. b) Lưỡng cực đặt vuông góc với mặt phẳng kim lo ại. c) Lưỡng cực đặt hợp với pháp tuyến của mặt phẳng một góc α Tài liệu tham khảo [1] Lương Duyên Bình, Vật lý đại cương tập hai, NXB Giáo dục, 2008 [2] Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi, Bồ i dưỡng Học sinh giỏ i Vật lí Trung học phổ thông Điện học 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009 [3] Nguyễn Lê Thương, Năng lượng trong bài toán ảnh điện, Câu lạc bộ Vật lý tuổi trẻ, 2008 [4] Nguyễn Công Tâm, Phương trình Vật lý – toán nâng cao, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, 2002.