Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn toán lớp 9

  • Số trang: 25 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 27 |
  • Lượt tải: 0
dinhthithuyha

Đã đăng 3359 tài liệu

Mô tả:

3 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu học, các bài toán số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương trình ở lớp 9, phương trình bậc hai ở lớp 9. Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình thì các em lại thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung (các bước giải). Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình. Mà dạng toán này là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, nhưng đại đa số học sinh bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý. Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáo viên và học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham khảo ở các trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu. Trường tôi đang giảng dạy là một trường DTNT nên đa số các em đều là đồng bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất hạn chế đặc biệt là về các môn khoa học tự nhiên, nhiều em con đọc viết rất chậm khi lên lớp 6 do đó quá trình tiếp thu môn Toán của các em tương đối còn yếu, còn chậm. Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã thôi thúc tôi ý tưởng trình bày sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong quá trình dạy học môn Toán. 4 2. Mục đích nghiên cứu Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9”, ứng dụng của Toán học trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích, tìm hiểu môn Toán cũng như các môn khoa học khác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hướng dẫn học sinh cách lập phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ càng, chính xác. Giúp các em học sinh có kỹ năng thực hành giải toán tương đối thành thục khi gặp bài toán đòi hỏi bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. 4. Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp tìm lời giải bài toán, các bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán THCS ở lớp 9 5. Phạm vi nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu và áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS ở lớp 9 trên cơ sở các bài toán về “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” của Chương III - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” của Chương IV - Đại số Toán 9 tập 2, các bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong các sách tham khảo. 6. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp trực quan Phương pháp tìm tòi Phương pháp làm việc với sách 7. Đóng góp khoa học của sáng kiến Kinh nghiệm “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã được vận dụng trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9 ở trường PT DTNT Tây Nguyên và bước đầu đã giúp cho học sinh hứng thú hơn trong việc học Toán. 5 Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy môn Toán, đặc biệt là đối với học sinh lớp 8, lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu môn Toán, yêu thích môn Toán cũng như các môn khoa học khác. 8. Kết cấu của đề tài gồm Mở đầu, hai phần, kết luận, tài liệu tham khảo. Phần 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9 1.1 Cơ sở lý luận Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học. Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng: “Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20, nhà vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được phương pháp của toán học.”. Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh. Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, 6 tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có tính đặc thù cao là môn Toán. Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất. 1.2 Thực trạng của vấn đề Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình học tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và cao hơn nữa các em phải làm một số bài toán phức tạp. Đến lớp 8, lớp 9 các đề toán trong chương trình đại số về phương trình là bài toán có lời. Các em căn cứ vào lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập phương trình, hệ phương trình và giải phương trình, hệ phương trình. Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương trình, hệ phương trình. Đó là dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. Dạng toán này tương đối khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến thức về số học, đại số, hình học, vật lí và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống. Nhưng thực tế cho thấy phần đông học sinh không đáp ứng được những khả năng trên nên không giải được các dạng của bài toán lập phương trình. Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với học sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phương trình, hệ 7 phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý. Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế. Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập. Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập 8 phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận. Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn. Kết luận phần 1 Từ những lí do nêu trên, do đó giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức như trong sách giáo khoa (SGK) mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập. Giáo viên khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình dễ dàng. Và khi lập được phương trình rồi thì đòi hỏi phải giải cho chính xác, tìm ra kết quả rồi sau cùng mới kết luận bài toán. Đây là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn không những đối với học sinh mà còn đối với giáo viên. Do đó giáo viên không những cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. 9 Phần 2 GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỌC SINH LỚP 9 2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình” Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao trong công tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi. Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể. Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. Cụ thể như sau : Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau - Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn; - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) - Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù hợp. 10 Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận). Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống. 2.2 Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần đảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau : Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ. Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã cho những gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá trình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc hiểu kỹ nội dung đề bài là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, … Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều với điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán. Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09 Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho Phân tích : Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân: + số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a  b 11 Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0. Giải : Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK : 0  x �9 ) chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK : 0  y �9 ) Theo đề bài ta có : Số ban đầu cần tìm là : xy  10 x  y Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx  10 y  x Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình : �  10 y  x    10 x  y   63 � x  y  7 � �� �  10 x  y    10 y  x   99 �x  y  9 � �x  1 Giải hệ ta được : � �y  8 Vậy số ban đầu cần tìm là : 18 �x  1 Sau khi tìm ra � , giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu �y  8 của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa. Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác. Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài giải đều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán. Do đó giáo viên cần phải giúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số để lập luận và lập nên phương trình. Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương pháp biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết. Học sinh có thể sử dụng cách lập 12 bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng. Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22 Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ? Phân tích : Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung 1 công việc. 24 Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi đó nếu gọi : + x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc + y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc Ta có bảng sau : Công việc Đội A 1 Đội B 1 Cả hai đội Hệ PT 1 Năng suất 1 x 1 y 1 1 1   x y 24 �1 1 1   � �x y 24 � �1  3 . 1 �x 2 y � Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác : Nếu gọi : + x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A + y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B Thời gian x ngày (x > 0) y ngày (y > 0) 24 ngày 13 Ta có bảng sau : Công việc Năng suất Đội A 1 x Đội B 1 y Cả hai đội 1 x y Hệ PT Thời gian 1 ngày (x > 0) x 1 ngày (y > 0) y 1 24 24 ngày 1 � x y  � � 24 � �x  3 . y � 2 Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến việc chọn ẩn. Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tính toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không thừa cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện của bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết luận bài toán cho chính xác. Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện nhất. Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22 Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A. Hướng dẫn giải : Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km) thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ) 14 Ta có bảng sau : Dự định Quãng đường (km) x (x > 0) Vận tốc (km/h) - Đi chậm x 35 km/h Đi nhanh x 50 km/h Thời gian (giờ) y (y > 0) x giờ 35 x giờ 50 Hệ PT �x 2 y � �35 � �x  1  y �50 �x  350 Giải hệ ta được : � �y  8 Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm được Ví dụ 4: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24 “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?” Hướng dẫn : Gọi số con gà cần tìm là x ( x �Z  ,0  x  36 ) và số con chó cần tìm là y ( y �Z  ,0  y  36 ) �x  y  36 Theo đề ra ta có hệ phương trình : � 2 x  4 y  100 � 15 Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương trình dễ giải hơn Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau : Gọi số chân gà là x ( x �Z  ,0  x  100 ) và số chân chó là y ( y �Z  ,0  y  100 ) �x  y  100 � Theo đề ra ta có hệ phương trình : �x y   36 � �2 4 Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai lầm hơn. Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học. Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối. Không nên diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước. Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do người giáo viên. Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh. Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập khác. Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một nhóm trưởng tổ chức thảo luận 16 các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu được bài một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các em không chán nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình. Từ đó giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn. Do vậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình để từ đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. 2.3 Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình 2.3.1 Dạng bài toán về chuyển động - Phương pháp giải Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian. S = v.t quãng đường = vận tốc � thời gian t= S v thời gian = quãng đường : vận tốc v= S t vận tốc = quãng đường : thời gian Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn; Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn; Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn; Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn. Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian. - Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa + Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” : Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK) Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người. 17 Đk: x > 0 S(km) v(km/h) Bác Hiệp (nhanh) 30 x Cô Liên (chậm) 30 x3 Phương trình 30 30 1   x3 x 2 t(h) 30 x 30 x3 + Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xuôi (ngược) dòng”: Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên. vxuôi = vthực + vdòng vdòng = (vxuôi - vngược ) : 2 vngược = vthực - vdòng vthực = (vxuôi + vngược ) : 2. Ví dụ 6: Bài 52 /Trang 60 (SGK) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. M ột canô đi t ừ b ến A đ ến b ến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên l ặng, bi ết r ằng v ận tốc của nước chảy là 3 km/h. Đk: x > 3 S(km) v(km/h) t(h) x Ca nô đi khi nước đứng yên Khi xuôi dòng 30 x3 30 x3 Khi ngược dòng 30 x3 30 x3 Phương trình 30 30 2   6 x 3 x 3 3 + Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”: Ví dụ 7: Bài 43/Trang 58 (SGK). 18 Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi. Đk: x >0 S(km) v(km/h) Lúc đi (nhanh) 120 x Lúc về (chậm) 125 x5 Phương trình 120 125 1  x x 5 t(h) 120 x 125 x 5 2.3.2 Loại toán “lao động sản xuất” - Phương pháp giải Tổng số lượng công việc = số đối tượng  lượng c.việc của mỗi đối tượng Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng) Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,… Đối tượng : số xe, số người, số tàu,… Thường chọn số đối tượng làm ẩn. - Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa Ví dụ 8: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được giao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân công đi làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây so với dự định lúc đầu. Hỏi tổ học sinh có bao nhiêu bạn, biết rằng số cây phân cho mỗi bạn trồng đều bằng nhau. (ĐS: 8 h/s). 19 Đk: x Lúc đầu Lúc sau Số cây Số h/s Số cây của mỗi h/s (cây) (nguời) (cây/ người) 56 56 Phương trình x  56 x  x 1  56 x 1  56 56  1 x 1 x 2.3.3 Loại toán “công việc” - Phương pháp giải Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian. Lượng công việc = thời gian � năng suất � Năng suất = lượng công việc : thời gian Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau. Thường chọn thời gian làm ẩn. “Công việc” = 1 Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn; làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn. công việc = thời gian  năng suất Năng suất = công việc : thời gian Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai. Phương trình thường là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai - Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa Ví dụ 9: 20 Hai đội học sinh tham gia ngày “Lao động xây dựng Tổ quốc” cùng làm chung trong 4 giờ thì xong công việc đã được phân công. Nếu để mỗi đội làm một mình thì đội I làm nhanh hơn đội II là 6 giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì phải bao nhiêu thời gian mới xong công việc. (Đáp số: 6 giờ và 12 giờ) Đk : x > 4 Công việc Thời gian (giờ) Năng suất ( cv/giờ) Đội I (nhanh) 1 x  Đội II (chậm) 1 x6  Cả hai đội 1 1 x 1 x6 1 4 4 Phương trình   1 1 1   x x6 4 2.3.4 Loại toán “liên quan đến hình học” - Phương pháp giải Nên vẽ hình (ngoài nháp cũng được). Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình. Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để vận dụng vào bài toán. Đối với hình chữ nhật: diện tích = dài � rộng chu vi = ( dài + rộng). 2 ; � Dài = chu vi - rộng 2 ; Rộng = chu vi 2 - dài Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng < chu vi . 4 21 Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là: chu vi chu vi < dài < : 4 2 Đối với tam giác vuông: Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền. Diện tích tam giác = �� ay �cao 2 - Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa Ví dụ 10: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đó. Giải Gọi độ dài của cạnh góc vuông nhỏ là x (m),( 0 < x < 10 ); Độ dài của cạnh góc vuông lớn là x + 2 (m) Áp dụng định lý Pitago, ta có phương trình: ( x + 2)2 + x2 = 102 Ví dụ 11 : Bài 48/Trang 59 (SGK) Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng không nắp có dung tích 1500 dm 3. Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng. Giải 5 dm Gọi chiều rộng miếng tôn là x (dm), (x > 10) 5 dm 5 dm Chiều dài miếng tôn là 2x (dm) x Chiều rộng của thùng là x – 10 (dm) Chiều dài của thùng là 2x – 10 (dm) 5 dm Vì thể tích của thùng = dài � rộng � cao nên ta có phương trình: 1500 = (2x – 10).(x – 10). 5 (ĐS: rộng= 20dm và dài =40 cm). 2.3.5 Loại toán “liên quan vật lí, hóa học” - Phương pháp giải 2x 22 Cần nắm vững các công thức vật lý, hóa học cũng như các công thức suy ra để vận dụng vào bài toán. D= M V � D : la�khoi� l� � � ng rieng � (kg/m3 ) � � � � M : la� khoi� l� � � ng (kg) � � � � V : la� the� t� ch (m3 ) : � V= M D và M = V. D Ví dụ về dung dịch: Nồng độ dung dịch muối là 12 % thì ta nên hiểu: Trong 100 gam dung dịch có 12 gam muối. mdd  mct  mH 2O C%  mct .100% mdd Nếu các đơn vị đo của cùng một đại lượng chưa cùng đơn vị thì phải đổi về cùng một đơn vị. - Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa Ví dụ 12 : Bài 50/Trang 59 (SGK) Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858 g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm 3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại. (ĐS: 8,8 g/cm3 và 7,8 g/cm3). Đk: x > Khối lượng (M) (g) Miếng thứ nhất 880 Miếng thứ hai 858 Phương trình 858 880   10 x 1 x Thể tích (V) Khối lượng riêng (D) (cm3) (g/cm3) 880 x x 858 x 1 x 1
- Xem thêm -