S¸ng kiÕn kinh nghiÖm.
D¹y häc
Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
a. ®Æt vÊn ®Ò
Nh chóng ta ®· biÕt, ngay tõ nh÷ng ngµy ®Çu míi c¾p s¸ch ®Õn trêng. Häc
sinh líp 1 ®· ®îc tËp gi¶i ph¬ng tr×nh. §ã lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh rÊt ®¬n gi¶n díi d¹ng
®iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng. §èi víi c¸c häc sinh ë líp cao h¬n th× tÝnh chÊt phøc
t¹p ®Ò bµi to¸n díi d¹ng ph¬ng tr×nh còng dÇn ®îc n©ng lªn. §ã lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh
viÕt s½n, häc sinh chØ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh, t×m ra Èn sè.
Tuy nhiªn ®èi víi häc sinh líp 8, líp 9 c¸c ®Ò to¸n vÒ ph¬ng tr×nh cã thªm
d¹ng bµi to¸n cã lêi, häc sinh c¨n cø vµo ®Ò bµi to¸n ®Ó thµnh lËp ph¬ng tr×nh. KÕt
qu¶ cña bµi to¸n kh«ng chØ phô thuéc vµo kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh vµ cßn phô
thuéc nhiÒu vµo viÖc thµnh lËp ph¬ng tr×nh.
§Ò bµi to¸n lµ mét ®o¹n v¨n m« t¶ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng ®· biÕt vµ
c¸c ®¹i lîng cÇn t×m. Yªu cÇu häc sinh ph¶i cã kiÕn thøc ph©n tÝch, kh¸i qu¸t,
tæng hîp liªn kÕt c¸c ®¹i lîng víi nhau, chuyÓn ®æi tõ ng«n ng÷ th«ng thêng sang
ng«n ng÷ to¸n häc ®Ó thµnh lËp ph¬ng tr×nh ®Ó gi¶i.
Néi dung cña bµi to¸n hÇu hÕt g¾n víi thùc tiÔn ®êi sèng con ngêi, nªn
trong qu¸ tr×nh gi¶i lo¹i to¸n nµy häc sinh thêng kh«ng lu t©m ®Õn yÕu tè thùc tiÔn
dÉn ®Õn ®¸p sè v« lý.
ViÖc gi¶i c¸c bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ®èi víi häc sinh ë bËc
THCS lµ mét viÖc lµm míi mÎ vµ kh¸ khã kh¨n, dÔ g©y t×nh tr¹ng häc sinh ch¸n
n¶n hoÆc sî h·i khi gÆp d¹ng to¸n nµy.
ChÝnh v× vËy nhiÖm vô cña ngêi thÇy gi¸o kh«ng chØ ®¬n thuÇn truyÒn thô
cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n theo tr×nh tù s¸ch gi¸o khoa, mµ vÊn ®Ò ®Æt ra
lµ ngêi thÇy ph¶i d¹y cho häc sinh ph¬ng ph¸p gi¶i lo¹i to¸n nµy ph¶i dùa trªn
nh÷ng qui t¾c chung lµ: Yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n, qui t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng
c¸ch lËp ph¬ng tr×nh , ph©n lo¹i c¸c lo¹i to¸n dùa vµo qu¸ tr×nh biÕn thiªn cña c¸c
®¹i lîng lµm s¸ng tá mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng dÉn ®Õn lËp ®îc ph¬ng tr×nh dÔ
dµng. §©y lµ mét bíc ®Æc biÖt quan träng vµ khã kh¨n ®èi víi häc sinh.
1
Qua tham kh¶o, häc hái b»ng nh÷ng kinh nghiÖm rót ra sau nh÷ng n¨m
gi¶ng d¹y ë líp 8, líp 9 trùc tiÕp thö nghiÖm, t«i viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm:
“D¹y gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh ”.
b. néi dung
I. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu vµ yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n.
1. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu.
Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh ) lµ mét träng t©m
cña §¹i sè 8, 9. Nã ®ßi hái kh¶ n¨ng ph©n tÝch vµ trõu tîng ho¸ c¸c sù kiÖn cho
trong bµi to¸n thµnh c¸c kiÕn thøc vµ ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh ). Nã còng ®ßi
hái kÜ n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh ( hÖ ph¬ng tr×nh ) vµ lùa chän nghiÖm thÝch hîp. V×
vËy ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh gi¶i lo¹i to¸n nµy lµ dùa vµo qui t¾c chung:
Tãm t¾t c¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh.
* Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh ).
- Chän Èn sè vµ ®Æt ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho Èn sè.
- BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt.
- LËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh ) biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng.
* Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh ).
* Bíc 3: Tr¶ lêi:
KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm, nghiÖm nµo tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn,
nghiÖm nµo kh«ng, råi kÕt luËn.
MÆc dï ®· cã qui t¾c trªn xong ngêi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh híng dÉn gi¶i
lo¹i to¸n nµy cho häc sinh vËn dông theo s¸t yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n nãi chung.
2. Yªu cÇu vÒ gi¶ mét bµi to¸n.
2.1. Yªu cÇu 1: Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt mÆc dï nhá.
Muèn cho häc sinh kh«ng m¾c sai ph¹m nµy gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc
sinh hiÓu ®Ò to¸n vµ trong qu¸ tr×nh gi¶i kh«ng cã sai sãt vÒ kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p
suy luËn, kü n¨ng tÝnh to¸n, ký hiÖu, ®iÒu kiÖn cña Èn, ph¶i rÌn cho häc sinh thãi
quen ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn vµ xem xÐt, ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi ®iÒu kiÖn cña Èn cã
hîp lý cha.
2.1. Yªu cÇu 2: Lêi gi¶i bµi to¸n lËp luËn ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c.
§ã lµ trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn tõng bíc cã l«gic chÆt chÏ víi nhau, cã c¬
së lý luËn chÆt chÏ, ®Æc biÖt ph¶i chó ý ®Õn viÖc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªu trong gi¶
thiÕt. X¸c ®Þnh Èn khÐo lÐo, mäi quan hÖ gi÷a Èn vµ d÷ kiÖn ®· cho lµm næi bËt ®îc ý ph¶i t×m. Nhê mèi t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n thiÕt lËp ®îc
2
ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh ) tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña Èn sè. Muèn vËy gi¸o viªn
cÇn lµm cho häc sinh hiÓu ®îc ®©u lµ Èn? ®©u lµ d÷ kiÖn? ®©u lµ ®iÒu kiÖn? Cã thÓ
tho¶ m·n ®îc ®iÒu kiÖn hay kh«ng? ®iÒu kiÖn cã ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh ®îc Èn kh«ng? Tõ
®ã mµ x¸c ®Þnh híng ®i, x©y dùng ®îc c¸ch gi¶i.
VÝ dô 1:
Hai c¹nh cña mét khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm nhau 4m. TÝnh chu vi cña
khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diÖn tÝch cña nã b»ng 1200m2.
Híng dÉn:
ë ®©y bµi to¸n hái chu vi cña h×nh ch÷ nhËt. Häc sinh thêng cã xu thÕ bµi
to¸n hái g× th× gäi ®ã lµ Èn, nÕu gäi chu vi cña h×nh ch÷ nhËt lµ Èn th× bµi to¸n ®i
vµo bÕ t¾c khã cã lêi gi¶i. Gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh ph¸t triÓn s©u trong
kh¶ n¨ng suy diÔn ®Ó tõ ®ã ®Æt vÊn ®Ò: Muèn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn biÕt
g×? => (c¹nh h×nh ch÷ nhËt).
Tõ ®ã: Gäi chiÒu réng khu ®Êt h×nh ch÷ nhËt lµ x (®¬n vÞ mÐt, ®iÒu kiÖn x > 0)
Tõ ®ã cã ph¬ng tr×nh
x ( x + 4 ) = 120 <=> x2 + 4x – 1200 = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã: x1 = 30; x2 = -34
Gi¸o viªn gióp häc sinh tõ ®iÒu kiÖn ®Ó lo¹i nghiÖm x2 = -34
ChØ lÊy x1 = 30 => chiÒu dµi lµ 30 + 4 = 34
Chu vi lµ: 2(30 + 34) = 128(m)
Lu ý: ë bµi to¸n nµy nghiÖm x2 = -34 cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng chiÒu dµi h×nh ch÷
nhËt, häc sinh dÔ m¾c sai lÇm coi ®ã lµ kÕt qu¶ (nghiÖm) cña bµi to¸n.
2.3. Yªu cÇu 3: Lêi gi¶i ph¶i ®Çy ®ñ, mang tÝnh toµn diÖn.
Híng dÉn häc sinh kh«ng ®îc bá sãt kh¶ n¨ng chi tiÕt nµo, kh«ng thõa nhng còng kh«ng thiÕu, rÌn cho häc sinh c¸ch kiÓm tra l¹i lêi gi¶i ®· ®Çy ®ñ cha?
KÕt qu¶ cña bµi to¸n ®· lµ ®¹i diÖn phï hîp víi mäi c¸i chung. NÕu thay ®æi ®iÒu
kiÖn bµi to¸n r¬i vµo trêng hîp ®Æt biÖt th× kÕt qu¶ vÉn lu«n ®óng.
VÝ dô 2:
Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng
3
4
c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao t¨ng thªm
3dm vµ c¹nh ®¸y gi¶m ®i 2dm th× diÖn tÝch cña nã t¨ng thªm 12dm 2. TÝnh chiÒu
cao vµ c¹nh ®¸y?
Híng dÉn:
Lu ý cho häc sinh dï cã thay ®æi chiÒu cao, c¹nh ®¸y cña tam gi¸c th× diÖn
tÝch (S) cña nã lu«n ®îc tÝnh theo c«ng thøc
3
1
S x
2
(c¹nh ®¸y x chiÒu cao)
Tõ ®ã gäi chiÒu dµi c¹nh ®¸y(lóc ®Çu) lµ x(dm) x > 0.
Th× chiÒu cao (lóc ®Çu) sÏ lµ
=> DiÖn tÝch lóc ®Çu lµ
DiÖn tÝch sau lµ
3
4
x
1 3
x. x
2 4
1
x 2. 3 x 3
2
4
Ta cã ph¬ng tr×nh
1
x 2. 3 x 3 1 x. 3 12
2
4
2 4x
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc x= 20 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
=> ChiÒu cao lóc ®Çu lµ
3
.20 15dm
4
2.4. Yªu cÇu 4: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i ®¬n gi¶n
Bµi to¸n ph¶i ®¶m b¶o ®îc 3 yªu cÇu trªn kh«ng sai sãt, cã lËp luËn, mang
tÝnh toµn ®iÖn vµ phï hîp kiÕn thøc, tr×nh ®é cña häc sinh, ®¹i ®a sè häc sinh hiÓu
vµ lµm ®îc.
VÝ dô 3: (Bµi to¸n cæ)
“Võa gµ võa chã
Bã l¹i cho trßn
36 con
100 ch©n ch½n
Hái cã mÊy gµ, mÊy chã?”
Víi bµi toµn nµy nÕu gi¶i nh sau:
Gäi sè gµ lµ x (x > 0; x N ), th× sè chã sÏ lµ 36 – x
Sè ch©n gµ lµ 2x; sè ch©n chã lµ 4(36 - x)
Ta cã ph¬ng tr×nh 2x + 4(36 – x) = 100
Gi¶i ra ta cã: x = 22=> Sè gµ lµ 22 con
Sè chã lµ 36 – 22 = 14con
Th× bµi to¸n sÏ ng¾n gän, dÔ hiÓu.
Nhng cã häc sinh gi¶i theo c¸ch dïng 2 Èn (x, y), hoÆc gäi lµ ch©n gµ lµ x th×
®· v« t×nh ®a thµnh bµi to¸n khã hiÓu kh«ng hîp vµo tr×nh ®é häc sinh.
4
2.5. Yªu cÇu 5: Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc.
§ã lµ lu ý ®Õn mèi quan hÖ gi÷a c¸c b¬c gi¶i trong bµi to¸n ph¶i l«gic, chÆt
chÏ víi nhau. C¸c bíc sau ®îc suy ra tõ c¸c bíc tríc nã ®· ®îc kiÓm nghiÖm,
chøng minh lµ ®óng hoÆc nh÷ng ®iÒu ®· biÕt tõ tríc.
VÝ dô 4:
ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng = 9,6m vµ chia c¹nh huyÒn thµnh hai
®o¹n h¬n kÐm nhau 5,6m. TÝnh ®é dµi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c?
Ta cã h×nh vÏ
A
B
(nhá)
H
(lín)
C
Theo h×nh vÏ bµi to¸n yªu cÇu t×m ®é dµi BC khi biÕt AH.
Tríc khi gi¶i cÇn kiÓm tra kiÕn thøc häc sinh ®Ó cñng cè c«ng thøc
AH2 = BH . CH
§Ó tõ ®ã: Gäi ®é dµi BH lµ x (x>0)(m)
=> CH cã ®é dµi lµ x + 5,6
Ta cã ph¬ng tr×nh x ( x + 5,6) = 9,62
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta cã x = 7,2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn => ®é dµi c¹nh huyÒn lµ
(7,2 + 5,6) + 7,2 = 20(m)
2.6. Yªu cÇu 6: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i râ rµng, ®Çy ®ñ, cã thÓ nªn thö l¹i.
Lu ý ®Õn viÖc gi¶i c¸c bíc lËp luËn, tiÕn hµnh kh«ng chång chÐo, phñ ®Þnh
lÉn nhau. KÕt qu¶ ph¶i ®óng nªn rÌn cho häc sinh thãi quen thö l¹i kÕt qu¶ vµ t×m
hÕt c¸c nghiÖm cña bµi to¸n, tr¸nh bá sãt nhÊt lµ ®èi víi ph¬ng tr×nh bËc 2, hÖ ph¬ng tr×nh.
II. C¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ
ph¬ng tr×nh.
1. Ph©n giai ®o¹n:
§Ó ®¶m b¶o 6 yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n vµ 3 bíc trong qui t¾c gi¶i nh ®·
nªu ë phÇn I th× gi¶i bµi to¸n lo¹i nµy cã thÓ chia thµnh 7 giai ®o¹n cô thÓ nh sau:
1.1. Giai ®o¹n 1:
§äc kÜ ®Ò bµi, ph©n tÝch viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n.
5
Gióp häc sinh hiÓu bµi to¸n cho nh÷ng d÷ kiÖn g×? CÇn t×m g×? Cã thÓ m«
t¶ b»ng h×nh vÏ ®îc kh«ng?
1.2. Giai ®o¹n 2:
Nªu râ c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Ó lËp ph¬ng tr×nh. Tøc lµ chän Èn nh thÕ nµo
cho phï hîp, ®iÒu kiÖn cña Èn thÕ nµo cho tho¶ m·n.
1.3. Giai ®o¹n 3: LËp ph¬ng tr×nh.
Dùa vµo c¸c quan hÖ gi÷a Èn sè vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt, dùa vµo c¸c c«ng
thøc, tÝnh chÊt ®Ó x©y dùng ph¬ng tr×nh, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ph¬ng tr×nh ®ã vÒ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®· biÕt.
1.4. Giai ®o¹n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: VËn dông c¸c kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh ®· biÕt
®Ó t×m nghiÖm ph¬ng tr×nh.
1.5. Giai ®o¹n 5:
Nghiªn cøu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh lêi gi¶i cña bµi to¸n. Tøc
lµ xÐt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh víi ®iÒu kiÖn ®Æt ra cña bµi to¸n víi thùc tiÔn xem
cã phï hîp kh«ng?
1.6. Giai ®o¹n 6: Tr¶ lêi bµi to¸n, kÕt luËn nghiÖm cña bµi to¸n cã mÊy nghiÖm
sau khi ®· ®îc thö l¹i.
1.7. Giai ®o¹n 7:
Ph©n tÝch biÖn luËn c¸ch gi¶i nµy thêng më réng víi häc sinh kh¸, giái sau
khi ®· gi¶i xong cã thÓ hái ý kiÕn häc sinh biÕn ®æi bµi to¸n ®· cho thµnh bµi to¸n
kh¸c nh:
- Gi÷ nguyªn Èn sè thay ®æi gi÷ kiÖn, gi¶ thiÕt.
- Gi÷ nguyªn c¸c d÷ kiÖn thay ®æi Èn vµ gi¶ thiÕt.
- Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch kh¸c, t×m c¸ch gi¶i hay nhÊt.
2. VÝ dô minh ho¹ cho c¸c giai ®o¹n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh.
VÝ dô 5:
Nhµ B¸c An thu ho¹ch ®îc 480kg cµ chua vµ khoai t©y. Khèi lîng khoai t©y
gÊp 3 lÇn khèi lîng cµ chua. TÝnh khèi lîng mçi lo¹i?
Híng dÉn gi¶i:
+ Giai ®o¹n 1:
Gi¶ thiÕt: Khoai + cµ chua = 480kg
Khoai = 3lÇn cµ chua
KÕt luËn: T×m kg khoai? Kg cµ chua?
+ Giai ®o¹n 2:
Thêng lµ: §iÒu kiÖn cha biÕt ®îc gäi lµ Èn?
6
ë bµi nµy c¶ sè lîng cµ chua vµ khoai t©y ®Òu cha biÕt nªn cã thÓ gäi Èn lµ
1 trong 2 lo¹i (hoÆc c¶ 2 lo¹i).
Cô thÓ:
Gäi khèi lîng khoai lµ x(kg) x>0
Th× khèi lîng cµ chua lµ 480 – x(kg)
(HoÆc khèi lîng khoai lµ x, khèi lîng cµ chua lµ y(kg) x, y > 0 => x+ y = 480)
+ Giai ®o¹n 3:
LËp ph¬ng tr×nh.
Do mèi quan hÖ Khoai = 3 x cµ chua
Ta cã ph¬ng tr×nh
x = 3(480 – x) (*)
HoÆc
x 3y
x y 480
(**)
+ Giai ®o¹n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh.
Gi¶i (*) ta ®îc x = 360(kg)
HoÆc gi¶i (**) ta ®îc x = 360(kg); y = 120(kg)
+ Giai ®o¹n 5: §èi chiÕu nghiÖm ®· gi¶i víi ®iÒu kiÖn ®Ò ra xem møc ®é tho¶
m·n hay kh«ng tho¶ m·n.
Tõ ®ã => Khèi lîng cµ chua lµ 480 – 360 = 120(kg).
Cho häc sinh thö l¹i => ®óng.
+ Giai ®o¹n 6: Tr¶ lêi
VËy khèi lîng khoai ®· thu lµ 306kg
Khèi lîng cµ chua ®· thu lµ 120kg.
+ Giai ®o¹n 7:
- Tõ viÖc chän Èn kh¸c nhau dÉn ®Õn lËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh
cho ta nhiÒu c¸ch gi¶i, nhng lu ý cho häc sinh tèt nhÊt lµ ®a vÒ lËp ph¬ng tr×nh
®¬n gi¶n h¬n, dÔ gi¶i h¬n.
- Cã thÓ tõ bµi to¸n nµy x©y dùng bµi to¸n míi. Ch¼ng h¹n :
“Mét ph©n sè cã tæng cña tö vµ mÉu lµ 480. BiÕt r»ng mÉu sè gÊp 3 lÇn tö sè. T×m
ph©n sè ®ã”.
III. Ph©n lo¹i d¹ng to¸n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng
tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh).
C¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh cã thÓ ph©n l«i thµnh mét sè
d¹ng chÝnh nh sau:
1. D¹ng to¸n chuyÓn ®éng.
7
VÝ dô 6:
Mét sµ lan xu«i dßng tõ A ®Õn B mÊt 2,5giê vµ ngîc dßng tõ B vÒ A mÊt 4
giê. BiÕt vËn tèc dßng níc lµ 3km/h, tÝnh kho¶ng c¸ch AB.
Híng dÉn.
- BiÕt vËn dông linh ho¹t c«ng thøc: Qu·ng ®êng = VËn tèc x Thêi gian.
- Bµi to¸n trªn lµ bµi to¸n chuyÓn ®éng trong dßng ch¶y.
Ta cã c«ng thøc:
VËn tèc xu«i dßng = VËn tèc riªng + VËn tèc dßng níc.
VËn tèc ngîc dßng = VËn tèc riªng – VËn tèc dßng níc.
(VËn tèc riªng > VËn tèc dßng níc).
- NÕu chän Èn gi¸n tiÕp, tøc lµ: Gäi vËn tèc riªng cña sµ lan lµ x(km/h)
(x>3) ta dÉn ®Õn ph¬ng tr×nh.
2,5(x + 3) = 4(x – 3)
(1)
NÕu chän Èn trùc tiÕp, tøc lµ: Gäi kho¶ng c¸ch AB lµ x(km) dÉn ®Õn ph¬ng tr×nh.
x
x
3 3
2,5
4
(2)
Râ rµng ph¬ng tr×nh (1) ®¬n gi¶n h¬n ph¬ng tr×nh (2)
Lu ý: Trong kh©u chän Èn cã thÓ ®Æt mét ®¹i lîng trung gian lµm Èn cho ta
ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n h¬n.
2. D¹ng to¸n liªn quan ®Õn sè häc.
VÝ dô 7: T×m hai sè biÕt tæng lµ 17 vµ tæng c¸c b×nh ph¬ng cña chóng lµ 157
Híng dÉn gi¶i:
C¸ch
1
2
Qu¸ tr×nh
Chi b×nh ph¬ng
B×nh ph¬ng
Chia b×nh ph¬ng
B×nh ph¬ng
Sè thø nhÊt
Sè thø hai
P.t x©y dùng
x ( x 0)
17 – x
(17-x)2
y( y 0)
y2
x2 + (17-x) = 157
x2
x ( x 0)
x2
x y 17
2 2
x y 157
Chó ý: Víi d¹ng to¸n liªn quan ®Õn sè häc cÇn chó ý vÒ cÊu t¹o sè; ®Æc
biÖt chó ý ®iÒu kiÖn cña Èn.
3. D¹ng to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng (tØ sè phÇn tr¨m).
8
VÝ dô 8:
Trong th¸ng ®Çu 2 tæ s¶n xuÊt ®îc 400 chi tiÕt m¸y. Trong th¸ng sau tæ mét
vît møc 10%, tæ hai vît møc 15% nªn c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®îc 448 chi tiÕt m¸y.
TÝnh xem trong th¸ng ®Çu mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y.
Híng dÉn gi¶i:
- BiÕt n¨ng suÊt chung cña hai tæ trong th¸ng ®Çu lµ 400 chi tiÕt. NÕu biÕt ®îc
1 trong 2 tæ sÏ tÝnh ®îc tæ kia(chän Èn).
- Gi¶ sö ®· biÕt n¨ng suÊt cña th¸ng ®Çu sÏ tÝnh ®îc n¨ng suÊt cña th¸ng sau.
- TÝnh n¨ng suÊt cña tõng tæ th¸ng sau tõ ®ã lËp ®îc ph¬ng tr×nh.
Tõ ®ã häc sinh cã thÓ gi¶i theo 2 c¸ch sau:
C¸ch 1:
Gäi sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt trong th¸ng ®Çu lµ x (x nguyªn, 00
Trong 1 ngµy ®éi 2 lµm ®îc lµ
3 1
.
2 x
Trong 1 ngµy ®éi 1 lµm ®îc
Trong 1 ngµy c¶ 2 ®éi lµm ®îc
Ta cã ph¬ng tr×nh:
1
x
c«ng viÖc
c«ng viÖc.
1
24
c«ng viÖc.
1
1
1
x 2 x 24
Gi¶i ra ta ®îc x = 60
=> Mçi ngµy ®éi 1 lµm ®îc
3
1
2.60 40
c«ng viÖc.
VËy ®Ó söa xong con m¬ng ®éi 1 lµm mét m×nh trong 40 ngµy.
C¸ch 2:
Gäi sè ngµy ®éi 1 lµm mét m×nh ®Ó söa xong con m¬ng lµ x(ngµy) x>0
Sè ngµy ®éi 2 lµm mét m×nh ®Ó s÷a xong con m¬ng lµ y (ngµy) y>0
Ta lËp ®îc hÖ ph¬ng tr×nh.
1 1 1
x y 24
1 3
x 2 y
Gi¶i hÖ t×m ®îc x= 40, y= 60
Tãm l¹i:- ë d¹ng to¸n nµy ta thêng coi toµn bé c«ng viÖc lµ mét ®¬n vÞ c«ng viÖc
vµ biÓu thÞ bëi sè 1.
- N¾m ch¾c mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng nhê hÖ thøc:
C«ng viÖc = N¨ng suÊt x Thêi gian.
5. D¹ng to¸n vÒ tû lÖ chia phÇn (Thªm, bít, t¨ng, gi¶m tû sè cña chóng)
VÝ dô 10:
Cã 2 kho dù tr÷ thãc. Kho thø nhÊt nhiÒu h¬n kho thø hai 100 tÊn. NÕu
chuyÓn tõ kho thø nhÊt sang kho thø hai 60 tÊn th× lóc ®ã sè thãc ë kho thø nhÊt
b»ng
12
13
sè thãc ë kho thø hai. TÝnh sè thãc ë mçi kho lóc ®Çu?
Híng dÉn gi¶i
C¸ch
1
Qu¸ tr×nh
Cha chuyÓn
Kho I
x + 100
Kho II
x(x>0)
P.t x©y dùng
10
2
§· chuyÓn
x+100-60
x+60
Cha chuyÓn
x (x>0)
y(y>0)
§· chuyÓn
x-60
y+60
12
x 100 60 ( x 60)
13
x y 100
12
x
60
( y 60)
13
6. D¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn h×nh häc.
VÝ dô 1 vµ vÝ dô 4.
Tãm l¹i:
- Trong d¹ng to¸n nµy häc sinh ph¶i n¾m ch¾c vµ vËn dông linh ho¹t c¸c
kiÕn thøc h×nh häc.
- Chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn cña Èn.
- §«i khi cÇn vÏ h×nh minh ho¹.
7. D¹ng to¸n cã néi dung vËt lÝ – Ho¸ häc.
VÝ dô 11:
Dïng hai lîng nhiÖt, mçi lîng b»ng 168KJ ®Ó ®un nãng 2 khèi níc h¬n
kÐm nhau 1kg. Th× khèi níc nhá nãng h¬n khèi níc lín 20C. TÝnh xem khèi níc
nhá ®îc ®un nãng thªm mÊy ®é?
Híng dÉn gi¶i:
- Häc sinh nhí ®îc kiÕn thøc vËt lý:
+ C«ng thøc tÝnh nhiÖt lîng
Q = c. m(t1 – t2)
+ NhiÖt dung riªng cña níc
c = 4,2 KJ/kg ®é
Gi¶i:
Gi¶ sö khèi níc nhá ®îc ®un nãng thªm x ®é (x>0)
=> Khèi lîng cña khèi níc nhá lµ
m
Q
c(t t )
2 1
168
( kg )
4,2 x
=> Khèi lîng cña khèi níc lín lµ:
168
4,2( x 2)
Ta cã ph¬ng tr×nh:
168
168
1
4,2 x
4,2( x 2)
x 2 2 x 80 0
x1 10, x 2 8(lo¹i )
11
VËy khèi níc nhá ®un nãng h¬n 10oC
Tãm l¹i:
ë d¹ng to¸n nµy ®ßi hái häc sinh ph¶i biÕt liªn hÖ phï hîp víi kiÕn thøc vËt lÝ,
ho¸ häc, chän Èn thÝch hîp, nhê mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng lËp ph¬ng tr×nh.
8. D¹ng to¸n cã chøa tham sè:
VÝ dô 12:
Mét du kh¸ch ®i tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø 15 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i
cïng chiÒu vît qua, cø 10 phót l¹i gÆp 1 xe ch¹y ngîc l¹i. BiÕt r»ng c¸c xa buýt cã
cïng vËn tèc khëi hµnh sau nh÷ng kho¶ng thêi gian b»ng nhau vµ kh«ng dõng l¹i
trªn ®êng. Hái cø sau bao nhiªu phót th× c¸c xe buýt l¹i lÇn lît rêi bÕn.
Híng dÉn gi¶i.
Gäi thêi gian ph¶i t×m lµ x (phót), x>0
Vµ thêi gian du kh¸ch ®i tõ A ®Õn B lµ a(phót) (a>0)
Trong a phót ®i tõ A ®Õn B ngêi ®ã gÆp
Trong a phót ngêi ®ã gÆp
a
15
a
10
xe ngîc chiÒu ch¹y l¹i.
xe cïng chiÒu vît qua.
Ta cã ph¬ng tr×nh:
2a a
a
2 1
1
x 12
x 15 10
x 15 10
(tho¶ m·n ®iÒu kiÖn).
VËy cø 12 phót c¸c xe buýt l¹i lÇn lît rêi bÕn.
Trªn ®©y lµ 8 d¹ng to¸n thêng gÆp vÒ to¸n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ë §¹i 8 vµ §¹i 9. Mçi d¹ng to¸n cã nh÷ng ®Æc ®iÓm kh¸c nhau, tuy
nhiªn ë mçi d¹ng t«i chØ nªu mét vÝ dô ®iÓn h×nh cã tÝnh chÊt giíi thiÖu viÖc biÓu
diÔn sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng ®Ó lËp ph¬ng tr×nh.
c. KÕt luËn.
Khi d¹y gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh(hÖ ph¬ng tr×nh), gi¸o viªn cÇn
chó ý ®i s©u ë c¸c bíc lËp ph¬ng tr×nh, cÇn cho häc sinh luyÖn tËp c¸c ph¬ng ph¸p
biÓu diÔn sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng bëi mét biÓu thøc cña Èn, trong ®ã Èn sè ®¹i
diÖn cho mét ®¹i lîng nµo ®ã cha biÕt, bëi v× ®©y lµ yÕu tè quan träng nhÊt ®Ó häc
sinh n¾m v÷ng c¸ch gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh.
12
§©y lµ nh÷ng kinh nghiÖm mµ t«i ®· rót ra ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, t«i ®· còng
trao ®æi víi c¸c ®ång chÝ trong tæ to¸n cña trêng, c¸c ®ång chÝ trong tæ còng rÊt ñng
hé vµ cïng t«i ¸p dông cho häc sinh hai khèi 8 vµ 9 cña trêng ë phÇn chñ ®Ò tù chän.
§ã lµ suy nghÜ nhá bÐ cña t«i khi d¹y gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, ch¾c
ch¾n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T«i rÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý, chØ dÉn cña
c¸c cÊp l·nh ®¹o vµ ®ång nghiÖp. Qua ®ã gióp t«i hoµn thiÖn h¬n trong qu¸ tr×nh
gi¶ng d¹y vµ bæ sung tiÕp ë nh÷ng n¨m sau.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n.
Trùc Ninh, ngµy ….th¸ng 12 n¨m 200…
Ngêi viÕt
§µo Anh Quang
13
- Xem thêm -
.DOC 
13 
98 
103 
