Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học toán ở phổ thông

  • Số trang: 146 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 28 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Tú GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Tú GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Sau, tôi xin gửi lời cảm ơn đến: Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh, Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung vì những bài giảng về didactic Toán sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa. Tôi xin chân thành cảm ơn Phó Giáo sư – Tiến sĩ Annie Bessot, Tiến sĩ Alain Birebent và Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh về những lời góp ý lẫn ý tưởng cho những buổi đầu của luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến: Ban Giám hiệu, các thầy cô và các em học sinh trường THPT Ngô Gia Tự – tỉnh Khánh Hòa, trường THPT Phan Bội Châu – tỉnh Bình Thuận, trường THCS, THPT Thuận Mỹ – tỉnh Long An, trường THPT Nguyễn Hữu Huân – Tp.HCM đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Các bạn và các anh chị cùng khóa học cao học 21 như Đại số, Giải tích, Hình học, Lý luận và Phương pháp dạy học Toán, Vật lí nguyên tử – hạt nhân và năng lượng cao vì những sẻ chia trong học tập. Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học. Nguyễn Hồng Tú MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu ..................................................1 2. Khung lý thuyết tham chiếu .............................................................................4 3. Mục đích nghiên cứu .........................................................................................5 4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn .......................................5 Chương 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG ..................................................................7 1.1 Số lớn nhất, số bé nhất trong nội dung học tập các tập số ..........................8 1.1.1 Phân tích chương trình ................................................................................8 1.1.2 Phân tích các sách giáo khoa ....................................................................11 1.2 GTLN, GTNN của biểu thức và của hàm số ...............................................20 1.2.1 GTLN, GTNN của biểu thức ở lớp 7 ........................................................20 1.2.1.1 GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối ..........................20 1.2.1.2 GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn thức bậc hai .........................21 1.2.2 GTLN, GTNN của biểu thức và của hàm số ở lớp 9 ................................23 1.2.3 GTLN, GTNN trong các SGK Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12 ...............28 1.2.3.1 Chương trình nâng cao .......................................................................28 1.2.3.1.1 GTLN, GTNN trong sách Đại số 10 nâng cao ............................28 1.2.3.1.2 GTLN, GTNN trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao .......44 1.2.3.1.3 GTLN, GTNN trong sách Giải tích 12 nâng cao ........................50 1.2.3.2 Chương trình chuẩn............................................................................62 1.3 Bàn về các thuật ngữ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số ...............63 1.4 Kết luận ..........................................................................................................70 Chương 2 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM CỦA ĐỐI TƯỢNG BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG NGHIÊM NGẶT ...........................................................73 2.1 Bất đẳng thức không nghiêm ngặt trong các SGK Toán phổ thông ........74 2.1.1 Sách Toán 6 ..............................................................................................74 2.1.2 Sách Toán 7 ..............................................................................................74 2.1.3 Sách Toán 8 ..............................................................................................76 2.1.4 Sách Toán 9 ..............................................................................................77 2.1.5 Các sách Đại số lớp 10 .............................................................................79 2.1.6 Các sách Đại số, Giải tích lớp 11 và 12 ....................................................82 2.2 Kết luận ..........................................................................................................84 Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM.......................................................86 3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm ...........................................................86 3.2 Giới thiệu nội dung thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm ......................87 3.2.1 Bài tập 1 ....................................................................................................87 3.2.2 Bài tập 2 ....................................................................................................90 3.2.3 Bài tập 3 ....................................................................................................94 3.2.4 Bài tập 4 ....................................................................................................98 3.3 Phân tích hậu nghiệm..................................................................................102 3.3.1 Bài tập 1 ..................................................................................................102 3.3.2 Bài tập 2 ..................................................................................................106 3.3.3 Bài tập 3 ..................................................................................................107 3.3.4 Bài tập 4 ..................................................................................................108 KẾT LUẬN ............................................................................................................110 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC Phụ lục 1: Phiếu điều tra dành cho HS các lớp 10, 11, 12 Phụ lục 2. GTLN, GTNN ở bậc đại học Phụ lục 3. GTLN, GTNN trong bộ SGK trung học phổ thông chuẩn Phụ lục 4. Bảng tóm tắt sự tiến triển của các đối tượng GTLN, GTNN trong thể chế dạy học Toán phổ thông Phụ lục 5. Vai trò của các dấu ≤, ≥ trong các SGK Toán phổ thông Phụ lục 6. Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GTLN : giá trị lớn nhất GTNN : giá trị nhỏ nhất GV : giáo viên HS : học sinh KNV : kiểu nhiệm vụ NXB : nhà xuất bản SBT : sách bài tập SGK : sách giáo khoa SGV : sách giáo viên Tp.HCM : Thành phố Hồ Chí Minh tr. : trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Nội dung học tập các tập số ở phổ thông ...................................................8 Bảng 1.2: Bảng thống kê các KNV T SLN và T SBN ở các SGK Toán tiểu học .............19 Bảng 1.3: Bảng thống kê các KNV liên quan đến GTLN, GTNN trong bài Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức ............................................................................38 Bảng 1.5: Bảng thống kê các kỹ thuật giải quyết các KNV liên quan đến GTLN, GTNN ở SGK, SBT Đại số 10 nâng cao....................................................................43 Bảng 1.6: Bảng thống kê các KNV liên quan đến GTLN, GTNN ở SGK, SBT Đại số và Giải tích 11 nâng cao ...........................................................................................49 Bảng 1.7: Bảng thống kê các kỹ thuật giải quyết các KNV liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số trong SGK, SBT Giải tích 12 nâng cao ......................................57 Bảng 3.1: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 1........................103 Bảng 3.2: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS dùng chiến lược CL2.7 ..........106 Bảng 3.3: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 3........................107 Bảng 3.4: Bảng thống kê số lượng bài làm của HS ở tình huống 4........................108 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) là những đối tượng xuất hiện trong chương trình phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam trải dài từ bậc tiểu học đến bậc trung học phổ thông. Có nhiều bài toán khác nhau liên quan đến những đối tượng này. Chẳng hạn: Ở lớp 4, có bài toán tìm số tự nhiên lớn nhất hay số tự nhiên bé nhất trong các số tự nhiên đã cho: a) Số lớn nhất có ba chữ số là số nào? b) Số bé nhất có ba chữ số là số nào? (Toán 4, tr.13) Ở lớp 6, xuất hiện các bài toán về ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các số tự nhiên cho trước như: Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 420 ⋮ 𝑎 và 700 ⋮ 𝑎. (Toán 6 tập một, tr.56) Ở lớp 9, xuất hiện bài toán yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN của một biểu thức như: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑥 2 + 𝑥√3 + 1. Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu? (Bài tập Toán 9 tập một, tr.16) Hay ở lớp 12, có bài toán như sau: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. (Giải tích 12 nâng cao, tr.24) GTLN và GTNN cũng là những đối tượng phổ biến trong những môn học khác ở phổ thông. Chẳng hạn trong môn Vật lí của lớp 10 có yêu cầu như sau: Một vật đặt trên mặt phẳng nghiêng (góc nghiêng 𝛼 = 30o ), được truyền một vận tốc ban đầu v o = 2m/s (hình vẽ). Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là 0,3. Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 2 a) Tính gia tốc của vật. b) Tính độ cao lớn nhất (H) mà vật đạt tới. c) Sau khi đạt tới độ cao H, vật sẽ chuyển động như thế nào ? (Vật lí 10 nâng cao, tr.106) Mặt khác, các bài toán về GTLN, GTNN có mặt trong nhiều kì thi từ cấp độ bình thường như các bài toán kiểm tra ở trường, lớp đến các bài toán trong các kì thi tốt nghiệp phổ thông, kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng và cả các kì thi học sinh giỏi lẫn thi quốc tế. Chẳng hạn sau đây là một câu trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây: Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và 𝑥 ≥ 𝑦, 𝑥 ≥ 𝑧. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 𝑃 = 𝑥 2𝑥+3𝑦 𝑦 𝑧 + 𝑦+𝑧 + 𝑧+𝑥. (trích Đề thi Đại học – Cao đẳng khối A năm 2011) Các bài toán về GTLN và GTNN còn gắn liền với thực tế rất sinh động. Xin đưa ra đây một bài toán ở phổ thông: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng 𝑃(𝑛) = 480 − 20𝑛 (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch nhiều cá nhất? (Giải tích 12 nâng cao, tr.22) Những điều trên cho thấy GTLN và GTNN là những đối tượng xuất hiện ở chương trình phổ thông với vị trí khá quan trọng. Chúng tồn tại ở nhiều dạng thuật ngữ khác nhau như “số lớn nhất”, “cao nhất”, “to nhất”, “nhiều nhất”, ... ứng với GTLN và “số bé nhất”, “nhỏ nhất”, “thấp nhất”, “ít nhất”, ... ứng với GTNN. Chúng tôi quan sát được lưu ý từ sách giáo viên (SGV) Giải tích 12 nâng cao liên quan đến các đối tượng này như sau: Sau khi định nghĩa, đã nhắc lại điều sau đây: Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 3 Muốn chứng tỏ số M (hoặc m) là GTLN (hoặc GTNN) của hàm số f trên tập hợp D, cần chứng tỏ a) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷; b) Tồn tại ít nhất một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑀 (hoặc 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑚). Điều kiện b) là quan trọng, không được bỏ qua. Một số học sinh đã không chú ý đến nó, do đó đã mắc sai lầm. Ta hãy xét bài tập 16: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 𝑓(𝑥) = sin4 𝑥 + cos4 𝑥. Có học sinh lập luận như sau: Vì 𝑓(𝑥) ≥ 0 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên min𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 0. Vì sin4 𝑥 ≤ 1 và cos4 𝑥 ≤ 1 với mọi 𝑥 ∈ ℝ nên 𝑓(𝑥) ≤ 1 + 1 = 2 với mọi 𝑥 ∈ ℝ. Do đó max𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 2. 1 Các kết luận đó là sai. Tại sao? Thật ra, ta có min𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 2 và max𝑥∈ℝ 𝑓(𝑥) = 1. Học sinh đó mắc sai lầm vì đã không để ý đến điều kiện b). (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.39) Từ đó cho thấy, có những học sinh (HS) lớp 12 bị mắc các sai lầm theo kiểu (chúng tôi gọi các sai lầm này là SL): o Nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay max𝑥∈𝐷 𝑓 (𝑥) = 𝑀 mà không quan tâm đến việc tồn tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑀. o Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì có ngay min𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥) = 𝑚 mà không quan tâm đến việc tồn tại 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 để 𝑓(𝑥𝑜 ) = 𝑚. Vậy các sai lầm này bắt nguồn từ đâu? Chúng có phổ biến ở HS lớp 12 và ở học sinh các lớp dưới không? Chúng có phải bắt nguồn từ một số bài toán nào đó liên quan đến GTLN và GTNN ở các lớp dưới không? Hoặc chúng có phải do cách trình bày của các sách giáo khoa (SGK) không? Ngoài các sai lầm trên, còn sai lầm khác của HS khi giải quyết những bài toán về GTLN và GTNN hay không? Có thể có nhiều nguyên nhân giải thích cho các sai lầm trên nhưng có thể nhận xét rằng các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt dường như cũng đóng vai trò tạo nên khó khăn và sai lầm ở HS trong việc giải quyết các bài toán về GTLN và GTNN. Đặc biệt, khi đề cập đến các đối tượng GTLN và GTNN ở phổ thông, một Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 4 số SGK sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt để mô tả chúng. Chẳng hạn định nghĩa GTLN và GTNN của hàm số ở SGK Giải tích 12 nâng cao như sau: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (𝐷 ⊂ ℝ). a) Nếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑜 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số M = f(x o ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là 𝑀 = max𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥). b) Nếu tồn tại một điểm 𝑥𝑜 ∈ 𝐷 sao cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥𝑜 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝐷 thì số m = f(x o ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là min𝑥∈𝐷 𝑓(𝑥). (Giải tích 12 nâng cao, tr.18) Những ghi nhận trên khiến chúng tôi chọn đề tài Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học Toán ở phổ thông làm chủ đề cho luận văn của mình. Cụ thể, luận văn sẽ trả lời cho những câu hỏi ban đầu sau: - Các đối tượng GTLN và GTNN được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào? Nhằm mục đích gì? Có những bài toán nào liên quan đến các đối tượng đó? Chúng tiến triển ra sao qua các khối lớp? - Các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt có vai trò gì đối với các đối tượng GTLN và GTNN? Chúng có phải là yếu tố gắn liền với những sai lầm trên của học sinh không? - Kết quả lựa chọn của hệ thống dạy học ảnh hưởng gì đến việc học của HS về các đối tượng GTLN, GTNN và đến việc giải quyết các dạng toán liên quan đến các đối tượng này? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các lý thuyết sau đây: - Lý thuyết nhân chủng học. Cụ thể, chúng tôi sử dụng các khái niệm "quan hệ thể chế", "quan hệ cá nhân", "tổ chức toán học". - Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm (a priori) và phân tích hậu nghiệm (a posteriori). - Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng khái niệm hợp đồng dạy học để phục vụ cho việc nghiên cứu. Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 5 3. Mục đích nghiên cứu Chúng tôi xác định các khái niệm: - Mối quan hệ thể chế R(I,O), với I là thể chế dạy học phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam, O 1 là đối tượng GTLN, O 2 là GTNN, O được gọi chung cho cả O 1 và O 2 . Trong luận văn này, đôi khi chúng tôi gọi thay cụm từ “thể chế dạy học phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam” là “thể chế” hay “thể chế dạy học”. - Mối quan hệ cá nhân R(X,O), với X là người học (HS) hoặc người dạy (GV). Dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn và những câu hỏi xuất phát ban đầu, chúng tôi đề ra những câu hỏi nghiên cứu sau mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: CH1. Các đối tượng GTLN và GTNN được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với các đối tượng này là gì? Các tổ chức toán học đó tiến triển ra sao qua các khối lớp? CH2. Các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt có những đặc trưng nào trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến các đối tượng này? CH3. Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được HS vận dụng góp phần tạo ra các sai lầm SL? Còn có những sai lầm khác gắn liền với việc giải quyết các bài toán về GTLN và GTNN không? 4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Nhằm đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau: Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với các đối tượng GTLN và GTNN qua việc phân tích chương trình và các SGK phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng các đối tượng trên, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp. Những kết quả thu được sẽ cho phép trả lời cho các câu hỏi Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 6 CH1 và được trình bày trong chương 1: “GTLN và GTNN trong thể chế dạy học Toán phổ thông”. Sau đó, chúng tôi sẽ dựa vào các SGK hiện hành ở Việt Nam để rút ra một số đặc trưng sư phạm của các đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt. Điều này được trình bày trong chương 2: “Một số đặc trưng sư phạm của đối tượng bất đẳng thức không nghiêm ngặt” và sẽ giúp chúng tôi trả lời cho các câu hỏi CH2. Từ những kết quả phân tích trên, chúng tôi sẽ hình thành nên những giả thuyết nghiên cứu hoặc những nhận định cần kiểm tra sự tồn tại. Chúng tôi sẽ kiểm chứng những giả thuyết và kiểm tra những nhận định bằng cách xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với HS qua các phiếu câu hỏi, thực nghiệm đối với GV qua các phiếu thăm dò ý kiến. Các kết quả nhận được cũng cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi CH3 và được trình bày trong chương 3: “Nghiên cứu thực nghiệm”. Những nghiên cứu trên được sơ đồ hóa như sau: NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Thể chế dạy học toán phổ thông ở Việt Nam Giả thuyết, nhận định NGHIÊN CỨU ĐẶC TRƯNG SƯ PHẠM THỰC NGHIỆM các bất đẳng thức không ngặt Kiểm chứng giả thuyết SGK Việt Nam Kiểm tra nhận định Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 7 Chương 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG Mục tiêu của chương này là tìm các câu trả lời cho các câu hỏi CH1 sau: Các đối tượng GTLN và GTNN được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với các đối tượng này là gì? Các tổ chức toán học đó tiến triển ra sao qua các khối lớp? Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình phổ thông môn Toán hiện hành và các bộ SGK hiện hành ở Việt Nam. Trước hết, chúng tôi nhận thấy trong thể chế dạy học môn Toán ở phổ thông các khái niệm số lớn nhất và số bé nhất. Các khái niệm này được HS làm quen đầu tiên trong số những khái niệm liên quan đến các đối tượng GTLN và GTNN. Các đối tượng số lớn nhất và số bé nhất xuất hiện đầu tiên ở lớp 1 và chúng gắn liền với việc học tập các tập hợp số ở phổ thông. Do đó, đầu tiên, chúng tôi sẽ xem xét cách thức mà chương trình và các SGK đưa các khái niệm số lớn nhất và số bé nhất vào trong dạy học với việc tìm kiếm phần trả lời cho câu hỏi: Việc đưa vào này gây cho HS quan niệm gì về các khái niệm GTLN và GTNN của biểu thức hay của hàm số trước khi họ biết về chúng? Sau đó, chúng tôi sẽ xem xét sự xuất hiện của các đối tượng GTLN và GTNN của biểu thức hay của hàm số trong chương trình và các SGK ở các khối lớp. Đây là các giai đoạn tiếp theo mà thể chế đề cập đến các đối tượng liên quan đến GTLN và GTNN. Chúng tôi lưu ý thể chế dạy học môn Toán ở phổ thông chỉ đề cập đến khái niệm hàm số một biến và không đề cập đến khái niệm hàm số nhiều biến. Khi đó, thể chế chỉ đề cập đến thuật ngữ hàm số nhằm chỉ hàm số một biến. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ hàm số để gọi tắt cho thuật ngữ hàm số một biến và khi cần thiết, chúng tôi sẽ gọi tên đầy đủ. Ngoài ra, trong luận văn này, chúng tôi dùng Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 8 thuật ngữ “so sánh hơn” để nói đến việc so sánh hai số thực khác nhau và thuật ngữ “so sánh nhất” để nói đến việc tìm số lớn nhất hay số bé nhất trong một tập con nào đó của tập các số thực. 1.1 Số lớn nhất, số bé nhất trong nội dung học tập các tập số 1.1.1 Phân tích chương trình Tài liệu Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2006) (tài liệu [2]) thể hiện mạch nội dung học tập các tập hợp số ở phổ thông như sau: Mạch nội dung Số học Lớp Chủ đề 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Số tự nhiên * * * * * * Số nguyên * Số hữu tỉ - Phân số + + * * * - Số thập phân * * * - Số hữu tỉ * Số thực * * Số phức * Bảng 1.1: Nội dung học tập các tập số ở phổ thông Ghi chú. + : Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị. * : Học chính thức. ([2], tr.8) Trong [2], tr.6, nêu rõ rằng một trong những mục tiêu dạy học môn Toán về tư duy là tư duy so sánh. Như vậy, “so sánh hơn” và “so sánh nhất” được lưu ý quan tâm trong chương trình. Nội dung dạy học so sánh các số trong các tập hợp số được quy định trong [2] như sau: Lớp Nội dung dạy học so Mức độ cần đạt ở học sinh sánh trong các tập số So sánh các số tự - Biết so sánh các số trong phạm vi 100 (tr.27): 1 nhiên đến 10 (tr.12); + Sử dụng các từ lớn hơn, bé hơn, bằng nhau và các - So sánh các số tự dấu >, <, = khi so sánh hai số; nhiên đến 100 + Xác định số lớn nhất, số bé nhất trong một nhóm các (tr.12). số cho trước (sử dụng các từ "bé nhất", "lớn nhất"). + Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc từ lớn Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 9 đến bé (nhiều nhất là 4 số). - Bước đầu nhận biết thứ tự các số trên tia số (tr.28). 2 - So sánh các số tự - Biết xác định số liền trước, số liền sau của một số nhiên đến 1000 cho trước (tr.35); (tr.13). - Biết sử dụng cấu tạo thập phân của số và giá trị theo vị trí của các chữ số trong một số để so sánh các số có đến ba chữ số (tr.36); - Biết xác định số bé nhất (hoặc lớn nhất) trong một nhóm các số cho trước (tr.36); - Biết sắp xếp các số có đến ba chữ số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc ngược lại (nhiều nhất là 4 số) (tr.36). 3 - So sánh các số tự - Biết sử dụng cấu tạo thập phân của số và giá trị theo nhiên đến 10000 và vị trí của các chữ số để so sánh các số có tới năm chữ đến 100000 (tr.14). số (tr.45); -Biết xác định số lớn nhất, số bé nhất trong một nhóm có không quá 4 số cho trước (tr.46); - Biết sắp xếp các số có đến bốn hoặc năm chữ số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc ngược lại (nhiều nhất là 4 số) (tr.46). 4 - So sánh các số tự - Biết so sánh các số có đến sáu chữ số; biết sắp xếp nhiên đến lớp triệu bốn số tự nhiên có không quá sáu chữ số theo thứ tự từ và hệ thống hóa về bé đến lớn hoặc từ lớn đến bé (tr.59); số tự nhiên và hệ - Bước đầu nhận biết một số đặc điểm của dãy số tự thập phân (tr.15); nhiên như: số 0 là số tự nhiên bé nhất, không có số tự - So sánh hai phân nhiên lớn nhất (dãy số tự nhiên kéo dài mãi) (tr.59); số (tr.16). - Nhận ra hai phân số bằng nhau (tr.62); - Biết so sánh hai phân số cùng mẫu số; Biết so sánh hai phân số khác mẫu số (tr.62); - Biết viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 10 từ lớn đến bé (tr.63). 5 - So sánh các số - Biết cách so sánh hai số thập phân (thuộc quy tắc và thập phân (tr.17). biết vận dụng để so sánh các số thập phân); Biết sắp xếp một nhóm các số thập phân theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc ngược lại (tr.74). 6 - Ôn tập và bổ túc - Sắp xếp được các số tự nhiên theo thứ tự tăng hoặc về số tự nhiên giảm; Sử dụng đúng các kí hiệu =, ≠, >, <, ≥, ≤ (tr.18); - Biểu diễn số (tr.89); - Biết các khái niệm bội chung nhỏ nhất, ước chung nguyên trên trục số; lớn nhất và tìm được bội chung nhỏ nhất, ước chung thứ tự trong ℤ lớn nhất của hai số trong những trường hợp đơn giản (tr.18). (tr.91); - Biết biểu diễn số nguyên trên trục số (tr.91); Sắp xếp đúng một dãy các số nguyên theo thứ tự tăng hoặc giảm (tr.92); 7 - Biểu diễn số hữu tỉ - Biết so sánh hai số hữu tỉ (tr.97); trên trục số; so sánh - Nhận biết thứ tự của các số thực trên trục số (tr.98). các số hữu tỉ (tr.19); - Biểu diễn số thực trên trục số và so sánh các số thực (tr.19). Qua đó, chúng tôi nhận thấy có hai kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến “so sánh nhất” trong dạy học các tập số là T SLN : Xác định số lớn nhất trong một nhóm các số cho trước và T SBN : Xác định số bé nhất trong một nhóm các số cho trước. Sự tiến triển của chúng như sau: + Lớp 1: Hai kiểu nhiệm vụ này được giới hạn trong một nhóm các số tự nhiên đến 10 (nhóm các số tự nhiên có một chữ số), sau đó đến 100 (chủ yếu là nhóm các số tự nhiên có hai chữ số). Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 11 + Lớp 2: Nhóm các số tự nhiên đến 1000 (chủ yếu là nhóm các số tự nhiên có ba chữ số). + Lớp 3: Nhóm các số tự nhiên đến 10000 và đến 100000 (chủ yếu là nhóm các số tự nhiên có bốn hoặc năm chữ số). + Lớp 4: Hoàn thành những kiến thức cơ bản về số tự nhiên. Trong [2] ghi là “Biết so sánh các số có đến sáu chữ số” và không ghi rõ đến việc “so sánh nhất”. Chúng tôi cho rằng, từ ngữ “so sánh các số” ở đây bao hàm cả “so sánh hơn” và “so sánh nhất” vì khi nói đến “so sánh hơn” (so sánh hai số với nhau) thì trong [2] ghi là “so sánh hai số”. Trong khi đó, HS bắt đầu học về một “loại số” khác là phân số và trong [2] không hề có yêu cầu về việc “so sánh nhất”, ngay cả yêu cầu “biết so sánh các phân số” cũng không có. + Lớp 5: HS làm quen thêm một “loại số” khác là số thập phân và cũng tương tự như yêu cầu về mức độ cần đạt của HS khi học về phân số ở lớp 4, [2] cũng không yêu cầu về việc “so sánh nhất” các số thập phân mặc dù trong nội dung dạy học các tập số có nêu phần dạy học số học ở lớp 5 là “So sánh các số thập phân”. + Lớp 6: HS được ôn tập và bổ túc thêm kiến thức về tập số tự nhiên và phân số cũng như học về số nguyên. Tuy nhiên, ở thời điểm này, hai KNV T SLN và T SBN không xuất hiện trong yêu cầu về mức độ cần đạt của chương trình. + Từ lớp 7 trở đi, chúng tôi không thấy chương trình yêu cầu HS thực hiện hai KNV T SLN và T SBN trong việc học tập các tập số tiếp theo. 1.1.2 Phân tích các sách giáo khoa Như đã trình bày, trong chương trình Toán phổ thông, các đối tượng số lớn nhất và số bé nhất gắn liền với việc dạy học các tập số (chủ yếu là tập số tự nhiên). Chúng xuất hiện ngay từ những bài học đầu tiên ở lớp 1. Để tiện theo dõi sự phân tích, chúng tôi trình bày mạch nội dung phần 1 (với tiêu đề Các số đến 10. Hình vuông, hình tròn, hình tam giác) của SGK Toán 1 như sau: • Nhiều hơn, ít hơn • Hình vuông, hình tròn • Hình tam giác Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 12 • Các số 1, 2, 3 • Các số 1, 2, 3, 4, 5 • Bé hơn. Dấu < • Lớn hơn. Dấu > • Bằng nhau. Dấu = • Số 6 • Số 7 • Số 8 • Số 9 • Số 0 • Số 10 Trong đó, thuật ngữ số lớn nhất xuất hiện đầu tiên trong bài Số 10, với yêu cầu: 5. Khoanh vào số lớn nhất (theo mẫu): a) 4, 2, b) 8, 10, 9 c) 6, 3, 5. (Toán 1 , tr.37) SGV Toán 1 hướng dẫn điều này như sau: Nếu HS gặp khó khăn, GV có thể hướng dẫn HS quan sát lại dãy số từ 0 đến 10, từ đó HS dựa vào thứ tự của các số mà xác định được số lớn nhất trong các số đã cho. (SGV Toán 1, tr.54). Từ hướng dẫn này, chúng tôi nhận thấy có thể có một kỹ thuật để giải quyết KNV T SLN là 𝜏𝑆𝐿𝑁.1 : xác định vị trí. Trong đó, yêu cầu của chương trình ở giai đoạn đầu của lớp một này là “so sánh các số tự nhiên đến 10” và kỹ thuật 𝜏𝑆𝐿𝑁.1 nhắm đến dãy số được quan sát là từ 0 đến 10. Kỹ thuật này có thể có các bước sau: 𝜏𝑆𝐿𝑁.1 : xác định vị trí. • Bước 1: Viết một dãy các số tự nhiên liên tiếp chứa các số cho trước; • Bước 2: Xác định vị trí của các số ở đề bài trong dãy số vừa viết; • Bước 3: Số nào ở đề bài nằm ở bên phải so với các số khác ở đề bài thì kết luận số đó là số lớn nhất. Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong… 13 Điều chúng tôi quan tâm là sự xuất hiện của đối tượng số lớn nhất trong một yêu cầu mà HS chưa được làm quen với thuật ngữ này trước đó liệu có gây trở ngại gì không ở HS khi thực hiện KNV T SLN . Khi quan sát SGV, chúng tôi nhận thấy điều này được chuẩn bị trong quá trình HS học về các số ở những bài đầu tiên. Cụ thể, khi HS học đến bài Số 6, họ sẽ gặp yêu cầu sau đây: Bài 3. Viết số thích hợp vào ô trống: (Toán 1, tr.27) SGV hướng dẫn GV khi dạy đến phần này: Bài 3: Viết số thích hợp. - Hướng dẫn HS đếm các ô vuông trong từng cột rồi viết số thích hợp vào ô trống. GV giúp HS nhận biết: “Cột có số 6 cho biết có 6 ô vuông”; “Vị trí số 6 cho biết 6 đứng liền sau 5 trong dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6”. - Hướng dẫn HS điền số thích hợp vào các ô trống rồi đọc theo thứ tự từ 1 đến 6 và từ 6 đến 1. - Giúp HS so sánh từng cặp hai số tiếp liền trong các số từ 1 đến 6 để biết 1 < 2; 2 < 3; 3 < 4; 4 < 5; 5 < 6. Nên cho HS nhận xét để biết 6 lớn hơn tất cả các số 1, 2, 3, 4, 5 và 6 là số lớn nhất trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chẳng hạn: Cho HS quan sát để thấy tương ứng với số 6 là cột cao nhất có 6 ô vuông. (SGV Toán 1, tr.44) Như vậy, từ hướng dẫn trong SGV Toán 1, chúng tôi nhận thấy các tác giả viết SGK Toán 1 mong muốn hình thành khái niệm số lớn nhất cho HS thông qua một số nét đặc trưng của khái niệm này. Đặc biệt, từ việc nắm bắt được khái niệm số lớn hơn, HS có thể hình thành nên biểu tượng về khái niệm số lớn nhất thông qua đặc trưng: số lớn hơn tất cả các số còn lại trong nhóm các số là số lớn nhất trong nhóm các số đó. Từ đây, xuất hiện một kỹ thuật có thể có khi giải quyết KNV T SLN là: Nguyễn Hồng Tú Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong…
- Xem thêm -