Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số-nguyễn phú khánh

  • Số trang: 39 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 94 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 42636 tài liệu

Mô tả:

Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TÓM TẮT LÝ THUYẾT ( ) • Hàm số f ( x ) xác ñịnh và có liên tục khoảng (a;b ) . • ( ) ( ) Hàm số f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn a;b  thì f ' x xác ñịnh trên khoảng a;b . ) ( ( ) trên nửa ñoạn a;b hay a;b  thì f ' x xác ñịnh trên • Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} min f ( x ) = min {f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )} ( ) • max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b x ∈a ;b  • x ∈a ;b  x ∈a ;b  1 x ∈a ;b  2 i ( ) ( ) ( ) ( ) ∀x ∈ D, f x ≤ M • M = max f x ⇔  x ∈D ∃x 0 ∈ D, f x 0 = M ∀x ∈ D, f x ≥ m • m = min f x ⇔  x ∈D ∃x 0 ∈ D, f x 0 = m ( ) ( ) CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Chứng minh rằng : 1 3(1 + 2) + 1 5( 2 + 3) + 1 7( 3 + 4) 1 + ... + 4003( 2001 + 2002) Giải : Xét : 1 (2n + 1)( n + n + 1) = ( n + 1 − n) 4n 2 + 4n + 1 < n +1 − n 2 n(n + 1) = 1 1 1  −   2 n n +1 1 1 1 1 1 1  1 1  + − + ... + − 1 −  = 1 −  2 3 3 5 n n  2 n +1 2 2 2 n 2Sn < 1 − <1− =1− ⇒ Sn < 2 2(n + 2) n +2 4n + 4 n + 4n + 4 Vậy : Sn < n = 2001 ⇒ 2S 2001 < 1 − 2 2001 2001 = ⇒ S 2001 < 2003 2003 4006 77 < 2001 4006 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Ví dụ 2: Cho x 1, x 2, x 3, x 4 ..., x 2008 thoả mãn x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1 Giải : Vận dụng bất ñẳng thức a − b ≥ a − b . Dấu " = " xảy ra khi ab ≥ 0  x1 − 1 ≥ x1 − 1   x2 − 1 ≥ x2 − 1  ....................... x − 1 ≥ x 2008 − 1  2008 ⇒ E = x 1 − 1 + x 2 − 1 + ... + x 2008 − 1 ≥ x 1 + x 2 + ... + x 2008 − 1 + 1  + ... +1 2008 so 1 Hay E ≥ 2009 − 2008 = 1 x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0 Dấu " = " xảy ra khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 x , x , x , x ..., x 2008 ≥ 0 Vậy min E = 1 khi  1 2 3 4  x 1 + x 2 + ... + x 2008 = 2009 Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức P (x , y ) = x + y − 2x + 2y + 7 . 2 2 Giải : Ta có P (x , y ) = (x − 1) + (y + 1) + 5 ≥ 5 ∀x , y ∈ ℝ 2 2 x = 1 Dấu " = " xảy ra khi  y = 1 ( ) ( ) Vậy min P (x , y ) = 5 khi x , y = 1;1 Ví dụ 4: Cho 2x + 2y − z − 9 = 0 . Tìm GTNN của biểu thức P = (1 − x ) + (2 − y ) + (3 − z ) . 2 78 2 2 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Giải : ( ) Trong không gian Oxyz ta xét ñiểm A 1;2; 3 và mặt phẳng ( ) (α ) thì Nếu M x ; y; z ∈ Mà AM ≥ d (A; α ) = (α ) : 2x + 2y − z − 9 = 0 AM 2 = (1 − x )2 + (2 − y )2 + (3 − z )2 2+4−3−9 = 2 nên P = (1 − x )2 + (2 − y )2 + (3 − z )2 ≥ 4 . 4 + 4 +1 Dấu " = " xảy ra khi M x ; y; z là chân ñường vuông góc hạ từ A 1;2; 3 lên mặt phẳng α . ( ) ( Vậy min P = 4 . Ví dụ 5: Tìm GTNNcủa biểu thức x 2 + 3x + 5 A= ,x ≠ 1 (x − 1)2 B= 3x 2 − 8x + 6 (x ≠ 1) x 2 − 2x + 1 N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ Giải : x 2 + 3x + 5 ,x ≠ 1 A= (x − 1)2 A= (x 2 − 2x + 1) + 5.(x − 1) + 9 5 9 =1+ + 2 x − 1 (x − 1)2 (x − 1) ðặt t = 1 ,t ≠ 0 x −1 2  5  11 11 A = 1 + t + 9t =  3t +  + ≥ 6 6 6  5 1 5 13 =− ⇔x =− Dấu " = " xảy ra khi t = − ⇔ 8 x −1 8 5 2 3x 2 − 8x + 6 (x ≠ 1) x 2 − 2x + 1 3(x 2 − 2x + 1) − 2(x − 1) + 1 2 1 B= =3− + 2 x − 1 (x − 1)2 (x − 1) B= 79 ) ( ) Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ ðặt t = Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 1 ,t ≠ 0 x −1 ( ) 2 B = 3 − 2t + t 2 = t − 1 + 2 ≥ 2 Dấu " = " xảy ra khi t = 1 ⇔ Vậy min B = 2 khi x = 2 1 =1⇔x =2 x −1 N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ Bài toán này có rất nhiều cách giải và tôi ñã giới thiệu trong chuyên ñề bất ñẳng thức. Nhân ñây tôi giới thiệu 5 cách giải ñộc ñáo . Cách 1 : 2 2 2   1  3  1  3  N = x +  +   + x −  +   2   2  2   2    2 2 2 2   1   3 1  3 N =  x − (− )  +  0 − (−  + x −  +  0 −  2   2  2   2    2  1 − 3  1 3  ,B  ,  ,C x , 0 Trên mặt phẳng toạ ñộ Oxy xét các ñiểm A  − ,  2 2  2 2      Dựa vào hình vẽ ta có N = AC + CB ≥ AB ( ) AC = x 2 + x + 1 , BC = x 2 − x + 1 Mà 2 2 1 1  3 3 AB =  +  +  +  = 2 ⇒ AB = 2 2   2 2   2 Dấu " = " xảy ra khi A, B,C thẳng hàng , hay x = 0 , nghĩa là C ≡ O Vậy min N = 2 khi x = 0 Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ :       a + b ≥ a +b ⇒ N ≥ a +b 80 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ   Chọn : a =  −x +     a + b = (1; 3) ⇒ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12     1 3 1 3  ⇒ a = x 2 − x + 1, b =  x + ;  ⇒ b = x2 + x + 1 ;  2 2  2 2     2 a + b = 12 + 3 = 2 ⇒ N ≥ 2 ( )   Dấu " = " xảy ra khi a = b ⇔ x = 0 Vậy min N = 2 khi x = 0 Cách 3: Do N = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ , do ñó gợi ta nghĩ ñến bất ñẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân . ( )( ) Ta có : N ≥ 2 4 x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 = 2 4 x 4 + x 2 + 1 ≥ 2, x ∈ ℝ x 2 + x + 1 = x 2 − x + 1 Dấu " = " xảy ra khi  4 ⇔x =0 2 x x 1 1 + + =  Vậy min N = 2 khi x = 0 Cách 4: x 2 − x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Vì  2 ⇒ N ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ N 2 = 2 x 2 + 1 + 2 x 4 + x 2 + 1 x + x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ x 2 + 1 ≥ 1 . ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi x = 0 , nên N 2 ≥ 4 ⇒ N ≥ 2 Do  4 2 x + x + 1 ≥ 1 Vậy min N = 2 khi x = 0 Cách 5: ( ) ( ) Dễ thấy N = f x = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1, x ∈ ℝ là hàm số chẵn x ∈ ℝ . ( ) ( ) ( ) ( ) Với ∀x 1 > x 2 > 0 , ta có f x 1 > 0, f x 2 > 0 nên dấu của f x 1 − f x 2 cũng là dấu của ( ) ( ) (x ) − f (x ) == 2 (x f 2 x1 − f 2 x 2 f2 2 1 2 2 1 ) − x 22 + 2 ( ) x 14 + x 12 + 1 − x 24 + x 22 + 1 . x 12 > x 22 > 0 nên f 2 x 1 − f 2 x 2 > 0, ∀x 1 > x 2 > 0 Vì x 1 > x 2 > 0 ⇒  4 2 4 2  x 1 + x 1 + 1 ≥ x 2 + x 2 + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra f x 1 − f x 2 > 0, ∀x 1 > x 2 > 0 ( ) ( ) () Với x > 0 thì hàm số f x luôn ñồng biến và x < 0 thì hàm số f x luôn nghịch biến và f 0 = 2 ( ) Vậy f x ñạt ñược giá trị cực tiểu tại x = 0 . Do ñó min N = 2 khi x = 0 . 81 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Ví dụ 6: Tìm GTLN và NN của biểu thức Giải : Ví dụ 7: Tìm GTLNcủa biểu thức 3x 2 + 6x + 10 x 2 + 2x + 2 x M = ,x > 0 (x + 2000)2 A= Giải : 3x 2 + 6x + 10 4 4 A= 2 =3+ 2 = 3+ ≤7 x + 2x + 2 x + 2x + 2 (x + 1)2 + 1 Dấu " = " xảy ra khi (x + 1) = 0 ⇔ x = −1 2 Vậy max A = 7 khi x = −1 M = x ,x > 0 (x + 2000)2 1 → min M 1 x 2 + 2x .2000 + 20002 x 2 − 2.2000x + 20002 + 4.2000x 2 1 = (x + 2000) . = = M x x x Vì x > 0 nên M > 0 .Do ñó M → max ⇔ 1 (x − 2000)2 = + 8000 ≥ 8000 M x 82 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Dấu " = " xảy ra khi x = 2000 1 1 = 8000 → max M = M 8000 1 khi x = 2000 Vậy max M = 8000 min Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2x 2 + 10x + 3 A= ,x ∈ ℝ 3x 2 + 2x + 1 12x 2 + 8x 2 + 3 B= ,x ∈ ℝ (2x 2 + 1)2 Giải : 2x 2 + 10x + 3 , ∀x ∈ ℝ ⇔ 3A − 2 x 2 + A − 5 x + A − 3 = 0, ∀x ∈ ℝ * 2 3x + 2x + 1 2 • 3A − 2 = 0 ⇔ A = , ∀x ∈ ℝ 3 2 • 3A − 2 ≠ 0 ⇔ A ≠ , ∀x ∈ ℝ phương trình * là phương trình bậc 2 ñối với x . Do ñó phương 3 2 5 trình * có nghiệm nếu ∆ = A − 5 − 4 3A − 2 A − 3 ≥ 0 ⇔ ≤ A ≤ 7 2 5 Vậy max A = 7, min A = 2 ( A= ) ( ) () () () ( ) ( )( ) 12x 2 + 8x 2 + 3 B= ,x ∈ ℝ (2x 2 + 1)2 −π π 0, y > 0 , ta luôn có (1 + x )(1 + y ) ≥ 1 + xy ). 2 Giải : Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân. x y + ≥ 1+x 1+y 2 xy (1 + x )(1 + y ) 1 1 1 + ≥2 1+x 1+y (1 + x )(1 + y ) Cộng vế theo vế , ta ñược: 2≥ 2 xy + 1 (1 + x )(1 + y ) ⇔ xy + 1 (1 + x )(1 + y ) ( ≤ 1 ⇔ (1 + xy ≤ (1 + x )(1 + y ) ⇔ (1 + x )(1 + y ) ≥ 1 + xy Dấu " = " xảy ra khi x = y > 0 Ví dụ 11: Cho a ≥ 4 , chứng minh rằng : a + 1 17 ≥ a 4 . Giải : 84 ) 2 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Ta có : a + Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 1 a 1 15a = + + a 16 a 16 Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương a 1 và . 16 a a 1 a 1 1 1 + ≥2 . =2 = 16 a 16 a 16 2 15a 15 15 Mà a ≥ 4 ⇒ ≥ .4 = 16 16 4 1 a 1 15a 17 + + ≥ Vậy : a + = a 16 a 16 4 Dấu " = " xảy ra khi a = 4 . Ví dụ 12:  1  1  1  729 Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 6 . Chứng minh rằng :  1 + 3   1 + 3   a + 3  ≥ . a  b  c  512  Giải :   1 1  1  1 1 1  1 1 1  1 ðặt A =  1 + 3   1 + 3   1 + 3  = 1 +  3 + 3 + 3  +  3 3 + 3 3 + 3 3  + 3 3 3 a  b  c  b c  a b bc ac  abc  a Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược:  3 3 1 1  A ≥1+ + 2 2 2 + 3 3 3 = 1 +  abc a b c abc  abc  3 3 1 1  a+b+c  ≥ Và abc ≤   = 8 ⇒ abc ≤ 8 ⇒ abc 8 3   3  1 729 . Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 2 . Vậy : A ≥  1 +  = 8 512  4 Cho x > y ≥ 0 . Chứng minh rằng : x + ≥3 (x − y )(y + 1)2 Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương 8 2x − 2y, y + 1, y + 1, (x − y )(y + 1)2 ⇒ 2x − 2y + 2(y + 1) + ⇔ x +1+ 8 8 ≥ 4 4 2(x − y )(y + 1)2 2 (x − y )(y + 1) (x − y )(y + 1)2 4 4 ≥4⇔x+ ≥3 2 (x − y )(y + 1) (x − y )(y + 1)2 85 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Dấu " = " xảy ra khi 2x − 2y = 2(y + 1) = 8 ⇔ x = 2; y = 1 (x − y )(y + 1)2 Ví dụ 13: x − 2007 x − 2008 . + x +2 x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = Giải : ðiều kiện : x ≥ 2008 . 2 a = x − 2007 ≥ 0  x + 2 = a + 2009 ⇒ , ta có : ðặt  x = b 2 + 2008 b = x − 2008 ≥ 0  a b 1 1 A= 2 + 2 = + 2009 2008 a + 2009 b + 2008 a+ b+ a b Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân 2009 2008 a+ ≥ 2 2009, b + ≥ 2 2008 a b 1 1 Do ñó A ≤ + 2 2009 2 2008  2009 2 2 a=  a = 2009 x = a + 2007 a Dấu " = " xảy ra khi  ⇔ 2 ⇒ ⇒ x = 4006 2 b = 2008 b = 2008 x = b + 2008  b 1 1 Vậy max A = + khi x = 4006 2 2009 2 2008 Ví dụ 14: Cho x , y > 0 thoả mãn x + y = 1 . Tìm GTNN của biểu thức A = 1 1 + . 2 x +y xy 2 Giải : 1 1 4 + ≥ x y x +y 1 1 1 1 1 4 1 4 A= 2 + = 2 + + ≥ 2 + hay A ≥ 2 2 2 x +y xy x + y 2xy 2xy x + y + 2xy 2xy x +y Với x , y > 0 ta luôn có ( (x + y ) xy ⇒ xy ≤ 2 Mặt khác x + y ≥ 2 4 = 1 4 86 ) 2 + 1 xy Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Do ñó A ≥ 4 + Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 1 =6 1 2. 4 Vậy min A = 6 khi x = y = 1 2 Ví dụ 15: Cho x , y, z > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = xyz . (x + y )(y + z )(z + x ) Giải : Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân x + y ≥ 2 xy , y + z ≥ 2 yz , z + x ≥ 2 zx ( )( )( ) ⇒ x +y y +z z +x ≥ 8 ⇒M = (xyz ) 2 = 8xyz xyz xyz 1 ≤ = (x + y )(y + z )(z + x ) 8xyz 8 Vậy max M = 1 khi x = y = z > 0 8 Ví dụ 16: Tìm GTLN của biểu thức A = ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4 , a ≥ 3, b ≥ 4, c ≥ 2 abc Giải : c −2 a −3 b−4 + + c a b (c − 2).2 1 1 (c − 2) + 2 c c −2 1 (c − 2).2 ≤ c −2 = = = ⇒ ≤ 2 2 c 2 2 2 2 2 2 Dấu " = " xảy ra khi c − 2 = 2 ⇔ c = 4 . A= Tương tự : a −3 1 ≤ .Dấu " = " xảy ra khi a = 6 . a 2 3 b−4 1 1 ≤ = . Dấu " = " xảy ra khi b = 8 . b 2 4 4 87 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ 1 Vậy min A = 1 + 2 2 Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 + 2 3 1 khi a = 6, b = 8, c = 4 . 4 Ví dụ 17: Cho x , y, z > 0 thoả ñiều kiện x + y + z = 1 . Tìm GTLN của biểu thức Q = x y z + + x +1 y +1 z +1 Giải : 1 1 1 9 + + ≥ x y z x +y +z x y z x +1−1 y +1−1 z +1−1 1 1 1 Q= ) + + = + + = 3 −( + + x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 9 9 3 Q ≤ 3− =3− = x +1+y +1+z +1 4 4 1 Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 3 3 1 Vậy max Q = khi x = y = z = 4 3 x , y, z > 0 ⇒ Ví dụ 18: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 3x − 1 a) f x = trên ñoạn 0;2  x −3 b ) f x = x 4 − 2x 2 + 3 trên ñoạn  −3;2  c) ( ) ( ) f (x ) = x ( ) d) f x = 6 ( + 4 1 − x2 ) 3 trên ñoạn  −1;1 3x 2 + 10x + 20 x 2 + 2x + 3 Giải : 3x − 1 , x ∈ 0;2  x −3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn 0;2  . −8 < 0, ∀x ∈ 0;2  Ta có f ' x = 2 x −3 ( ) a) f x = ( ) ( ) 88 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Bảng biến thiên x f' x 0 ( ) 1 3 ( ) f x 2 − −5 ( ) Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 0;2 1 khi x = 0 3 ( ) min f x = −5 khi x = 2  0;2  ( ) b ) f x = x 4 − 2x 2 + 3, x ∈  −3;2  Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −3;2  . ( ) () ( ) x = −1, f −1 = 2  Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 0, f 0 = 3 x = 1, f −1 = 2  ( ) ( ) ( ) () f −3 = 66, f 2 = 11 Bảng biến thiên x −3 −1 f' x − 0 ( ) f (x ) + 66 0 0 1 − 0+ 2 3 11 2 2 Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 66 khi x = −3  −3;2 ( ( ) ) ( ) ( ) min f x = 2 khi x = −1, x = 1  −3;2  3 c) f x = x 6 + 4 1 − x 2 , x ∈  −1;1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −1;1 . ðặt t = x 2 , x ∈  −1;1 ⇒ t ∈ 0;1 () ( ) () 3 ( Hàm số ñã cho viết lại f t = t 3 + 4 1 − t , t ∈ 0;1 và f ' t = 3t 2 − 12 1 − t  2 2 4 t = , f   = f' t =0⇔ 3 3 9 t = 2  () () () f 0 = 4, f 1 = 1 Bảng biến thiên 89 ) 2 ( = 3 −3t 2 + 8t − 4 ) Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ 2 3 0 x ( ) f (x ) − f' x Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 1 + 0 4 1 4 9 ( ) Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 4 khi x = 0  −1;1 ( ) min f x =  −1;1 4 2 khi x = ± 9 3 3x 2 + 10x + 20 x 2 + 2x + 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . lim f x = lim f x = 3 ( ) d) f x = ( ) x →−∞ ( ) x →+∞  5 x = − 5 ⇒ y =  −4x − 22x − 10 2 Ta có : f ' x = ⇒f' x =0⇔ 2 1 2 x = − ⇒ y = 7 x + 2x + 3  2 Bảng biến thiên 1 x −∞ −5 − +∞ 2 f' x − 0 + 0 − ( ) ( ) f (x ) 2 ( 3 ( ) ) 7 5 2 3 ( ) Từ bảng biến thiên suy ra : max f x = 7 khi x = − Ví dụ 19: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: a ) f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên ñoạn [−2; 3] . 9 1 b ) f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên ñoạn [−1; 1] . 4 4 2 c) f (x ) = −x + 5x + 6 . ( ) 2 d ) f x = (x − 6) x + 4 trên ñoạn  0; 3  . 90 1 2 ( ) min f x = 5 khi x = −5 2 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Giải : a ) f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên ñoạn [−2; 3] . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên [−2; 3] . x −2 f '(x ) = x 2 − 4x + 5 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈  −2; 3  f (−2) = 17, f ( 2 ) = 1, f(3) = Vậy : min f (x ) = 1 khi x = 2 . 2. x ∈  −2;3  max f (x ) = 17 khi x = −2 . x ∈  −2;3  9 1 b ) f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên ñoạn [−1; 1] 4 4 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên [−1; 1] . ðặt t x2 t [0; 1] , x 1; 1 , ta có: 9 1 f ( t ) = t 3 − 3t 2 + t + liên tục trên ñoạn [0; 1] 4 4  1 t = 9 2 ⇒ f / ( t ) = 3t 2 − 6t + = 0 ⇔  3   4   t = 2 ∉  0;1  1 1 3 1 f (0) = , f   = , f (1) = . 4  2  4 2 Vậy : 1 1 min f ( t ) = khi t = 0 hay min f ( x ) = khi x = 0 4 4 t ∈  0;1  x ∈  −1;1  3 1 2 khi t = hay max f ( x ) khi x = ± .   x ∈  −1;1  4 2 2 −x 2 + 5x + 6 . max f (t ) =   t ∈  0;1  c) f (x ) = D = [−1; 6] Hàm số f (x ) = f '(x ) = −x 2 + 5x + 6 liên tục trên ñoạn [ 1; 6] . −2x + 5 2 −x 2 + 5x + 6 5 f' x 0 x [ 1; 6] 2 5 7 f (−1) = f ( 6 ) = 0, f   = .  2  2 Vậy : 91 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 min f ( x ) = 0 khi x = −1, x = 6 x ∈  −1;6  max f ( x ) = x ∈  −1;6  7 5 khi x = . 2 2 ( ) 2 d ) f x = (x − 6) x + 4 trên ñoạn  0; 3  . 2 Hàm số y = (x − 6) x + 4 liên tục trên ñoạn  0; 3  . 2x 2 − 6x + 4 y' = x2 + 4 x = 1 ∈ 0; 3    y' = 0 ⇔  x = 2 ∈ 0; 3   y(1) = −5 5    max y = −3 13 y(0) = −12  x ∈0;3 ⇒ y(2) = −8 2  y = −12 xmin ∈ 0;3   y(3) = −3 13   Vậy max y = −3 13 khi x = 3 , min y = −12 khi x = 0 x ∈ 0;3  x ∈ 0;3  Ví dụ 20: ( ) a ) Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên ñoạn  −5;5  . b ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên ñoạn  –3; 2  . ( ) 3 2 c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x = x − 3x + 1 trên ñoạn  −2;1 . ( )   d ) Tìm a ñể giá trị lớn nhất của hàm số f x = x + 2x + a − 4 trên ñoạn  −2;1 ñạt giá trị nhỏ nhất 2 Giải : ( ) a ) f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 , x ∈  −5; 5  Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  −5;5  . ( ) ðặt g x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90, x ∈  −5;5  ( ) Ta có : g ' x = 3x 2 + 6x − 72 92 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 x = −6 ∉  −5;5    g' x = 0 ⇔  x = 4 ∈  −5; 5   ( ) () ( ) () ⇒ −86 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 400 Vậy : max f ( x ) = 400 khi x = −5 . g 4 = −86, g −5 = 400, g 5 = −70 x ∈ −5;5 b ) f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên ñoạn  –3; 2  Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  –3; 2  . x3 ðặt g x g / (x ) 3x 2 g' x g ( 3) 0 16 0 3x 2, x –3; 2 3 x 1 [ 3; 2] 16, g ( 1) 4, g(1) 0, g (2) g(x ) 4, x 16 , x f x 0 [ 3; 2] 4 g (x ) 16 , x [ 3; 2] [ 3; 2] . Vậy max f ( x ) = 16, min f ( x ) = 0 x ∈  –3; 2  x ∈  –3; 2  ( ) 3 2 c) f x = x − 3x + 1 trên ñoạn  −2;1 .   Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  −2;1 . ( ) ðặt g x = x − 3x + 1, x ∈  −2;1 3 2 ( ) g ' x = 3x 2 − 6x . x = 0 g' x = 0 ⇔  x = 2 ∉  −2;1  g −2 = −19, g 0 = 1, g 1 = −1 , suy ra max g x = 1, min g x = −19 . ( ) ( ) () ()  −2;1   ( ) ( ) ( ) ( )  −2;1   x ∈  −2;1 ⇒ g x ∈  −19;1 ⇒ f x = g x ∈ 0;19  .     ( ) () () ( ) g 0 .g 1 < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈ 0;1 sao cho g x 1 = 0. ( ) ( ) Vậy max f x = 19, min f x = 0.  −2;1    −2;1   ( ) d ) f x = x 2 + 2x + a − 4 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên  −2;1 . ( ) ( ) 2 f x = x 2 + 2x + a − 4 = x + 1 + a − 5 93 ( ) Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 ( ) Ta có f (t ) = t + a − 5 , t ∈ 0; 4  max f ( x ) ⇔ max f (t ) = max {f ( 0 ) , f {4}} = max { a − 5 , a − 1 } • a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ max f (t ) = a − 5 = 5 − a • a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ max f (t ) = a − 1 = a − 1 2 ðặt t = x + 1 , x ∈  −2;1 ⇒ t ∈ 0; 4  x ∈ −2;1 t ∈ 0;4  t ∈ 0;4  t∈ 0;4  t∈ 0;4  t ∈ 0;4  5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3 ⇒ max f t ≥ 2, ∀a ∈ ℝ Mặt khác  t∈ 0;4  a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3 () () Vậy giá trị nhỏ nhất của max f t = 2 khi a = 3 t∈ 0;4  Ví dụ 21: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: ( ) a) f x = x + 4 − x 2 . ( ) b) f x = x +1 trên ñoạn x ∈  −1;2  . x +1 2 Giải : ( ) a) f x = x + 4 − x 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −2;2  . ( ) x Ta có f ' x = 1 − ( ( ) ) , x ∈ −2;2 4 − x2  4 − x 2 − x = 0  4 − x 2 = x 0 < x < 2 0 < x < 2 ⇔ ⇔ ⇔x = 2 f' x =0⇔ 2 2 ⇔  2 − = = 4 2 x x x ∈ − ∈ − 2;2 2;2 x x     Bảng biến thiên ( ) x ( ) f (x ) 4 − x2 ( −2 ) 2 − f' x = 4 − x2 − x 0 2 + −2 2 2 2 ( ) Từ bảng biến thiên , ta ñược max f x = 2 2 khi x = 2 x ∈ −2;2  94 ( ) min f x = −2 khi x = −2 x ∈ −2;2 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 x +1 ( ) b) f x = x2 + 1 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −1;2  . −x + 1 ⇒ f' x =0⇔x =1 Ta có f ' x = 3 2 x +1 ( ) ( ( ) ) Bảng biến thiên . x f' x ( ) f (x ) −1 1 0 + 2 − 2 3 5 5 0 ( ) Từ bảng biến thiên , ta ñược max f x = 2 khi x = 1 x ∈ −1;2  ( ) min f x = 0 khi x = −1 x ∈ −1;2 Ví dụ 22: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: y = 1 sin x + cos x Giải :  π sin x + cos x liên tục trên ñoạn 0;   2 Xét hàm số g (x ) = g '(x ) = cos x − 2 sin x sin x = cos x cos x − sin x sin x 2 cos x 2 sin x .cos x g '(x ) = 0 ⇔ cos x = sin x ⇒ x = π π 4 π g(0) = 1; g( ) = 4 8; g( ) = 1 ⇒ 1 ≤ g(x ) ≤ 4 8 ⇒ 4 2 Vậy min y = 1 4 8 1 4 8 ≤y ≤1 , max y = 1 Ví dụ 23: ( ) Tìm các giá trị a, b sao cho hàm số f x = bằng −1 ax + b có95 giá trị lớn nhất bằng 4 và có giá trị nhỏ nhất x2 + 1 Nguyễn Phúnhất Khánh -ðànhất Lạt Giá trị lớn và nhỏ Các vấn ñề liên quan Hàm–số Nguyễn Phú Khánh ðàlớp Lạt12 Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . • Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi ax + b 4x 2 − ax + 4 − b ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ≤ 4, ∀x ∈ ℝ  2 x + 1  ∆ = a 2 − 16 4 − b ≤ 0 ⇔   2 ax 0 + b 4 4 0 : co ù nghieä m x − + − = ⇔ x ax b  0 ∃x 0 ∈ ℝ : 2  0 0 2 =4 ∆ = a − 16 4 − b ≥ 0 x0 + 1   ( ( ) ) () ⇔ a 2 + 16b − 64 = 0 * • Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi ax + b ≥ −1, ∀x ∈ ℝ 2  2 ∆ = a 2 − 4 b + 1 ≤ 0 x + 1 x + ax + b + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ⇔ 2 ⇔ ax + b ∆ = a2 − 4 b + 1 ≥ 0 ∃x 0 ∈ ℝ : 20 x 0 + ax 0 + b + 1 = 0 : coù nghieäm x 0 = −1  x0 + 1  ( ( ⇔ a 2 − 4b − 4 = 0 (* *) () 2 a 2 + 16b − 64 = 0 * a = 16 a = −4 a = 4 ⇔⇔  ⇔ ∨ Từ * và * * ta có hệ  2 b = 3 b = 3 a − 4 b − 4 = 0 * *  b = 3     a = −4 a = 4 ∨ Vậy giá trị a, b cần tìm là :  b = 3 b = 3 () ( ) ( ) Ví dụ 24: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 3 sin x a) f x = 1 + 2 + cos x 4 b ) f x = sin x + cos 4 x c) ( ) ( ) f ( x ) = sin 4 x + cos2 x + 2 Giải : 3 sin x 2 + cos x Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 3 sin x 3 sin x Ta có y = f x = 1 + ⇔ y −1 = ⇔ y − 1 2 + cos x = 3 sin x 2 + cos x 2 + cos x ( ) a) f x = 1 + ( ) ( 96 )( ) ) )
- Xem thêm -