Tài liệu Gia tri lon nhat gia tri nho nhat cua ham so

Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. Đề tài: PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU LỜI NÓI ĐẦU : Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của Toán học nói chung và Toán học ở cấp trung học phổ thông nói riêng. Quan điểm của hàm số được quán triệt xuyên suốt trong toàn bộ chương trình Toán ở cấp trung học phổ thông. Các bài toán về hàm số được khai thác liên tục trong các kỳ thi như: Tốt nghiệp, Đại học và kỳ thi học sinh giỏi Toán các cấp. Lí thuyết và hàm số được định nghĩa cơ bản đầy đủ từ lớp 10 được bổ xung các hàm sơ bản ở lớp 11 và xét nâng cao thêm về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình khối 12 vì vậy việc làm rõ hơn về hàm số và ứng dụng của hàm số không chỉ giúp cho các em học sinh tự tin hơn khi học về hàm số mà còn giúp các em rất nhiều trong việc nâng cao kỹ năng làm Toán và ứng dụng vào trong thực tế cuộc sống I. Lí do chọn đề tài: Toán học nói chung và hàm số nói riêng có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống cũng như trong các ngành khoa học khác. Có thể nói Toán học là nền tảng để các em học sinh học tốt các môn Khoa học tự nhiên khác. Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 cơ bản và nâng cao của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã trình bày rất rõ khái niệm hàm số và đã bắt đầu đề cập đến một ứng dụng của hàm số là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cũng như trên một đoạn. Trong chương trình khối 11, 12 tiếp tục đề cập đến bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh khối 12 hiểu rõ hơn về hàm số và ứng dụng của nó để làm cơ sở và nền tảng kiến thức tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như chuẩn bị kiến thức, kỹ năng ứng dụng vào thực tế cuộc sống. 1. Cơ sở lí thuyết: - Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của Bộ Giáo dục và Đào tạo - Căn cứ vào Sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao của Bộ Giáo dục và Đào tạo - Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh trong việc học chương trình Sách giáo khoa Giải tích 12 GV: Đinh Văn Thắng 1 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. - Căn cứ vào chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán 12 cơ bản và nâng cao - Căn cứ vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số đã nêu trong Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản và nâng cao 2. Cơ sở thực tiễn: - Khả năng vận dụng linh hoạt phương pháp giải của học sinh còn yếu - Khả năng vận dụng công thức của học sinh còn yếu - Những thuận lợi và khó khăn của học sinh khi giải toán II. Mục đích nghiên cứu: - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong giảng dạy - Tạo ra tài liệu cho bản thân và học sinh tham khảo tự rèn luyện, ôn thi III. Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài: 1. Nhiệm vụ: Trong đề tài này tập trung vào - Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một khoảng - Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn - Một số ứng dụng đơn giản vào các bài toán thực tế 2. Yêu cầu: - Nắm được phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng, trên đoạn IV. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh các lớp khối 12 trong trường THPT Tập Sơn đặc biệt là 2 lớp 12A5 và 12A6. V. Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp từ các tài liệu - Sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao(Nhà xuất bản giáo dục) - Chuẩn kiến thức kỹ năng 12(Nhà xuất bản giáo dục) - Sách giáo khoa 12(Chỉnh lí hợp nhất năm 2000) - Đề thi Tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh đại học - Tham gia và tài liệu bồi dưỡng chuyên môn hàng năm do Sở Giáo dục và Đào tạo Trà Vinh tổ chức nếu có điều kiện VI. Thời gian thực hiện: Trong qua trình phân công giảng dạy khối 12 bậc trung học phổ thông GV: Đinh Văn Thắng 2 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG A. THỰC TRẠNG NẢY SINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: I. Đặc điểm tình hình lớp: 1. Đặc điểm chung: - Trà Cú là một huyện khó khăn, số lượng học sinh dân tôc chiếm tỉ lệ khá cao, nhiều học sinh có hoàn cảnh khó khăn cả về vật chất lẫn tinh thần do đó việc đầu tư về thời gian và sách vở cho học tập còn hạn chế gây ảnh hưởng không nhỏ đến việc nhận thức và phát triển năng lực học toán của các em. Sau khi nhận lớp tôi tìm hiểu và nhận thấy việc nhận thức của các em học sinh không đồng đều về mặt kiến thức cũng như về kỹ năng tính toán, kỹ năng giải toán do đó gây khó khăn nhiều cho giáo viên trong việc lựa chọn phương pháp dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng hoc sinh. 2. Kết quả khảo sát đầu năm học: Lớp Sĩ số 12A5 12A6 TC 29 28 57 Giỏi SL TL% Khá SL TL% Trung bình SL TL% Yếu SL TL% Kém SL TL% 3. Nguyên nhân a. Nguyên nhân khách quan - Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều nhất là phần đạo hàm của các hàm số và các bài toán liên quan đến dấu của nhị thức cũng như tam thức - Phân phối chương trình Toán 12 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học Toán giảm nhiều so với chương trình cũ nhưng nội dung nhìn chung không thay đổi nhiều - Học sinh hổng kiến thức nhiều b. Nguyên nhân chủ quan - Tuy là học sinh khối 12 nhưng đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn, chỉ biết trong chờ vào người khác. - Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện, khả năng tư duy sáng tạo trong việc học toán nói riêng và học tập nói chung còn yếu. - Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào việc giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng giải toán nói chung ...quá yếu. GV: Đinh Văn Thắng 3 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. II. Các giải pháp thực hiện: Muốn đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là phần hàm số đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình bộ môn Toán của trung học phổ thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT với phương trâm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học Trong đề tài này tôi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức đạo hàm của các hàm số, kỹ năng giải các phương trình cơ bản và rèn luyện kỹ năng tính toán đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyên và ôn tập. Trong phạm vi đề tài, sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là: “PHƯƠNG PHÁP GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ”. Trong đề tài của mình tôi chỉ tập trung vào phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn và một số ứng dụng nhỏ của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn vào các bài toán thực tế. Nhất là tập trung vào khâu kỹ năng giải toán trong các bài toán “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” B. CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN: I. Công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: 1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x 0  (a; b) nếu tồn tại giới hạn (Hữu hạn): xlim x 0 f ( x)  f ( x0 ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = x  x0 f(x) tại x0. Ký hiệu: y '  x0   lim x  x0 f ( x )  f ( x0 ) hoặc f’(x0) x  x0 Lưu í : Nếu hàm số có đạo hàm trong khoảng (a;b) thì liên tục trên khoảng đó nhưng ngược lại thì chưa chắc đúng GV: Đinh Văn Thắng 4 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. 2. Các quy tắc tính đạo hàm. 2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x)) Hàm số cơ bản (C)’=0(C là hằng số) (x) ’=1  ( x ) '   . x 1 Hàm số hợp (u ) '   . u  1. u ' / / 1 1      2 với x  0 x x / 1 x  với (x > 0) 2 x (s inx )'  cos x (cos x )'   s inx 1  (t anx )'  x   k 2 với cos x 2 1 ( co t x )'   2 với x  k sin x 1 ( lnx )'  với x > 0 x 1 (log a x )'  với x > 0 x ln a ( e x )'  e x u/ 1  với u  0     u2 u  / u/ u  với (u > 0) 2 u (s inu )'  u' .cos u (cos u )'  u' .s in u u'  (t anu )'  u   k 2 với cos u 2 u' ( co t u )'   2 với u  k sin u u' ( lnu )'  với u > 0 u u' (log a u )'  với u > 0 u ln a ( eu )'  u' . eu ( a x )'  a x . ln a ( a u )'  u' . a u . ln a     2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :   u  v   u /  v/   u.v   u / v  v / u và  ku   ku / / , / / , k . v'  u  u '. v  v'. u và  k      với:     2 2 v v v v     2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)] v0 g /  x  f /  u  u/  x . C. NỘI DUNG I. Các khái niệm và lí thuyết cơ bản: 1. Định Nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng K. + Nếu có x0  K sao cho f(x) ≤ f(x 0) x  K thì f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x0 ) f(x) trên khoảng K Kí hiệu: max K + Nếu có x0  K sao cho f(x) ≥ f(x 0) x  K thì f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x0 ) f(x) trên khoảng K Kí hiệu: min K GV: Đinh Văn Thắng 5 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. 2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất a. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K Phương Pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K rồi nhìn trên đó để kết luận max , min b. Bài toán 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  f  x  trên đoạn  a; b  Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên đoạn đó và kết luận Phương pháp 2:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thi ta có các bước làm như sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) đã cho 2. Tìm các điểm x1 ; x2 ;...; xn trên đoạn  a; b  , tại đó f '  x  = 0 hoặc f '  x  không xác định 3. Tính : f  a  ; f  x1  ; f  x2  ;...; f  xn  ; f  b  . 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên (ở bước 3). f  x Khi đó M  max  a ;b  f  x ; m  min  a ;b  Chú ý: 1. Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì hàm số f(x) luôn tồn tại giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất và tất cả các giá trị trung gian nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn đó 2. Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn nào có nghĩa là ta đi tìm GTLN và GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số đó II. Bài tập cơ bản áp dụng: II. 1 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất trên một khoảng Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  3x  6 với x >1 x 1 Giải: Ta có: y'  x  1  ( 1;  ) x 2  2x  3 y   từ đó y'  0   Và xlim 2   x  3  y  3 ( x 1)  lim y   x  1 Bảng biến thiên: x   y’ y GV: Đinh Văn Thắng -1 1 3 -   0 + 6 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. 3 Vậy giá trị nhỏ nhất là 3 và giá trị lớn nhất không tồn tại Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  2x  3 Giải : Hàm số xác định khi : ‫ڳ‬x ‫ ڳڳ‬1 x Ta có : y'  x 1 x 2  2x  3 3 và y’ = 0 khi x = 1  x 1 -1 y’  y - 0 0 3  +  0 Vậy giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lớn nhất không tồn tại II.2 : Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất trên một đoạn 1. Hàm đa thức : 1.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a ) y  f  x   2 x 3  6 x 2  1 trên đoạn  1;1 b) y  f  x   2 x 4  4 x 2  3 trên đoạn  0; 2 1 c) y  f  x    x 3  x 2  2 x  1 trên đoạn  1;0 3 Giải 2 a) Ta có :hàm số liên tục trên  1;1 và  f '  x   6 x  12 x x  0  [  1;1] 2  f '  x   0  6 x  12 x  0   x  2  [  1;1] *  Tính : * * f  1  7 f  0  1 f  1  3 f  x  1  Vậy : max  1;1 f  x   7 ; min  1;1 Các ví dụ còn lại giả tương tự GV: Đinh Văn Thắng 7 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. 1.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: 1 a ) y  x 3  x 2 trên đoạn  1;3 3 1 1 b) y   x 4  x 2  trên đoạn  0; 2 2 2  5 c ) y  2 x3  3x 2  12 x  1 trên đoạn 2;   2 d ) y  x 3  3 x 2  5 trên đoạn  1; 4 e) y  x 4  8 x 2  16 trên đoạn  1;3  1 g ) y  x 4  x 2  1 trên đoạn 0;   2 2) Hàm phân thức : 2.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a) y  f  x   2x  1 trên đoạn  2; 4 1 x c) y  f  x    x  1  4 trên đoạn  1; 2 x2 b) y  f  x   2x 1 trên đoạn x2 d ) y  f  x  x2  2x  3 trên đoạn  0;3 x2  1   2 ;1 Giải a) Ta có :  f '  x   3  1 x 2  0 x  [2; 4]  Tính : f  2   5; f  4   3 f  x   3 ; min f  x   5  Vậy : max  2;4  2;4 Các ví dụ còn lại giả tương tự 2.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a) y  x  2 1  trên đoạn  ; 4  x2 2  c) y  x  3  e) y  9 trên đoạn  3;6 x2 2x trên đoạn  1;3 3x  1 b) y  1 trên đoạn  0;1 2 x d)y  x 2  3x trên đoạn  0;3 x 1 g) y  1  2x trên đoạn  2;1 2x  4 3) Hàm căn thức : 3.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a ) y  f  x   5  4 x trên đoạn  1;1 1  b) y  f  x   4 x  x 2 trên đoạn  ;3 2  GV: Đinh Văn Thắng 8 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. c) y  f  x   x  4  x 2 Giải 2 5   0x    ;  4 5  4x  a)  Ta có : f '  x     Tính : f  1  3; f  1  1  Vậy : max f  x   3 ; min f  x   1  1;1  1;1 Các ví dụ còn lại giả tương tự 3.2) Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a) y  9  7 x 2 trên đoạn  1;1 b) y   x  6  x 2  4 trên đoạn  0;3 c) y  4  4  x 2 d)y  x 1 x2  1 trên đoạn  1; 2 e) y   3  x  x 2  1 trên đoạn  0; 2 4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit: 4.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a ) y  f  x   2 x.e x trên đoạn  1; 2 c) y  f  x   ln x 2 trên đoạn 1;e  x b) y  f  x   x  e 2 x trên đoạn  1;0 d ) y  f  x   x 2  ln  1  2 x  trên đoạn  1;0 Giải x x a)  Ta có : f '  x   2e  2 xe  f '  x   0  x  1 2 e  Tính : f  1   ; f  2   4e 2 f  x   4e 2 ; min f  x    2  Vậy : max  1;1  1;1 e Các ví dụ còn lại giả tương tự 4.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a) y  x.e 2 x trên đoạn  2;1 GV: Đinh Văn Thắng b) y  x  e x trên đoạn  1; 2 9 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. ln 2 x 3 trên đoạn 1;e  c) y  x e) y  d ) y  x ln x trên đoạn  1; e ex trên đoạn  ln 2;ln 4 ex  e g ) y  x 2 .ln x trên đoạn  1; e h) y  x.e  x trên đoạn  1; 2 5) Hàm số lượng giác: 5.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:   b) y  f  x   x  2 cos x trên đoạn 0;   2    a ) y  f  x   sin 2 x  x trên đoạn  ;   2 2 Giải / a)  Ta có : f  x   2cos2x  1  f /  x  0  x     6    ( Do x   ;  )  2 2  3  3          f      ; f    ; f   2 6 2 6  6 6 2 2    Tính : f     ; 2   2  f(x)  Vậy : max   2  ;  ;  2 2 min f  x       2 ;2     2 Câu b giải tương tự 5.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:  3  a )y  2 sin x  sin 2x trên đoạn 0;   2  c )y  s in x trên đoạn  0;   2  cos x     b )y  sin 2x  x trên đoạn  ;   6 2 d )y  3.x  2 s inx trên đoạn  0;   6. Phương pháp đổi biến trong tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 6.1 Ví dụ: a )y  f  x   sin 2 x  2 cos x  2 c ).y  ln 2 x  2 ln x  1 trên đoạn [e -2; e] ln x  3 b ). y  e 2 x  3e x  6 trên đoạn [0;ln3] ex  1 d ). y  2 sin x  2 cos x  sin 2x  1 Giải a) MXĐ : D  R GV: Đinh Văn Thắng 10 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. 2  Ta có : f  x   cos x  2co s x  3  Đặt : t  cos x ; t   1;1 ; x  R 2  Ta xét hàm số : g  t   t  2t  3 trên đoạn  1;1 /  Ta có : g  t   2t  2  g '  t   0  t  1  Tính : g  1  4; g  1  0 f  x   max g  t   4  Vậy : max R  1;1 f  x   min g  t   0 ; min R  1;1 Các bài còn lại giải tương tự 6.2 Các bài tập áp dụng:   a ) y  2 cos 2x  4 s in x trên đoạn 0;  b ) y  2 sin 3 x  cos 2 x  4 sin x  1 c ). y  e3 x  3e 2 x  9e x  1 trên [0;1] d ). y  4  ( 1  log 22 x )2  2 III. Vận dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào các bài toán có chứa tham số. Trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số khi có chứa tham số thì học sinh rất lúng túng trong cách giải, sau đây ta xét một số ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3x 2  m 2  m có giá trị lớn nhất trên [-1;2] lớn hơn 2 Giải  x  0  [  1;2 ] 2 Hàm số liên tục trên [-1;2] và có y'  3x 2  6 x do đó y  0  3x  6 x  0    x  2  [  1;2 ] y  m 2  m Từ đó: ycbt  m 2  m  2  m2  m  2  0  m  2  m  1 Vậy [max 1;2 ] Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  4x 2  m 2  4m trên [-2;0] đạt giá trị nhỏ nhất Giải: y  m 2  4m  4  ( m  2 )2  8  8 Ta có: giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-2;0] là [min  2;0 ] y nhỏ nhất là – 8: Khí m = 2 Vậy [min  2;0 ] GV: Đinh Văn Thắng 11 Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin. IV. Áp dụng của bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất vào thực tế Ví dụ 1 : Người ta cần làm một khối lăng trụ tứ giác đều bằng tole có thể tích 2 dm 3 vậy cần xác định độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật như thế nào để ít hao tốn vật liệu nhất Giải Gọi cạnh bên của lăng trụ đều là a > 0, cạnh đáy của lăng trụ đều là b > 0 (dm) Ta có : a.b2 =2  a  4 b 2 Stp  2( 2ab  b 2 ) 2 mặt khác diện tích của miếng tole cần sử dụng là : b   2 = 2   b  =f(b) Ta có : f’(b) =  8  4b Khi đó : f’(b)=0  b  3 2 b2 b f’(b) f(b) 0 3 - + + 2 0 43 4 Vậy phải cắt miếng tole theo độ dài là dài = rộng = cao = + 3 + 2 dm thì thể tích không đổi nhưng ít tốn nguyên vật liệu nhất Ví dụ 2 : Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tole hình vuông có cạnh là 1 mét. Tính thể tích của hộp cần làm. Giải : Giả sử mỗi góc ta cắt đi một hình vuông cạnh x 1 2 Khi đó chiều cao của hộp là x dm (0 - Xem thêm -