Tài liệu Giả thuyết giá trị trung bình smale

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỒNG NHUNG GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -1- MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................. Chương 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE 3 5 1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale………………………….. 5 1.2 Một số công thức đánh giá ……………………………………………. 9 1.3 Đa thức đã được chuẩn hóa……………………………………………. 13 1.4 Giả thuyết Smale cho các lớp đa thức đặc biệt………………………… 17 1.4.1 Đa thức với tất cả các hệ số là những số thực……………………. 17 1.4.2 Các đa thức có tất cả các không điểm là những số thực………….. 19 1.4.3 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn là những số thực…………. 20 1.4.4 Các đa thức có các điểm tới hạn nằm trên các tia………………… 21 1.4.5 Các đa thức có tất cả các không điểm có môđun bằng nhau……… 30 1.4.6 Các đa thức có tất cả các điểm tới hạn có môđun bằng nhau hoặc 33 tất cả các giá trị tới hạn có mô đun bằng nhau…………………………. Chương 2 MỘT SỐ GIẢ THUYẾT MỞ RỘNG HOẶC LIÊN QUAN 34 ĐẾN GIẢ THUYẾT SMALE 2.1 Phương pháp lặp Newton, Giả thuyết Smale và động học của đa thức... 34 2.1.1 Phương pháp lặp Newton………………………………………… 34 2.1.2 Bất đẳng thức Smale và tính hiệu quả của phương pháp Newton... 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -2- 2.1.3 Động học của đa thức ……………………………………………. 39 2.2 Dạng mạnh của giả thuyết Smale………………………………………. 41 2.3 Bài toán đối ngẫu của Giả thuyết Smale……………………………….. 56 2.4 Chứng minh giả thuyết 1 cho các đa thức bậc d  4 …….…………... 60 2.5 Tổng quát Giả thuyết Smale ………………………………………. 64 2.6 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình của Smale dưới dạng bài toán cực trị ………………………………………………………………………. 70 KẾT LUẬN……………………………………………………………….. 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….. 79 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -3- LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton giải phương trình đa thức, S. Smale đã chứng minh Bất đẳng thức Smale (Smale, 1981) Giả sử p ( z ) là một đa thức phức bậc d  2 với các điểm tới hạn là z j , j  1,2,..., d  1. Nếu z không phải là điểm tới hạn của p ( z ) thì min j 1,..., d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  4 p( z ) . Từ đây ta có Bài toán Tìm hệ số K (d ) nhỏ nhất (không phụ thuộc vào p mà chỉ phụ thuộc vào bậc d của p ) sao cho min p( z)  p( z j ) j 1,..., d 1 (z  z j )  K (d ) p( z ) . Và S. Smale đã đưa ra Giả thuyết giá trị trung bình Smale Giả sử p ( z ) là một đa thức bậc d  2 với các điểm tới hạn là z j . Nếu z không phải là điểm tới hạn của K (d )  p ( z ) thì min j 1,..., d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  K (d ) p( z ) , với K (d )  1 hoặc d 1 . d Tuy đã được phát biểu cách đây hơn 30 năm, Giả thuyết giá trị trung bình Smale mới chỉ chứng minh được cho các trường hợp d  2,3,4 hoặc cho một số lớp đa thức đặc biệt. Mặc dù vậy, Giả thuyết Smale đã thu hút được sự quan tâm của đông đảo các nhà nghiên cứu, nhiều vấn đề và giả thuyết mới nảy sinh. Có thể kể đến: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -4- Mở rộng Giả thuyết Smale, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với động học phức và tập Julia, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale với các vấn đề của toán học tính toán,… Mục đích của luận văn này là trình bày tổng quan các kết quả đã đạt được trong Giả thuyết Smale. Luận văn gồm hai Chương. Chương 1 phát biểu các dạng khác nhau của Giả thuyết Smale, chứng minh chi tiết các công thức đánh giá và các định lí chứng minh Giả thuyết Smale cho các lớp đa thức thỏa mãn một số tính chất nào đó. Chương 2 trình bày quan hệ giữa Giả thuyết Smale với một số vấn đề khác: Giải tích số, Động học phức và các mở rộng của Giả thuyết Smale. Khi sắp xếp các kết quả, chúng tôi cố gắng làm rõ bức tranh Giả thuyết Smale, chứng minh các định lí được giải mã và làm sáng tỏ hơn. Thí dụ, chứng minh Định lí 1.11 được tách thành hai trường hợp, d  3 và d  4. Nhiều tính toán trong chứng minh được trình bày chi tiết hơn là trong các tài liệu gốc. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm túc của PGS TS Tạ Duy Phượng. Xin được bày tỏ lòng biết ơn tới người Thày, đã không chỉ hướng dẫn khoa học, mà còn động viên và khích lệ tác giả say mê học tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã trang bị cho tôi những kiến thức toán học trong thời gian học Cao học. Xin được cám ơn Trường Trung học Phổ thông Hoàng Su Phì, Hà Giang, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ. Xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, hi sinh và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học Cao học và viết Luận văn. Thái Nguyên, tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Hồng Nhung Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -5- Chương 1 GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE 1.1 Phát biểu Giả thuyết giá trị trung bình Smale Cho p ( z ) là một đa thức bậc d với các hệ số phức. Nếu p ( z0 )  0 thì z0 được gọi là nghiệm hoặc không điểm của p ( z ). Nếu  là nghiệm của đa thức đạo hàm, tức là p( )  0, thì điểm  được gọi là điểm tới hạn hay điểm dừng của đa thức p ( z ). Giá trị   p   với  là điểm tới hạn được gọi là giá trị tới hạn. Đa thức bậc nhất p ( z )  az  b với a  0 có p( z )  a  0 nên p ( z )  az  b không có điểm tới hạn. Vì vậy, từ nay về sau ta luôn giả thiết p ( z ) là đa thức có bậc d với d  2. Giả thuyết giá trị trung bình của S. Smale xuất phát từ định lí sau. Định lí 1.1 (Smale, 1981, [35]) Giả sử p ( z ) là một đa thức bậc d  2 với các điểm tới hạn là z j , j  1,2,..., d  1. Nếu z không phải là điểm tới hạn của p ( z ) thì min j 1,..., d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  4 p( z ) . (1.1) Bất đẳng thức (1.1) thường được gọi là Bất đẳng thức Smale. Bất đẳng thức (1.1) cho đánh giá của đạo hàm p( z ) của đa thức p ( z ) tại điểm z thông qua “cát tuyến” nối hai điểm  z, p( z )  và  z j , p ( z j )  trên đồ thị của p ( z ). Vì vậy, theo một nghĩa nào đó, bất đẳng thức (1.1) là một phát biểu tương tự của Định lí giá trị trung bình Lagrange. Tuy nhiên, cũng cần lưu ý là, Định lí Giá trị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -6- trung bình Lagrange f (a )  f (b) f (a )  f (b)  f ( ) cho đánh giá hệ số góc của a b a b cát tuyến thông qua đạo hàm tại một điểm   a, b nào đó. Từ Định lí 1.1, S. Smale đã đi đến Bài toán 1 Tìm hệ số K (d ) nhỏ nhất (không phụ thuộc vào p mà chỉ phụ thuộc vào bậc d của p ) sao cho với mọi đa thức phức p ( z ) có bậc d ta có min p( z)  p( z j ) j 1,..., d 1 (z  z j )  K (d ) p( z ) . (1.2) Bài toán này đã được S. Smale đặt ra (1981, [35]) khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton giải gần đúng phương trình đa thức, nó được M. Shub và S. Smale (1986, [34]) cùng nhiều tác giả khác nghiên cứu và phát triển (xem Tài liệu tham khảo). Mặc dù không được liệt kê trong danh sách chính thức 18 bài toán của Mathematical Problems for the Next Century, nhưng Bài toán 1 là một trong ba bài toán được S. Smale liệt kê thêm ngoài danh sách chính thức và được S. Smale coi là “...don’t seem important enough to merit a place on our main list, but it would still be nice to solve them.” (xem [36]). Bài toán 1 được S. Smale phát biểu thành giả thuyết (sau này được gọi là Giả thuyết giá trị trung bình Smale hay Giả thuyết Smale) dưới đây. Giả thuyết 1 (Giả thuyết giá trị trung bình của Smale) Giả sử p ( z ) là một đa thức bậc d  2 với các điểm tới hạn là z j . Nếu z không phải là điểm tới hạn của p ( z ) thì min j 1,..., d 1 p( z)  p( z j ) (z  z j )  K (d ) p( z ) , với K (d )  1 hoặc thậm chí có thể K (d )  (1.3) d 1 : K 0 (d ). d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -7- Nhận xét 1.1 Hằng số K 0 (d )  d 1 là tốt nhất có thể. d Thật vậy, xét đa thức p( z )  z d   z với d  2 và   0. Ta có p (0)  0 và p( z )  dz d 1   . Chọn z  0, ta có p (0)  0, p(0)   và p (0)  p ( z j )  z dj   z j z dj 1     . (0  z j ) p(0)  z j  Vì z j là nghiệm của p( z )  dz d 1    0 nên thay   dz dj 1 vào công thức trên ta được z dj 1   z dj 1  dz dj 1 d  1 p ( z )  p ( zi )    . ( z  z j ) p( z )   dz dj 1 d Do đó để bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi z   và mọi đa thức p ( z ) bậc d thì K (d )  d 1 . d Dấu bằng đạt được khi z  0 cho đa thức p( z )  z d   z nên K 0 ( p)  d 1 là d cận tốt nhất có thể. Nhận xét 1.2 Bằng phép biến đổi tuyến tính, không hạn chế tổng quát, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (1.3) cho các đa thức p ( z ) với p (0)  0, p(0)  0 (hoặc thậm chí p(0)  1 ) và chọn z  0. Thật vậy, với mỗi  i   mà p( i )  0, đặt g ( z )     \ 0. Khi ấy ta có g (0)  g ( z )  p   z   i   p ( i )  p( i ) p  i   p ( i )  0 và  p( i )  p   z   i  p   z   i   .  p( i ) p( i ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với -8- Suy ra g (0)  1. Giả thuyết Smale có thể được phát biểu lại như sau. Giả thuyết 1a Cho p ( z ) là một đa thức bậc d  2 thỏa mãn p (0)  0 và p(0)  0 . Khi đó tồn tại điểm tới hạn  của p ( z ) để K (d )  1 hoặc thậm chí K (d )  p ( )  K (d ), trong đó  p(0) d 1 . d Với Nhận xét 1.2, ta có thể phát biểu lại Giả thuyết 1 dưới dạng sau. Giả thuyết 1b (Giả thuyết đã được chuẩn hóa–the normalized conjecture) Giả sử p  z  là một đa thức bậc d  2 thỏa mãn p  0   0 và p  0   1. Khi đó tồn tại một điểm tới hạn  của p ( z ) sao cho p    K (d ).  Giả thuyết 1 mới chỉ được chứng minh cho d  2, 3, 4 (xem [27]). Giả thuyết 1 cũng được Marinov và Sendov (2007) minh họa bằng các tính toán cho một lượng khá lớn các ví dụ với d  10 trong [20]. Với d  2, đa thức p  z   a0 z 2  a1 z  a2 ( a0  0 ) thỏa mãn điều kiện p  0   0 và p  0   1 có dạng p  z   a0 z 2  z. Đạo hàm p  z   2a0 z  1 có duy nhất một điểm tới hạn    1 . Do đó ta có 2a0 p    a0 2   1 1   a0  1  a0 ( ) 1  .   2a0 2 1 2 Vậy Giả thuyết Smale trở thành đẳng thức cho đa thức bậc hai với K (2)  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -9- Trường hợp d  3 chứng minh không quá khó khăn, trường hợp d  4 đã được chứng minh bởi J.-C. Sikorav và được cải tiến bởi Tischler (1989, [38]) và sau này được nhiều tác giả khác chứng minh theo nhiều cách khác nhau. E. Crane trong bài Preprint (2004, [8]) và có lẽ cả trong luận án Tiến sĩ (2004, [7]), đã chứng minh Giả thuyết Smale cho trường hợp d  5 dựa trên kết quả của [9] nhờ phương pháp số chính xác (a rigorous computational method). Tuy nhiên, cho tới nay, sau 10 năm, hình như vẫn chưa có công bố chính thức trên tạp chí. G. Schmieder đã trình bày chứng minh Giả thuyết Smale trong một bài báo công bố trên arXiv:math (2003, [26]), tuy nhiên, hình như chưa có công bố trên tạp chí chính thức và chứng minh của G. Schmieder có vẻ như không được công nhận. Như vậy, có thể nói, cho tới nay, Giả thuyết Smale mới chỉ được chứng minh chặt chẽ cho các trường hợp d  2,3,4 hoặc một số lớp đa thức thỏa mãn một số tính chất nào đó. 1.2 Một số công thức đánh giá Vì d 1 d 1  K (d )  4 và đánh giá K (d )  1 hoặc K (d )  chưa được chứng d d minh nên một trong các hướng nghiên cứu là làm giảm hệ số K (d ). Beadon, Minda và Ng. (2002, [1]) đã chứng minh, có thể chọn 1 K1 ( d )  4 Hiển nhiên, 4 d 2 d 1 1 d 1 4 d 2 d 1 . (1.4)  4 với mọi d  2. Với d  5 (là trường hợp bậc nhỏ nhất mà Giả thuyết Smale còn chưa được chứng minh), ta có 4 d 2 d 1 3 4  4  2.8284. Giả sử p ( z ) là đa thức bậc d  2, còn z j , j  1,2,..., d  1 là các điểm tới hạn của p ( z ), tức là p( z j )  0. Để tiện trình bày, với z  z j , j  1,2,..., d  1, ta kí hiệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 10 - S  p, z ,   : S j  p, z   p z  p z j   z  z  p  z  ; p  z   p   ;  z    p  z  S ( p, z ) : min S j ( p, z ) . j 1,..., d 1 j Nhận xét 1.3 Giả sử a , b, A, B là các hằng số với aA  0. Đặt z  az  b,   a  b và p  z   Ap  az  b   B. Khi ấy ta có S p , z,  S  p, z ,  .   Chứng minh Thật vậy, vì p z  z   Ap  az  b   Aap( z ) nên S p , z,     p  z   p   Ap  az  b   B   Ap a  b  B   z  b   b    z   p   z     p z a   a         A  p ( z )  p ( )  p ( z )  p ( )   S ( p, z ,  ). z   z   p ( z )   Aap( z ) a Tương tự như trên, nếu giả thiết p (0)  0 và p(0)  0 thì với z  0, ta kí hiệu S j : S  p,0   p zj  z j p  0  , z j  0, j  1,2,, d  1. Giả thuyết Smale được phát biểu lại như sau. Giả thuyết 1c Với bất kỳ đa thức p ( z ) có bậc d  2 và z   mà p( z )  0, tồn tại một số j  1,2,..., p  1 sao cho S j  p , z   K (d ), trong đó K (d )  1 (hoặc thậm chí K ( p )  1  1 ). d Ta có Định lí 1.2 (Beardon, Minda and T. W. Ng, 2002, [1]) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 11 - 1) Nếu C là bao lồi đóng của tất cả các giá trị tới hạn của p ( z ) và p ( z )  C thì S ( p, z )  3.079... 2) Giả sử D là đĩa (hình tròn) đóng nhỏ nhất chứa tất cả các giá trị tới hạn của p ( z ) với tâm là điểm  và bán kính r. Nếu p ( z )  D thì S ( p, z )  Vì (r  p( z )   ) r 2  p ( z )   2 p( z)   ( p( z )    r ) (r  t ) r 2  t 2  2r  r2  1  1   t (t  r ) t2  tr  . nên vế phải là một hàm giảm của t  p( z )   và hàm này tiến tới 1 khi t   (khi z   ). Thí dụ, khi p( z )    5r thì S ( p, z )  1.5297... Như vậy, Giả thuyết Smale là đúng theo nghĩa tiệm cận lim S ( p, z )  1 . z  Conte, Fujikawa và Lakic (2007, [4]) đã chứng minh, có thể chọn K 2 (d )  4 d 1 d 1   K1 (d ), d  3 . (1.5) Kết quả dưới đây cho đánh giá tốt hơn (1.5) khi 2  d  7. Ta có Định lí 1.3 (Schmeisser (2002, [25]) Nếu p ( z ) là đa thức có bậc d  2 sao cho p (0)  0 và p(0)  0, thì  p ( )  2 d   d  1  min  : p ( )  0   : K 3 (d ). d  d  1   p(0)  (1.6) Chứng minh Vì p(0)  0 nên tất cả các điểm tới hạn  1 ,..,  d 1 của p ( z ) đều khác không. Không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết p(0)  1. Ta có d 1 p( z )  a  z   1  ...( z   d 1 )  a ( z   j ). j 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 12 - Vì p(0)  1 nên p(0)  a(1)d 1 1... d 1  1 hay a  (1)d 1 .  1... d 1 Do đó p( z ) có dạng p( z )  (1) d 1  z   1  ...( z   d 1 )  (1)d 1 d 1  z   j   (1)d 1 d 1    1... d 1 j 1 z    j j 1  j   1 .   Với mỗi k  1,2,..., d  1, sử dụng phép đổi biến z   k t dưới dấu tích phân, ta được p ( k ) 1 S k :   k p (0) k k  0 1 p ( z )dz  k z    1dz       0 j1  j  k d 1   t   k  1dt .      0 i1  j 1 d 1 Kí hiệu  j0  min  j . Khi ấy j 1,..., d 1 1 S j0   (t  1)(t  1) d 2 0 2d  (d  1) dt  . d (d  1) Định lí 1.3 được chứng minh. d 2 2d   d  1 Khi d  7 thì K 3 (d )   4 d 1  K1 (d ), nhưng với 2  d  7 thì d  d  1 K 3 (d )  K 2 (d )  K1 (d ). Kết hợp hai bất đẳng thức (1.5) và (1.6), Fujikawa và Sugawa (2006, [15]) đã đi đến đánh giá 1 1 d K 4 (d )  4 1   d  2 4 d 1 . (1.7) Với d  7, hằng số K 4 (d ) là tốt hơn tất cả. Cụ thể hơn, ta có: 1) K 4 (d )  K 2 (d )  K 3 (d ) với mọi d  8; 2) K 4 (7)  2.48425...  K 3 (7)  K 2 (7)  K1 (7); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 13 - 3) K 3 (d )  K 4 (d )  K 2 (d )  K1 (d ) với mọi 3  d  6. Đặc biệt, K 3 (d )  1.9. Ta cũng nhận xét rằng các kết quả này là không cần thiết với d  4 vì Giả thuyết Smale đã được chứng minh cho d  4. Ta có bảng đánh giá sau. K 0 (d ) d  d 1 d 2 1  0.5 2 3 2  0.6666 3 4 5 6 7 3  0.75 4 4  0.8 5 K1 (d ) 4 d 2 d 1 40  1.0 1 2 4  2.0 2 3 4  2.5198 3 4 4  2.8284 4 5 5  0.8333 6 4  3.0314 6  0.8571 7 4 6  3.1748 5 K 2 (d ) K 3 (d ) K 4 (d ) 2d   d  1  d  d  1 4 4  1.3333 3 1  0.5 2 4  1.3333 3 8  2.0 4 2  0.6666 3 12  2.4 5 11  0.9166 12 8  2.6666 3 13  1.3 10 20  2.8571 7 19  1.9 10 24  3.0 8 20  2.8571 7 4 d 1 d 1 4 4 4 4 1   d  2 4 d 1 1 4 4  1 1 d . 1 2 1  2.4 5 1  3.4 6 1  4.4 7 1  5.4 4 8  1.5  1 3  1.8079  1 4  2.0809  1 5  2.3037  1 6  2.4843 Nhận xét 1.4 Trong tất cả các công thức trên, ta đều có, đánh giá trên đặt lên K (d ) 1 có dạng 4  O ( ) khi d  . E. Crane (2007, [9]) đã chứng minh công thức d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 14 - K (d )  4  2.263 1 . Như vậy, đánh giá trên của K (d ) có dạng 4  O ( ) và đánh d d giá này có lẽ là tốt nhất hiện nay. 1.3 Đa thức đã được chuẩn hóa (đa thức chuẩn-normalized polynomial) Giả sử đa thức p ( z ) bậc d  2 có z1 , z2 ,..., zd 1 là các điểm tới hạn. Tương tự Nhận xét 1.2 và Nhận xét 1.3, với a   \ 0 , phép biến đổi affine g ( w)  cho g ( w)  p  z  aw   p ( z ) ap( z ) ap  z  aw  p  z  aw   . Do đó g (0)  0 và g (0)  1. ap( z ) p( z ) Hơn nữa, w j  zj  z a , j  1,2,..., d  1 chính là các điểm tới hạn của đa thức g ( w) p  z j  (do z j  aw j  z , nên g ( w j )  p( z ) g  wj  wj  0 ). Và ta có,  p z  pz j   z  z j  p z  . Như vậy, ta có thể giả thiết p ( z ) là đa thức thỏa mãn điều kiện g (0)  0 và g (0)  1. Hơn nữa, ta cũng có thể giả thiết rằng w1  min wi  min j 1,..., d 1 Chọn a  e min p( z )  p ( z j ) i j 1,...,d p( z ) j 1,...,d 1 zj  z a . với    arg  z  z1  , thì w1 là một số thực dương và min g ( wi )  min p ( z )  p ( z j )  1. Suy ra S ( p, z )  S ( g ,0)  j 1,..., d j 1,...,d 1 . w1 Các phân tích trên dẫn đến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 15 - Định nghĩa 1.1 Đa thức p ( z ) bậc d  2 với các điểm tới hạn z1 , z2 ,, zd 1 được gọi là đã được chuẩn hóa nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: p (0)  0; p(0)  1 và min z j  z1  0. j 1,..., d 1 Theo Định lí phủ Koebe (xem, [4]), với mọi đa thức đã được chuẩn hóa, ta có min j 1,..., d p( z j ) zj  max j 1,...,d 1 1   4. z j z1 Như vậy, nhờ Định lí phủ Koebe, bất đẳng thức (1.1) được chứng minh. Kí hiệu d , N là tập tất cả các đa thức bậc d  2 đã được chuẩn hóa. Đặt C (d ) : sup pd , N 1 . z1 Vì mọi đa thức đều có thể chuẩn hóa được nên ta có S ( p, z )  C (d ). Từ đây ta có Định lí 1.4 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Giả sử d  2 . Khi ấy S ( p, z )  C ( d )  4 d 1 . d 1 Như vậy, Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Smale) là hệ quả của Định lí 1.4. Từ Định lí 1.4 ta cũng có Hệ quả 1.1 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Nếu đa thức p ( z ) đã được chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện p(0)  0 thì S ( p,0)  2. Hệ quả 1.2 (Conte, Fujikawa, and Lakic, 2007, [5]) Nếu tất cả các nghiệm của đa 4 thức p ( z ) đã được chuẩn hóa đều nằm trong nửa mặt phẳng phải thì S ( p ,0)  . 3 Từ Hệ quả 1.1 ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 16 - Định lí 1.5 (T. W. NG, 2003, [21]) Cho p ( z ) là một đa thức bậc d  2 sao cho p (0)  0 và p(0)  0. Giả sử z1 , z2 ,, zd 1 là các điểm tới hạn của p ( z ) mà z1  z2    zd 1 . Nếu z2   z1 thì min j 1,..., d 1 p zj  z j p  0   2. (1.8) Chứng minh Định lí 1.5 có thể suy ra từ Hệ quả 1.1. Tuy nhiên dưới đây ta trình bày thêm chứng minh trong bài báo gốc của T. W. NG. Ta có thể giả sử p  zi   0 với mọi i, (vì nếu ngược lại thì bất đẳng thức (1.8) là   hiển nhiên). Do đó r  min p  zi   0 vì chỉ có hữu hạn các giá trị tới hạn. Gọi i D  0, r  là đĩa mở có tâm w  0 và bán kính r. Khi đó D  0, r  không chứa giá trị tới hạn nào của p ( z ). Vì p (0)  0 và p(0)  0, theo định lí hàm ngược, p 1  z  tồn tại trong một lân cận của 0 với p 1  0   0 . Theo định lí monodromy, p 1  z  có thể được mở rộng (thác triển) thành một hàm đơn trị (a single valued function) trên toàn miền D  0, r  . Giả sử f : D  0, r     xác định bởi công thức f  z   p 1  rz  . Khi đó f ( z ) là hàm đơn diệp và bỏ đi tất cả các zi . Điều này sẽ dẫn tới có thể đánh giá giá trị của f  0   r . Ta có kết quả sau của Lavrenchev. p  0  Hàm f ( z ) được gọi là hàm chỉnh hình (holomorphic function) trong một miền D của mặt phẳng phức nếu nó khả vi theo biến phức z trong miền đó. Hàm chỉnh hình trong miền D của mặt phẳng phức sao cho với mọi z1  z2 trong D ta có f ( z1 )  f ( z2 ) được gọi là hàm đơn diệp (univalent function) trong D. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 17 - Bổ đề 1.1 (Lavrenchev, 1984) Giả sử 0    2 . Nếu f : D  0,1   là một hàm 1   2 j   n đơn diệp mà bỏ đi tập A   Re     i :1  j  n  , thì f   0   4 R. n     Sử dụng Bổ đề 1.1, ta dễ dàng chứng minh được Định lí 1.5 như sau. Vì z1  z2    zd 1 nên min  zi   z1 . Mặt khác, vì z2   z1 nên ta có thể lấy i n  2 trong Bổ đề 1.1. Ta có min i  min p zi   f  0 p zi  r  i    zi p 0 min zi  p 0 min zi  p 0 min zi  i i f  0 i z1 1 2  4 z1  2. z1 Định lí 1.5 đã được chứng minh. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng, nếu p ( z ) là một đa thức lẻ phi tuyến với số hạng tuyến tính khác không thì kết luận của Định lí 1.5 vẫn đúng. Ta có Hệ quả 1.3 Giả sử p( z )  a0 z d  a1 z d 1  ...  ad 1 z là một đa thức lẻ ( p ( z )  p ( z ) z   ) có hệ số ad 1  0. Khi ấy (1.8) là đúng. Chứng minh Thật vậy, nếu p ( z ) là một đa thức lẻ phi tuyến (tức là p   z    p  z  ) thì p  0   0. Vì vậy p  z   z k q  z 2  với một số lẻ k  1 nào đó và một đa thức q ( z ) sao cho q  0   0. Vì hạng tử tuyến tính của p ( z ) khác không nên p  0   0. Do đó, p  z   r  z 2  với một đa thức thích hợp r ( z ). Vì vậy ta có thể lấy z2   z1 và áp dụng Định lí 1.5, ta có khẳng định của Hệ quả 1.3. 1.4 Giả thuyết Smale cho lớp các đa thức đặc biệt Vì Giả thuyết Smale chưa được chứng minh, nên một hướng nghiên cứu tự nhiên là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 18 - xét các lớp đa thức thỏa mãn điều kiện nào đó. Dưới đây trình bày các kết quả chứng tỏ Giả thuyết Smale đúng với các điều kiện phụ (tất cả các không điểm là những số thực, các đa thức với hệ số thực,...). 1.4.1 Đa thức với tất cả các hệ số là những số thực Chưa có chứng minh Giả thuyết Smale ngay cả trong trường hợp p ( z ) là đa thức với tất cả các hệ số là những số thực. Tuy nhiên, ta cũng dễ dàng chứng minh Giả thuyết Smale cho một lớp đa thức Cauchy đặc biệt. Ta có Định lí 1.6 (Rahman and Schmeisser, 2002, [24], Theorem 7.2.6, Remark 7.2.10) d Cho p ( z )  a1 z   ak z k là một đa thức bậc d  2, trong đó a1 , a2 ,..., ad là những k 2 số thực không âm và a1ad  0. Khi ấy  p ( ) 1  1 1 min   : p( )  0    .   p(0) 2  2 d Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a2  ...  ad 1  0. Hơn nữa,  p ( ) 1  d 1 min   : p( )  0   d   p(0) 2  với mọi p ( z ), ngoại trừ p( z )  a1 z  ad z d . d Chứng minh Xét p ( x )  a1 x   ak x k như là một đa thức với các hệ số thực, nhận k 2 giá trị thực khi x thay đổi trên tập số thực. Xét dấu (sgn) của p( x). Ta có p(0)  a1  0. Khi x đủ lớn thì sgn p( x)  sgn( an )  0. Chứng tỏ đa thức p( x) đổi dấu trên khoảng 0,   , tức là tồn tại một số thực   0 là nghiệm của đa thức đạo hàm. Do đó ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 19 - d d p( )  a1   kak k 1  0 hay k 2 ak k a  k 2 k 1  1. 1 Từ đây ta suy ra, 1 d k ak k 1 d ak k 1 d k ak k 1 1 d ak k 1 1        k   . 2 k 2 2 a1 d k 2 a1 d k  2 a1 k  2 d a1 Vậy d p ( ) 1    p(0) 2 a1   ak k k 2  a1 1 1 d ak k 1 1 1       . 2 2 k 2 a1 2 d Kết luận đầu tiên của Định lí 1.6 được chứng minh. Các kết luận còn lại chứng minh dễ dàng. Định lí 1.6 chứng minh xong. 1.4.2 Các đa thức có tất cả các không điểm là những số thực Trong trường hợp các không điểm của p ( z ) đều là những số thực, Palais đã chứng minh bất đẳng thức (1.1) với K (d )  1 (xem [34]). Tischler đã chứng minh bất đẳng thức (1.1) với K (d )  d 1 . Ta có d Định lí 1.7 (Tischler, 1989, [38], Proposition 1.1) Cho p ( z ) là một đa thức bậc d  2 thỏa mãn p (0)  0, p(0)  0 và p ( z ) có tất cả các không điểm là các số thực. Khi đó tồn tại một giá trị j  1,..., d  1 nào đó với z j  0 sao cho S j : Với p  z   z d  dz thì S j  p( z j ) d 1  . z j p(0) d d 1 với mọi j. d Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn