Tài liệu Fem trong thiết kế anten

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG THIẾT KẾ ANTEN I. Phương pháp FEM tổng quan Phương pháp phần tử hữu hạn tiếng anh Finite-element method (FEM) là phương pháp số để giải các bài toán được mô tả bởi phương trình vi phân riêng biệt cùng với các điều kiện biên cụ thể. Cơ sở của phương pháp này là rời rạc hóa các miền liên tục của bài toán phức tạp. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con, các miền con này được liên kết với nhau bởi các điểm nút. Từ đó bài toán đưa về việc giải các miền con này và tổng hợp thành kết quả của bài toán liên tục phức tạp. Phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ chuẩn để giải các phương trình vi phân trong nhiều lĩnh vực như điện từ trường, kỹ thuật kết cấu cơ khí. Đặc biệt FEM được sử dụng trong việc giải các phương trình sóng Maxwell sẽ nói phần sau. Một điểm rất mạnh của FEM để nó được sử dụng giải các phương trình sóng nói riêng và trong kỹ thuật nói chung là khả năng giải quyết các cấu trúc hình học phức tạp. Một các điển hình, nó sử dụng lưới phi cấu trúc. Những mạng lưới này bao gồm các hình tam giác (trong không gian 2 chiều) hoặc các hình tứ diện (trong không gian 3 chiều). Tuy nhiên, có một vài kiểu điển hình của hình dạng các phần tử, như: tam giác, tứ giác, tứ diện, kim tự tháp, hình trụ … Một nhược điểm của FEM so với FDTD dó là: những công thức cho việc cập nhật các trường trong những mô phỏng miền thời gian không thể đạt được trong trường hợp chung. Thay vào đó, hệ thống tuyến tính các phương trình cần được giải để cập nhật các trường này. Kéo theo đó, với cùng một số lượng các phần tử được sử dụng trong 2 phương pháp, FEM yêu cầu nhiều tài nguyên máy tính hơn (về thời gian CPU và bộ nhớ). II. Phương pháp FEM trong giải phương trình Maxwell Như đã nói ở trên, phương pháp FEM được sử dụng để giải các phương trình vi phân. Nhưng trong phạm vi môn học, chúng ta sẽ nghiên cứu ứng dụng phương pháp FEM trong việc giải phương trình Maxwell, để phục vụ cho việc thiết kế anten. Chúng ta bắt đầu bằng việc đưa ra phương pháp chung để giả phương trình vi phân sử dụng FEM. Phương trình được viết: L[f] = s, ở đây L là toán tử, s là nguồn, và f là hàm chưa biết cần được tính trong miền Ω. Chia miền nghiệm Ω thành các phần tử. Ví dụ, miền 2D có thể chia thành các hình tam giác hoặc tứ giác. Xấp xỉ lời giải bằng các mở rộng trong một số hữu hạn các hàm cơ bản: Ở đó, fi là các hệ số chưa biết, nhân với các hàm cơ bản φ i(r). Các hàm cơ bản là các đa thức bậ thấp, khác 0 chỉ trong một số phần tử kề nhau. Tạo phần dư r = L[f] –s, điều chúng ta mong muốn đó là r càng bé càng tốt. Nó không thể bằng 0 một cách chính xác, nhưng chúng ta yêu cầu nó bằng 0 bằng cách thiết lập một giá trị đo trung bình của nó tiến tới 0. Chọn các hàm test, hoặc weighting, ω i, i = 1,2,…,n (bằng với số các hệ số chưa biết) nhằm đánh giá phần dư r. Thông thường các hàm đo giống như các hàm cơ bản, ωi = φi, đây chính là phương pháp Galerkin. Đặt các phần dư đo được bằng 0 và giải các hệ số chưa biết fi, ví dụ giải các tập phương trình: Trong các định nghĩa toán học, thuật ngữ phần tử hữu hạn thường tham chiếu đến một phần tử (ví dụ 1 tam giác) cùng với một không gian đa thức định nghĩa trong phần tử này ( không gian của các hàm tuyến tính) và một tập các bậc tự do định nghĩa trên không gian này (các giá trị của các hàm tuyến tính tại các góc (nodes) của tam giác). Định nghĩa này ít khi được dùng trong kỹ thuật điện, chủ yếu tập trung vào các hàm cơ bản. Áp dụng phương pháp chung để giải quyết các bài toán về phần tử hữu hạn 1D và phần tử hữu hạn 2D. Trong phần này ta sẽ xem xét kết quả của phần tử hữu hạn 2D bằng phương pháp FEM. Chúng ta mở rộng bài toán mô hình (6.1) cho 2 chiều, tuy nhiên f vẫn là hàm vô hướng: Biên của miền nghiệm S có 2 phần, L1 và L2, với hai kiểu khác nhau của điều kiện biên. Tương tự bài toán mô hình 1D, có nhiều hiện tượng vật lý có thể mô hình bởi (6.11). Ví dụ: Tính toán điện trở giữa cạnh trái và đáy của tấm phẳng dẫn điện (như hình 6.3). Trong trường hợp này, f là điện thế, α là dẫn suất, β = 0 và s = 0. Điện thế dọc theo dây đặc, dày trên biên là 10 V, điều kiện biên Dirichlet f = 10. Dọc theo đường nét đứt, dày, điện thế bằng 0 V. Phần còn lại của biên là chất cách điện. Trên phần này, chúng ta sử dụng điều kiện biên Neumann, , nghĩa là không có dòng điện xuyên qua biên. Chúng ta tiếp tục với đạo hàm dựa trên bài toán mô hình chung. Hình 6.3 Tấm phẳng dẫn điện 2D. Miền tính toán S được chia thành các phần tử hình tam giác. Biên của S được rời rạc thành các đoạn thẳng. Biên này chia thành 2 phần L 1 và L2 với các điều kiện biên khác nhau theo (6.12) và (6.13). Chúng ta nhân (6.11) với hàm test ω i, và tích phân theo mặt S: Tiếp theo, tính tích phân từng phần: Do đó, phương trình FEM tương ứng với hệ phương trình (6.32)-(6.33) của hệ phương trình bậc 1 là: Hệ phương trình FEM rời rạc này tương tự như xấp xỉ vi phân hữu hạn (6.32)(6.33) với lưới staggered. Điều này là do: E được khai triển bởi các hàm tuyến tính từng đoạn, trung tâm tại node: lưới nguyên. H được khai triển bởi hằng số từng đoạn, trung tâm tại trung điểm: lưới ½ (half gried). Để thấy rõ sự tương tự giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp vi phân hữu hạn, chúng ta để ý rằng: nếu tích phân (6.38) sử dụng công thức: Thì (4Ei + Ei-1 + Ei+1)/6  Ei, và phương pháp FEM trở nên đồng nhất với phương pháp vi phân hữu hạn. Chúng ta cũng có thể thấy ở đây đã sử dụng phương pháp Galerkin, sử dụng các hàm test giống với các hàm cơ bản. III. Phương pháp FEM trong phần mềm mô phỏng thiết kế anten HFSS Phương pháp FEM được ứng dụng rộng rãi, là công cụ để tính toán trường điện từ. Một trong những phần mềm tính toán nổi tiếng đó là HFSS. Kỹ thuật mô phỏng được sử dụng trong HFSS để tính toán trường điện từ 3D bên trong một cấu trúc đã dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method, FEM). Một cách tổng quát, nó chia toàn bộ không gian của bài toán thành hàng ngàn vùng con nhỏ hơn (gọi là phần tử mắt lưới) và biểu diễn trường trong mỗi phần tử mắt lưới theo một hàm cơ sở riêng cho phần tử đó. Trong HFSS, toàn bộ cấu trúc được chia tự động thành một số lượng lớn các khối tứ diện. Tập hợp toàn bộ các khối tứ diện này gọi là hệ thống mắt lưới phần tử hữu hạn. Ta phải chọn lựa giữa kích thước mắt lưới, độ chính xác mong muốn và tài nguyên (bộ nhớ) mà máy vi tính sẵn có. Chúng ta luôn mong muốn đạt được độ chính xác tối đa, điều đó có nghĩa là mắt lưới cực nhỏ. Nhưng rất có thể dẫn đến tràn bộ nhớ và vượt quá khả năng xử lí của máy vi tính. Để tạo ra hệ thống mắt lưới tối ưu, HFSS sử dụng quy trình lặp, gọi là phân tích thích nghi (adaptive analysis), trong đó mắt lưới được tự động “cải tiến” trong các vùng con quan trọng. Trước tiên, nó đưa ra một lời giải dựa trên một hệ thống mắt lưới được khởi tạo “thô”. Sau đó, nó “cải tiến” mắt lưới trong các vùng có tỷ trọng lỗi cao và tạo ra lời giải mới. Khi các tham số đã chọn hội tụ trong một giới hạn mong muốn, HFSS sẽ thoát khỏi quy trình lặp. HFSS là viết tắt của Hight Frequency Structure Simulator. HFSS là phần mềm mô phỏng trường điện từ theo phương pháp toàn sóng (full wave) để mô hình hóa bất kỳ thiết bị thụ động 3D nào. Ưu điểm nổi bật của nó là có giao diện người dùng đồ họa. Nó tích hợp mô phỏng, ảo hóa, mô hình hóa 3D và tự động hóa (tự động tìm lời giải) trong một môi trường dễ dàng để học, trong đó lời giải cho các bài toán điện từ 3D thu được một cách nhanh chóng và chính xác. Ansoft HFSS sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method, FEM), kỹ thuật chia lưới thích nghi (adaptive meshing) và kỹ thuật đồ họa. Ansoft HFSS có thể được sử dụng để tính toán các tham số chẳng hạn như: tham số S, tần số cộng hưởng, giản đồ trường, tham số γ. Phần mềm thiết kế HFSS Mô phỏng đồ thị bức xạ bằng phương pháp FEM trong HFSS Ansoft HFSS cung cấp một giao diện trực giác và dễ dàng sử dụng để phát triển các mô hình thiết bị RF thụ động. Chu trình thiết kế được minh họa trong hình 4.1, bao gồm các bước sau: 1. Vẽ mô hình với các tham số cho trước: vẽ mô hình thiết bị, các điều kiện biên và nguồn kích thích. 2. Thiết lập thông số để phân tích: thực hiện thiết đặt các thông số để tìm lời giải. 3. Chạy mô phỏng: quá trình này hoàn toàn tự động. 4. Hiển thị kết quả: đưa ra các báo cáo và đồ thị trường 2D. Trong quá trình thực hiện phân tích, HFSS sẽ chia toàn bộ cấu trúc thành các tứ diện nhỏ (gọi là mắt lưới). Hệ thống mắt lưới sẽ lấp kín toàn bộ cấu trúc. Kỹ thuật mô phỏng được sử dụng trong HFSS để tính toán trường điện từ 3D bên trong một cấu trúc dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method, FEM). Một cách tổng quát, phương pháp FEM chia toàn bộ không gian của bài toán thành hàng ngàn vùng con nhỏ hơn (gọi là phần tử mắt lưới) và biểu diễn trường trong mỗi phần tử mắt lưới theo một hàm cơ sở riêng cho phần tử đó. Còn trong HFSS, toàn bộ cấu trúc được chia tự động thành một số lượng lớn các khối tứ diện. Tập hợp toàn bộ các khối tứ diện này gọi là hệ thống mắt lưới phần tử hữu hạn. Ta phải chọn lựa giữa kích thước mắt lưới, độ chính xác mong muốn và tài nguyên (bộ nhớ) mà máy vi tính sẵn có. Bạn luôn mong muốn đạt được độ chính xác tối đa, điều đó có nghĩa là mắt lưới cực nhỏ. Nhưng rất có thể tràn bộ nhớ và vượt quá khả năng xử lí của máy vi tính. Để tạo ra hệ thống mắt lưới tối ưu, HFSS sử dụng quy trình lặp, gọi là phân tích thích nghi (adaptive analysis), trong đó mắt lưới được tự động “cải tiến” trong các vùng con quan trọng. Trước tiên, nó đưa ra một lời giải dựa trên một hệ thống mắt lưới được khởi tạo “thô”. Sau đó, nó “cải tiến” mắt lưới trong các vùng có tỷ trọng lỗi cao và tạo ra lời giải mới. Khi các tham số đã chọn hội tụ trong một giới hạn mong muốn, HFSS sẽ thoát khỏi quy trình lặp.