Tài liệu Dưới vi phân fréchet và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 —————— ? —————— NGUYỄN VĂN DƯƠNG DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 —————— ? —————— NGUYỄN VĂN DƯƠNG DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Dương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Dương v Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt vii Mở đầu x Nội dung 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian Banach và không gian đối ngẫu . . . . . . . 1 1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dưới vi phân Fréchet 13 2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản . . . . . . . . . . 13 2.2 Những phép tính sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Dưới vi phân Fréchet và đạo hàm theo hướng . . . . . . 33 2.4 Nón pháp Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Nón pháp và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Đối đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Ứng dụng 3.1 Nghiên cứu hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . 52 54 vi 3.2 Nghiên cứu điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu . . . 58 3.3 Nghiên cứu tính chính quy metric của ánh xạ đa trị . . . 66 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 vii Bảng kí hiệu và viết tắt R : Tập hợp các số thực. R : Tập số thực mở rộng. X : Không gian Banach. X ∗ : Không gian đối ngẫu của không gian Banach X. X ∗∗ : Không gian liên hợp thứ hai của không gian X. sup : Cận trên đúng. inf : Cận dưới đúng. F 0 (x, d) : Đạo hàm của F theo phương d tại x. ∇f (x) : Đạo hàm Fréchet (Gâteaux) của f tại x. (∇f (x))∗ : Đạo hàm liên hợp với ∇f (x). Q : Hình nón. F : X ⇒ Y : Ánh xạ đa trị từ X vào Y . f : X → Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y . domF : Miền xác định hữu hiệu của F . gphF : Đồ thị của hàm F . epif : Trên đồ thị của hàm f . F −1 : Y ⇒ X : Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị F . viii hx∗ , xi : Giá trị của hàm x∗ tại x. cl : Bao đóng. co : Bao lồi. cl co : Bao lồi đóng. k·k : Chuẩn trong không gian Banach. k·k∗ : Chuẩn trong không gian đối ngẫu. ∂f (x) : Dưới vi phân Fréchet của f tại x. ∂ + f (x) : Khả vi Fréchet trên của f tại x. df (x) (z) : Đạo hàm dưới của f tại x theo hướng z. dw f (x) (z) : Đạo hàm dưới yếu của f tại x theo hướng z. N (x |Ω) : Nón pháp Fréchet với Ω tại x. N ((x, y) |gphF ) : Nón pháp Fréchet với gphF tại (x, y). Ω ⊂ X : Ω là tập con của X. δΩ (u) : Hàm chỉ δΩ của Ω. dΩ (u) : Hàm khoảng cách dΩ của Ω. T (x |Ω) : Nón tiếp tuyến với Ω tại x. Tw (x |Ω) : Nón tiếp tuyến yếu với Ω tại x. ∂F (x, y) : Đối đạo hàm Fréchet của F tại (x, y). µ (x) : Hàm giá trị tối ưu. ix Bρ (x) : Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ. Dρ (x) : Hình cầu mở tâm x bán kính ρ. lsc : Nửa liên tục dưới. usc : Nửa liên tục trên. f u → x : u → x và f (u) → f (x). Ω u → x : u tiến đến x với u ∈ Ω. w u → x : u tiến đến x theo tôpô yếu trong X. t ↓ 0 : t lớn hơn 0, t tiến đến 0. x Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi những nhà điều khiển học và những nhà lập trình phi tuyến muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ liệu không trơn hoặc với những hàm không trơn xuất hiện trong những bài toán với dữ liệu trơn. Hai ví dụ sau minh họa bản chất không trơn xảy ra trong những bài toán với dữ liệu tưởng chừng như là trơn. Ví dụ 1. Ta thường quan tâm đến bài toán cực đại của hai hoặc nhiều hàm số. Cho f (x) = max(f1 (x), f2 (x)). Với những hàm trơn đơn giản trên R, f1 (x) = x và f2 (x) = −x ta nhận được f (x) = |x| là một hàm không trơn. Ví dụ 2. Xét bài toán cực tiểu đơn giản sau: Cực tiểu hàm f (x) với điều kiện g(x) = a và x ∈ R. Ở đây a ∈ R là một tham số cho phép nhiễu của ràng buộc. Trong thực tế, vấn đề quan trọng là làm thế nào để biết được mô hình tương ứng với nhiễu a. Để làm điều đó ta cần xét, chẳng hạn, hàm giá trị tối ưu µ (a) = inf {f (x) : g (x) = a} . Như một hàm số của a. Xét một ví dụ cụ thể với hai hàm trơn   −π π   π , ứng với x ∈ f (x) = 1 − cos x, g(x) = sin(6x) − 3x và a ∈ −π 2 2 6 , 6 . Ta có thể chỉ ra được hàm µ (a) không trơn (thực tế nó không liên tục). Để xử lí linh hoạt với những bài toán như thế, nhiều khái niệm xi đạo hàm suy rộng đã được đưa ra để thay thế đạo hàm cổ điển: Dưới vi phân hàm lồi, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Dini, dưới vi phân suy rộng Clarke, đối đạo hàm Mordukhovich . . . (xem [6], [7], [8] và những tài liệu dẫn trong đó). Dưới vi phân có thể chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân “đơn ” và dưới vi phân “ngặt ”. Dưới vi phân đơn được định nghĩa tại một điểm cố định và nó không được đưa vào tính chất vi phân của một hàm trong một vùng lân cận của nó. Thường thường, dưới vi phân khái quát hóa một số khái niệm tính khả vi cổ điển (Fréchet, Gâteaux, Dini,. . . ). Ngược lại với dưới vi phân đơn, định nghĩa của dưới vi phân ngặt được hợp nhất với tính chất vi phân của một hàm gần một điểm cố định. Thường thường, dưới vi phân ngặt có thể được biểu diễn như giới hạn của dưới vi phân đơn. Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra có nhiều ứng dụng hiệu quả trong giải tích phi tuyến và lí thuyết tối ưu (xem [5], [6], [7], [8] và những tài liệu dẫn trong đó). Trong những khái niệm vi phân mới, dưới vi phân Fréchet cũng đã tỏ ra rất hiệu quả trong ứng dụng. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu những khía cạnh khác nhau của lý thuyết dưới vi phân Fréchet (xem [6], [7], [8]). Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và những kiến thức mới, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: "Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng" 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu một cách hệ thống về dưới vi phân Fréchet như định nghĩa, tính chất, phép tính sơ cấp, nón pháp, đạo hàm theo hướng, dưới xii vi phân, đối đạo hàm. . . và ứng dụng của dưới vi phân Frechet trong vấn đề tối ưu hóa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống, tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân Fréchet cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng. Phạm vi: Những tính chất đơn giản và ứng dụng vào nghiên cứu điều kiện cần tối ưu, hàm giá trị tối ưu và tính chính quy metric của ánh xạ đa trị. 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết tối ưu. 6. Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu và làm rõ được khái niệm dưới vi phân Fréchet. Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về dưới vi phân Fréchet và ứng dụng. 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không gian Banach, hàm khả vi trên không gian Banach cùng những tính chất, ánh xạ đa trị, hàm lồi và hàm Lipschitz. Những kiến thức trình bày trong chương này được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6] và [10]. 1.1 Không gian Banach và không gian đối ngẫu Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach và không gian liên hợp. Cho X là một không gian vectơ trên tập số thực R. Định nghĩa 1.1.1 ([1], tr.11-12). Một chuẩn trong X, kí hiệu là k·k, là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các tiên đề sau: Với ∀u, v ∈ X và α ∈ R (i) kuk > 0 (với kuk là một số thực không âm) (ii) kuk = 0 nếu u = 0 (iii) kαuk = |α| . kuk (iv) ku + vk 6 kuk + kvk (bất đẳng thức tam giác). 2 Số kuk gọi là chuẩn của u ∈ X. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn k·k xác định trong không gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, k·k) hay đơn giản là X. Mệnh đề 1.1.1 ([1], tr.12). Cho X là một không gian định chuẩn với chuẩn k·k. Với ∀x, y ∈ X, đặt d(x, y) = kx − yk . Khi đó d là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.2 ([1], tr.21). Giả sử (X, k·k) là một không gian định chuẩn và X0 là một không gian con của X. Dễ dàng thấy rằng hàm số k·kX0 = k·k | X0 : X0 → R kxk | X0 = kxk với ∀x ∈ X0

là một chuẩn trên X0 . Không gian định chuẩn X0 , k·kX0 gọi là không gian con của không gian định chuẩn (X, k·k) . Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong không gian X thì không gian định chuẩn X0 gọi là không gian con đóng trong không gian X. Định nghĩa 1.1.3 ([1]. tr.12). Cho X là một không gian định chuẩn với chuẩn k·k. Nếu X với khoảng cách d(x, y) = kx − yk là một không gian metric đủ, khi đó X được gọi là một không gian Banach. Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được kí hiệu là X. Chuẩn trong không gian Banach được kí hiệu là k·kX hoặc k·k. Một số ví dụ về không gian Banach. Ví dụ 1.1.2. Không gian X := R là không gian Banach trên trường số thực với chuẩn kuk = |u| , ∀u ∈ R. 3 Ví dụ 1.1.3. Không gian l2 bao gồm tất cả s những dãy số x = (xn ) ∞ ∞ P P 2 sao cho chuỗi |xn | hội tụ với chuẩn kxk = |xn |2 là không gian n=1 n=1 Banach. Ví dụ 1.1.4. Không gian C([a,b]) gồm những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức) trên một đoạn [a, b] với chuẩn kf k = max |f (x)| là không [a,b] gian Banach. Định nghĩa 1.1.4 ([1], tr.61). Cho X là một không gian định chuẩn với chuẩn k·k. Ánh xạ tuyến tính liên tục x∗ : X → R gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X. Nếu x∗ : X → R là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và x ∈ X thì giá trị của x∗ tại x được kí hiệu là hx∗ , xi, nghĩa là hx∗ , xi = x∗ (x). Dễ dàng chứng minh được rằng, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với một số thực lập thành một không gian vectơ ( tuyến tính) thực. Ta gọi không gian này là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X ∗ . Định lí 1.1.5 ([1]). Không gian X ∗ với chuẩn xác định bởi |hx∗ , xi| kx k∗ = sup . kxk x6=0 ∗ là một không gian Banach. Định nghĩa 1.1.5 ([1], tr.73). Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X ∗∗ . Như vậy X ∗∗ = (X ∗ )∗ . Định lí 1.1.6 ([1], tr.85). Cho X là không gian Banach, X ∗∗ là không gian liên hợp thứ hai của X. Khi đó, tồn tại một phép đẳng cự tuyến 4 tính từ không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X. Định nghĩa 1.1.6 ([1], tr.85). Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ, nếu X = X ∗∗ . Theo định lý 1.1.6 thì X đẳng cự tuyến tính với không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của nó. Do đó không gian phản xạ là một không gian Banach. Định lí 1.1.7 ([1]. Định lý 3.2). Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản xạ. Tôpô σG sinh bởi metric của X ∗ trong định lí 1.1.5 nên gọi là tôpô mạnh trong X ∗ . Định nghĩa 1.1.7 ([5]). Tôpô σW trong X ∗ gọi là tôpô yếu nếu một họ các lân cận của x0 là các tập có dạng {x∗ ∈ X ∗ : hxi ∗∗ , x∗ i < ε, i = 1, ..., k} , (1.1) trong đó xi ∗∗ ∈ X ∗∗ , i = 1, ..., k và ε > 0. Định nghĩa 1.1.8 ([5]). Tôpô σ ∗ trong X ∗ gọi là tôpô yếu * nếu một họ các lân cận của x0 là các tập có dạng {x∗ ∈ X ∗ : hxi ∗ , xi i < ε, i = 1, ..., k} , (1.2) trong đó xi ∈ X, i = 1, ..., k và ε > 0. Định nghĩa 1.1.9 ([5]). Tập A ⊂ X đóng (bị chặn, compact) theo tôpô yếu trong X được gọi là tập đóng yếu (tương ứng , bị chặn, compact). Tập A đóng (bị chặn, compact) theo tôpô yếu * trong X ∗ được gọi là tập đóng yếu * (tương tự, bị chặn, compact yếu *). 5 1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach Mục này trình bày khái niệm các đạo hàm cổ điển: Đạo hàm theo phương, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet. Các kiến thức trình bày trong phần này được lấy từ tài liệu [2]. Cho X, Y là những không gian Banach trên một trường số thực R. Giả sử rằng F : X → Y là một ánh xạ với miền xác định D (F ) = X. Định nghĩa 1.2.1 ([2]. Định nghĩa 1.5). Cho d ∈ X và x ∈ X. Nếu giới hạn lim t↓0 F (x + td) − F (x) , t (1.3) tồn tại thì F có đạo hàm theo phương d tại x, kí hiệu là F 0 (x, d). Định nghĩa 1.2.2 ([2]. Định nghĩa 1.6). Cho x ∈ X là một điểm cố định. Ánh xạ F : X → Y được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y thỏa mãn F (x + th) − F (x) =0 − A (h) lim t→0 t (1.4) với mỗi h ∈ X, trong đó t → 0 trong R. Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại x và giá trị của nó tại h được kí hiệu là A (h) = dF (x, h). Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux của một ánh xạ từ X vào Y tại x ∈ X là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Chú ý rằng nếu F là một ánh xạ tuyến tính, thì dF (x, h) = F (h) hay dF (x) = F với ∀x ∈ X. Nếu f là một hàm trên X, hay f : X → R, và f khả vi Gâteaux tại x ∈ X, thì   d df (x, h) = f (x + th) dt t=0 và với mỗi x ∈ X cố định, df (x, h) là một hàm tuyến tính của h ∈ X. 6 Nhận xét 1.2.1. Nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại thì nó là duy nhất. Từ định nghĩa của đạo hàm thông thường có thể được suy rộng cho một ánh xạ từ một không gian Banach vào một không gian Banach. Điều này dẫn đến khái niệm đạo hàm Fréchet. Định nghĩa 1.2.3 ([2]. Định nghĩa 1.8). Cho x là một điểm cố định trong không gian Banach X. Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y được gọi là đạo hàm Fréchet của ánh xạ F : X → Y tại x nếu F (x + h) − F (x) = Ah + r (h) kr(h)k khk→0 khk trong đó lim = 0, hay tương đương kF (x + h) − F (x) − Ahk = 0. khk khk→0 lim Đạo hàm Fréchet tại x được kí hiệu là F 0 (x) hay dF (x) hay ∇f (x). Nhận xét 1.2.2. Nếu đạo hàm Fréchet tồn tại thì nó là duy nhất. Định lí 1.2.3. Nếu một ánh xạ có đạo hàm Fréchet tại một điểm, thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau. q 2 Ví dụ 1.2.4. Cho f : R → R : f (u1 , u2 ) = − |u1 |2 + |u2 |2 với u2 = u21 và f (u1 , u2 ) = 0 tương ứng. Hàm này khả vi Gâteaux (có đạo hàm bằng 0) nhưng không khả vi Fréchet tại (0, 0). 1.3 Ánh xạ đa trị Mục này trình bày khái niệm của nón, định nghĩa ánh xạ đa trị và ánh xạ ngược, tính chất liên tục của ánh xạ, tính metric chính quy. Các kiến thức trình bày được lấy từ [4], [6], [10]. 7 Định nghĩa 1.3.1 ([4]. Định nghĩa 1.1.1). Cho Y là không gian tuyến tính và Q ⊆ Y . Ta nói rằng Q là nón trong Y nếu: tc ∈ Q với mọi c ∈ Q, t > 0. Nón Q được gọi là nón lồi nếu Q là tập lồi. Nón Q gọi là nón đóng nếu Q là tập đóng. Kí hiệu: l (Q) = Q ∩ (−Q). Nếu Q là nón lồi thì l (Q) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong Q và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón Q. Định nghĩa 1.3.2 ([6], trang 9-10). Cho X, Y là hai tập hợp bấy kì. Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập hợp con của Y . Không loại trừ khả năng là với một số phần tử x ∈ X nào đó, ta có F (x) là tập rỗng. Ta thường kí hiệu ánh xạ đa trị là F : X ⇒ Y. Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó ta kí hiệu: F : X → Y. Miền xác định hữu hiệu và đồ thị của F được định nghĩa như sau domF = {x ∈ X |F (x) 6= φ} , gphF = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) , x ∈ domF } . Trong trường hợp Y là không gian tuyến tính với nón Q ⊂ Y , thì trên đồ thị của F được định nghĩa epiF = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) + Q, x ∈ domF } . Ánh xạ ngược F − 1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được xác định bởi công thức F −1 (y) = {x ∈ X |y ∈ F (x)} , (y ∈ Y ). 8 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Định nghĩa 1.3.3 ([6], trang 19). Ta nói F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (u) ⊂ V (∀u ∈ U ). Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên tục trên ở trong X. Định nghĩa 1.3.4 ([6], trang 20). Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= φ tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (u) ∩ V 6= φ (∀u ∈ U ∩ domF ). Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên tục dưới ở trong X. Định nghĩa 1.3.5 ([6], trang 20). Ta nói F liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên tục ở trên X. Định nghĩa 1.3.6 ([10], tr.1725). Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian Banach Y và điểm (x0 , y0 ) ∈ gphF . Ánh xạ F là metric chính quy gần điểm (x0 , y0 ) nếu tồn tại k, r dương sao cho
d x, F −1 (y) 6 kd (y, F (x)) , với mọi x ∈ B (x0 , r) và y ∈ B (y0 , r).