GV: Đoàn Văn Lượng -
Email:
[email protected] ;
[email protected]
DÙNG TÍCH PHÂN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1.Xét bài toán tổng quát :
Một vật dao động đều hoà theo quy luật: x = A co s(ω t + ϕ ) (1)
Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 : t = t2- t1
-Để giải quyết bài toán này ta chia khoảng thời gian rất nhỏ thành những phần diện tích thể hiện quãng đường rất
nhỏ, trong khoảng thời gian dt đó có thể coi vận tốc của vật là không đổi :
v = x , = − ω A sin( ω t+ ϕ )
(2)
-Trong khoảng thời gian dt này, quãng đường ds mà vật đi được là:
ds = v dt = −ω A sin(ω t+ ϕ ) dt
-Do đó, quãng đường S của vật từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là:
S =
t2
t2
t1
t1
∫ ds = ∫ ω A sin( ω t+ ϕ ) dt
(3)
-Tuy nhiên,việc tính (3) nhờ máy tính Fx570ES hoặc Fx570ES Plus thường rất chậm, tùy thuộc vào hàm số vận tốc
và pha ban đầu. Do vậy ta có thể chia khoảng thời gian như sau:
t2- t1 = nT + ∆t;
Hoặc: t2- t1 = mT/2 + ∆t’
-Ta đã biết: Quãng đường vật đi được trong 1 chu kỳ là 4A.
Quãng đường vật đi được trong 1/2 chu kỳ là 2A.
-Nếu ∆t ≠ 0 hoặc ∆t’ ≠ 0 thì việc tính quãng đường là khó khăn..Ta dùng máy tính hỗ trợ!
2.Ví dụ: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục 0x với phương trình x = 6.cos(20t - π/3) cm (t đo bằng giây). Quãng
đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 0,7π/6 (s) là
D. 27cm
A. 9cm
B. 15cm
C. 6cm
Giải 1: Chu kỳ T = T =
2π π
0, 7π 7π
= s ; Thời gian đi : t = t2- t1 = t2- 0 =
=
s
20 10
6
60
7π
60 − 0 7
1
−A
= = 1 và T .
n=
π
6
6
O
10
π
T/6 ứng với góc quay π/3 từ M đến A dễ thấy đoạn X0A= 3cm( Hình1)
6
Quãng đường vật đi được 1chu kỳ là 4A và từ x0 đến A ứng với góc quay π/3 là x0A.
Quãng đường vật đi được : 4A + X0A= 4.6 +3= 24+3 =27cm. Chọn D
Hình 1
Giải 2: Dùng tích phân xác định nhờ máy tính Fx570ES hoặc Fx570ES Plus:
Vận tốc: v = − 120 s in(20t-
π
3
A x
x0
M
)(cm/s) .
t2
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đã cho là: S =
∫ ds =
t1
7π / 60
∫
1 2 0sin (2 0 x -
0
π
3
) dx
∫ , bấm: SHIFT hyp (Dùng trị tuyệt đối (Abs) ) .Với biểu thức trong dấu tích phân là vận
Nhập máy tính: Bấm
tốc, cận trên là thời gian cuối, cận dưới là thời gian đầu,.biến t là x, ta được biểu thức như sau:
7π / 60
∫
0
1 2 0sin (2 0 x -
π
3
) d x Bấm = chờ khoảng trên 5 phút màn hình hiển thị: 27. Chọn D
GV: Đoàn Văn Lượng ĐT : 0915718188 - 0906848238
Trang 1
GV: Đoàn Văn Lượng -
Email:
[email protected] ;
[email protected]
Quá Lâu!!! Sau đây là cách khắc phục thời gian chờ đợi !!!
3.Các trường hợp có thể xảy ra: t2- t1 = nT + ∆t; hoặc: t2- t1 = mT/2 + ∆t’
a.Trường hợp 1: Nếu đề cho t2- t1 = nT ( nghĩa là ∆t = 0 ) thì quãng đường là: S = n.4A
b.Trường hợp 2: Nếu đề cho t2- t1 = mT/2 ( nghĩa là ∆t’ = 0) thì quãng đường là: S = m.2A
c.Trường hợp 3: Nếu ∆t ≠ 0 hoặc:: ∆t’ ≠ 0
Dùng tích phân xác định để tính quãng đường vật đi được trong thời gian ∆t hoặc ∆t’:
t2
=>Tổng quãng đường: S=S1+S2 = 4nA + S2
với
t2
∫
S2 =
ds =
t1 + nT
t2
∫
S '2 =
ω A sin( ω t+ ϕ ) dt =
t1+ nT
t2
Hoặc: S=S’1+ S’2 = 2mA + S’2 với
∫
ds =
t1 + mT /2
∫
ω Asin(ω t+ϕ ) dt =
t1+ mT /2
Tính quãng đường S2 hoặc S2’ dùng máy tính Fx 570ES ; Fx570ES Plus
4. Chọn chế độ thực hiện phép tính tích phân của MT CASIO fx–570ES, 570ES Plus
Các bước Chọn chế độ
Chỉ định dạng nhập / xuất toán
Chọn đơn vị đo góc là Rad (R)
Thực hiện phép tính tich phân
Nút lệnh
Bấm: SHIFT MODE 1
Bấm: SHIFT MODE 4
Bấm: Phím
∫
Dùng hàm trị tuyệt đối ( Abs)
Ý nghĩa- Kết quả
Màn hình xuất hiện Math.
Màn hình hiển thị chữ R
Màn hình hiển thị
∫
Bấm: SHIFT hyp
Màn hình hiển thị
∫
Chú ý biến t thay bằng x
Nhập hàm
v = −ω Asin(ω x +ϕ )
Bấm: ALPHA
Màn hình hiển thị X
Bấm:
Hiển thị
Nhập các cận tích phân
Bấm:
)
v = −ωAsin(ωx+ϕ)
∫
∫
t2
t1 + nT
Bấm dấu bằng (=)
dx
ω Asin(ω x+ϕ ) dx
Hiển thị
t2
t1 + nT
∫
dx
ω A sin( ω x + ϕ ) dx
Hiển thị kết quả:.....
Bấm: = chờ hơi lâu
5.CÁC BÀI TẬP :
BÀI TẬP 1: Cho phương trình dao động điều hoà x = 4co s(4π t + π / 3)(cm) . Tìm tổng quãng đường vật đi được
trong khoảng 0,25s kể từ lúc đầu.
2π 2π 1
Giải 1: Ta có Chu kỳ T =
=
= s = 0,5s .Do đó thời gian đi được là 0,25s bằng 1 nửa chu kỳ nên quãng
ω 4π 2
đường tương ứng là 2A. => Quãng đường S = 2A = 2.4 = 8cm ( một nửa chu kỳ: m = 1 )
Giải 2: Từ phương trình li độ, ta có phương trình vận tốc : v = −16π sin(4π t + π / 3)(cm / s ) ,
0 ,25
t2
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đã cho là: S
=
∫
t1
GV: Đoàn Văn Lượng ĐT : 0915718188 - 0906848238
ds =
∫
0
16π sin(4 π x +
π
3
Trang 2
) dx
GV: Đoàn Văn Lượng -
Email:
[email protected] ;
Nhập máy tính Fx570ES : Bấm
[email protected]
∫ , bấm: SHIFT hyp Dùng hàm trị tuyệt đối (Abs).Với biểu thức trong dấu tích
phân là phương trình vận tốc, cận trên là thời gian cuối, cận dưới là thời gian đầu,.biến t là x, ta được :
0 ,25
∫
1 6 π sin (4 π x +
π
0
3
) d x Bấm = chờ khá lâu... màn hình hiển thị: 8 => Quãng đường S = 8cm
BÀI TẬP 2: Một vật chuyển động theo quy luật: x = 2co s(2π t − π / 2)(cm) . Tính quãng đường của nó sau thời gian
t=2,875s kể từ lúc bắt đầu chuyển động .
GIẢI: Vận tốc v = −4π sin(2π t − π / 2)(cm / s )
2,875
*Chu kì dao động T =
= 1s ; *Số bán chu kì: m =
= [5, 75] = 5 (chỉ lấy phần nguyên )
1
ω
2
'
*Quãng đường trong 5 bán chu kỳ: S1 = 2mA = 2.5.2 = 20cm
2π
*Quãng đường vật đi được trong ∆t’ : S '2 (t1+ mT
→ t2 )
2
t2
Ta có:
S '2 =
∫
∫
ds =
4π sin(2 π t -
2,5
2,875
∫
mT
5
= 0 + = 2, 5 s
2
2
2,875
t1 + mT / 2
Nhập máy tính Fx570ES:
Với t1 +
4π sin(2 π x -
π
2,5
π
2
) dt
) dx = Chờ vài phút ...màn hình hiển thị: 2,585786438=2,6
2
=> Quãng đường S = 2mA + S’2 = 20 + 2,6 = 22,6cm
BÀI TẬP 3:Một vật dao động đều hoà có phương trình: x = 2co s(4π t − π / 3)(cm)
Tính quãng đường vật đi được từ lúc t1=1/12 s đến lúc t2=2 s.
2π 1
GIẢI: *Vận tốc v = −8π sin(4π t − π / 3)(cm / s ) *Chu kì dao động : T =
= s
ω 2
1
2
−
23
*Số bán chu kì vật thực hiện được: m = 12 = = 7 (lấy phần nguyên) => m =7
1
3
4
*Quãng đường vật đi được trong m nửa chu kỳ: S '1 ( t1 → t 1+ mT / 2 ) = 2 mA. = 2.7.2 = 28 cm
*Quãng đường vật đi được trong ∆t’ : S '2 (t1+ mT / 2 → t2 ) Với t1 + mT / 2) =
t2
Ta có:
S '2 =
2
∫
Nhập máy tinh Fx570ES:
∫
11/ 6
8 π sin(4 π x -
∫
ds =
t1 + mT / 2
2
1 7 22
+ = s =11/6s
12 4 12
π
3
11/6
8π sin(4π t-
π
3
) dt
) dx = Chờ vài giây ...màn hình hiển thị : 3
=> Quãng đường S= S’1+ S’2 = 2mA + S’2 = 28+3 =31cm
GV: Đoàn Văn Lượng ĐT : 0915718188 - 0906848238
Trang 3
GV: Đoàn Văn Lượng Email:
[email protected] ;
[email protected]
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Qua các bài tập trên, chúng ta có thể đưa ra phương pháp chung để giải các bài toán tìm quãng đường vật đi
được trong khoảng thời gian t2-t1 :
1.Căn cứ vào phương trình dao động , xác định các đại lượng A, ω và T
2.Tính số chu kì hoặc bán chu kỳ vật thực hiện được trong khoảng thời gian t2-t1 => S1 = 4nA hoặc S’1 = 2mA
3.Viết phương trình vận tốc của vật.
4.Dùng máy tinh Fx570Es, Fx570ES Plus để tìm nhanh quãng đường đi trong ∆t 0 hoặc:: ∆t’ là S2 hoặc S’2 ( dùng
tích phân xác định )
5.Tính tổng quãng đường trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 : S=S1+S2 hoặc: S=S’1+S’2
6: CÁC BÀI TẬP KHÁC:
BÀI TẬP 4: Cho đoạn mạch xoay chiều nối tiếp RLC, điện dung C = 2µF. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp
xoay chiều thì điện áp giữa hai bản tụ điện có biểu thức u = 100cos(100π t + π / 3)(V ) . Trong khoảng thời gian
5.10-3(s) kể từ thời điểm ban đầu, điện lượng chuyển qua điện trở R có độ lớn là
A. ( 3 − 2).10 −4 (C )
B. (1 + 3).10 −4 (C )
C. ( 3 + 2).10 −4 (C )
D. ( 3 − 1).10 −4 (C )
10 4
π
5π
Giải: Z C =
(Ω) ; i = cos(100π t + )
2π
50
6
dq
Cường độ dòng điện trong mạch: i =
⇒ dq = idt
dt
Lấy tích phân hai vế phương trình trên:
∫
q
0
dq = ∫
5.10−3
0
idt =
π
5.10−3
50 ∫0
cos(100π t +
5π
)dt
6
Vì tích phân trên không đổi dấu trong khoảng thời gian ta xét nên ta được:
5π
) dt Tính tích phân kết quả: q = 3 + 1 .10−4 C . Chọn B
50
6
π
BÀI TẬP 5: Cho dòng điện xoay chiều i = π .cos(100π t − ) (A) chạy qua bình điện phân chứa dung dịch H2SO4 với
q=∫
5.10−3
π
0
(
cos(100π t +
)
2
các điện cực bằng bạch kim. Tính điện lượng qua bình theo một chiều trong thời gian 16 phút 5 giây
A. 965C
B. 1930C
C. 0,02C
D. 867C
2π
2π
Chu k ỳ dòng điện T =
=
= 0,02 s ; Thời gian t = 965s = 48250T
ω 100π
π
T
Xét trong chu k ỳ đầu tiên khi t=0 thì i = π cos(− ) = 0 , sau đó I tăng rồi giảm về 0 lúc t = = 0,01s , sau đó
2
2
dòng điện đổi chiều chuyển động.
T /4
Vậy điện lượng qua bình theo một chiều trong 1 chu kỳ là q = 2 ∫ idt
0
T /4
Vậy điện lượng qua bình theo một chiều trong thời gian 16 phút 5 giây là q = 48250.2 ∫ idt
0
0 , 005
q = 48250.2
∫
0
π
π cos(100πt − )dt = 48250.2[
2
sin(100πt −
100
π
)
2 ]0, 005 = −965C (lấy độ lớn)
0
BÀI TẬP 6: Cho dòng điện xoay chiều i = 2 + 3cos(100 p t +
GV: Đoàn Văn Lượng ĐT : 0915718188 - 0906848238
p
) A. Tìm I
2
Trang 4
GV: Đoàn Văn Lượng -
Email:
[email protected] ;
[email protected]
p
) A có tác dụng
2
2
17
9
17
3
2
2
nhiệt như dòng không đổi cường độ I. Tao có P = R.2 + R
= R 4 + 2 = R 2 = RI ⇒ I = 2 A
2
Giải: Coi i gồm 2 thành phần: thành phần không đổi 2 A và thành phần xoay chiều 3cos(100 p t +
t
2
t
π
Hoặc dùng tích phân: Q = ∫ Ri dt = R ∫ 2 + 3cos 100π t + dt = RI2t rồi suy ra I
2
0
0
2
BÀI TẬP 7: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R = 100 3Ω , một cuộn cảm thuần có hệ số tự cảm
1
10−4
L = H và một tụ điện có điện dung C =
F mắc nối tiếp. Đặt vào 2 đầu đoạn mạch 1 điện áp
π
2π
π
u = 200 2 cos 100π t + (V ) .Công suất trung bình mà đoạn mạch này tiêu thụ từ thời điểm t1 = 1/300s đến thời
6
điểm t2 = 1/150s là:
A. 345,68W
B. 264,56W
C. 236,34W
D. 386,64W
t2
Giải: P =ui => PTB = ∫ ui.cos ϕ .dt
t1
BÀI TẬP 8: Đặt vào một đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều u = U0 sin
2π
t . Khi đó trong mạch có dòng
T
2π
t + ϕ vớ i ϕ là độ l ệ ch pha gi ữ a dòng đi ện và hi ệu đi ện thế. Hãy tính công củ a
T
điện xoay chiều i = I0 sin
dòng đ i ện xoay chi ề u th ự c hi ện trên đ o ạ n m ạ ch đ ó trong th ờ i gian m ộ t chu kì.
T
Gi ả i: Ta có: A =
T
2π
2π
uidt
=
U
I
sin
t
+
ϕ
sin tdt
0
0
∫0
∫0
T
T
1
4π
= U 0 I 0 ∫ cosϕ − cos t + ϕ dt
2
T
0
T
U0I0 1
4π
=
cosϕ − cos t + ϕ dt
∫
2 0 2
T
T
T
U I
T
U I
4π
= 0 0 tcosϕ − sin t + ϕ = 0 0 Tcosϕ
2
4π T
2
0
( Chú ý : biến t là x trong máy tính)
2π
t + ϕ chạy qua một đoạn mạch có điện trở thuần R. Hãy
T
BÀI TẬP 9: Một dòng điện xoay chiều i = I0 sin
tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T.
T
Giải: Ta có: Q =
T
2
2
2 2π
Ri
dt
=
RI
sin
t
+
ϕ
dt
0
∫0
∫0
T
2π
1 − cos2
+ ϕ
T
dt
= RI 20 ∫
2
0
T
T
RI 20
T
RI 20
2π
=
t − sin 2 t + ϕ =
T
2 4 π
2
T
0
GV: Đoàn Văn Lượng ĐT : 0915718188 - 0906848238
Trang 5
GV: Đoàn Văn Lượng -
Email:
[email protected] ;
[email protected]
6.Trắc nghiệm vận dụng :
Câu 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 1,25cos(2πt - π/12) (cm) (t đo bằng giây). Quãng đường
vật đi được sau thời gian t = 2,5 s kể từ lúc bắt đầu dao động là
A. 7,9 cm.
B. 22,5 cm.
C. 7,5 cm.
D. 12,5 cm.
Câu 2. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình : x= 6cos(20t + π/3)cm. Quãng đường vật đi được
trong khoảng thời gian t = 13π/60(s), kể từ khi bắt đầu dao động là :
A. 6cm.
B 90cm.
C102cm.
D. 54cm.
Câu 3. Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng 40 N/m và vật có khối lượng 100 g, dao động điều hoà với biên
độ 5 cm. Chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng. Quãng đường vật đi được trong 0,175π (s) đầu tiên là
A. 5 cm
B. 35 cm
C. 30 cm
D. 25 cm
Câu 4. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(8πt + π/3) cm. Quãng đường vật đi
được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 1,5 (s) là
A. 15 cm
B. 135 cm
C. 120 cm
D. 16 cm
Câu 5. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình: x = 3cos(4πt - π/3) cm. Quãng đường vật đi
được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 2/3 (s) là
A. 15 cm
B. 13,5 cm
C. 21 cm
D. 16,5 cm
Câu 6. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt +2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời
điểm t1 = 2 (s) đến thời điểm t2 = 19/3 (s) là:
A. 42.5 cm
B. 35 cm
C. 22,5 cm
D. 45 cm
Câu 7. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt + 2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời
điểm t1 = 2 (s) đến thời điểm t2 = 17/3 (s) là:
A. 25 cm
B. 35 cm
C. 30 cm
D. 45cm
Câu 8. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt + 2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ
thời điểm t1 = 2 (s) đến thời điểm t2 = 29/6 (s) là:
C. 27,5 cm
D. 45 cm
A. 25 cm
B. 35 cm
Câu 9. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 7cos(5πt + π/9) cm. Quãng đường vật đi được từ
thời điểm t1 = 2,16 (s) đến thời điểm t2 = 3,56 (s) là:
A. 56 cm
B. 98 cm
C. 49 cm
D. 112 cm
Câu 10. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = A cos(ωt + ϕ ) . Vận tốc cực đại của vật là vmax = 8π cm/s và gia tốc
cực đại amax = 16π2 cm/s2. Trong thời gian một chu kỳ dao động, vật đi được quãng đường là:
A. 20cm;
B. 16cm;
C. 12cm;
D. 8cm.
Câu 11. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và chu kì 1s. Tại t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo
chiều âm của trục toạ độ. Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể từ thời điểm được
chọn làm gốc là:
A. 48cm
B. 50cm
C. 55,76cm
D. 42cm
Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực;
Cảm nhận đam mê;
Hoạt động kiên trì !
Chúc các em HỌC SINH THÀNH CÔNG trong học tập!
Biên soạn: GV: Đoàn Văn Lượng
Email:
[email protected] ;
[email protected]
℡ Điện Thoại: 0915718188 – 0906848238
GV: Đoàn Văn Lượng ĐT : 0915718188 - 0906848238
Trang 6
.PDF 
6 
479 
148 
