Tài liệu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm ổn định

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH DUY BÌNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VỚI CÁC HÀM ỔN ĐỊNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRINH DUY BÌNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VỚI CÁC HÀM ỔN ĐỊNH Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 1 Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên 1.1 Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . . 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên . . . . . . . . . . 3 3 11 2 Điều kiện tối ưu 18 2.1 2.2 2.3 2.4 Jacobian suy rộng Clarke . . . Các hàm vững . . . . . . . . . Các điều kiện tối ưu . . . . . Các quy tắc nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 21 30 37 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Lý thuyết các điều kiện tối ưu vectơ là một phần quan trọng của lý thuyết tối ưu hóa. Người ta thiết lập các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu không trơn với các hàm Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ các dưới vi phân khác nhau, chẳng hạn dưới vi phân hàm lồi, các dưới vi phân Clarke, Michel Penot, Mordukhovich . . . Lớp các hàm ổn định tại mỗi điểm của một tập rộng hơn lớp các hàm Lipschitz địa phương trên tập đó. Bài toán tối ưu vectơ với các hàm ổn định được Jimenez - Novo [6] nghiên cứu và thiết lập các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên . Jimenez - Novo [6] cũng chỉ ra đạo hàm tiếp liên có nhiều tính chất phong phú trong lớp các hàm ổn định. Đây là vấn đề thời sự được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế em chọn đề tài: " Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm ổn định " Luận văn trình bày lý thuyết đạo hàm tiếp liên cho hàm ổn định, hàm vững và các điều kiện tối ưu của Jimenez - Novo [6] cho bài toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát trong không gian định chuẩn và bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên Trình bày các kết quả nghiên cứu của Jimenez - Novo ([6], 2008) về hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên của các hàm ổn định, các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên trong lớp các hàm ổn định bao gồm: quy 1 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ tắc hàm hợp, đạo hàm tiếp liên của một tổng, một tích, một thương hai hàm và max của một số hữu hạn hàm ổn định. Chương 2. Điều kiện tối ưu Trình bày các kết quả của Jimenez - Novo [6] về hàm vững, mối quan hệ với hàm ổn định, hàm khả vi Hadamard, hàm Lipschitz địa phương, đạo hàm tiếp liên của hàm vững, và các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ tổng quát với các hàm ổn định và hàm vững dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên. Chương 2 cũng trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng các quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều, dưới ngôn ngữ đạo hàm tiếp liên. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS. Đỗ Văn Lưu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trong suốt quá trình em thực hiện luận văn. Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại trường. Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập của mình. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 7 năm 2013 Tác giả Trịnh Duy Bình 2 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên Chương 1 trình bày các kết quả nghiên cứu của Jimenez - Novo ([6], 2008) về hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên của các hàm ổn định, các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên trong lớp các hàm ổn định bao gồm: quy tắc hàm hợp, đạo hàm tiếp liên của một tổng, một tích, một thương hai hàm và max của một số hữu hạn hàm ổn định. 1.1 Hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn, M là một tập con của X. Ký hiệu B (x0 , δ) là hình cầu mở tâm x0 , bán kính δ. Kí hiệu intM , clM , coM , coneM tương ứng là phần trong của M, bao đóng của M, bao lồi của M, nón sinh bởi M, và Cone+ M = {αx : α > 0, x ∈ M } . Nón D ⊂ Y được gọi là nón nhọn nếu D ∩ (−D) = {0} .Trong chương này ta giả thiết D là nón lồi đóng nhọn có phần trong khác rỗng. Nón D sinh ra thứ tự trong không gian Y. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử M ⊂ X và x0 ∈ X. (a) Nón tiếp tuyến của M tại x0 là n T (M, x0 ) = v ∈ X : ∃tn → 0+ , ∃vn → v o sao cho x0 + tn vn ∈ M, ∀n ∈ N ; 3 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ (b) Nón các phương đạt được của M tại x0 là n A(M, x0 ) = v ∈ X : ∀tn → 0+ , ∃vn → v o sao cho x0 + tn vn ∈ M, ∀n ∈ N ; (c) Nón tiếp tuyến phần trong của M tại điểm x0 là n IT (M, x0 ) = v ∈ X : ∃δ > 0 sao cho x0 + tu ∈ M o ∀t ∈ (0, δ] , ∀u ∈ B (v, δ) ; (d) Nón tiếp tuyến phần trong dãy của M tại x0 là n ITs (M, x0 ) = v ∈ X : ∃δ > 0, ∃tn → 0+ sao cho o x0 + tn u ∈ M ∀n ∈ N, ∀u ∈ B (v, δ) . Chú ý rằng ta luôn có A (M, x0 ) ⊂ T (M, x0 ) .Tập hợp M được gọi là khả dẫn xuất (derivable) tại điểm x0 (xem [10]) nếu A(M, x0 ) = T (M, x0 ). Ta nói rằng hàm f : X → Y là khả dẫn xuất đồ thị (graph derivable) tại x0 theo phương v ∈ X nếu với ∀y ∈ Y , (v, y) ∈ T (graphf , (x0 , f (x0 ))) ⇒ (v, y) ∈ A (graphf , (x0 , f (x0 ))), trong đó graphf = {(x, y) ∈ X × Y : y = f (x)}. Hàm f là khả dẫn xuất đồ thị tại x0 nếu f là khả dẫn xuất đồ thị tại x0 theo mọi phương ∀v ∈ X khi và chỉ khi T (graphf, (x0 , f (x0 ))) = A (graphf, (x0 , f (x0 ))) tức là tập hợp graphf là khả dẫn xuất tại điểm (x0 , f (x0 )). Sau đây là một ví dụ về hàm khả dẫn xuất đồ thị. Ví dụ 1.1.1 1 Giả sử f : R → R được cho bởi f (x) = x sin nếu x 6= 0 và x f (0) = 0. Khi đó f là khả dẫn xuất đồ thị tại 0. Đạo hàm Hadamard của f : X → Y tại x0 theo phương v ∈ X là f (x0 + tu) − f (x0 ) df (x0 , v) = lim+ . (t,u)→(0 ,v) t 4 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ f là hàm khả vi Hadamard tại x0 theo phương v nếu df (x0 , v) tồn tại, và f là hàm khả vi Hadamard tại x0 nếu df (x0 , v) tồn tại với mọi v ∈ X. Nếu f khả vi Frechet tại x0 , đạo hàm Frechet của nó được kí hiệu bởi ∇f (x0 ). Nếu hàm f : X → R thì đạo hàm Hadamard dưới và trên của f tại x0 được định nghĩa bởi df (x0 , v) =  lim+ (t,u)→(0 inf (f (x0 + tu) − f (x0 )) ,v) t sup (f (x0 + tu) − f (x0 ))  tương ứng df (x0 , v) = lim . (t,u)→(0+ ,v) t Định nghĩa 1.1.2. [1] Ta nói rằng f : X → Y là một hàm ổn định tại x0 ∈ X nếu tồn tại một miền lân cận U của x0 và k > 0 sao cho kf (x) − f (x0 )k ≤ kkx − x0 k, ∀x ∈ U. Nếu kf (x) − f (x0 )k ≤ kkx − x0 k, ∀x, x0 ∈ U , ta sẽ nói rằng f là hàm Lipschitz địa phương tại x0 . Nếu với mỗi x0 ∈ X, tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f là hàm Lipschitz địa phương tại x0 thì ta nói rằng f là hàm Lipschitz địa phương trên X. Rõ ràng rằng hàm f Lipschitz địa phương trên X kéo theo f là hàm ổn định tại mỗi x0 ∈ X, nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ hàm f trong Ví dụ (1.1.1) là ổn định với mỗi x0 ∈ R nhưng f không là hàm Lipschitz địa phương tại 0. Chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm theo phương sau đây cho ánh xạ đa trị (xem [8]). Định nghĩa 1.1.3. Giả sử f : X → Y và x0 , v ∈ X. Đạo hàm tiếp liên của f tại x0 theo phương v là tập hợp sau đây trong Y: n ∂∗ f (x0 ) v = y ∈ Y : ∃ (tn , vn ) → (0+ , v) sao cho o lim (f (x0 + tn vn ) − f (x0 )) /tn = y . n→∞ 5 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chú ý rằng ∂∗ f (x0 )v được gọi là đạo hàm tiếp liên của ánh xạ đa trị x 7→ {f (x)} . Do đó ∂∗ f (x0 )v là một tập hợp đóng và ánh xạ đa trị v 7→ ∂∗ f (x0 ) v thuần nhất dương. Nếu f khả vi Hadamard tại x0 thì ∂∗ f (x0 )v = {df (x, v)} ∀v ∈ X. Cho f : X → Y và g : X → Z, trong đó Z là một không gian định chuẩn khác. Hàm (f, g) : X → Y × Z được xác định bởi (f, g)(x) = (f (x), g(x)). Trong không gian Y × Z, ta lấy k(y, z)k = kyk + kzk. Định lý sau (cách chứng minh rất đơn giản) cho ta một số tính chất của hàm (f, g) liên quan đến tính ổn định và đạo hàm tiếp liên. Mệnh đề 1.1.1. [6] (i) f và g ổn định tại x0 ⇔ (f, g) ổn định tại x0 . (ii) Với mỗi v ∈ X, ∂∗ (f, g) (x0 ) v ⊂ ∂∗ f (x0 ) v × ∂∗ g (x0 ) v. Nếu f hoặc g khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì ta có dấu bằng. Bao hàm thức trong (ii) có thể đúng như ví dụ 1.1.2 dưới đây. Nhận xét 1.1.1. (1) Rõ ràng là nếu f : X → Rp là ổn định taị x0 thì ∂∗ f (x0 ) v 6= φ, ∀v ∈ X. Thật vậy với mỗi dãy tn → 0+ và vn → v, (với n đủ lớn) ta có kf (x0 + tn vn ) − f (x0 )k ≤ kkvn k ≤ k(kvk + 1). tn bởi vì yn = (f (x0 + tn vn ) − f (x0 )) /tn là một dãy bị chặn, tồn tại một dãy con (ta vẫn kí hiệu như cũ) sao cho yn → y ∈ ∂∗ f (x0 )v. (2) Nếu f : X → Y là ổn định taị x0 với hằng số k trên một lân cận của x0 thì k∂∗ f (x0 )vk ≤ kkvk. Hơn nữa, nếu Y = Rp , thì ∂∗ f (x0 )v là một tập hợp compact với mọi v ∈ X. 6 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ (3) Nếu Y = R và df (x0 , v), df (x0 , v) hữu hạn thì {df (x0 , v), df (x0 , v)} ⊂ ∂∗ f (x0 )v ⊂ [df (x0 , v), df (x0 , v)]. Chiều ngược lại của bao hàm thức cũng đúng khi f liên tục trong một lân cận của x0 . (4) Nếu Y = Rp thì Yp Yp   ∂∗ f (x0 ) v ⊂ ∂∗ fi (x0 ) v ⊂ dfi (x0 , v) , dfi (x0 , v) . i=1 i=1 ∂∗ f (x0 )v là một tập hợp lồi khi Y = R và f liên tục trong một lân cận của x0 . Điều này không đúng cho không gian định chuẩn tùy ý Y , thậm chí nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại x0 . Ví dụ 1.1.2 (a) Giả sử A = {2−n : n ∈ N} ∪ {0} và f : R → R được xác định bởi f (x) = dist(x, A). Khi đó f là một hàm Lipschitz toàn cục trên R hằng số 1. Nhưng f không khả vi Hadamard tại x0 = 0 theo phương v = 1. Thật vậy, ta có h 1i x 0 ≤ f (x) ≤ , ∀x ∈ 0, , 3 2 sn f (2−n ) = 0 và f (sn ) = , ∀n ∈ N, trong đó sn là điểm giữa 3 của đoạn [2−n−1 , 2−n ], tức là sn = 3 · 2−n−2 . 1 1 Do đó df (x0 , v) = 0 và df (x0 , v) = . Vì thế, ∂∗ f (x0 )v = [0, ]. 3 3 (b) Giả sử ∞ h [[ 7 −n 5 −n i B = {0} ·2 , ·2 8 4 n=1 và chúng ta xác định g : R → R bởi g(x) = 2dist(x, B). Khi đó, g là Lipschitz toàn cục và thỏa mãn 0 ≤ g (x) ≤ f (x) ≤ x/3, ∀v ∈ [0, 1/2] 7 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ g = 0 trên B, và g (sn ) = sn /3 ∀n ∈ N. Các đạo hàm Hadamard dưới và trên theo phương v = 1 là 1 dg (x0 , v) = 0 và dg (x0 , v) = . 3 h 1i Do đó, ∂∗ g(x0 )v = 0, . 3 (c) Giả sử h = (f, g). Khi đó, h là Lipschitz toàn cục và ta có    1 1 1 1  ∂∗ h(x0 )v = co{(0, 0), ( , 0)} ∪ co{( , 0), ( , )} . 5 5 3 3 Tập này không lồi trong R2 . Những kết quả sau đây cho ta những tính chất của hàm ổn định và đạo hàm tiếp liên. Mệnh đề 1.1.2. f : X → Y là ổn định tại x0 khi và chỉ khi df (x0 , 0) = 0. Chứng minh. (=⇒) Ta suy ra trực tiếp từ những định nghĩa bởi vì với δ > 0 nào đó, kf (x0 + tu) − f (x0 )k ≤ k kuk , ∀t ∈ (0, δ) , ∀u ∈ B (0.1) . t (⇐= ) Giả sử  > 0 cố định. Theo giả thiết ∃δ1 , δ2 > 0 sao cho kf (x0 + tu) − f (x0 )k <  ∀t ∈ (0, δ1 ), u ∈ B(v, δ2 ). t (1.1) Chọn a cố định, η ∈ (0, δ2 ) và δ = η · δ1 . Khi đó, B(0, δ) \ {0} ⊂ (0, δ1 ) · Sη ⊂ (0, δ1 ) · B(0, δ2 ), trong đó Sη = {x ∈ X : kxk = η}. Thật vậy, cho w ∈ B(0, δ) \ {0}, ta xác định t = kwk/η và u = t−1 w. Khi đó, t < δ1 và kuk = η. Vì vậy, w = t · u ∈ (0, δ1 ) · δη . Bao hàm thức thứ hai là hiển nhiên. Nếu 0 < kx − x0 k < δ, nó sẽ là w = x − x0 = t · u với t ∈ (0, δ1 ), kuk = η 8 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Do đó, kf (x) − f (x0 )k kf (x0 + w) − f (x0 )k = kx − x0 k kwk kf (x0 + tu) − f (x0 )k 1 1 = · <ε t kuk n =k (bất đẳng thức cuối đúng do phương trình (1.1)). Mệnh đề 1.1.3. Giả sử f : X → Y, x0 , v ∈ X và y ∈ Y (i) Nếu df (x0 , v) = y thì ∂∗ f (x0 )v = {y}. (ii) Nếu Y là hữu hạn chiều, f ổn định tại x0 và ∂∗ f (x0 )v = {y} thì df (x0 , v) = y. Chứng minh. Phần (i) là hiển nhiên. Ta chứng minh phần (ii) Ta chứng minh rằng nếu yn := (f (x0 + tn vn ) − f (x0 ))/tn → y, ∀(tn , vn ) → (0+ , v) thì df (x0 , v) = y. Bởi vì f ổn định tại x0 dãy (yn ) bị chặn, tức là yn ∈ clB(0, r), ∀n ∈ N với r > 0, nào đó. Với mỗi k ∈ N ta xác định 1 n(k) = max{n ∈ N : yn 6∈ B(y, )}. k 1 Max là đạt được, bởi vì nếu không thì có vô hạn yn 6∈ B(y, ). Do k 1 đó, y 0 6∈ B(y, ) (vì clB(0, r) \ B(y, 1/k) là một tập compact). k Nhưng y 0 ∈ ∂∗ f (x0 ) v = {y}. Ta đi đến mâu thuẫn. Hiển nhiên, yn → y. Nếu f chỉ liên tục tại x0 thì Mệnh đề 1.1.3(ii) là sai. Ví dụ sau minh họa điều đó. 9 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 1.1.3 Cho f : R → R được cho bởi  1 1   , nếu x = , n ∈ N \ {0} n n f (x) = p 1   | x |, nếu x = 6 , n ∈ N \ {0} n Ta có ∂∗ f (0)1 = {1}, nhưng f không khả vi Hadamard tại 0 theo phương 1. Kết quả tiếp theo là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.1.2 và 1.1.3(i). Hệ quả 1.1.1. Khi f : X → Y là ổn định tại x0 thì ∂∗ f (x0 )0 = {0}. Điều ngược lại cũng đúng đối với hàm liên tục khi Y hữu hạn chiều. Mệnh đề 1.1.4. Giả sử f : X → Rp liên tục tại x0 . Nếu ∂∗ f (x0 )0 = {0} thì f ổn định tại x0 . Chứng minh. Giả sử f không ổn định tại x0 . Khi đó, tồn tại dãy xn → x0 sao cho kf (xn − f (x0 )k > nkxn − x0 k, ∀n ∈ N. (1.2) Đặt tn = kf (xn ) − f (x0 )k > 0 và vn = (xn − x0 )/tn . Vì f liên tục tại x0 , ta có tn → 0+ , và từ (1.2), ta suy ra vn → 0. Lấy dãy con nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng yn := (f (x0 +tn vn )−f (x0 ))/tn hội tụ tới y nào đó y ∈ Rp với kyk = 1 bởi vì kyn k = 1. Do đó, y ∈ ∂∗ f (x0 )0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Nếu ∂∗ f (x0 )0 6= {0} thì f không ổn định tại x0 do hệ quả 1.1.1 nhưng f có thể liên tục tại x0 . p Chẳng hạn f : R → R, f (x) = | x |, x0 = 0. Lấy tn = 1/n và vn = 1/n, ta có lim f (tn vn ) /tn = 1 ∈ ∂∗ f (x0 ) 0. x→∞ 10 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Hệ quả 1.1.2. f : X → Rp liên tục tại x0 và ∂∗ f (x0 ) 0 = {0} và tương đương với df (x0 , 0) = 0. Hệ quả 1.1.2 được suy ra từ các Mệnh đề 1.1.4 và 1.1.2. 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm tiếp liên Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày một số quy tắc tính toán đạo hàm tiếp liên. Giả sử rằng Z là một không gian định chuẩn. Định lý 1.2.1. (Quy tắc hàm hợp) Giả sử f : X → Y và g : Y → Z khả vi Hadamard tại f (x0 ). Khi đó, dg(f (x0 ), ·)(∂∗ f (x0 )v) ⊂ ∂∗ (g ◦ f )(x0 )v, ∀v ∈ X (1.3) Hơn nữa, nếu Y hữu hạn chiều và f ổn định tại x0 thì g ◦ f ổn định tại x0 và có đẳng thức trong (1.3). Chứng minh. Giả sử y ∈ ∂∗ f (x0 )v. Khi đó, ∃(tn , vn ) → (0+ , v) sao cho yn := (f (x0 + tn vn ) − f (x0 )) /tn → y. Bởi vì g khả vi Hadamard tại f (x0 ), cho nên dg(f (x0 ), y) tồn tại và ta có g(f (x0 ) + tu) = g(f (x0 )) + tdg(f (x0 ), y) + tα(t, u), trong đó lim (t,u)→(0+ ,y) α (t, u) = 0. Đặc biệt, với t = tn và u = yn thì f (x0 + tn vn ) = f (x0 ) + tn yn , và ta có g (f (x0 + tn vn )) = g (f (x0 ) + tn yn ) = g (f (x0 )) + tn dg (f (x0 ) , y) + tn α (tn , yn ) . 11 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Do đó, (g ◦ f ) (x0 + tn vn ) − (g ◦ f ) (x0 ) = dg (f (x0 ) , y) . n→∞ tn lim Điều này kéo theo dg(f (x0 ), y) ∈ ∂∗ (g ◦ f )(x0 )v. Tiếp theo ta chứng minh tính ổn định của g ◦ f , dễ thấy vì g cũng ổn định tại f (x0 ) do Mệnh đề 1.1.2. Giả sử z ∈ ∂∗ (g ◦ f )(x0 )v. Khi đó tồn tại (tn , vn ) → (0+ , v) sao cho g(f (x0 + tn vn )) − g(f (x0 )) → z. (1.4) tn Do f ổn định tại x0 và Y hữu hạn chiều, ta có thể giả sử rằng: (lấy một dãy con nếu cần) yn := f (x0 + tn vn ) − f (x0 ) → y. tn (1.5) Do đó y ∈ ∂∗ f (x0 )v. Do g khả vi Hadamard tại f (x0 ), và f (x0 + tn vn ) = f (x0 ) + tn yn và sử dụng (1.4) và (1.5) ta suy ra g (f (x0 ) + tn yn ) − g (f (x0 )) n→∞ tn g (f (x0 + tn vn )) − g (f (x0 )) = lim = z. x→∞ tn Vì vậy, z ∈ dg(f (x0 ), ·)(∂∗ f (x0 )v). dg (f (x0 ) , y) = lim Kết quả sau đây suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2.1, khi lấy g = ψ. Chú ý rằng dψ(y, u) = ψ0 (u), ∀y, u ∈ Y . Hệ quả 1.2.1. Giả sử f : X → Y , và ψ : Y → Z là một hàm affine liên tục được cho bởi ψ(y) = ψ0 (y) + b với ψ0 : Y → Z là hàm tuyến tính liên tục và b ∈ Z. Khi đó, ψ0 (∂∗ f (x0 )v) ⊂ ∂∗ (ψ ◦ f )(x0 )v, ∀v ∈ X. (1.6) Hơn nữa, nếu Y hữu hạn chiều và f ổn định tại x0 thì ψ ◦ f là ổn định tại x0 và đẳng thức xảy ra trong (1.6). 12 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chú ý rằng khi Y hữu hạn chiều và ψ : Y → Z là một hàm affine thì ψ liên tục trên Y . Mệnh đề 1.2.1. (Quy tắc tổng) Giả sử f, g là hai hàm từ X vào Y . Khi đó, {y + z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g) (x0 ) v} ⊂ ∂∗ (f + g) (x0 ) v. Nếu Y hữu hạn chiều và f (hoặc g) ổn định tại x0 thì ∂∗ (f + g)(x0 )v ⊂ ∂∗ f (x0 )v + ∂∗ g(x0 )v. (1.7) Nếu f (hoặc g) khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì đẳng thức xảy ra trong (1.7). Chứng minh. Phần thứ nhất suy ra từ Hệ quả 1.2.1 với (f, g) : X → Y × Y thay cho f và ψ : Y × Y → Y được cho bởi công thức ψ(y, z) = y + z. Phần thứ hai suy ra từ định nghĩa và chú ý đến Nhận xét 1.2.1(1) và phần thứ ba suy ra từ Định nghĩa. Các hàm f và g trong Ví dụ 1.2.1(c) cho thấy bao hàm thức (1.7) có thể chặt. Để minh họa quy tắc tổng này, ta xét h : X × Y → Rp được cho bởi h(x, y) = f (x) + g(y), trong đó f : X → Rp , g : Y → Rp và (x0 , y0 ), (v, u) ∈ X × Y . Nếu f ổn định tại x0 thì ∂∗ h(x0 , y0 )(v, u) ⊂ ∂∗ f (x0 )v + ∂∗ g(y0 )u, và đẳng thức xảy ra nếu f khả vi Hadamard tại x0 theo phương v. Để chứng minh điều này, ta xét f và g từ X × Y vào Rp f (x, y) = f (x) và g(x, y) = g(y) và khi đó áp dụng Mệnh đề 1.2.1 cho h = f + g, ta nhận được ∂∗ f (x0 , y0 ) (v, u) = ∂∗ f (x0 ) v, và ∂∗ g (x0 , y0 ) (v, u) = ∂∗ g (y0 ) u 13 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mệnh đề 1.2.2. (Quy tắc tích) Giả sử f, g là hai hàm từ X vào R. Khi đó, {g(x0 )y + f (x0 )z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v} ⊂ ∂∗ (f g)(x0 )v. (1.8) Nếu f ổn định tại x0 , và hoặc f (x0 ) 6= 0 hoặc g liên tục tại x0 , thì ∂∗ (f g)(x0 )v ⊂ g(x0 )∂∗ f (x0 )v + f (x0 )∂∗ g(x0 )v. (1.9) Hơn nữa, nếu f khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì đẳng thức xảy ra trong (1.8) và (1.9). Nếu f, g ổn định tại x0 thì f g ổn định x0 , và đẳng thức này xảy ra trong (1.8). Hơn nữa, ∂∗ (f g)(x0 )v = ∂∗ (g(x0 )f + f (x0 )g)(x0 )v. (1.10) Chứng minh. Giả sử h : R2 → R là một hàm h(y, z) = yz. Hàm này khả vi phân Frechet, với ∇h(y0 , z0 )(u, w) = z0 u + y0 w. Chú ý rằng f g = h ◦ (f, g) và áp dụng Định lý 1.2.1 để nhận được phần 1, tức là bao hàm thức (1.8). Giả sử rằng f ổn định tại x0 . Giả sử xn = x0 + tn vn , với (tn , vn ) → (o+ , v). Khi đó, f (xn ) g (xn ) − f (x0 ) g (x0 ) tn f (xn ) − f (x0 ) g (xn ) − g (x0 ) = g (x0 ) + f (xn ) . tn tn wn : = (1.11) Nếu (wn ) hội tu tới w ∈ ∂∗ (f g)(x0 )v, thì do Nhận xét 1.1.1(1) (ta lấy thêm 1 dãy con nếu cần thiết), ta nhận được yn := (f (xn ) − f (x0 ))/tn → y ∈ ∂∗ f (x0 )v. Nếu f (x0 ) 6= 0, do f (xn ) → f (x0 ), ta có f (xn ) 6= 0, ∀n đủ lớn và sủ dụng (1.11), ta có g(xn ) − g(x0 ) wn − g(x0 )yn w − g(x0 )y = → ∈ ∂∗ g(x0 )v. tn f (xn ) f (x0 ) 14 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Nếu f (x0 ) = 0 và g liên tục tại x0 , vì yn = f (xn )/tn → y, ta suy ra wn = f (xn ) g(xn ) → w = g(x0 )y ∈ g(x0 )∂∗ f (x0 )v + 0∂∗ g(x0 )v. tn Đối với phần thứ ba, khi f khả vi Hadamard tại x0 theo phương v, từ Mệnh đề 1.1.1(ii) ta có ∂∗ (f, g)(x0 )v = ∂∗ f (x0 )v × ∂∗ g(x0 )v. Do đó, {g(x0 )y + f (x0 )z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v} = g(x0 )∂∗ f (x0 )v + f (x0 )∂∗ g(x0 )v. Vì thế mà ta có đẳng thức trong (1.8) và (1.9). Đối với phần cuối, đẳng thức trong (1.8) và tính ổn định của f g được chứng minh như trong phần đầu tiên bằng cách áp dụng phần thứ hai của Định lý 1.2.1 vì (f, g) ổn định bởi mệnh đề 1.1.1(i). Để chứng minh đẳng thức (1.10) ta hãy xét phiếm hàm tuyến tính ψ : R2 → R được định nghĩa bởi : ψ(y, z) = g(x0 )y + f (x0 )z. Sử dụng Hệ quả 1.2.1, ta nhận được ψ(∂∗ (f, g)(x0 )v) = ∂∗ (ψ ◦ (f, g))(x0 )v = ∂∗ (g(x0 )f + f (x0 )g)(x0 )v. Tuy nhiên ψ (∂∗ (f, g) (x0 ) v) = {g (x0 ) y + f (x0 ) z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g) (x0 ) v} = ∂∗ (f g) (x0 ) v như chúng ta vừa chỉ ra và chứng minh được hoàn thành. Ví dụ sau đây cho thấy bao hàm thức trong Mệnh đề 1.2.2 có thể là chặt. Ví dụ 1.2.1 Giả sử f : R → R, g : R → R, x0 = 0 và v = 1. Để cho ngắn gọn, 15 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ ta xét A = {g(x0 )y + f (x0 )z : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v}, B = ∂∗ (f g) (x0 ) v, C = g (x0 ) ∂∗ f (x0 ) v + f (x0 ) ∂∗ g (x0 ) v, D = ∂∗ (g (x0 ) f + f (x0 ) g) (x0 ) v. (a) f (x) = x, g(x) = sin(1/x), nếu x 6= 0 và g(0) = 1. Khi đó f khả vi Hadamard tại x0 nhưng không liên tục tại x0 , A = C = D = {1} và B = [−1, 1]. Các bao hàm thức (1.9) và (1.10) không thỏa mãn và (1.8) chặt. (b) f (x) = x sin(1/x), nếu x 6= 0, f (0) = 0; g(x) = sin(1/x), nếu x 6= 0, g(0) = 1. Khi đó, f ổn định tại x0 , nhưng không khả vi Hadamard tại x0 theo phương v, A = {1}, B = [0, 1] và C = D = [−1, 1]. (1.9) thỏa mãn với bao hàm thức chặt, nhưng (1.10) lại không thỏa mãn. (c) f (x) = 1 + x sin(1/x), g(x) = 1 − x sin(1/x), và f (0) = g(0) = 0. Khi đó, f và g ổn định tại x0 , ∂∗ (f, g)(x0 )v = {(y, −y) : −1 ≤ y ≤ 1}, ∂∗ f (x0 )v = ∂∗ g(x0 )v = [−1, 1], A = B = D = {0} và C = [- 2,2]; (1.8) và (1.10) thỏa mãn đẳng thức, và (1.9) thỏa mãn với bao hàm thức chặt. Tương tự vào Mệnh đề 1.2.2, ta có mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.2.3. (Quy tắc thương) Giả sử f, g là hai hàm từ X vào R với g(x0 ) 6= 0. Khi đó, n g(x )y − f (x )z o 0 0 : (y, z) ∈ ∂∗ (f, g)(x0 )v ⊂ ∂∗ (f /g)(x0 )v. (1.12) g(x0 )2 Nếu g ổn định tại x0 (hoặc f ổn định tại x0 , và hoặc f (x0 ) 6= 0 hoặc g liên tục tại x0 ) thì ∂∗ (f /g)(x0 )v ⊂ g(x0 )∂∗ f (x0 )v − f (x0 )∂∗ g(x0 )v . g(x0 )2 16 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1.13) Hơn nữa, nếu g khả vi Hadamard tại x0 theo phương v thì ta có đẳng thức trong (1.12) và (1.13). Nếu f và g ổn định tại x0 thì f /g ổn định tại x0 , và ta có đẳng thức trong (1.12). Hơn nữa, ∂∗ (f /g)(x0 )v = 1 ∂∗ (g(x0 )f − f (x0 )g)(x0 )v. g(x0 )2 Mệnh đề 1.2.4. (Quy tắc hàm max) Giả sử f = (f1 , f2 , . . . , fp ) : X → Rp và g : X → R được xác định bởi g(x) = max {fi (x) : i = 1, 2, . . . , p} . Khi đó, n α ∈ R : ∃y = (y1 , y2 , . . . , yp ) ∈ ∂∗ f (x0 ) v. o sao cho α = max {yi : i = I (f (x0 ))} ⊂ ∂∗ g (x0 ) v, trong đó I (f (x0 )) = {i ∈ {1, 2, . . . , p} : g (x0 ) = fi (x0 )}. Nếu f ổn định tại x0 , thì g ổn định tại x0 và đẳng thức này xảy ra. Chứng minh. Ta xác định hàm h : Rp → R trong đó h (y1 , y2 , . . . , yp ) = max {yi : i = 1, 2, . . . , p}. Hiển nhiên rằng g = h ◦ f . Hàm h khả vi Hadamard tại y0 ∈ Rp với dh (y0 , u) = max {ui : i ∈ I (y0 )} ta áp dụng Định lý 1.2.1 và nhận được điều phải chứng minh. 17 Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/