Tài liệu điều kiện đủ để đa thức là tổng bình phương và ứng dụng

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC o0o I—U KI›N Õ š A THÙC L€ TÊNG BœNH PH×ÌNG V€ ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sž Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch M¢ sè: 60 46 01 02 é Thà Thanh Nga Cao håc K20 Håc vi¶n thüc hi»n: Lîp: Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Hç Minh To n H€ NËI - 2014 Möc löc Líi nâi ¦u 2 1 a thùc nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng 5 1.1 Mð ¦u v· a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng c¡c a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 a thùc nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng . . . . 13 2 i·u ki»n õ º a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng v  ùng döng 20 2.1 i·u ki»n õ º a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng . . . . . . . 20 2.2 ×îc l÷ñng cªn d÷îi cõa a thùc . . . . . . . . . . . . . . 27 K¸t luªn 34 T€I LI›U THAM KHƒO 36 1 Líi nâi ¦u Cho f ∈ R[X] := R[X1, ..., Xn] l  a thùc n bi¸n bªc m. Hiºn nhi¶n, mët a thùc f l  têng b¼nh ph÷ìng th¼ nâ l  nûa x¡c ành d÷ìng v¼ b¼nh ph÷ìng trong R l  khæng ¥m. V§n · °t ra l : Khi n o, mët a thùc nûa x¡c ành d÷ìng f ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng? • N¸u n = 1 v  f l  nûa x¡c ành d÷ìng th¼ f l  têng b¼nh ph÷ìng (xem M»nh · 1.3). • Sylvester (1850) ¢ ch¿ ra r¬ng: N¸u f l  a thùc nûa x¡c ành d÷ìng bªc 2 th¼ f l  têng b¼nh ph÷ìng. N«m 1888, Hilbert ¢ chùng minh hai ành lþ quan trång l : • N¸u f l  a thùc nûa x¡c ành d÷ìng 2 bi¸n bªc 4 th¼ f l  têng b¼nh ph÷ìng. • C¡c tr÷íng hñp cán l¤i, luæn tçn t¤i a thùc f l  nûa x¡c ành d÷ìng nh÷ng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng. Hilbert ¢ khæng ÷a ra v½ dö cö thº cho a thùc l  nûa x¡c ành d÷ìng m  khæng l  têng b¼nh ph÷ìng. V½ dö nêi ti¸ng ¦u ti¶n ÷ñc ÷a ra cho v§n · n y l  a thùc Motzkin (1960) s(X, Y ) = 1 − 3X 2 Y 2 + X 4 Y 2 + X 2 Y 4 . N«m 1893, Hilbert ¢ chùng minh mët a thùc nûa x¡c ành d÷ìng hai bi¸n b§t ký luæn biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng cõa 2 c¡c h m húu t¿. Tuy nhi¶n, æng khæng chùng minh ÷ñc cho tr÷íng hñp têng qu¡t. V¼ vªy, nâ trð th nh b i to¡n thù 17 trong 23 b i to¡n cõa Hilbert ÷ñc ÷a ra n«m 1900. B i to¡n n y ¢ ÷ñc tr£ líi bði Emil Artin (1927). Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l  thæng qua vi»c so s¡nh c¡c h» sè cõa c¡c ìn thùc câ bªc cao nh§t vîi c¡c h» sè câ bªc th§p hìn cõa mët a thùc, º ÷a ra i·u ki»n õ cho a thùc â l  têng b¼nh ph÷ìng. Sau â, ùng döng c¡c i·u ki»n n y x¡c ành mët sè cªn d÷îi cõa a thùc nh÷ sau: ành ngh¾a f∗ := inf {f (a)|a ∈ Rn } ,   fsos := sup r r ∈ R, f − r l  SOS . Nhªn th§y fsos ≤ f∗. Vi»c t½nh f∗ l  khâ n¶n thay v¼ vi»c t½nh trüc ti¸p f∗ ta i t¼m cªn d÷îi cõa nâ. Chóng ta s³ ch¿ ra r¬ng: n¸u th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc 2d cõa a thùc f l  mët iºm trong cõa tªp t§t c£ c¡c a thùc n bi¸n bªc 2d l  têng b¼nh ph÷ìng th¼ s³ câ sü chån lüa phò hñp cho k v  r sao cho a thùc f (kX) − r thäa m¢n i·u ki»n õ ÷ñc ÷a ra trong H» qu£ 2.1 v  H» qu£ 2.2. i·u n y cho ph²p chóng ta x¡c ành ÷ñc 2 cªn d÷îi cho fsos â l  rL v  rF K (xem ành lþ 2.5 v  ành lþ 2.6). Düa v o ành lþ 2.1 ta x¡c ành ÷ñc mët cªn d÷îi núa cõa fsos â l  rdmt (xem ành lþ 2.7). Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn, danh möc t i li»u tham kh£o v  hai ch÷ìng nh÷ sau: Ch÷ìng 1 "a thùc nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng" tr¼nh b y têng quan v· b i to¡n biºu di¹n a thùc nûa x¡c ành d÷ìng th nh têng b¼nh ph÷ìng. 3 Ch÷ìng 2 "i·u ki»n õ º a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng v  ùng döng" ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y c¡c i·u ki»n õ º a thùc câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng v  ùng döng c¡c i·u ki»n â v o b i to¡n tèi ÷u a thùc. Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Vi»n To¡n håc, Vi»n H n l¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Hç Minh To n. T¡c gi£ ch¥n th nh c£m ìn th¦y To n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu theo · t i cõa luªn v«n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n, nhí c¡c b i gi£ng cõa c¡c Th¦y, Cæ trong Vi»n To¡n Håc, Vi»n H n L¥m Khoa Håc v  Cæng Ngh» Vi»t Nam, t¡c gi£ ¢ trau dçi th¶m nhi·u ki¸n thùc phöc vö cho cæng vi»c håc tªp v  nghi¶n cùu cõa b£n th¥n. T¡c gi£ xin b y tä láng c£m ìn s¥u s­c tîi c¡c Th¦y, Cæ. T¡c gi£ ch¥n th nh c£m ìn sü hªu thu¨n tø gia ¼nh, sü ëng vi¶n lîn tø bè, mµ, Ban gi¡m hi»u, c¡c Th¦y, Cæ trong tr÷íng THCS Li¶n Kh¶ v  c¡c b¤n trong lîp Cao håc K20 ¢ t¤o måi i·u ki»n v  gióp ï cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp v  nghi¶n cùu ð Vi»n To¡n håc. H  Nëi th¡ng 8 n«m 2014 Håc vi¶n é Thà Thanh Nga 4 Ch÷ìng 1 a thùc nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng 1.1 Mð ¦u v· a thùc a thùc f d÷îi d¤ng ∈ R[X] bªc d (k½ hi»u l  deg(f ) = d) luæn ÷ñc ph¥n t½ch f = f0 + f1 + ... + fd , trong â méi fi ∈ R [X] l  a thùc thu¦n nh§t bªc i, i = 1, ..., n. Mët a thùc f thäa m¢n f (tX) = tdf (X) ÷ñc gåi l  a thùc thu¦n nh§t bªc d. k a thùc f ÷ñc gåi l  têng b¼nh ph÷ìng n¸u f (X) = P fi(X)2, vîi i=1 fi (X) ∈ R[X]. Sau ¥y s³ l  mët sè k¸t qu£ v· a thùc m  luªn v«n s³ sû döng tîi. M»nh · 1.1. [4, M»nh · 1.1.1] N¸u f ∈ R[X], f 6= 0 th¼ tçn t¤i mët iºm x ∈ Rn sao cho f (x) 6= 0. Chùng minh. M»nh · óng vîi n = 1, v¼ a thùc mët bi¸n kh¡c 0 câ bªc húu h¤n ch¿ 5 câ húu h¤n nghi»m. Gi£ sû, m»nh · óng vîi n − 1 bi¸n. V¼ f 6= 0 ta ph¥n t½ch f d÷îi d¤ng f = g0 + g1 Xn + ... + gk Xnk , trong â g0, ..., gk ∈ R [X1, ..., Xn−1], gk 6= 0. Theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i mët iºm (x1, ..., xn−1) ∈ Rn−1 sao cho gk (x1 , ..., xn−1 ) 6= 0. Do â f (x1 , ..., xn−1 , Xn ) = k X gi (x1 , ..., xn−1 )Xni i=0 l  a thùc kh¡c 0 mët bi¸n Xn. Suy ra, tçn t¤i xn ∈ R sao cho f (x1, ..., xn) 6= 0. 2 H» qu£ 1.1. [4, H» qu£ 1.1.3] Gi£ sû f = f12 + ... + fk2, trong â f1 , ..., fk ∈ R[X], f1 6= 0. Khi â (i) f 6= 0. (ii) deg (f ) = 2 i=1,...k max {deg (fi )}. Chùng minh. (i) Gi£ sû f1 6= 0. Theo M»nh · 1.1, tçn t¤i x ∈ Rn sao cho f1(x) 6= 0. Khi â f (x) = f12 (x) + ... + fk2 (x) > 0. Do â, f 6= 0. (ii) Ph¥n t½ch méi fi th nh têng c¡c a thùc thu¦n nh§t, tùc l  fi = fi0 + fi1 + ... + fid , vîi fij l  a thùc thu¦n nh§t bªc j v  d := 2 i=1,...k max {deg (fi )}. Khi â, deg(f ) ≤ 2d. Thªt vªy, gi£ sû deg(f ) > 2d, ta l¤i câ deg(f12 + ... + fk2 ) ≤ 2d, m  f = f12 + ... + fk2 (væ l½). 6 M°t kh¡c, c¡c ph¦n tû câ bªc 2d trong têng f12 +...+fk2 l  f1d2 +...+fkd2 v  2 d := 2 max {deg (fi )} n¶n tçn t¤i i sao cho fid 6= 0. Do â, f1d +...+fkd 6= i=1,...k 0. Vªy deg(f ) = 2d. 2 ành lþ 1.1. [5, ành lþ 1.1.3] Cho f (X) = X n − b1X n−1 − ... − bn, trong â t§t c£ bi l  khæng ¥m v  ½t nh§t mët bi 6= 0. a thùc f câ mët nghi»m d÷ìng duy nh§t p v  gi¡ trà tuy»t èi cõa c¡c nghi»m cán l¤i khæng v÷ñt qu¡ p. Chùng minh. °t F (X) = − f (X) b1 bn = + ... + − 1. Xn X Xn N¸u X 6= 0, ta câ: f (X) = 0 ⇔ F (X) = 0. Cho X ti¸n tø 0 → +∞ h m sè F (X) gi£m ng°t tø +∞ → −1. V¼ vªy, cho x > 0, h m sè F tri»t ti¶u t¤i duy nh§t mët iºm p. Ta ph£i chùng minh, n¸u x0 l  mët nghi»m cõa f th¼ q = |x0| ≤ p. Thªt vªy, gi£ sû q > p ta câ f (q) > 0. M°t kh¡c, x0 l  nghi»m cõa f n¶n xn0 = b1 xn−1 + ... + bn ⇒ q n ≤ b1 q n−1 + ... + bn ⇒ f (q) ≤ 0. 0 2 K½ hi»u C(f ) l  nghi»m d÷ìng duy nh§t cõa f . Quy ÷îc C(X n) := 0. n P H» qu£ 1.2. Cho mët a thùc b§t ký q (t) = i=0 biti, vîi bn 6= 0. C¡c nghi»m cõa q câ giîi h¤n trong gi¡ trà tuy»t èi cõa C ! n−1   X   b  i  ti . tn − b  i=0 7 n 1.2 Ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng c¡c a thùc Mët ma trªn A èi xùng thüc, vuæng c§p n ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành d÷ìng n¸u xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn. M»nh · 1.2. [4, M»nh · 0.2.1] Cho A l  ma trªn èi xùng, thüc c§p n × n. C¡c i·u sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn. (ii) Måi gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng ¥m. (iii) A = U T U , vîi U l  mët ma trªn c§p n × n n o â. (iv) A l  mët tê hñp tuy¸n t½nh khæng ¥m cõa c¡c ma trªn d¤ng xxT , vîi x ∈ Rn. Chùng minh. (i) ⇒ (ii) Do A èi xùng n¶n c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A l  thüc. L§y d l  mët gi¡ trà ri¶ng cõa A, t÷ìng ùng vîi vectì ri¶ng x. Khi â Ax = dx n¶n xT Ax = xT dx = dxT x = dkxk2 . V¼ xT Ax ≥ 0 v  x 6= 0 n¶n d ≥ 0. (ii) ⇒ (iii) V¼ A l  ma trªn èi xùng n¶n A = C −1DC , vîi C l  ma trªn trüc giao (C T = C −1), D l  ma trªn ÷íng ch²o (c¡c ph¦n tû ÷íng ch²o cõa D l  c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A). Gi£ sû   d1 . . .   D=  0 .. . . . .. 0 · · · dn    = diag (d1 , ..., dn ) .  8 V¼ di ≥ 0, ∀i = 1, ..., n n¶n D = −1 A = C DC = C T √ D √ T√ D T√ D. Do â √ √ T DC = ( DC) DC = U T U, √ trong â U = DC . (iii) ⇒ (iv) A = v1v1T + ... + vnvnT , trong â v1, ..., vn l  c¡c vectì h ng cõa U . (iv) ⇒ (i) Gi£ sû A = r1v1v1T + ... + rnv1v1T , vîi ri ≥ 0. Ta câ n n T x Ax = 2 X T ri x vi viT x = i=1 X ri viT x
2 ≥ 0. i=1 Mët a thùc câ l  têng b¼nh ph÷ìng hay khæng, ta câ thº düa tr¶n d§u hi»u sau: ành lþ 1.2. [3, Bê · 3.8] Cho a thùc p(X) ∈ R[X] bªc 2d. Khi â c¡c i·u sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) p(X) l  têng b¼nh ph÷ìng. (ii) Tçn t¤inma trªn A nûa x¡c ành d÷ìng sao cho p(X) = zT Az, vîi o z = (zi ), zi ∈ X β : |β| ≤ d . Chùng minh. (i) ⇒ (ii) Gi£ sû p(X) l  têng b¼nh ph÷ìng, hay p(X) = P p2j (X), j=1 vîi deg(pj (X)) ≤ d. °t z1 = 1, z2 = X1, ..., zn+1 = Xn, zn+2 = X12, zn+3 = X1 X2 , ..., z2n+1 = X1 Xn , z2n+2 = X2 X3 , ..., zC(n+d,d) = Xnd . L÷u þ r¬ng sè ìn thùc X1d+1...Xnd vîi d1 + ... + dn ≤ d v  di ≥ 0 l  m n C(n + d, d) = 9 (n + d)! . d!n! Ta câ:  pj (X) = n¶n p (X) =  z1 z2 ... zC(n+d,d) m X z T pj
2 = j=1 m X         pj1 pj2 .. pjC(n+d,d)     = z T pj      m X z T pj pTj z = z T  pj pTj  z, j=1 j=1 trong â     T pj pj =      pj1 pj2 .. pjC(n+d,d)      p p ... p = Aj , j1 j2 jC(n+d,d)    vîi Aj (j = 1, ..., m) l  c¡c ma trªn c§p C (n + d, d) × C (n + d, d), cö thº l       Aj =     p2j1 pj1 pj2 pj2 pj1 p2j2 .. .. · · · pj1 pjC(n+d,d) · · · pj2 pjC(n+d,d) ··· pjC(n+d,d) pj1 pjC(n+d,d) pj2 · · · .. p2jC(n+d,d)    .    ≥ 0 n¶n Aj l  mët ma trªn nûa Do p (X) = z Aj z = j=1 j=1 j=1 x¡c ành d÷ìng v  câ c¡c ph¦n tû ch½nh l  têng cõa t½ch l¦n l÷ñt c¡c h» T m P m P p2j (X) 10 m P sè cõa c¡c a thùc pj (X), vîi j = 1, ..., m nh÷ sau: m P  m P p2j1 pj1 pj2  j=1 j=1  m m P P  m  p p p2j2 X j2 j1  j=1 j=1 Aj =   . .. j=1  .  m m  P P pjC(n+d,d) pj2 pjC(n+d,d) pj1 j=1 ··· m P ··· j=1 m P pj1 pjC(n+d,d) pj2 pjC(n+d,d) .. j=1 ··· ··· m P j=1 j=1 p2jC(n+d,d)       .     (ii) ⇒ (i) Gi£ sû, A l  ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng v  p(X) = z T Az, z =   Xβ . Ma trªn A câ c§p theo sè c¡c ìn thùc câ bªc nhä hìn d, tùc |β|≤d l  C (n + d, d). Do A l  ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng n¶n A l  ma trªn èi xùng, c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa nâ ·u l  c¡c sè thüc v  tçn t¤i mët ma trªn ÷íng ch²o gçm to n c¡c gi¡ trà ri¶ng. Ta câ A = SΛS −1, vîi S l  ma trªn trüc giao v  Λ l  ma trªn ÷íng ch²o gçm t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A. Chó þ: S trüc giao n¶n S −1 = S T v  Λ = diag(λ1, λ2, ...). √ √ √ √ √ √ K½ hi»u Λ = diag( λi), ta câ: A = SΛS −1 = S Λ ΛT S T = S Λ(S Λ)T . √ K½ hi»u u1, u2, ..., uC(n+d,d) l  c¡c vectì h ng cõa (S Λ)T , c¡c vectì √ uT1 , uT2 , ..., uTC(n+d,d) l  c¡c vectì cët cõa (S Λ). Ta th§y   √   √ T h A = S Λ S Λ = uT1 uT2 · · · uTC(n+d,d)  i      u1 u2 .. uC(n+d,d) = uT1 u1 + ... + uTC(n+d,d) uC(n+d,d) . 11         Suy ra p (X) = z T Az = z T uT1 u1 z + ... + z T uTC(n+d,d) uC(n+d,d) z X = (uj z)T (uj z), j vîi  uj z = h uTj1 uTj2 · · · uTjC(n+d,d)  i       z1 z2 .. zC(n+d,d)    X = ujk zk .   k  Do â !2 !2 p (X) = X (uj z)T (uj z) = X X j j ujk zk = X X j k ujk X β , (|β| ≤ d) . k L÷u þ: N¸u trong a thùc ban ¦u khæng chùa sè h¤ng tü do th¼ ta câ thº bä z1 = 1 i trong khi lªp ma trªn z. V½ dö 1.1. a thùc p(X, Y, Z) = X 2Z 2 + 2XY Z 2 + 2Y 2Z 2 − 2Y Z 3 + Z 4 l  mët têng  b¼nhph÷ìng. Thªt vªy: X²t XZ   z = YZ  Z2   ,  ta câ  p (X, Y, Z) = z T Az =    a b c XZ       2  b d e  Y Z . XZ Y Z Z    2 c e f Z 12  Khi â  1 1 0     A =  1 2 −1    0 −1 1 l  ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng. Chu©n hâa ma trªn A ta ÷ñc A = SΛS T , trong â    S=   −1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3 √1 2 √1 6 2 0 √6 −1 √1 √ 2 6    ,  0 0 0     Λ =  0 1 0  = diag (0, 1, 3) .   0 0 3 V¼ S trüc giao n¶n S −1 = S T n¶n A = SΛS T √ √ = Sdiag(0, 1, 3)diag(0, 1, 3)S T √ √ = Sdiag(0, 1, 3)[Sdiag(0, 1, 3)]T . Vªy  √1 2 √1 2 2 √ 2 −1 √ 2 0   p (X, Y, Z) = XZ Y Z Z 2  0 0  0 √12 1 1 = (XZ + Z 2 )2 + (XZ + 2Y Z 2 2       0 √1 2 √1 2 0 0 0 √1 2 −1 √ 2 √2 2  XZ    Y Z  Z2      − Z 2 )2 . 1.3 a thùc nûa x¡c ành d÷ìng v  têng b¼nh ph÷ìng K½ hi»u f ≥ 0 tr¶n Rn l  a thùc nûa x¡c ành d÷ìng. M»nh · 1.3. [4, M»nh · 1.2.1] Gi£ sû f 6= 0 l  a thùc mët bi¸n X 13 v  Y Y ki f = d (X − ai ) ((X − bj )2 + c2j )lj i j l  ph²p ph¥n t½ch th nh nh¥n tû trong R[X]. Khi â c¡c i·u sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) f ≥ 0 tr¶n Rn. (ii) d > 0 v  méi ki l  ch®n. (iii) f = g2 + h2, vîi g, h ∈ R[X]. Chùng minh. (i) ⇒ (ii) Hiºn nhi¶n. (ii) ⇒ (iii) p döng cæng thùc: (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac − bd)2 + (ad − bc)2 . Ta câ i·u ph£i chùng minh. (iii) ⇒ (i) Hiºn nhi¶n. 2 Cho mët a thùc b§t k¼ f (X1 , ..., Xn ) = f X cX1d1 ...Xndn ∈ R [X] , deg(f ) ≤ d. câ thº ÷a v· d¤ng mët a thùc thu¦n nh§t:   X X 1 n , ..., fe(X0 , X1 , ..., Xn ) = X0d f X0 X0   X X1 d1  Xn dn d = X0 c ... X0 X0 n P X d− di d = cX i=1 X1 1 ...Xndn X = cX0d0 X1d1 ...Xndn . l  a thùc thu¦n nh§t bªc d, (n + 1) bi¸n X0, X1, ..., Xn, trong â n P d0 := d − di . a thùc fe gåi l  thu¦n nh§t hâa cõa a thùc f . fe i=1 14 Ng÷ñc l¤i, ta công câ thº ÷a mët a thùc thu¦n nh§t v· d¤ng khæng thu¦n nh§t: fe(1, X1, ..., Xn) = f (X1, ..., Xn). M»nh · 1.4. [4, M»nh · 1.2.4] °t Vd,n l  khæng gian vectì cõa t§t c£ c¡c a thùc n bi¸n bªc ≤ d x¡c ành trong Rn, Fd,n l  khæng gian vectì cõa t§t c£ c¡c a thùc n bi¸n bªc d x¡c ành trong Rn. nh x¤ Vd,n → Fd,n+1 l  mët ¯ng c§u. N¸u d ch®n th¼ (i) f ≥ 0 tr¶n Rn ⇔ fe ≥ 0 tr¶n Rn+1. (ii) f l  têng b¼nh ph÷ìng c¡c a thùc khi v  ch¿ khi fe l  têng b¼nh ph÷ìng c¡c a thùc thu¦n nh§t bªc d2 . Chùng minh. Gi£ thi¸t d ch®n, deg(f ) ≤ d. (i) Gi£ sû f ≥ 0 tr¶n Rn ta câ: N¸u X0 6= 0 th¼ X1 Xn fe(X0 , X1 , ..., Xn ) = X0d f ( , ..., ) ≥ 0. X0 X0 N¸u X0 = 0 th¼ fe(0, X1 , ..., Xn ) = lim (ε, X1 , ..., Xn ) ≥ 0. ε→0 Gi£ sû fe ≥ 0 tr¶n Rn+1, ta câ f (X1 , ..., Xn ) = fe(1, X1 , ..., Xn ) ≥ 0. (ii) N¸u f = k P i=1 fi2 th¼ deg(fi) ≤ d2 v   2 k  X d X X 1 n fe = X02 fi , ..., X X0 0 i=1 15 l  têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c a thùc thu¦n nh§t bªc d2 . k N¸u fe = P gi2 th¼ i=1 f = fe(1, X1 , ..., Xn ) = k X gi2 (1, X1 , ..., Xn ) i=1 l  têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c a thùc. 2 Cho f ∈ R[X] l  a thùc n bi¸n bªc d. Mët a thùc nûa x¡c ành d÷ìng f ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng trong c¡c tr÷íng hñp: a thùc 1 bi¸n (xem M»nh · 1.3), a thùc bªc 2 ÷ñc ÷a ra bði Sylvester (1850), a thùc 2 bi¸n bªc 4 ÷ñc chùng minh bði Hilbert (1888). Hilbert công ¢ ch¿ ra r¬ng: c¡c tr÷íng hñp cán l¤i luæn tçn t¤i a thùc f l  nûa x¡c ành d÷ìng nh÷ng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng. Tuy nhi¶n, æng ¢ khæng ÷a ra v½ dö cö thº cho a thùc l  nûa x¡c ành d÷ìng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng. V½ dö nêi ti¸ng ¦u ti¶n ÷ñc ÷a ra cho v§n · n y l  a thùc Motzkin (1960). V½ dö 1.2. a thùc s(X, Y ) = 1 − 3X 2 Y 2 + X 2 Y 4 + X 4 Y 2 l  nûa x¡c ành d÷ìng nh÷ng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng. Thªt vªy, ¡p döng ành l½ Cauchy ta câ X 4 Y 2 + X 2 Y 4 + 1 ≥ 3X 2 Y 2 , do â s(X, Y ) ≥ 0. M°t kh¡c, n¸u s(X, Y ) l  têng b¼nh ph÷ìng c¡c a thùc th¼ s(X, Y ) = k P fi2 . p döng H» qu£ 1.1, ta th§y méi a thùc fi câ bªc khæng qu¡ 3. i=1 Do â c¡c ìn thùc câ m°t trong fi l  1, X, Y, X 2 , Y 2 , XY, X 3 , Y 3 , X 2 Y, XY 2 . 16 N¸u X, Y xu§t hi»n trong fi th¼ X 2, Y 2 s³ xu§t hi»n trong s(X, Y ). T÷ìng tü vîi X 2, Y 2 v  X 3, Y 3. Do vªy fi câ d¤ng sau fi = ai + bi XY + ci X 2 Y + di XY 2 . Tø s(X, Y ) = i=1 fi2 , c¥n b¬ng h» sè 2 v¸ ta th§y h» sè cõa ìn thùc . Do â b2i = −3 (væ l½). i=1 i=1 Vªy s(X, Y ) khæng l  têng b¼nh ph÷ìng . 2 Sau kho£ng thíi gian â, câ nhi·u v½ dö kh¡c thº hi»n a thùc nûa x¡c ành d÷ìng nh÷ng khæng l  têng b¼nh ph÷ìng ÷ñc chó þ ¸n nh÷: V½ dö 1.3. ÷ñc ÷a ra bði Choi - Lam (1977) 2 X Y 2 l  k P k P b2i k P q(X, Y, Z) = 1 + X 2 Y 2 + Y 2 Z 2 + Z 2 X 2 − 4XY Z. V½ dö 1.4. ÷ñc ÷a ra bði Schmüdgen (1979) r(X, Y ) = 200[(X 3 −4X)2 +(Y 3 −4Y )2 ]+(Y 2 −X 2 )X(X+2)[X(X−2)+2(Y 2 −4)] V½ dö 1.5. ÷ñc ÷a ra bði Berg, Christensen v  Jensen (1979) p(X, Y ) = 1 − X 2 Y 2 + X 4 Y 2 + X 2 Y 4 . c¡c æng ¢ ch¿ ra r¬ng √ √ i 1 h p(X, Y ) = 26 + s 3X, 3Y . 27 K½ hi»u Pd,n l  tªp hñp bao gçm c¡c a thùc nûa x¡c ành d÷ìng, thu¦n nh§t n bi¸n bªc d. K½ hi»u Pd,n l  tªp con cõa Pd,n bao gçm c¡c a thùc l  têng b¼nh ph÷ìng. ành lþ cõa Hilbert (1888) ÷ñc chùng minh l¤i mët c¡ch ìn gi£n hìn nh÷ sau: 17 ành lþ 1.3. [4, ành lþ 1.2.6] Cho d ch®n, Pd,n = Pd,n khi v  ch¿ khi n≤2 ho°c d = 2 ho°c (n = 3 v  d = 4). Chùng minh. p döng M»nh · 1.4, ta câ: Thu¦n nh§t hâa a thùc cõa Motzkin   Y Z X s , = X 6 + Y 4Z 2 + Y 2Z 4 − X 2Y 2Z 2 X X thuëc P6,3 \ P6,3. 6 l  a thùc Thu¦n nh§t hâa a thùc cõa Choi - Lam 4 W q  X Y Z , , W W W  = W 4 + X 2 Y 2 + Y 2 Z 2 + X 2 Z 2 − 4XY ZW l  a thùc thuëc P4,4 \ P4,4. N¸u d ≥ 6 v  n ≥ 3 th¼  X2 X3 X1d s , X1 X1  ∈ Pd,n \ X d,n . N¸u d ≥ 4 v  n ≥ 4 th¼ X1d q  X 2 X3 X4 , , X 1 X1 X1  ∈ Pd,n \ X d,n . Hiºn nhi¶n. Pd,2 = d,2 theo M»nh · 1.3 v  M»nh · 1.4. P P2,n = 2,n . Thªt vªy, mët a thùc thu¦n nh§t bªc 2 b§t k¼ ·u câ thº biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng Pd,1 = P d,1 P f (X1 , ..., Xn ) = n X aij Xi Xj , i,j=1 trong â A = (aij ) l  ma trªn èi xùng. N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn th¼ ma trªn A l  nûa x¡c ành d÷ìng. V¼ vªy, A câ thº ph¥n t½ch d÷îi d¤ng A = U T U . Do â, f (X) = X T AX = X T U T U X = (U X)T U X = ||U X||2 18 l  têng b¼nh ph÷ìng. Chùng minh P4,3 = P4,3 l  mët v§n · phùc t¤p ÷ñc chùng minh bði nhâm t¡c gi£: J. Bochnak, M. Coste, M. - F. Roy (1998). 2 N«m 1893, Hilbert ¢ chùng minh mët a thùc nûa x¡c ành d÷ìng 2 bi¸n b§t ký luæn biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c h m húu t¿. Tuy nhi¶n, æng khæng chùng minh ÷ñc cho tr÷íng hñp têng qu¡t. V¼ vªy, nâ trð th nh b i to¡n thù 17 trong 23 b i to¡n cõa Hilbert ÷ñc ÷a ra n«m 1900. B i to¡n: Cho a thùc f ∈ R[X] b§t ký. N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn th¼ câ k²o theo f l  têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c h m húu t¿ thuëc R[X] hay khæng? B i to¡n n y ¢ ÷ñc tr£ líi bði Emil Artin (1927). M°c dò, a thùc Motzkin khæng l  têng b¼nh ph÷ìng c¡c a thùc nh÷ng nâ l¤i l  têng b¼nh ph÷ìng cõa 4 h m húu t¿ nh÷ sau: X 2 Y 2 (X 2 + Y 2 + 1)(X 2 + Y 2 − 2)2 + (X 2 − Y 2 )2 s(X, Y ) = (X 2 + Y 2 )2  2 2  2 X Y (X 2 + Y 2 − 2) XY 2 (X 2 + Y 2 − 2) = + X2 + Y 2 X2 + Y 2  2  2 2 XY (X 2 + Y 2 − 2) X −Y2 + + . X2 + Y 2 X2 + Y 2 Sü ph¥n t½ch n y ÷ñc ÷a ra bði M.Bremner. 19