Tài liệu Dieu khien toi uu

Chương 2: ðiều khiển tối ưu Chương 2 ðIỀU KHIỂN TỐI ƯU 2.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 2.1.1 ðặc ñiểm của bài toán tối ưu 1. Khái niệm Một hệ ñiều khiển ñược thiết kế ở chế ñộ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào ñó ( ñạt ñược giá trị cực trị ) . Trạng thái tối ưu có ñạt ñược hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng ñặt ra , vào sự hiểu biết về ñối tượng và các tác ñộng lên ñối tượng , vào ñiều kiện làm việc của hệ ñiều khiển … Một số ký hiệu sử dụng trong chương 2. Hình 2.1: Sơ ñồ hệ thống ñiều khiển . Hệ thống ñiều khiển như hình trên bao gồm các phần tử chủ yếu : ñối tượng ñiều khiển ( ðTðK ) , cơ cấu ñiều khiển ( CCðK ) và vòng hồi tiếp ( K ) . Với các ký hiệu : r : tín hiệu ñầu vào, mục tiêu ñiều khiển, ñáp ứng mong muốn của hệ thống. u : tín hiệu ñiều khiển, luật ñiều khiển. x : tín hiệu ñầu ra, ñáp ứng ra của hệ thống. ε = r – x : sai lệch của hệ thống. f : tín hiệu nhiễu Chỉ tiêu chất lượng J của một hệ thống có thể ñược ñánh giá theo sai lệch của ñại lượng ñược ñiều khiển x so với trị ñáp ứng mong muốn r , lượng quá ñiều khiển ( trị số cực ñại xmax so với trị số xác lập x ( ∞ ) tính theo phần trăm ) , thời gian quá ñộ … hay theo một chỉ tiêu hỗn hợp trong ñiều kiện làm việc nhất ñịnh như hạn chế về công suất , tốc ñộ , gia tốc … Do ñó việc chọn một luật ñiều khiển và cơ cấu ñiều khiển ñể ñạt ñược chế ñộ làm việc tối ưu J ñạt cực trị còn tùy thuộc vào lượng thông tin ban ñầu mà ta có ñược. Ở ñây chúng ta có thể thấy ñược sự khác biệt về kết quả nhận ñược chất lượng tối ưu khi lượng thông tin ban ñầu thay ñổi ( Hình 2.2 ) . Trang 125 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Hình 2.2 : Tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cục . Khi tín hiệu ñiều khiển u giới hạn trong miền [u1,u2] , ta có ñược giá trị tối ưu cực ñại J1∗ của chỉ tiêu chất lượng J ứng với tín hiệu ñiều khiển u1∗ . Khi tín hiệu ñiều khiển u không bị ràng buộc bởi ñiều kiện u1 ≤ u ≤ u2 , ta có ñược giá trị tối ưu J 2∗ > J1∗ ứng với u2∗ . Như vậy giá trị tối ưu thực sự bây giờ là J 2∗ . Tổng quát hơn , khi ta xét bài toán trong một miền [um , un ] nào ñó và tìm ñược giá trị tối ưu J i∗ thì ñó là giá trị tối ưu cục bộ . Nhưng khi bài toán không có ñiều kiện ràng buộc ñối với u thì giá trị tối ưu là J ∗ = extremum( J i∗ ) với J i∗ là các giá trị tối ưu cục bộ , giá trị J ∗ chính là giá trị tối ưu toàn cục . ðiều kiện tồn tại cực trị : • ðạo hàm bậc một của J theo u phải bằng 0 : ∂J =0 ∂u • Xét giá trị ñạo hàm bậc hai của J theo u tại ñiểm cực trị : ∂2J > 0 : ñiểm cực trị là cực tiểu ∂u 2 ∂2J < 0 : ñiểm cực trị là cực ñại ∂u 2 2. ðiều kiện thành lập bài toán tối ưu Trang 126 Chương 2: ðiều khiển tối ưu ðể thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu ñầu tiên là hệ thống phải có ñặc tính phi tuyến có cực trị . Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác ñịnh chỉ tiêu chất lượng J . Nhiệm vụ cơ bản ở ñây là bảo ñảm cực trị của chỉ tiêu chất lượng J . Ví dụ như khi xây dựng hệ tối ưu tác ñộng nhanh thì yêu cầu ñối với hệ là nhanh chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian quá ñộ nhỏ nhất , nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá ñộ . Hay khi tính toán ñộng cơ tên lửa thì chỉ tiêu chất lượng là vượt ñược khoảng cách lớn nhất với lượng nhiên liệu ñã cho . Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t) , tín hiệu ñiều khiển u(t) và thời gian t . Bài toán ñiều khiển tối ưu là xác ñịnh tín hiệu ñiều khiển u(t) làm cho chỉ tiêu chất lượng J ñạt cực trị với những ñiều kiện hạn chế nhất ñịnh của u và x . Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau : T J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt 0 Trong ñó L là một phiếm hàm ñối với tín hiệu x , tín hiệu ñiều khiển u và thời gian t . Lấy ví dụ về bài toán ñiều khiển ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập Φ kt = const với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng iu và tín hiệu ra x là góc quay ϕ của trục ñộng cơ . Hình 2.3 : ðộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập . Ta có phương trình cân bằng moment của ñộng cơ : dω k M iu − M c = M q dt dϕ ω= dt (1) (2) Trang 127 Chương 2: ðiều khiển tối ưu trong ñó k M = CM Φ = const ; Mq là moment quán tính ; ω là tốc ñộ góc ;ϕ là góc quay . Giả sử bỏ qua phụ tải trên trục ñộng cơ ( M c = 0 ) thì : d 2ϕ dt 2 Nếu xét theo thời gian tương ñối bằng cách ñặt : τ = t kM / M q (3) kM iu = M q thì (3) có dạng : d 2ϕ = iu dτ 2 Từ ñó ta có : (4) d 2x =u (5) dτ 2 Vậy phương trình trạng thái của ñộng cơ ñiện là một phương trình vi phân cấp hai với tín hiệu ñiều khiển u là dòng ñiện phần ứng iư, tín hiệu ra là góc quay ϕ . • Bài toán tối ưu tác ñộng nhanh ( thời gian tối thiểu ) : Tìm luật ñiều khiển u(t) với ñiều kiện hạn chế u ≤ 1 ñể ñộng cơ quay từ vị trí ban ñầu có góc quay và tốc ñộ ñều bằng 0 ñến vị trí cuối cùng có góc quay bằng ϕ0 và tốc ñộ bằng 0 với một khoảng thời gian ngắn nhất . Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ tiêu chất lượng J sẽ là : T J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = T 0 Rõ ràng từ phương trình trên ta phải có L[ x(t ), u (t ), t ] = 1 . Như vậy , ñối với bài toán tối ưu tác ñộng nhanh thì chỉ tiêu chất lượng J có dạng : T J = ∫ 1dt = T 0 • Bài toán năng suất tối ưu : Năng suất ở ñây ñược xác ñịnh bởi góc quay lớn nhất của ñộng cơ trong thời gian T nhất ñịnh . Khi ñó chỉ tiêu chất lượng J có dạng : T T 0 0 J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ϕT − ϕ0 = ∫ ϕ& (t )dt Do ñó L[ x(t ), u (t ), t ] = ϕ& (t ) = x& (t ) và ta sẽ có chỉ tiêu chất lượng J ñối với bài toán năng suất tối ưu như sau : T J = ∫ x& ( t )dt 0 Trang 128 Chương 2: ðiều khiển tối ưu • Bài toán năng lượng tối thiểu : Tổn hao năng lượng trong hệ thống : T Q = ∫ U u iu dt 0 Dựa vào phương trình cân bằng ñiện áp : U u = iu Ru + keω và phương trình cân bằng moment : k M iu − M c = M q dω dt Ta tính ñược : T T ke M c Q = ∫ U u iu dt = (ϕT − ϕ0 ) + ∫ Ru iu2 dt k M 0 0 ðể có ñược tiêu hao năng lượng tối thiểu , ta chỉ cần tìm cực tiểu của J : T T 0 0 J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ∫ iu2 dt Mà dòng ñiện phần ứng iu ở ñây chính là tín hiệu ñiều khiển u . Vì vậy chỉ tiêu chất lượng J ñối với bài toán năng lượng tối thiểu có dạng : T J = ∫ u 2 (t )dt 0 3. Tối ưu hoá tĩnh và ñộng Chúng ta cần phân biệt hai dạng bài toán tối ưu hoá tĩnh và tối ưu hóa ñộng . Tối ưu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộc vào thời gian . Còn ñối với tối ưu hóa ñộng thì thời gian cũng là một biến mà chúng ta cần phải xem xét ñến . 2.1.2 Xây dụng bài toán tối ưu 1. Tối ưu hóa không có ñiều kiện ràng buộc Một hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng L ( u ) ñược cho trước là một hàm của một vector ñiều khiển hay một vector quyết ñịnh u ∈ R m . Chúng ta cần chọn giá trị của u sao cho L(u) ñạt giá trị nhỏ nhất . ðể giải bài toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho ñộ biến thiên của L(u) như sau : 1 (2.1) dL = LTu du + du T Luu du + O(3) 2 Với O(3) là số hạng thứ 3. Grad của L theo u là một vector m cột : Trang 129 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Lu ∆  ∂L / ∂u1    ∂L  ∂L / ∂u 2  =  M ∂u    ∂L / ∂u m  (2.2) và ñạo hàm cấp 2 của L theo u là một ma trận m x m ( còn gọi là ma trận Hessian ) : 2  ∂2L  ∆ ∂ L   (2.3) Luu = ∂u 2  ∂u i ∂u j  Luu ñược gọi là ma trận uốn . Một ñiểm cực trị hoặc ñiểm dừng xuất hiện khi sự biến thiên dL với thành phần thứ nhất tiến về 0 với mọi biến thiên du trong quá trình ñiều khiển . Vì vậy , ñể có ñiểm cực trị thì : Lu = 0 (2.4) Giả sử ñang ở tại ñiểm cực trị , có Lu = 0 như (2.4) . ðể ñiểm cực trị trở thành ñiểm cực tiểu , chúng ta cần có : 1 dL = du T Luu du + O(3) (2.5) 2 là xác ñịnh dương với mọi sự biến thiên du . ðiều này ñược ñảm bảo nếu ma trận uốn Luu là xác ñịnh dương : Luu > 0 (2.6) Nếu Luu là xác ñịnh âm thì ñiểm cực trị chính là ñiểm cực ñại ; còn nếu Luu là không xác ñịnh thì ñiểm cực trị chính là ñiểm yên ngựa . Nếu Luu là bán xác ñịnh thì chúng ta sẽ xét ñến thành phần bậc cao hơn trong (2.1) ñể xác ñịnh ñược loại của ñiểm cực trị . Nhắc lại : Luu là xác ñịnh dương ( hoặc âm ) nếu như các giá trị riêng của nó là dương ( hoặc âm ) , không xác ñịnh nếu các giá trị riêng của nó vừa có dương vừa có âm nhưng khác 0 , và sẽ là bán xác ñịnh nếu tồn tại giá trị riêng bằng 0 . Vì thế nếu Luu = 0 , thì thành phần thứ hai sẽ không hoàn toàn chỉ ra ñược loại của ñiểm cực trị . 2. Tối ưu hóa với các ñiều kiện ràng buộc Cho hàm chỉ tiêu chất lượng vô hướng L( x, u ) , với vector ñiều khiển u ∈ R m và vector trạng thái x ∈ R n . Bài toán ñưa ra là chọn u sao cho hàm Trang 130 Chương 2: ðiều khiển tối ưu chỉ tiêu chất lượng L(x,u) ñạt giá trị nhỏ nhất và thỏa mãn ñồng thời các phương trình ñiều kiện ràng buộc . f ( x, u ) = 0 (2.7) Vector trạng thái x ñược xác ñịnh từ một giá trị u cho trước bằng mối quan hệ (2.7) , vì thế f là một hệ gồm n phương trình vô hướng , f ∈ R n . ðể tìm ñiều kiện cần và ñủ của giá trị cực tiểu , ñồng thời thỏa mãn f ( x, u ) = 0 , ta cần làm chính xác như trong phần trước . ðầu tiên ta khai triển dL dưới dạng chuỗi Taylor , sau ñó xác ñịnh số hạng thứ nhất và thứ hai là Lu & Luu. Thừa số Lagrange và hàm Hamilton . Tại ñiểm cực trị , dL với giá trị thứ nhất bằng 0 với mọi sự biến thiên của du khi df bằng 0 . Như vậy chúng ta cần có: dL = LTu du + LTx dx = 0 (2.8) df = f u du + f x dx = 0 (2.9) Từ (2.7) ta xác ñịnh ñược x từ giá trị u ñã có, ñộ biến thiên dx ñược xác ñịnh bởi (2.9) từ giá trị biến thiên du với ñiều kiện ma trận Jacobi là không kỳ dị f x ≠ 0 . Như vậy , ma trận Jacobi fx không kỳ dị và : dx = − f x−1 f u du (2.10) Thay dx vào (2.8) ta ñược : dL = ( LTu − LTx f x−1 f u )du (2.11) ðạo hàm riêng của L theo u chứa hằng số f ñược cho bởi phương trình : T ∂L = LTu − LTx f x−1 f u = Lu − f uT f x−T L x (2.12) ∂u df =0 ( ) với f x−T = ( f x−1 ) . Lưu ý rằng : T ∂L (2.13) = Lu ∂u dx =0 ðể thành phần thứ nhất của dL bằng không với giá trị du tùy ý khi df = 0 , ta cần có : Lu − f uT f x−T L x = 0 (2.14) ðây là ñiều kiện cần ñể có giá trị cực tiểu . Trước khi ñi tìm ñiều kiện ñủ , chúng ta hãy xem xét thêm một vài phương pháp ñể có ñược (2.14) . Viết (2.8) và (2.9) dưới dạng: dL   LTx LTu   dx  (2.15)   = 0  df  =     f x f u  du  Trang 131 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Hệ phương trình tuyến tính này xác ñịnh một ñiểm dừng , và phải có một [ ] T kết quả dx T du T . ðiều này chỉ xảy ra nếu ma trận hệ số (n +1) × (n + m ) có hạng nhỏ hơn n+1 . Có nghĩa là các hàng của ma trận tuyến tính với nhau ñể tồn tại một vector λ có n số hạng như sau: T LTu  T L 1 λ . x (2.16) =0  f x fu  Hay: LTx + λT f x = 0 (2.17) [ ] LTu + λT f u = 0 (2.18) λT = − LTx f x−1 (2.19) Giải (2.17) ta ñược λ : và thay vào (2.18) ñể có ñược (2.14) . Vector λ ∈ R n ñược gọi là thừa số Lagrange , và nó sẽ là công cụ hữu ích cho chúng ta sau này . ðể hiểu thêm ý nghĩa của thừa số Lagrange ta xét du = 0 , từ (2.8) và (2.9) ta khử dx ñể ñược : dL = LTx f x−1df (2.20) Vì vậy: T ∂L = (LTx f x−1 ) = −λ (2.21) ∂f du =0 Do ñó -λ là ñạo hàm riêng của L với biến ñiều khiển u là hằng số . ðiều này nói lên tác dụng của hàm chỉ tiêu chất lượng với biến ñiều khiển không ñổi khi ñiều kiện ràng buộc thay ñổi . Như là một cách thứ ba ñể tìm ñược (2.14), ta phát triển thêm ñể sử dụng cho các phân tích trong những phần sau. Kết hợp ñiều kiện ràng buộc và hàm chỉ tiêu chất lượng ñể thành lập hàm Hamilton . H ( x, u, λ ) = L( x, u ) + λT f ( x, u ) (2.22) n Với λ ∈ R là thừa số Lagrange chưa xác ñịnh . Muốn chọn x , u , λ ñể có ñược ñiểm dừng , ta tiến hành các bước sau . ðộ biến thiên của H theo các ñộ biến thiên của x , u , λ ñược viết như sau : dH = H xT dx + H uT du + H λT dλ (2.23) ∂H Hλ = = f ( x, u ) (2.24) Lưu ý rằng : ∂λ Giả sử chúng ta chọn các giá trị của u thỏa mãn: Hλ = 0 (2.25) Trang 132 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Sau ñó ta xác ñịnh x với giá trị của u ñã có bằng phương trình ñiều kiện ràng buộc f ( x, u ) = 0 . Trong trường hợp này hàm Hamilton tương ñương với hàm chỉ tiêu chất lượng: H f =0 = L (2.26) Nhắc lại : nếu f = 0 , ta sẽ tìm ñược dx theo du từ (2.10) . Ta không nên xét mối quan hệ giữa du và dx ñể thuận tiện trong việc chọn λ sao cho : Hx = 0 (2.27) ðạo hàm (2.22) theo x: ∂H = L x + f xT λ = 0 (2.28) ∂x hay λT = − LTx f x−1 . Nếu giữ nguyên (2.25) và (2.27) từ (2.23): dL = dH = H uT du (2.29) Vì H = L, ñể có ñược ñiểm dừng ta phải áp ñặt ñiều kiện: Hu = 0 (2.30) Tóm lại , ñiều kiện cần ñể có ñược ñiểm cực tiểu của L(x,u) thỏa mãn ñiều kiện ràng buộc f(x,u) = 0 gồm có : ∂H = f =0 (2.31a) ∂λ ∂H (2.31b) = L x + f xT λ = 0 ∂x ∂H = Lu + f uT λ = 0 (2.31c) ∂u Với H ( x,u, λ ) xác ñịnh bởi (2.22) . Cách thường dùng là từ 3 phương trình ñã cho xác ñịnh x , λ , và u theo thứ tự tương ứng . So sánh 2 phương trình (2.31b) và (2.31c) ta thấy chúng tương ứng với 2 phương trình (2.17) và (2.18) . Trong nhiều ứng dụng , chúng ta không quan tâm ñến giá trị của λ , tuy nhiên ta vẫn phải ñi tìm giá trị của nó vì ñó là một biến trung gian cho phép chúng ta xác ñịnh các ñại lượng cần tìm là u , x và giá trị nhỏ nhất của L . Ưu ñiểm của thừa số Lagrange có thể tóm tắt như sau : trên thực tế , hai ñại lượng dx và du không phải là hai ñại lượng biến thiên ñộc lập với nhau , theo (2.10) . Bằng cách ñưa ra một thừa số bất ñịnh λ , chúng ta chọn λ sao cho dx và du có thể ñược xem là hai ñại lượng biến thiên ñộc lập với nhau . Lấy ñạo hàm riêng của H lần lượt theo các biến như trong (2.31) , như thế ta sẽ có ñược ñiểm dừng . Trang 133 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Khi ñưa ra thừa số Lagrange , chúng ta có thể thay thế bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của L(x,u) với ñiều kiện ràng buộc f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm Hamilton H(x,u,λ) không có ñiều kiện ràng buộc . ðiều kiện ñã (2.31) xác ñịnh một ñiểm dừng . Ta sẽ tiếp tục chứng minh ñây là ñiểm cực tiểu như ñã thực hiện trong phần trước . Viết chuỗi Taylor mở rộng cho ñộ biến thiên của L và f như sau : L xu   dx  L  dx  1 (2.32) dL = LTx LTu   + dx T du T  xx    + O(3) du  2  Lux Luu  du  [ ] [ ] f du T  xx  f ux  dx  1 f u ]  + dx T du  2 [ df = [ f x f xu   dx  + O(3) f uu  du  ] (2.33) Với: ∂2 f ∂u∂x ðể ñưa ra hàm Hamilton , ta sử dụng các phương trình sau : ∆ f xu = H du T  xx  H ux H xu   dx  + O(3) H uu  du  (2.34) Bây giờ , ñể có ñược ñiểm dừng ta cần có f = 0 , và ñồng thời thành phần thứ nhất của dL bằng 0 với mọi sự biến thiên của dx và du . Vì f = 0 nên df = 0 , và ñiều này ñòi hỏi H x = 0 và H u = 0 như trong (2.31) . ðể tìm ñiều kiện ñủ cho ñiểm cực tiểu , chúng ta xét ñến thành phần thứ hai . ðầu tiên , ta cần xem mối quan hệ giữa dx và du trong (2.34) . Giả sử rằng chúng ta ñang ở ñiểm cực trị nên H x = 0 , H u = 0 và df = 0 . Từ (2.10) suy ra: dx = − f x−1 f u du + O(2) (2.35) Thay vào (2.34) ta ñược : H xu  − f x−1 f u  H 1 dL = du T − f uT f x−T I  xx (2.36)  du + O(3)  2  H ux H uu   I  ðể ñảm bảo ñây là ñiểm cực tiểu , dL trong (2.36) phải dương với mọi sự biến thiên của du . ðiều này ñược ñảm bảo nếu như ma trận uốn với f luôn bằng 0 là xác ñịnh dương . ∆ H xu  − f x−1 f u  H f Luu = Luu f = − f uT f x−T I  xx   (2.37)  H ux H uu   I  [1 dL  = H xT   df  λT ] [  dx  1 H uT   + dx T du  2 ] [ [ ] ] [ ] = H uu − f uT f x−T H xu − H ux f x−1 f u + f uT f x−T H xx f x−1 f u Trang 134 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Lưu ý rằng nếu ñiều kiện ràng buộc f ( x, u ) = 0 với mọi x và u thì (2.37) ñược rút lại thành Luu ở phương trình (2.3) . Nếu (2.37) là xác ñịnh âm ( hoặc không xác ñịnh ) thì ñiểm dừng sẽ là ñiểm cực ñại ( hoặc ñiểm yên ngựa ) . 2.1.3 Ví dụ Tối ưu hóa không có ñiều kiện ràng buộc Ví dụ 2.1 : Không gian toàn phương . Cho u ∈ R 2 và : q12  1 q L(u ) = u T  11 u + [s1 2 q12 q 22  s 2 ]u (1) ∆ 1 = u T Qu + S T u 2 (2) ðiểm cực trị ñược xác ñịnh bởi : Lu = Qu + S = 0 (3) u ∗ = −Q −1 S với u* dùng ñể chỉ biến ñiều khiển tối ưu. Loại của ñiểm cực trị ñược xác ñịnh bằng cách xét ma trận hessian Luu = Q (4) (5) ðiểm u* là cực tiểu nếu Luu > 0 ( q11 > 0 và q11 q 22 − q122 > 0 ) . Là ñiểm cực ñại nếu Luu < 0 ( q11 < 0 và q11 q 22 − q122 > 0 ) . Nếu Q < 0 , thì u* là ñiểm yên ngựa . Nếu Q = 0 , thì u* là ñiểm kỳ dị , chúng ta không thể xác ñịnh ñược ñó là cực tiểu hay cực ñại từ Luu . Bằng cách thay (4) vào (2) ta sẽ tìm ñược giá trị của hàm chỉ tiêu chất lượng như sau : ∆ 1 1 L* = L(u * ) = S T Q −1QQ −1 S − S T Q −1 S = − S T Q −1 S (6) 2 2 Giả sử cho L như sau: L= 1 T 1 1  u u + [0 1]u 2 1 2 Khi ñó giá trị u tối ưu sẽ là: 2 − 1 0  1  u * = −   =   1 1  1 − 1 (7) (8) Trang 135 Chương 2: ðiều khiển tối ưu là một cực tiểu , vì Luu > 0 . Từ (6) giá trị nhỏ nhất của L là L* = -1/2 . Các ñường ñồng mức của L(u) trong (7) ñược vẽ trong Hình 2.4 , với u = [u1 u2]T . Các mũi tên là gradient .  u + u2  Lu = Qu + S =  1 (9)  u1 + 2u 2 + 1 Lưu ý rằng gradient luôn luôn vuông góc với các ñường ñồng mức và có hướng là hướng tăng L(u) . Chúng ta dùng dấu “*” ñể chỉ giá trị tối ưu của u và L cần tìm . Tuy nhiên ta thường bỏ qua dấu “*” . Hình 2.4 : Các ñường ñồng mức và vector gradient . Ví dụ 2.2 : Tối ưu hóa bằng tính toán vô hướng . Phần trên chúng ta ñã ñề cập phương pháp giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng các vector và gradient . Sau ñây ta sẽ tiếp cận bài toán với một cách nhìn khác , xem chúng như là những ñại lượng vô hướng . ðể chứng minh , ta xét (7) ở dạng: 1 L(u1 , u 2 ) = u12 + u1u 2 + u 22 + u 2 (1) 2 Với u1 ,u 2 là các ñại lượng vô hướng . ðiểm cực trị xuất hiện khi ñạo hàm riêng của L theo tất cả các ñối số phải bằng 0 : ∂L = u1 + u 2 = 0 (2a) ∂u1 Trang 136 Chương 2: ðiều khiển tối ưu ∂L = u1 + 2u 2 + 1 = 0 ∂u 2 (2b) (3) Giải hệ phương trình trên ta ñược : u1 = 1, u 2 = −1 Vậy , ñiểm cực trị là (1 ,-1) . Biểu thức (1) là một dạng mở rộng của biểu thức (7) trong ví dụ 2.1 , như vậy chúng ta vừa tìm ñược một kết quả tương tự bằng một cách khác . Tối ưu hóa có ñiều kiện ràng buộc Ví dụ 2.3 : Không gian toàn phương với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính . Giả sử hàm chỉ tiêu chất lượng ñược cho bởi ví dụ 2.1 với các ñại lượng vô hướng u1 ,u 2 ñược thay thế bằng x, u :  x 1 1  x  1 + [0 1]  L( x, u ) = [x u ] (1)    2 u  1 2 u  Với ñiều kiện ràng buộc : f ( x, u ) = x − 3 = 0 (2) Hàm Hamilton sẽ là : 1 H = L + λT f = x 2 + xu + u 2 + u + λ ( x − 3) (3) 2 với λ là một ñại lượng vô hướng . ðiều kiện ñể có ñiểm dừng theo (2.31) là : (4) Hλ = x − 3 = 0 Hx = x +u + λ = 0 (5) H u = x + 2u + 1 = 0 (6) Giải (4) , (5) , (6) ta ñược : x = 3 , u = -2 , λ = -1 . ðiểm dừng là : (x, u )∗ = (3,−2) (7) ðể xác ñịnh (7) là ñiểm cực tiểu , tìm ma trận uốn theo (2.3) : f Luu =2 (8) f Luu >= 0 , vì thế ( x, u ) = (3,−2 ) là ñiểm cực tiểu . Các ñường ñồng mức của L(x,u) và ñiều kiện ràng buộc (2) ñược vẽ trong Hình 2.5 . Grad của f(x,u) trong hệ tọa ñộ (x,u) ñược viết như sau:  f x  1 (9)  f  = 0   u   ñược vẽ trong Hình 2.5 . Và grad của L(x,u) : ∗ Trang 137 Chương 2: ðiều khiển tối ưu  Lx   x + u  (10)  L  =  x + 2u + 1   u  Tại ñiểm cực tiểu (3,-2) , grad L(x,u) sẽ có giá trị :  L x  1 (11)  L  = 0   u   Cần lưu ý rằng gradf và gradL tương ñương với nhau tại ñiểm dừng . Có nghĩa là ñiểm cực tiểu xuất hiện khi ñiều kiện ràng buộc (2) là ñường tiếp tuyến của các ñường ñồng mức của L. Di chuyển hướng dọc theo ñường thẳng f = 0 sẽ làm tăng giá trị của L . Ta tìm ñược giá trị của L tại ñiểm cực tiểu bằng cách thay x = 3, u = -2 vào (1) , ta ñược L*=0,5 . Vì λ = -1 , giữ nguyên giá trị u = -2 , thay ñổi ñiều kiện ràng buộc df ( dịch chuyển ñường thẳng trong Hình 2.5 về phía phải ) sẽ làm tăng L(x,u) với dL = -λdf = df . Ví dụ 2.4 : Hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính - Trường hợp vô hướng . Xét hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương : 1  x2 y 2  (1) L( x, u ) =  2 + 2  2a b  Với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính : f ( x, u ) = x + mu − c (2) 2 Các ñường ñồng mức của L(x,u) là những ellip; nếu L(x,u) = l /2, thì bán kính trục chính và bán kính trục phụ là al và bl . ðiều kiện ràng buộc f(x,u) là một họ các ñường thẳng chứa thông số c . Xem Hình 2.6 ( lưu ý rằng u là biến ñộc lập , với x ñược xác ñịnh bởi f(x,u) = 0 ) . Hàm Hamilton là : 1  x2 u2  H =  2 + 2  + λ ( x + mu − c) (3) 2a b  Và ñiều kiện ñể có ñiểm dừng : H λ = x + mu − c = 0 (4) x (5) Hx = 2 + λ = 0 a u H u = 2 + λm = 0 (6) b Trang 138 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Hình2.5 : Các ñường ñồng mức của L(x,u) và ñiều kiện ràng buộc f(x,u) . Hình 2.6 : Các ñường ñồng mức của L(x,u) và ñiều kiện ràng buộc f(x,u). ðể giải hệ phương trình này , trước hết ta sử dụng phương trình (6) ñể ñưa ra biến ñiều khiển tối ưu theo thừa số Lagrange . u = −b 2 mλ (7) Bây giờ thay phương trình (7) vào (4) ñể khử u , kết hợp với (5) và ñược viết lại :  1 − b 2 m 2   x  c  1  (8) = 1  λ  0  2 a  Giải ra ta ñược giá trị của ñiểm dừng : a 2c (9) x= 2 a + b2m2 Trang 139 Chương 2: ðiều khiển tối ưu c (10) a + b2m2 Thay (9) , (10) vào (7) , ta có ñược giá trị u tối ưu : b 2 mc u= 2 (11) a + b2m2 ðể xác ñịnh ñiểm dừng là cực tiểu , dùng (2.37) ñể tìm ra ma trận uốn : 1 m2 f Luu = 2 + 2 (12) b a Luuf > 0 vì vậy ta tìm ñược một ñiểm cực tiểu . Thay (9) và (11) vào (1) ta ñược giá trị tối ưu của hàm chỉ tiêu chất lượng : 1 c2 (13) L* = 2 a2 + b2m2 ðể kiểm chứng (2.21) , lưu ý rằng: ∂L* ∂L* = −λ (14) = ∂f du =0 ∂c Gradf trong miền (u,x) là :  f u  m (15)  f  = 1  x   ñược biểu diễn trong Hình 2.6 . GradL là : u   Lu   b 2  (16) L  =  x   x   a2  và tại ñiểm dừng (11) , (9) sẽ có giá trị : λ=− 2 *  Lu  m  c (17) L  =  1  2 2 2   a +b m  x ðiều này tương ứng với (15) , vì vậy ñiểm dừng xuất hiện khi f(x,u) = 0 là ñường tiếp tuyến với một ñường ñồng mức của L(x,u) . Ví dụ 2.5 : Hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính . Bây giờ ta tổng quát hóa ví dụ 2.4 với vector x ∈ R n , u ∈ R m , f ∈ R n , λ ∈ Rn . Xét hàm chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương: Trang 140 Chương 2: ðiều khiển tối ưu 1 T 1 x Qx + u T Ru (1) 2 2 với ñiều kiện ràng buộc tuyến tính : f = x + Bu + c = 0 (2) với Q , R và B là các ma trận , c là vector n hàng . Giả sử Q ≥ 0 và R > 0 ( với Q , R là ma trận ñối xứng ) . Các ñường ñồng mức của L(x,u) là các ñường ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là mặt phẳng cắt ngang qua chúng . ðiểm dừng xuất hiện khi gradf và gradL song song với nhau . Hàm Hamilton là : 1 1 (3) H = x T Qx + u T Ru + λT ( x + Bu + c) 2 2 và các ñiều kiện ñể có ñiểm dừng là : H λ = x + Bu + c = 0 (4) L= H x = Qx + λ = 0 (5) H u = Ru + B λ = 0 (6) ðể giải các phương trình trên , ñầu tiên ta dùng ñiều kiện (6) ñể tìm u theo λ: u = − R −1 B T λ (7) Từ (5) ta có : λ = −Qx (8) Kết hợp với (4) ta ñược : λ = QBu + Qc (9) dùng kết quả này thay vào (7) cho ta : u = − R −1 B T (QBu + Qc) (10) −1 T −1 T hay : I + R B QB u = − R B Qc T ( (R + B ) QB )u = − B Qc (11) T Vì R > 0 và B QB ≥ 0 , chúng ta có thể tìm nghịch ñảo của (R + B QB) và vì thế giá trị u tối ưu là : u = −( R + B T QB) −1 B T Qc (12) So sánh kết quả này với (11) trong ví dụ 2.4 . Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá trị trạng thái tối ưu và thừa số Lagrange tối ưu : T ( T ( T x = − I − B R + BT QB ( ) −1 λ = Q − QB ( R + BT QB ) ) B Q) c BT Q c −1 T (13) (14) Bằng bổ ñề của nghịch ñảo ma trận : Trang 141 Chương 2: ðiều khiển tối ưu λ = (Q −1 + BR −1 B T ) c −1 (15) nếu Q ≠ 0 . Các kết quả trên sẽ rút lại thành kết quả của ví dụ 2.4 trong trường hợp vô hướng . ðể xác ñịnh biến ñiều khiển (12) là một cực tiểu , ta sử dụng (2.37) ñể xác ñịnh ma trận uốn là xác ñịnh dương với giá trị của R và Q ñược giới hạn . f Luu = R + B T QB (16) Sử dụng (12) và (13) thế vào (1) ta có ñược giá trị tối ưu : −1 1 L* = c T Q − QB R + B T QB B T Q c (17) 2 1 L* = c T λ (18) 2 ∂L * (19) =λ Vì thế: ∂c [ ( ) ] Ví dụ 2.6 : Bài toán với nhiều ñiều kiện ràng buộc . Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa parabol : (1) y = ax 2 + bx + d với ñường thẳng : (2) y = x+c Xem Hình 2.7 . Trong bài toán này sẽ có hai ñiều kiện ràng buộc : f1 ( x1 , y1 ) = y1 − ax12 − bx1 − d = 0 (3) Và : f 2 ( x2 , y 2 ) = y 2 − x2 − c = 0 (4) với ( x1 , y1 ) là 1 ñiểm trên parabol và ( x 2 , y 2 ) là 1 ñiểm trên ñường thẳng . Chúng ta chọn hàm chỉ tiêu chất lượng là một nửa của bình phương khoảng cách giữa 2 ñiểm này . 1 1 L( x1 , x 2 , y1 , y 2 ) = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 (5) 2 2 ðể giải bài toán này , ta xử lý bằng cách ñặt : ∆ f  ∆ x  ∆y  f = 1  , x = 1  , u = 1  (6)  f2   x2   y2  và sử dụng cách tiếp cận vector ; tuy nhiên , sự kết hợp giữa một ñiều kiện ràng buộc tuyến tính và một ñiều kiện phi tuyến sẽ làm phức tạp thêm bài toán . Thay vào ñó ta sẽ sử dụng các ñại lượng vô hướng . Trang 142 Chương 2: ðiều khiển tối ưu Hình 2.7 : Bài toán với nhiều ñiều kiện ràng buộc . ðưa ra một thừa số Lagrange cho mỗi ñiều kiện ràng buộc , hàm Hamilton là : 1 1 H = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 + λ1 ( y1 − ax12 − bx1 − d ) + λ 2 ( y 2 − x 2 − c) (7) 2 2 Khi ñó , ñể có ñiểm dừng ta cần có : H x1 = x1 − x 2 − 2aλ1 x1 − bλ1 = 0 (8) H x2 = − x1 + x2 − λ2 = 0 (9) H y1 = y1 − y 2 + λ1 = 0 (10) H y2 = − y1 + y 2 + λ2 = 0 (11) H λ1 = y1 − ax12 − bx1 − d = 0 (12) H λ2 = y 2 − x2 − c = 0 (13) Giải (12) ñể có ñược y1 như sau : y1 = ax12 + bx1 + d (14) λ2 = x 2 − x1 = y1 − y 2 (15) Từ (9) và (11) , ta có : và sử dụng (14) với y 2 = x 2 + c từ (13) có ñược kết quả sau : Trang 143 Chương 2: ðiều khiển tối ưu x 2 − x1 = ax12 + bx1 + d − x 2 − c (16) Khi ñó : 1 ax12 + (b + 1) x1 + d − c 2 Theo (10) và (11) , λ1 = -λ2 , vậy từ (15) và (17) ta có : λ1 = x1 − x 2 1 λ1 = − ax12 + (b − 1) x1 + d − c 2 Cuối cùng , chú ý rằng (8) là : (2ax1 + (b − 1))λ1 = 0 hay : (2ax1 + (b − 1)) ax12 + (b − 1) x1 + d − c = 0 x2 = ( ) ( (17) ) ( (18) (19) ) (20) Phương trình bậc 3 (20) ñược giải ñể có giá trị tối ưu x1* từ giá trị a, b, c, d cho trước . Nếu ñường thẳng cắt ngang qua parabol thì giao ñiểm sẽ là kết quả tối ưu ( khi ñó λ1=λ2=0 ) ; ngược lại , sẽ có chỉ một cặp gần nhau nhất (x1,x2) , (y1,y2) . Một khi tìm ñược x1 thì ta sẽ tìm ñược x2 , y1 và y2 lần lượt theo các phương trình (17) , (14) và (15) . Thay các giá trị tối ưu này vào (5) sẽ cho chúng ta khoảng cách ngắn nhất là 2L * . Ví dụ 2.7 : Moät con taøu ñang di chuyeån vôùi vaän toác 10 haûi lyù moät giôø theo phöông hôïp vôùi phöông baéc moät goùc 30o (laáy theo chieàu kim ñoàng hoà) ñeå ñeán moät hoøn ñaûo. Giaû söû raèng taïi thôøi ñieåm t = 0, con taøu ñang ôû vò trí caùch hoøn ñaûo 30 haûi lyù veà phía Baéc vaø 20 haûi lyù veà phía ñoâng (töùc laø con taøu leäch khoûi phöông di chuyeån ban ñaàu). Baøi toaùn ñaët ra laø xaùc ñònh ñieåm gaàn nhaát treân phöông di chuyeån ban ñaàu maø con taøu caàn trôû veà ñeå ñi tôùi hoøn ñaûo. Tìm khoaûng caùch töø hoøn ñaûo ñeán ñieåm gaàn nhaát vaø thôøi gian ñeán ñöôïc ñieåm ñoù. Giải: N Caùch 1: giaûi baèng phöông phaùp hình hoïc: My 30 Trong ∆ MMxO: tg∠MOM x = MM x 30 = = 1.5 ⇒ ∠MOM x = 56.30 OM x 20 M 300 OM = MM x2 + OM x2 = 20 2 + 30 2 = 36.0555 O Mx 20 Trang 144