Tài liệu Diện riemann và định lý abel về phương trình đa thức

Mö lö Mð u 1 Ki¸n thù ì sð 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. Nhâm gi£i ÷ñ . . . . . . . . . ÷íng ong li¶n tö . . . . . . . Bi¸n thi¶n õa argument . . . . Nhúng nguy¶n lþ hung õa th¡ H m gi£i t½ h . . . . . . . . . . iºm r³ nh¡nh . . . . . . . . . . Di»n Riemann õa h m gi£i t½ h . . . . . . . . . triºn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gi£i t½ h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7 9 12 18 24 30 31 2 Di»n Riemann õa h m biºu di¹n bði «n thù 43 3 ành lþ Abel 69 2.1. H m biºu di¹n bði «n thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2. Nhâm ìn ¤o õa h m a trà . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3. Nhâm ìn ¤o õa h m biºu di¹n bði «n thù . . . . . . . 64 3.1. H m ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2. ành lþ Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 K¸t luªn 77 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1 Líi £m ìn Tr÷î h¸t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn h¥n th nh v  s¥u s­ tîi GS.TSKH. Phòng Hç H£i. Thy ¢ d nh nhi·u thíi gian v  t¥m huy¸t h÷îng d¨n tæi tø ¡ b÷î hu©n bà ki¸n thù ì sð, lüa hån · t i, lüa hån t i li»u v  ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu. Sau qu¡ tr¼nh nhªn · t i v  nghi¶n ùu d÷îi sü h÷îng d¨n khoa hå õa Thy, luªn v«n " Di»n Riemann v  ành lþ Abel v· ph÷ìng tr¼nh a thù " õa tæi ¢ ÷ñ ho n th nh. Câ ÷ñ k¸t qu£ n y, â l  nhí sü nh­ nhð, æn è , d¤y b£o h¸t sù tªn t¼nh v  nghi¶m kh­ õa Thy. Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh tîi ¡ Thy Cæ trong Vi»n To¡n hå , v  ° bi»t l  TS. o n Trung C÷íng ¢ luæn t¤o i·u ki»n tèt nh§t v  gióp ï tæi nhi·u trong qu¡ tr¼nh hå tªp ng nh÷ l m · t i. Tæi xin h¥n th nh ¡m ìn Sð Gi¡o dö -  o t¤o t¿nh B­ Ninh, Ban Gi¡m hi»u, ¡ çng nghi»p tr÷íng THPT Nguy¹n «ng ¤o - huy»n Ti¶n Du - t¿nh B­ Ninh ¢ t¤o i·u ki»n ho tæi hå tªp v  ho n th nh k¸ ho¤ h hå tªp. Tæi xin gûi líi £m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± v  ¡ th nh vi¶n trong lîp Cao hå To¡n K21 (Khâa 2013 - 2015) õa Vi»n To¡n ¢ luæn hia s´ v  gióp ï º tæi ho n th nh nhi»m vö. H  Nëi, ng y 31 th¡ng 08 n«m 2015. T¡ gi£ Nguy¹n Thà Hi·n 2 Mð u Chóng ta bi¸t √ n 1, n ∈ Z, n > 1 nhªn ¡ gi¡ trà ε0n = 1, εkn = cos 2kπ 2kπ + i sin , k ∈ {0, 1, ..., n − 1}. n n Tªp ¡ gi¡ trà n y òng vîi ph²p to¡n nh¥n l  mët nhâm xy li , ¡ phn tû sinh õa nhâm n y ÷ñ gåi l  «n nguy¶n thõy õa 1, biºu di¹n h¼nh √ n hå õa 1 l  ¡ ¿nh õa mët a gi¡ ·u n ¤nh tr¶n m°t ph¯ng phù , t¥m t¤i 0 v  â mët ¿nh l  1. p Cho f (z) l  mët h m bi¸n phù , tªp ¡ gi¡ trà õa h m n f (z) l  Tn =p{f0(z), εnf0 (z), ε2nf0 (z), ..., εn−1 n f0 (z)}, vîi f0 (z) l  mët gi¡ trà b§t k¼ õa n f (z). ành lþ ì b£n õa ¤i sè ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: Ph÷ìng tr¼nh a0 wn + a1 wn−1 + ... + an−1w + an = 0 (1) trong â, n ≥ 1, ai l  sè phù tòy þ, v  a0 6= 0, â ½t nh§t mët nghi»m phù . Tø â ta ng suy ra ÷ñ r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1) luæn â óng n nghi»m phù (kº £ bëi). C¡ nh  to¡n hå ê ¢ gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t bª mët, bª hai. ¸n th¸ k XVI ¡ nh  to¡n hå Þ Tartaglia v  Ferrari ¢ gi£i ÷ñ ph÷ìng tr¼nh bª 3 v  bª 4. Sau mët sè ph²p °t v  bi¸n êi ìn gi£n ta luæn ÷a ÷ñ ph÷ìng tr¼nh bª ba têng qu¡t v· ph÷ìng tr¼nh d¤ng u3 + pu + q = 0 (2) trong â u, p, q ∈ C. Cæng thù nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh (2) l  s s r r 3 2 3 3 p p3 q q q q2 −i i + + ε3 − − + , i = 0, 1, 2. u i = ε3 − + 2 4 27 2 4 27 (3) Cæng thù (3) ÷ñ gåi l  æng thù Cardano. Vªn döng ¡ h gi£i ph÷ìng tr¼nh bª ba ta luæn ÷a ÷ñ ph÷ìng tr¼nh bª bèn têng qu¡t v· t½ h õa 3 hai ph÷ìng tr¼nh bª hai. Do â, ph÷ìng tr¼nh bª bèn luæn gi£i ÷ñ v  ng â æng thù nghi»m biºu di¹n ÷ñ d÷îi d¤ng «n thù , æng thù n y gåi l  æng thù Ferrari. Trong suèt mët thíi gian d i ¡ nh  to¡n hå è g­ng º t¼m mët æng thù gi£i ÷ñ b¬ng «n thù õa ph÷ìng tr¼nh ¤i sè bª n«m. Nh÷ng n«m 1824 nh  to¡n hå Norwegian Niels Henrik Abel (1802- 1829) hùng minh ành lþ sau. ành lþ Abel. Ph÷ìng tr¼nh ¤i sè têng qu¡t bª lîn hìn bèn khæng gi£i ÷ñ b¬ng «n thù , tù l  khæng tçn t¤i æng thù º biºu di¹n ¡ nghi»m õa mët ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t bª lîn hìn bèn theo h» sè õa nâ b¬ng ¡ h thü hi»n ¡ ph²p t½nh ëng, trø, nh¥n, hia n¥ng l¶n ly thøa bª nguy¶n d÷ìng, v  ph²p khai «n. Mö ½ h õa luªn v«n: Trong t i li»u [4℄ ¢ tr¡nh ki¸n thù v· lþ thuy¸t h m gi£i t½ h º hùng minh ành lþ Abel ho hå sinh THPT huy¶n To¡n õa Nga. Chóng tæi sû döng t i li»u tham kh£o [4℄ v  k¸t hñp vîi t i li»u [1℄, [2℄, [3℄, [5℄ º dòng ki¸n thù v· lþ thuy¸t h m gi£i t½ h nh¬m mö ½ h x¥y düng di»n Riemann õa mët h m gi£i t½ h v  hùng minh ành lþ Abel v· ph÷ìng tr¼nh a thù . Vîi mö ½ h tr¶n luªn v«n ÷ñ hia l m ba h÷ìng. Ch÷ìng 1. Ki¸n thù ì sð Trong h÷ìng 1 gçm ¡ mö sau: Mö 1.1. Nhâm gi£i ÷ñ : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i mët sè kh¡i ni»m, v½ dö, ành lþ õa nhâm gi£i ÷ñ . Nhúng ki¸n thù n y dòng º hùng minh hai ành lþ lîn õa luªn v«n â l  ành lþ 2.3.70 v  ành lþ 3.2.77 (ành lþ Abel). Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([3, tr.31-34℄). Mö 1.2. ÷íng ong li¶n tö : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i mët sè kh¡i ni»m v  v½ dö v· ÷íng ong li¶n tö . Phn ki¸n thù n y ÷ñ dòng hu h¸t trong ¡ mö ti¸p theo õa luªn v«n. Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u [1℄ v  [2℄. Mö 1.3. Bi¸n thi¶n õa argument: Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([4, tr.67-70℄). u ti¶n hóng tæi nh­ l¤i ành lþ 1.3.15 (H m argument l  h m li¶n tö ) v  ÷a ra mët hùng minh hi ti¸t. Tø â nh­ l¤i mët sè kh¡i ni»m v  v½ dö. Ti¸p theo hóng tæi ph¡t biºu v  hùng minh hi ti¸t T½nh h§t 1.3.22, 1.3.23, x¥y düng V½ dö 1.3.24. Nëi dung õa mö n y ÷ñ dòng nhi·u trong ¡ mö ti¸p theo v  h÷ìng sau, ° bi»t l  h÷ìng 2. Mö 1.4. Nhúng nguy¶n lþ hung õa th¡ triºn gi£i t½ h : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i mët sè ành lþ, nguy¶n lþ, kh¡i ni»m õa th¡ triºn gi£i t½ h nh¬m mö ½ h h½nh hu©n bà ki¸n thù ho mö 1.5. Nëi dung 4 õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([1, tr.127-133℄). Mö 1.5. H m gi£i t½ h : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i mët sè kh¡i ni»m, ành lþ ng nh÷ v½ dö õa h m gi£i t½ h nh¬m mö ½ h h½nh hu©n bà ki¸n thù ho mö 1.6. Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([1, tr.137-141℄). Chóng tæi x¥y düng V½ dö 1.5.38, V½ dö 1.5.39 nh¬m õng è ki¸n thù ho mö 1.4 v  mö n y. Mö 1.6. iºm r³ nh¡nh : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i mët sè kh¡i ni»m ng nh÷ v½ dö nh¬m hu©n bà ki¸n thù ho mö 1.7 v  ¡ h÷ìng sau. Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([1, tr.141-144℄). Mö 1.7. Di»n Riemann õa h m gi£i t½ h : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i mët sè kh¡i ni»m, ành lþ ng nh÷ v½ dö õa di»n Riemann nh¬m hu©n bà ki¸n thù ho ¡ h÷ìng sau. Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([1, tr.145-150℄). C¡ v½ dö trong mö n y ·u ÷ñ ph¥n t½ h hi ti¸t. Ch÷ìng 2. Di»n Riemann õa h m biºu di¹n bði «n thù Trong h÷ìng 2 gçm ¡ mö sau: Mö 2.1. H m biºu di¹n bði «n thù : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i kh¡i ni»m v· h m biºu di¹n bði «n thù , nh­ l¤i ¡ ành lþ v  v½ dö nh¬m mö ½ h mæ t£ l÷ñ ç õa mët h m biºu di¹n bði «n thù . Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø t i li»u ([4, tr.90-96℄). Hu nh÷ ¡ v½ dö trong mö n y hóng tæi ·u t½nh to¡n hi ti¸t. Ki¸n thù trong mö n y hu©n bà ho mö 2.2 v  2.3. Mö 2.2. Nhâm ìn ¤o õa h m a trà : Trong mö n y hóng tæi ành ngh¾a nhâm ho¡n và õa mët l÷ñ ç, nh­ l¤i mët sè v½ dö, trong â â hai v½ dö hóng tæi ph¥n t½ h hi ti¸t, ¡ v½ dö án l¤i t÷ìng tü nh÷ hai v½ dö hóng tæi ¢ ph¥n t½ h. Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o tø ([4, tr.96-98℄). Ki¸n thù õa mö n y nh¬m hu©n bà ho mö 2.3 v  h÷ìng sau. Mö 2.3. Nhâm ìn ¤o õa h m biºu di¹n bði «n thù : Düa v o t i li»u ([4, tr.99-100℄) hóng tæi ph¡t biºu v  hùng minh ành lþ 2.3.70, ¥y l  ành lþ h½nh õa luªn v«n n y. Ki¸n thù trong mö n y nh¬m mö ½ h º hùng minh ành 3.2.77 (ành lþ Abel). Ch÷ìng 3. ành lþ Abel Trong h÷ìng 3 gçm ¡ mö sau: Mö 3.1. H m ¤i sè : Trong mö n y hóng tæi nh­ l¤i kh¡i ni»m h m ¤i sè. Nh¬m mö ½ h º hùng minh ành lþ Abel theo ngæn ngú õa to¡n ao §p hóng tæi ¢ ph¡t biºu T½nh h§t 3.1.75 (T§t £ ¡ h m ¤i sè ·u l  h m gi£i t½ h ). º hùng minh ÷ñ t½nh h§t n y hóng tæi i hùng minh Bê · 3.1.76, ¥y l  Bê · 8.7 trong t i li»u tham kh£o ([5, tr.52-53℄). Chóng tæi hùng minh bê · n y hi ti¸t. Mö 3.2 ành lþ Abel : Mö n y hóng tæi vªn döng ki¸n thù ¢ hu©n 5 bà trong ¡ h÷ìng tr÷î v  mö 3.1 º hùng minh ành lþ Abel. 6 Ch÷ìng 1 Ki¸n thù ì sð 1.1. Nhâm gi£i ÷ñ M»nh · 1.1.1. Gi£ sû H l  mët nhâm on hu©n t­ õa nhâm G. Khi â (i) N¸u G |G| : |H|. l  mët nhâm húu h¤n th¼ §p õa nhâm th÷ìng G/H l  N¸u G l  mët nhâm Abel th¼ nhâm th÷ìng G/H ng l  mët nhâm Abel. (iii) Nhâm th÷ìng G/H l  mët nhâm Abel n¸u v  h¿ n¸u aba−1b−1 ∈ H vîi måi a, b ∈ G. (ii) ành ngh¾a 1.1.2. Cho G l  mët nhâm v  mët d¢y lçng nhau nhúng nhâm on õa G: G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ... ⊃ Gn = {e}. (1.1) D¢y (1.1) ÷ñ gåi l  mët th¡p hu©n t­ n¸u Gi l  nhâm on hu©n t­ õa Gi−1 vîi måi i = 1, 2, ..., n. D¢y (1.1) ÷ñ gåi l  mët th¡p Abel (t÷ìng ùng y li ) n¸u nâ l  mët th¡p hu©n t­ v  ¡ nhâm th÷ìng Gi−1/Gi l  nhâm Abel (t÷ìng ùng y li ) vîi måi i. Th¡p (1.1) ÷ñ gåi l  th¡p y li §p nguy¶n tè n¸u nâ l  mët th¡p y li , çng thíi ¡ nhâm th÷ìng Gi−1/Gi â §p nguy¶n tè vîi måi i. Nhâm G ÷ñ gåi l  mët nhâm gi£i ÷ñ n¸u tçn t¤i mët th¡p Abel(1.1) õa G. V½ dö 1.1.3. (i) Måi nhâm Abel ·u l  nhâm gi£i ÷ñ . 7 Nhâm S3 l  mët nhâm gi£i ÷ñ v¼ tçn t¤i mët th¡p Abel (ii) ành lþ 1.1.4. (i) S3 ⊃ < (123) > ⊃ {(1)}. Måi nhâm on õa mët nhâm gi£i ÷ñ l  mët nhâm gi£i ÷ñ . ƒnh çng §u õa mët nhâm gi£i ÷ñ l  mët nhâm gi£i ÷ñ . (iii) Nhâm th÷ìng õa mët nhâm gi£i ÷ñ ng l  mët nhâm gi£i ÷ñ . (iv) Cho H l  mët nhâm on hu©n t­ õa nhâm G. G l  mët nhâm gi£i ÷ñ n¸u v  h¿ n¸u H v  G/H l  nhâm gi£i ÷ñ . (v) T½ h trü ti¸p õa húu h¤n nhâm gi£i ÷ñ l  mæt nhâm gi£i ÷ñ . ành lþ 1.1.5. Nhâm ¡ ph²p th¸ Sn khæng gi£i ÷ñ n¸u n > 5. Chùng minh. Gi£ sû Sn l  nhâm gi£i ÷ñ . Khi â tçn t¤i mët th¡p Abel (ii) õa Sn : Sn = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ ... ⊃ Gm = {(1)}, trong â Gi l  nhâm on hu©n t­ õa Gi−1 v  nhâm th÷ìng Gi−1/Gi l  ¡ nhâm Abel vîi måi i = 1, 2, ..., m. Gi£ sû (rst) l  mët váng x½ h §p 3 b§t k¼ trong Sn v  u, v l  hai phn tû õa tªp T = {1, 2, ..., n} kh¡ r, s, t (u v  v luæn tçn t¤i v¼ n > 5). Nhâm Sn /G1 l  Abel v  theo M»nh · 1.1.1(iii), ta â (tus)(srv)(tus)−1(srv)−1 = (tus)(srv)(tsu)(svr) = (rst) ∈ G1 . Do â G1 hùa t§t £ ¡ váng x½ h §p 3. Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta ng â G2 hùa t§t £ ¡ váng x½ h §p 3... v  uèi òng Gm = {(1)} hùa t§t £ ¡ váng x½ h §p 3. i·u n y khæng thº x£y ra. Vªy nhâm Sn khæng gi£i ÷ñ . ành lþ 1.1.6. N¸u mët nhâm on õa nhâm Sn hùa t§t £ ¡ huyºn và õa Sn, th¼ nâ tròng vîi to n bë nhâm Sn Chùng minh. Gåi G l  nhâm on õa nhâm Sn hùa t§t £ ¡ huyºn và õa nhâm Sn . Ta â G ⊂ Sn . Gåi δ l  mët phn tû b§t k¼ thuë Sn . Ta bi¸t r¬ng δ luæn ph¥n t½ h ÷ñ th nh t½ h ¡ huyºn và n¶n δ ∈ G, d¨n ¸n Sn ⊂ G. Do â ta â nhâm G tròng vîi nhâm Sn . 8 1.2. ÷íng ong li¶n tö ành ngh¾a 1.2.7. (Xem([1, tr.17-18℄) Gi£ sû ϕ(t), ψ(t) l  ¡ h m li¶n tö õa tham sè t tr¶n o¤n a ≤ t ≤ b. Tªp hñp ¡ iºm z = x + iy õa m°t ph¯ng phù C ÷ñ mæ t£ bði ph÷ìng tr¼nh x = ϕ(t), y = ψ(t) khi tham sè t h¤y tø a ¸n b ( ¡ iºm õa tªp hñp ÷ñ l§y theo bi¸n thi¶n õa tham sè) gåi l  ÷íng ong li¶n tö . Ph÷ìng tr¼nh z = ϕ(t) + iψ(t), a ≤ t ≤ b ÷ñ gåi l  ph÷ìng tr¼nh tham Hai ph÷ìng tr¼nh tham sè sè õa ÷íng ong. z = γ1 (t), a1 ≤ t ≤ b1 z = γ2 (t), a2 ≤ t ≤ b2 t÷ìng ùng vîi òng mët ÷íng ong, n¸u ¡ tªp hñp iºm mæ t£ bði ¡ ph÷ìng tr¼nh n y tròng nhau ( òng vîi thù tü õa hóng). i·u â â ngh¾a, tçn t¤i h m ìn i»u t«ng s(t) x¡ ành tr¶n a1 ≤ t ≤ b1 sao ho s(a1 ) = a2 , s(b1) = b2 , γ2(s(t)) = γ1 (t). V½ dö 1.2.8. Hai ph÷ìng tr¼nh tham sè γ1(t) = γ2(a+ t(b − a)), 0 ≤ t ≤ 1 v  γ2 (t), a ≤ t ≤ b t÷ìng ùng vîi mët ÷íng ong v¼ tçn t¤i h m s(t) = a + t(b − a) ìn i»u t«ng x¡ ành tr¶n 0 ≤ t ≤ 1 thäa m¢n s(0) = a, s(1) = b, γ2(s(t)) = γ1(t). Do â v· sau ta s³ oi måi ÷íng ong ·u ÷ñ tham sè hâa bði o¤n [0, 1]. N¸u ¡ ph÷ìng tr¼nh tham sè õa mët ÷íng ong tçn t¤i ph÷ìng tr¼nh tham sè z = γ(t) = ϕ(t) + iψ(t), vîi ¡ h m ϕ(t), ψ(t) kh£ vi li¶n tö tr¶n o¤n [0, 1], th¼ ÷íng ong ÷ñ gåi l  ÷íng ong trìn. ÷íng ong li¶n tö lªp l¶n tø húu h¤n ÷íng ong trìn ÷ñ gåi l  "÷íng ong trìn tøng khó ". V½ dö ìn gi£n nh§t v· ÷íng ong trìn tøng khó l  ÷íng g§p khó . Nâi hung mët ÷íng ong li¶n tö â thº â §u tró h¸t sù phù t¤p, Tuy vªy, tø nay v· sau, khi dòng hú "÷íng ong", "÷íng" hay " hu 9 tuy¸n", ta luæn hiºu â l  ÷íng ong trìn tøng khó . Mët ÷íng ong ÷ñ gåi l  âng n¸u iºm u v  iºm uèi tròng nhau, tù l  n¸u nâ â ph÷ìng tr¼nh tham sè z = γ(t), t ∈ [0, 1] th¼ γ(0) = γ(1). Nâi hung, ÷íng ong â thº tü ­t (tù l  ∃(t1, t2 ) 6= (0, 1), t1 6= t2 sao ho γ(t1) = γ(t2)). ÷íng ong khæng tü ­t ÷ñ gåi l  ÷íng ong ìn. Nh÷ vªy, ÷íng ong l  ìn n¸u vîi t1 6= t2 ta â γ(t1) − γ(t2) 6= 0 (trø tr÷íng hñp ÷íng ong âng v  t1 = a, t2 = b. ành ngh¾a 1.2.9. (Xem [4, tr.80℄) Cho C l  mët ÷íng ong li¶n tö vîi mët ph÷ìng tr¼nh tham sè hâa z = γ(t). Chóng ta k½ hi»u ÷íng ong C −1 â tªp hñp ¡ iºm tròng vîi tªp hñp ¡ iºm õa ÷íng ong C nh÷ng ành h÷îng theo hi·u ng÷ñ l¤i, ph÷ìng tr¼nh õa nâ l  γ1(t) = γ(1 − t). ành ngh¾a 1.2.10. (Xem [4, tr.81℄) Cho C1 v  C2 l  hai ÷íng ong trong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè t÷ìng ùng l  z = γ1(t) v  z = γ2 (t) m  γ1 (1) = γ2(0). nh x¤ li¶n tö γ1 ∗ γ2 : [0, 1] → C ho bði  γ1(2t) , 0 ≤ t ≤ 12 γ1 ∗ γ2 = γ2(2t − 1), 12 ≤ t ≤ 1 ÷ñ gåi l  hñp hai ÷íng ong C1 v  C2 ành ngh¾a 1.2.11. (Xem [2, tr.41-42℄) y γ1 (t) 1 b b δ(t, u) b I ×I b b b b b 0 1 x H¼nh 1.1: T½nh çng lu¥n õa hai ÷íng ong 10 γ0 (t) (i) Gi£ sû hai ÷íng ong C0 v  C1 â ph÷ìng tr¼nh tham sè ln l÷ñt l  o γ0 : I → D , I = [0, 1] γ : I→ D 1 â hung iºm u v  iºm uèi, ngh¾a l  γ0 (0) = γ1 (0); γ0(1) = γ1(1) (ii) hai ÷íng ong C0 v  C1 ÷ñ gåi l  çng lu¥n vîi nhau trong mi·n D nh÷ l  nhúng ÷íng ong â u mót b§t ëng n¸u tçn t¤i ¡nh xa li¶n tö δ : I ×I → D (t, u) 7→ δ(t, u) sao ho    δ(t, 0) = γ0 (t) δ(t, 1) = γ1 (t)   δ(0, u) = γ0 (0) = γ1 (0) δ(1, u) = γ0(1) = γ1(1) Hai ÷íng ong âng C0 v  C1 â ph÷ìng tr¼nh tham sè ln l÷ñt l  o γ0 : I → D , I = [0, 1] γ : I→ D 1 ÷ñ gåi l  çng lu¥n vîi nhau trong mi·n D, n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ li¶n tö δ : I ×I → D (t, u) 7→ δ(t, u) sao ho ( δ(t, 0) = γ0(t) δ(t, 1) = γ1(t) , ∀u ∈ I δ(0, u) = δ(1, u) Trong tr÷íng hñp khi ÷íng ong C1 â ph÷ìng tr¼nh tham sè z = γ1 l  mët h¬ng ¡nh γ1(t) = ons t (tù l  γ1 ¡nh x¤ o¤n T = [0, 1] th nh mët iºm) v  ÷íng ong C0 çng lu¥n vîi ÷íng ong C1 th¼ ta nâi r¬ng C0 o v· mët iºm, hay l : C0 çng lu¥n vîi 0. V½ dö 1.2.12. Gi£ sû ho v nh kh«n V = {z ∈ C : 1 < |z| < 3 } v  gi£ sû r¬ng C0 l  ÷íng ong li¶n tö thuë V n¬m trån trong nûa v nh kh«n Imz > 0 v  nèi hai iºm z = 2 v  z = −2. N¸u C1 l  ÷íng 11 y C1 C0 b −3 b −2 b b b 0 −1 1 b b 2 3 x C2 H¼nh 1.2: H¼nh v nh kh«n v  ¡ ÷íng ong ong ng â t½nh h§t â th¼ C0 çng lu¥n vîi C1. X²t C2 n¬m trong nûa v nh kh«n d÷îi Imz < 0 v  nèi hai iºm z = 2 v  z = −2 th¼ C0 khæng çng lu¥n vîi C2 trong V v¼ C0 khæng thº bi¸n d¤ng v o C2 m  khæng ­t ÷íng trán ìn và. 1.3. Bi¸n thi¶n õa argument Ta ành ngh¾a bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng ong C mët ¡ h trü quan nh÷ sau: ành ngh¾a 1.3.13. Gi£ sû ÷íng ong C khæng i qua gè tåa ë z = 0. Khi â gâ quay õa ve tì z khi iºm z huyºn ëng theo ÷íng ong C tø iºm u ¸n iºm uèi ÷ñ gåi l  bi¸n thi¶n õa argument z då theo ÷íng ong C . V½ dö 1.3.14. Bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng ong C trong H¼nh 1.3 l  3π 2 12 y z 3π 2 b b 0 A x b B H¼nh 1.3: Bi¸n thi¶n argument då theo ÷íng ong C ành lþ 1.3.15. (Xem ành lþ 6 [4, tr.67℄) Gi£ sû r¬ng mët ÷íng ong li¶n tö C vîi mët ph÷ìng tr¼nh tham sè z = z(t), khæng i qua gè tåa ë v  gi£ sû r¬ng t¤i iºm u õa ÷íng ong C argument l  ϕ0. Ta â thº hån mët gi¡ trà õa argument èi vîi t§t £ ¡ iºm õa ÷íng ong C sao ho tr¶n to n bë ÷íng ong argument õa z(t) bi¸n êi li¶n tö , b­t u tø ϕ0. Nâi ¡ h kh¡ , ta â thº hån èi vîi méi t mët gi¡ trà ϕ(t) õa arg z(t) º sao ho h m ϕ(t) l  li¶n tö èi vîi 0 ≤ t ≤ 1 v  ϕ(0) = ϕ0. Chùng minh. . º hùng minh ÷ñ ành lþ n y ta l m theo hai b÷î sau: B÷î 1: (Xem H¼nh 1.4(a)) Trong l¥n ªn â b¡n k½nh õ nhä t¤i iºm t = 0 ta luæn t¡ h ÷ñ mët nh¡nh ìn trà arg0 z(t) õa arg z(t) thäa m¢n arg0 (0) = ϕ0 . Ta hùng minh h m n y li¶n tö trong l¥n ªn Uδ0 (0). V¼ ÷íng ong C li¶n tö tr¶n o¤n [0, 1] n¶n li¶n tö trong l¥n ªn Uδ0 (0), k¸t hñp vîi H¼nh 1.3(a) ta â: ∀t ∈ Uδ0 , |t − 0| < ρ, |z(t) − z(0)| < δ0, δ0 ). | arg0 z(t) − arg0 z(0)| < arcsin( |z(0)| δ0 δ0 2δ0 Do > 0 ⇒ arcsin( )< |z(0)| |z(0)| |z(0)| 2δ0 = ε. ⇒ | arg0 z(t) − arg0 z(0)| < |z(0)| Vªy h m arg0 (z(t)) hay h½nh l  h m ϕ(z(t)) li¶n tö trong l¥n ªn Uδ0 (0). 13 y y b b z(t) C b z(0) C b z(0) b b 0 ϕ0 φ0 b x x 0 b b z(1) z(1) a) b) H¼nh 1.4: Bi¸n thi¶n li¶n tö õa argument B÷î 2:(Xem H¼nh 1.4(b)) Do t½nh omp­ õa ÷íng ong C n¶n ta â thº phõ ÷íng ong C b¬ng mët phõ húu h¤n U0(0), U1(t1 ), ..., Un(tn ), Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) 6= φ, ti ∈ [0, 1], i = 1, 2, ..., n. Trong méi mi·n Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) ta luæn t¡ h ÷ñ mët nh¡nh ìn trà li¶n tö argi z(t) õa arg z(t). X²t trong mi·n Ui−1(ti−1) ∩ Ui(ti ) ta â ϕi(z(t)) − ϕi−1(z(t)) = 2ki π . V¼ vªy, trong l¥n ªn Ui (ti) ta luæn hån ÷ñ ϕ(z(t)) = argi (z(t)) − 2ki π − · · · − 2k1π l  h m ìn trà. Chùng minh t÷ìng tü nh÷ B÷î 1 ta ÷ñ h m argi (z(t)) li¶n tö vîi måi t ∈ Ui (ti), i = 1, 2, ..., n. Vªy h m ϕ(z(t)) l  h m li¶n tö . Ta ành ngh¾a h m ϕ(z(t)) hay h m ϕ(t) l  h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö õa arg z(t) då theo ÷íng ong C . ành ngh¾a 1.3.16. Cho ÷íng ong C â ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z = z(t), t ∈ [0, 1]. Gåi ϕ(t) l  h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö õa arg z(t) då theo ÷íng ong C . Hi»u ϕ(1) − ϕ(0) ÷ñ gåi l  bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng ong C . V½ dö 1.3.17. X²t ÷íng ong C â ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z(t) = cos πt + i sin πt. Ta hån h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö õa arg z(t) då theo ÷íng ong C 14 l  ϕ(t) = πt. Theo ành ngh¾a tr¶n ta â bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng C l  ϕ(1) − ϕ(0) = π · 1 − π · 0 = π ành ngh¾a 1.3.18. Cho mët ÷íng ong âng C khæng qua gè tåa ë z = 0. N¸u bi¸n thi¶n õa argument b¬ng 2πk , th¼ hóng ta nâi r¬ng ÷íng ong C quay k váng quanh iºm z = 0. V½ dö 1.3.19. X²t ÷íng ong C â ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z(t) = 1 1 cos 4πt − i sin 4πt, t ∈ [0, 1] (Xem 2 2 H¼nh 1.5 ). Ta â thº hån h m mæ t£ biºn êi li¶n tö õa arg z(t) l  ϕ(t) = −4πt. Bi¸n thi¶n õa argument z då theo ÷íng ong C l  ϕ(1) − ϕ(0) = (−4π) · 1 − (−4π) · 0 = −4π = 2π · (−2). Vªy ÷íng ong C quay hai váng quanh iºm z = 0 theo hi·u ¥m (tù l  òng hi·u kim çng hç). y b b b 0 1 2 1 x H¼nh 1.5: ÷íng ong C ành ngh¾a 1.3.20. Gi£ sû mët ÷íng ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè z = z1 (t) khæng i qua iºm z = z0 . Chóng ta â thº nâi r¬ng ÷íng ong C quay k váng quanh iºm z = z0 n¸u ÷íng ong vîi ph÷ìng tr¼nh z2 (t) = z1 (t) − z0 quay k váng quanh iºm z = 0 (Xem H¼nh 1.6 ). Do â º x¡ ành sè váng quay õa mët ÷íng ong quanh iºm z = z0 hóng ta ph£i nh¼n v o sü quay õa ve tì z1 (t) − z0 (ve tì nèi iºm z0 v  z1 (t)). 15 y z1 (t) b b z0 b b 0 z2 (t) = z1 (t) − z0x H¼nh 1.6: ÷íng ong quay quanh mët iºm z0 V½ dö 1.3.21. ÷íng ong C trong H¼nh 1.7 y b b 0 1 x H¼nh 1.7: ÷íng ong C quay mët váng quanh iºm z = 1. T½nh h§t 1.3.22. (Xem B i tªp 260 [4, tr.70℄) Cho z = z1(t) v  z = l  ¡ ph÷ìng tr¼nh tham sè õa hai ÷íng ong C1 v  C2 khæng qua iºm z = 0. Cho bi¸n thi¶n õa argument då theo ¡ ÷íng ong t÷ìng ùng b¬ng ϕ1 v  ϕ2. (i) N¸u ÷íng ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z(t) = z1(t) · z2(t) th¼ bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng ong C b¬ng ϕ1 + ϕ2. z2 (t) (ii) N¸u ÷íng ong C vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè l  z(t) = 16 z1 (t) z2 (t) th¼ bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng ong C b¬ng ϕ1 − ϕ2. Chùng minh. Gåi ϕ1(t) v  ϕ2(t) ln l÷ñt l  hai h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö õa arg z1 (t) v  arg z2 (t) då theo ÷íng ong C1 v  C2, ϕ(t) l  h m mæ t£ bi¸n êi li¶n tö õa arg z(t) då theo ÷íng ong C . Trong tr÷íng hñp (i) ϕ(t) = ϕ1(t) + ϕ2(t), trong tr÷íng hñp (ii) ϕ(t) = ϕ1(t) − ϕ2(t). Bi¸n thi¶n õa argument z då theo ÷íng ong C b¬ng: ϕ(1) − ϕ(0) = (ϕ1(1) ± ϕ2 (1)) − (ϕ1(0) ± ϕ2(0)) = (ϕ1(1) − ϕ1(0)) ± (ϕ2(1) − ϕ2(0)) = ϕ1 ± ϕ2 T½nh h§t 1.3.23. (Xem B i tªp 280 [4, tr.80℄) Cho bi¸n thi¶n õa ar- gument då theo ÷íng ong C â ph÷ìng tr¼nh tham sè z = z(t) √ l  ϕ, v  ho w0(t) l  £nh li¶n tö õa ÷íng ong C qua ¡nh x¤ w = z (vîi n l  sè nguy¶n d÷ìng n ≥ 2) th¼ bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng ong ϕ C1 â ph÷ìng tr¼nh tham sè w0(t) l  . n n Chùng minh. Gåi bi¸n thi¶n õa argument då theo ÷íng ong C1 l  b¬ng ϕ1. Do ÷íng ong C l  £nh õa ÷íng ong C1 qua ¡nh x¤ z = wn , ta â ϕ ϕ = nϕ1. Do â ϕ1 = n s z(z − 1)3 X²t h m sè w(z) = z+1 V½ dö 1.3.24. Khi quay quanh iºm z = 0 mët váng th¼ bi¸n thi¶n õa argument 2π + 0 · 3 − 0 = π. õa w(z) l  2 (ii) Khi quay quanh iºm z = 1 hai váng th¼ bi¸n thi¶n õa argument 0 + 4π · 3 − 0 = 6π . õa w(z) l  2 (iii) Khi quay quanh iºm z = 0 v  z = −1 mët váng th¼ bi¸n thi¶n 2π + 0 · 3 − 2π = 0. õa argument õa w(z) l  2 (i) 17 1.4. Nhúng nguy¶n lþ hung õa th¡ triºn gi£i t½ h ành lþ 1.4.25. ành lþ duy nh§t Gi£ sû f(z) l  h m h¿nh h¼nh trong mët mi·n G v  b¬ng 0 tr¶n mët tªp hñp E â iºm giîi h¤n n¬m trong G. Khi â f(z) çng nh§t b¬ng 0 trong G. Nguy¶n lþ 1.4.26. N¸u h m bi¸n thü n o â â thº th¡ triºn th nh h m h¿nh h¼nh õa bi¸n phù th¼ th¡ triºn â l  duy nh§t. Thªt vªy, tø ành lþ duy nh§t suy ra r¬ng, hai h m h¿nh h¼nh phù b¬ng nhau tr¶n trö thü s³ çng nh§t b¬ng nhau. Nh÷ vªy, h m ez l  h m h¿nh h¼nh duy nh§t th¡ triºn h m thü ex . T÷ìng tü nh÷ vªy vîi ¡ h m, sin z, log(1 + z), ... Gi£ sû ho h m f0 (z) x¡ ành v  h¿nh h¼nh trong mi·n G0 n o â. V§n · °t ra l : tçn t¤i hay khæng mët mi·n rëng hìn, trong â f0 (z) v¨n x¡ ành v  h¿nh h¼nh? ành ngh¾a 1.4.27. H m f1(z) x¡ ành v  h¿nh h¼nh trong mi·n G1 ⊃ G0 ÷ñ gåi l  th¡ triºn gi£i t½ h õa f0(z) n¸u f1(z) = f0 (z) vîi måi z ∈ G0 . G0 f0 ≡ f1 G1 H¼nh 1.8: G1 ⊃ G0 ành lþ sau ¥y ÷ñ gåi l  nguy¶n l½ th¡ triºn gi£i t½ h. ành lþ 1.4.28. N¸u h m h¿nh h¼nh trong mët mi·n n o â th¡ triºn gi£i t½ h ÷ñ sang mët mi·n rëng hìn th¼ th¡ triºn â l  duy nh§t. 18 Chùng minh. Gi£ sû f0 (z) l  h m h¿nh h¼nh trong mi·n G0 v  f1(z), f2(z), l  ¡ th¡ triºn gi£i t½ h õa f0(z) l¶n mi·n G1 ⊃ G0 . Khi â, h m f (z) = f2(z) − f1(z) h¿nh h¼nh trong G1 v  b¬ng 0 trong mi·n G0 . Theo ành l½ duy nh§t, h m f (z) ≡ 0 trong mi·n G1 tù l  f1 (z) ≡ f2(z) trong G1 . Sau ¥y, ta s³ mð rëng kh¡i ni¶m th¡ triºn gi£i t½ h. Gi£ sû h m f0 (z) h¿nh h¼nh trong mi·n G0 , án h m f1(z) h¿nh h¼nh trong mi·n G1 , çng thíi phn giao G0 ∩ G1 ng l  mët mi·n (mët tªp hñp mð v  li¶n thæng). N¸u trong G0 ∩ G1 , ¡ h m f0(z) v  f1 (z) tròng nhau th¼ ta nâi r¬ng, h m f1(z) l  th¡ triºn õa f0(z) l¶n mi·n G1 . G1 f0 ≡ f1 G0 H¼nh 1.9: G0 ∩ G1 D¹ th§y r¬ng, n¸u th¡ triºn nh÷ vªy tçn t¤i th¼ nâ l  duy nh§t. 19 T÷ìng tü nh÷ vªy, ta â kh¡i ni»m th¡ triºn gi£i t½ h h m f0(z) theo mët d¥y huy·n ¡ mi·n. G1 G0 f0 ≡ f1 G2 Gj f1 ≡ f2 Gj+1 fj ≡ fj+1 Gn−1 fn−1 ≡ fn Gn H¼nh 1.10: Th¡ triºn theo d¥y truy·n ¡ mi·n ành ngh¾a 1.4.29. Gi£ sû ¡ mi·n G0 , G1 , ..., Gn â t½nh h§t sau ¥y: vîi måi j = 0, 1, 2, ..., n− 1, Gj ∩ Gj+1 6= φ l  mët mi·n. Gi£ sû tçn t¤i ¡ h m fj (z) x¡ ành v  h¿nh h¼nh tr¶n Gj , çng thíi fj (z) = fj+1(z) tr¶n Gj ∩ Gj+1 , (j = 0, 1, 2, ..., n − 1). Khi â ta nâi h m fn (z) l  th¡ triºn gi£i t½ h õa h m f0(z) theo d¥y huy·n ¡ mi·n G0 , G1 , ..., Gn . ( Xem H¼nh 1.10 ) D¹ th§y r¬ng, th¡ triºn gi£i t½ h theo mët d¥y huy·n ¡ mi·n, n¸u tçn t¤i , l  duy nh§t. Trong nhi·u tr÷íng hñp, mi·n G0 v  Gn â giao kh¡ réng. Khi â, trong G0 ∩ Gn , ta â hai h m f0 (z) v  fn (z) â tròng nhau khæng? C¥u tr£ líi nâi hung l  khæng, ngh¾a l  sau khi th¡ triºn ta th÷íng nhªn ÷ñ h m kh¡ vîi h m ban u. ( Xem H¼nh 1.11 ) Nâi ¡ h kh¡ , th¡ triºn gi£i t½ h th÷íng d¨n ¸n h m a trà. 20