Tài liệu Đi tìm lời giải các bài toán căn thức chứa số

www.MATHVN.com FB.com/mathvncom www.MATHVN.com LỜI MỞ ĐẦU  Các bạn học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm căn thức ở chƣơng trình toán lớp 9. Bên trong dấu căn có thể là biểu thức chứa số hoặc là chứa chữ hoặc có mặt cả số lẫn chữ. Các biểu thức này gọi chung là căn thức và chúng thƣờng xuất hiện trong nhiều dạng bài tập về bất đẳng thức, giải phƣơng trình - bất phƣơng trình, giải hệ phƣơng trình - hệ bất phƣơng trình, rút gọn căn thức…Chính vì sự phong phú đó nên chúng thƣờng đƣợc chọn làm đề thi trong các kì thi tuyển sinh quan trọng. Trong tài liệu nhỏ này tôi đã tổng hợp các bài tập căn thức từ các đề ôn luyện tuyển sinh lớp 10 của nhiều trung tâm luyện thi có uy tín và tổng hợp từ các trang web toán học nổi tiếng tại Việt Nam kết hợp với chút ít kinh nghiệm giải toán của bản thân để mạnh dạn giới thiệu cùng bạn đọc bài viết “ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ”. Nội dung chính của bài viết đƣợc chia thành ba phần nhƣ sau: PHẦN 1: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BA PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC Trong từng đề toán của bài viết, ngoài việc xoáy sâu vào lời giải chi tiết, tôi còn cố gắng trình bày con đƣờng tìm đến những lời giải đó, những lời giải khiến bạn phải trăn trở nhiều đêm suy nghĩ! Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Phan Văn Xạ, anh Nguyễn Anh Duy đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báu. Mặc dù đã dùng rất nhiều thời gian và công sức để biên soạn tài liệu nhƣng sai sót là điều không thể nào tránh khỏi. Vì thế mọi ý kiến đóng góp và thắc mắc xin bạn đọc liên hệ qua địa chỉ mail: [email protected] để bài viết ngày càng hoàn thiện về nội dung FB.com/mathvncom www.MATHVN.com MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỤC LỤC TÀI LIỆU TAM KHẢO PHẦN 1: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI ................................................................. 1 A. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DẠNG I.Các biểu thức có dạng A  2 B .......................................................... 2 A  2 B đƣa về bình phƣơng một tổng .................................... 2 II.Khôi phục biểu thức về dạng A  2 B để đƣa về bình phƣơng một tổng ................... 2 III.Áp dụng công thức căn phức tạp để rút gọn biểu thức dạng A  2 B ...................... 2 IV.Kết luận ........................................................................................................................ 3 V.Một số bài toán điển hình .............................................................................................. 3 B. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DƢỚI CĂN ĐƢA ĐƢỢC VỀ DẠNG BÌNH PHƢƠNG MỘT TỔNG BA SỐ HẠNG ............................................................................................. 13 I.Công thức bình phƣơng một tổng ba số hạng ................................................................. 13 II.Rút gọn biểu thức dƣới căn đƣa đƣợc về bình phƣơng một tổng ba số hạng ................ 13 C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI ...................... 18 PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BA ................................................................... 34 A. NHẮC LẠI MỘT SỐ HĐT LŨY THỪA BẬC BA.................................................. 35 B. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DẠNG 3 A  B C & 3 A B  C D .................................. 35 C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC BA ......................... 45 PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC ...................................................................... 48 LỜI KẾT FB.com/mathvncom www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ PHẦN 1 CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 1 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ A 2 B A. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CÓ DẠNG I.Các biểu thức có dạng A  2 B đƣa về bình phƣơng một tổng VD1: 3  2 2  ( 2)2  2. 2.1  12    2 1 VD2: 5  2 6  ( 2)2  2. 2. 3  ( 3) 2   2  2 1 2 3  2  2 3  3 2 Dấu hiệu để ta đưa về dạng tổng bình phương chính là nhờ hằng số 2 trong hai ví dụ trên. Nhiệm vụ của ta là tìm được hai số nào có tổng là 3 và 5, có tích là 2 và 6 để đưa về bình phương một tổng hai số hạng (dấu là cùng lấy dòng trên hoặc lấy dòng dưới) II.Khôi phục biểu thức về dạng A  2 B để đƣa về bình phƣơng một tổng VD1: 2  3  ( 3  1) 2 2 2 3 42 3 3 1 2( 3  1)     2 2 2 2 2 VD2: 5  7  ( 5  2) 2 2 5 7 10  2 7 5 2 2( 5  2)     2 2 2 2 2 Các ví dụ trên ta thấy các biểu thức trong căn muốn đưa về dạng bình phương một tổng thì thiếu đi hằng số 2 do đó ta phải làm xuất hiện số 2 bằng cách nhân tử và mẫu với III.Áp dụng công thức căn phức tạp để rút gọn biểu thức dạng 2 A 2 B  Công thức căn phức tạp: (với ) Áp dụng công thức căn phức tạp rút gọn biểu thức: VD1: 3  2 2  3  8  VD2: 2  3  3  32  8 3  32  8 3 1 3 1     2 1 2 2 2 2 2  22  3 2  22  3 2 1 2 1 3 1 2( 3  1)      2 2 2 2 2 2 Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 2 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ Công thức căn phức tạp thật tiện bạn nhỉ!!!Những biểu thức trong căn có thể đưa về dạng bình phương một tổng để rút gọn đều có thể dùng công thức căn phức tạp. Ta chỉ nên sử dụng công thức trên để kiểm tra kết quả. Nếu áp dụng trong bài thi thì phải chứng minh lại. Thật vậy, vì hai vế của công thức căn phức tạp đều dương nên sau khi bình phương ta có: A  A2  B A B  2 2  A B   A  A2  B   A  A2  B  A  A2  B   .     2 2 2    A A   A2  ( A2  B) 2 2   B   B  đpcm IV.Kết luận: Biểu thức A  2 B có thể đưa về dạng bình phương một tổng nếu viết được như sau: m  n  A (A ; B ; m ; n A  2 B  m  n  2 m.n trong đó  m.n  B Theo như định lí Vi-ét đảo thì m, n là nghiệm của phương trình: x2  Ax  B  0 Giải phương trình trên ta tìm được cặp số (m,n)  A  2 B   m n  2  m n Thường phương trình có nghiệm đẹp nhưng do cặp (m,n) dễ tìm nên ta hay nhẩm nghiệm V.Một số bài toán điển hình:  Thu gọn các biểu thức sau: 1/ A = 2 46  6 5  3 29  12 5 3 5  2  2    2. 3 5 .1  12  3  2   2 5  2    2. 2 5 .3  32 2 = 2 3 5 1  3 2 5  3  2 3 5 1  3 2 5  3      2 3 5 1  3 2 5  3  7 Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 3 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 2/ B = 7  2 10  7  2 10     5 2  2   5 2    5 2  2  5 2  5 2  5  2  2 2 Trong ví dụ B cũng có thể dùng công thức căn phức tạp để giải quyết (bạn đọc tự giải) nhưng nếu lưu ý thấy 7  2 10 . 7  2 10  3 thì còn một số cách làm khác như sau:  Bình phương hai vế và rút gọn: B2  7  2 10  7  2 10  2. 7  2 10. 7  2 10  B2  14  2.3  8  B  2 2 Nhưng do B < 0  B  2 2  Dùng ẩn phụ: u  7  2 10 u 2  v 2  14  Đặt   u.v  3  v  7  2 10   B  u v  u 2  v 2  2uv  14  6  2 2 Nhưng do B < 0  B  2 2 Một bài toán căn thức có thật nhiều cách tiếp cận phải không các bạn, hãy bình tĩnh quan sát và ứng dụng các phương pháp giải toán đã học nhé!!! 3/ C = 10  2 17  4 9  4 5 Bài toán trên thoạt nhìn thật khủng khiếp, có đến ba lớp căn thức, bạn không biết phải xoay sở như thế nào??? Nhưng hãy lưu ý 94 5   52  2  5  2 . Đó là mấu chốt để giải quyết vấn đề, hãy thử tiếp tục phá bỏ các lớp căn thức còn lại. Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 4 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ C = 10  2 17  4 9  4 5 = 10  2 17  4  = 10  2 5 2  2  10  2    5  2  10  2 9  4 5  5 2  62 5    5 1 2  5 1 Thật may mắn! Các biểu thức dưới căn sau khi rút gọn đều là một tổng bình phương đủ 4/ D = 7 5  7 5 7  2 11 Nhận xét rằng 7  5. 7  5  2 11 và biểu thức trong căn dưới mẫu số xuất hiện 2 11 vì thế ta làm như sau: u 2  v 2  14 u  7  5   Đặt   u.v  2 11 v  7  5 u  0, v  0  D uv  u 2  v2  uv 2 uv u 2  v 2  2uv 2  2(u  v) u  v  2  2(u  v)  2 (u  v) Vậy D = 2 Ngoài ra ta còn cách làm như sau (bình phương tử thức)  7 5  7 5  D2    7 2 7 5  7 5 (7  2 11) 5  7  5  2. 7  5. 7  5  14  4 11  2(7  2 11)  2  2  D  2 (lưu ý D > 0) Vậy D = 2 Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 5 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 4 5/ E = 8 2 1  4 4 8 8 2 1 2 1 Cách 1: (ẩn phụ)  u  Đặt  v   E 4 8 4 8 u 2  v 2  2 4 8  2 1   u.v  2 1 u  v 2 1  u v u v  u 2  v2  uv 2 u 2  v 2  2uv 2  2(u  v) u  v  2  2(u  v)  2 (u  v) Vậy E = 2 Cách 2: (bình phƣơng tử thức)     4  8 2 1   2 4 8  2.    E2   8  2  1   2 4 8  2.  8  ( 2  1)  2 4 8  2  4  2 4 8  2 1   4 8 2 1  2  4 4 8 8  2 1 . 2 1 4 8 2 1   2 4 8 2 1   2 1   2E  2 Vậy E = 2 Bài toán 5 thoạt nhìn thật cồng kềnh nhưng quan sát kĩ, lại có dáng dấp bài toán 4. Từ đó cách làm bài 5 tựa như bài 4 và điều thú vị là kết quả của hai bài trên như nhau! Khai thác điểm này sẽ cho ra nhiều bài toán khó như: tính 7D – 5E, so sánh D và E…và chỉ khi nào người giải đi đúng ý tác giả thì kết quả cần tìm mới thực sự đẹp mắt! Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 6 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 6/ F = 3  5  2 3  3  5  2 3 Cách 1: (bình phƣơng biểu thức) Ta thấy F có chứa biểu thức 5  2 3 là dạng A  2 B nhưng không thể đưa được về bình phương một tổng, vì vậy ta tính F2 rồi suy ra F (lưu ý F > 0) F2  3  5  2 3  3  5  2 3  2. 3  5  2 3 . 3  5  2 3  62 3   62    5  2 3 . 3  5  2 3  6  2 9  (5  2 3)  6  2 4  2 3  3 1 2  6  2( 3  1)  4  2 3    3 1 2  F  3 1 Cách 2: (ẩn phụ) u 2  v 2  6   u  3  5  2 3  Đặt   u.v  3  5  2 3 . 3  5  2 3  4  2 3  3  1 v  3  5  2 3   u  v      F  u  v  u 2  v 2  2uv  6  2.( 3  1)  4  2 3  3  1 Cách 3: (công thức căn phức tạp) Ta có: 3 5 2 3   3  9  (5  2 3) 3  9  (5  2 3) 3 4 2 3 3 4 2 3    2 2 2 2 3   3 1 2 2  3  Mail: [email protected]  3 1 2 2  4 3 2 3  2 2 FB.com/mathvncom Trang 7 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ Tương tự: 3 5 2 3  4 3 2 3  2 2  4 3 2 3   4 3 2 3  2 3  2 F    2. 2  3  4  2 3  3  1  2 2   2 2  2     7 52 7/ G =  ( 7  4)  2.   7  4 1  7  4 .1  12  1    2. 4  7 82 7 7 4    2 2 2 7  4 1  1    7 1 2 7  4 1  1    7  4 1  1 2  7 1 2( 7  1)  2 2 A  2 B nhưng lần này việc đưa Trong ví dụ trên biểu thức G chứa số hạng có dạng biểu thức thoát khỏi căn thức khó nhìn hơn các bài tập trước. Tuy nhiên tích 2. 7  4 là dấu hiệu và mấu chốt để giải bài này. Ngoài ra còn một số bài toán ta không dễ nhìn được dạng A  2 B mà phải thông qua các phép biến đổi mới đưa về được dạng chuẩn tắc. Xét các ví dụ dưới đây: 8/ H  4  3  6 3  15  3  2,5 Bài toán trên có dáng dấp của biểu thức H và ta hãy lưu ý mối liên hệ giữa các biểu thức trong căn thức đầu tiên 6 3  15  3(2 3  5) mà 3  (2 3  5)  8  2 3  2(4  3) kết hợp 5 2 với 2,5  .Từ đó, nhân H với 2 sẽ làm xuất hiện hằng đẳng thức 2.H  8  2 3  2 3(2 3  5)  2 3  5   H  5 2 3  3  2 52 3   5  2 3  2    2. 5  2 3 . 3   3 2  52 3  52 3  3  52 3  3 3 6  2 2 Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 8 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 9/ I = 1  2 5 5  11  5 2 Với bài toán trên nếu 5 5  11 mà phân tích được thành tích của hai thừa số nào đó có tổng là 1 thì bài toán được giải quyết, thế thì ta phải tìm các số m và n sao cho:  m  n  1  theo Vi-ét đảo m và n là nghiệm của phương trình: x2  x  5 5  11  0   m.n  5 5  11 Ta có:   12  4(5 5  11).1  45  20 5  5(9  4 5)  5   5  5 2  2  5 2  2  5 5  2  5( 5  2)  5  2 5 Thế thì x1  b   1  (5  2 5) 6  2 5    3 5 2a 2 2 x2  b   1  (5  2 5) 2 5  4    5 2 2a 2 2 Chọn m  3  5 , n  5  2 Ta viết lại I như sau:   I =  3 5   3 5  2  2.  3 5 . 5 2  2  5 2  5 2   2 3 5 62 5   2 2  3 5  5 2   5 1 2 5 2  3 5   2 5 2  5 2 2  5 1 2( 5  1)  2 2 Ngoài phân tích 5 5  11  (3  5).( 5  2) bằng định lí đảo Viét ta còn cách suy luận sau: 2  5  t  5 5  11  5t  t 2  6  t (t  2)  3(t  2)  (3  t )(t  2) 2  11  5  6  t  6 Đặt 5  t   Thay ngược t  5 vào biểu thức trên ta có: 5 5  11  (3  5).( 5  2) Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 9 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 10/ J  1  2 27 2  38  5  3 2 3 2 4  m  n  1  m.n  27 2  38 Ta tìm hai số m và n sao cho:   m và n là nghiệm phương trình: x2  x  27 2  38  0  Ta có:   12  4(27 2  38).1  153  9.12 2  9(17  12 2)  9 3  2 2     9 3 2 2  2  2  3 3  2 2  3(3  2 2)  9  6 2 Thế thì x1  b   1  (9  6 2) 10  6 2    53 2 2a 2 2 x2  b   1  (9  6 2) 6 2  8   3 2 4 2a 2 2 Chọn m  5  3 2 , n  3 2  4 Ta viết lại J như sau: J   53 2   2  2.  53 2 .  3 2 4  3 2 4  2 53 2 3 2 4  53 2  3 2 4 3 2 4  2 53 2    53 2  3 2 4  53 2 3 2 4  3 2 4 3 2 4 1 Ta thử phân tích 27 2  38  (5  3 2).(3 2  4) thành nhân tử bằng phương pháp ẩn phụ xem có gì đặc biệt. Trong ví dụ trên ta thấy: t  2  27 2  3.9. 2 nên có 3 hướng đặt ẩn phụ t  3 2  t  9 2 Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 10 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ -Nếu t  2 có thể biểu thức 27 2  38 sẽ phân tích được thành tích hai số có tổng bằng 1 nhưng các hướng biến đổi khá phức tạp -Nếu t  9 2 hoàn toàn không dẫn đến kết quả mong muốn, chỉ còn t  3 2 2  18  t Đặt 3 2  t    27 2  38  9t  t 2  20  t (t  4)  5(t  4)  (5  t )(t  4) 2  38  18  20  t  20 Thay t  3 2 vào biểu thức trên ta được: 27 2  38  (5  3 2).(3 2  4) Lưu ý: a/ Trong hai biểu thức I và J thì biệt số  phải là một bình phương đủ nếu không bài toán sẽ rất khó khăn trong quá trình tìm lời giải b/ Nếu các bạn tinh ý sẽ thấy các biểu thức mà chúng ta vất vả tìm kiếm với rất nhiều phép toán lại xuất hiện ngay trong đầu bài, cụ thể: + Trong ví dụ 9, đề bài xuất hiện biểu thức 5 2 + Trong ví dụ 10, đề bài xuất hiện đồng thởi 2 biểu thức 5  3 2 và 3 2  4 c/ Nắm bắt được ý đồ ra đề của tác giả, ta sẽ giải nhanh các bài toán có dạng như vậy Xét ví dụ tiếp theo: 11/ K  11  6 3  2 52 3  90  2 3  3 74 3 Giả sử phân tích được 11  6 3  2 52 3  90   m  n  . Đến đây ta sẽ dự đoán n  2 3  3 2 và m  11  6 3  (2 3  3)  14  8 3 . Thật vậy dự đoán của ta là chính xác vì luôn có biểu    thức 2 3  3 . 14  8 3  52 3  90 . Thế thì ta có sơ đồ tính toán chuẩn tắc quen thuộc sau  m  n  11  6 3  (14  8 3)  (2 3  3)  con đường tìm m, n sẽ nhanh chóng hơn nhiều!  m . n  (14  8 3).(2 3  3)  52 3  90   Từ đó K = 14  8 3 74 3  2. 7  4 3 74 3  2 Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 11 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ Thật đơn giản và nhẹ nhàng phải không các bạn! Trong ba ví dụ trên các bước mò mẫm, dự đoán chúng ta chỉ cần hiểu và thực hiện trên nháp. Khi làm bài ta trình bày như sau: K    14  8 3  2  2. 14  8 3. 2 3  3   2 3 3  2 2 3 3 74 3  14  8 3  2 3  3  2 2 3 3 74 3 14  8 3 74 3  2. 7  4 3 74 3 14  8 3     2 3 3  2 3 3 74 3  2 Trên đây là 11 ví dụ điển hình về các bài toán văn thức bậc hai đưa được về bình phương đủ của nhị thức. Phần tiếp theo chúng ta sẽ xét đến các bài toán căn thức bậc hai đưa được về bình phương đủ của tam thức. Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 12 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ B. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC DƢỚI CĂN ĐƢA ĐƢỢC VỀ DẠNG BÌNH PHƢƠNG MỘT TỔNG BA SỐ HẠNG I.Công thức bình phƣơng một tổng ba số hạng: Xin bắt đầu từ HĐT đơn giản sau  x  y   x 2  y 2  2 xy 2 Thay x  a  b, y  c vào công thức trên ta có: a  b  c 2   a  b   c 2  2.(a  b).c  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ac 2 Vậy Công thức bình phương một tổng ba số hạng tương đối cồng kềnh và dài dòng nhưng với cách làm trên ta chỉ cần thuộc một hằng đẳng thức đơn giản là có thể nhớ được một công thức khó “xơi” . Tiếp theo ta sẽ bàn tới ứng dụng của nó trong các bài toán rút gọn căn thức. II.Rút gọn biểu thức dƣới căn đƣa đƣợc về dạng bình phƣơng một tổng ba số hạng 1/ A = 10  60  24  40 Thoạt nhìn thấy bài toán thật là đáng sợ, không sử dụng được công thức nào đã học để rút gọn nhưng chúng ta hãy bình tĩnh phân tích các căn thức và lưu ý những điểm sau: 60  2 15  2. 3. 5   2.a.b  40  2 10  2. 5. 2   2.b.c  24  2 6  2. 3. 2   2.a.c  Từ đó ta có suy nghĩ tách: 10   2    3    5   a 2 2 2 2  b2  c 2  Vì thế ta có cách trình bày: A = 10  60  24  40    2 3 5  2  2    3   5 2 2 2  2. 3. 5  2. 5. 2  2. 3. 2  2 3 5 Từ ý tưởng chứng minh công thức tổng bình phương ba số hạng từ HĐT quen thuộc ta có cách trình bày khác như sau: Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 13 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ A  10  60  24  40  (5  2 6)  2 10  2 15  5     3   2  2. 3. 2  2 3 5  2  2    2 2 5( 3  2)  5   3 2  2  2.( 3  2). 5   5 2  2 3 5 Cách trình bày thứ hai như trên luôn luôn tồn tại song hành với cách thứ nhất! 2/ B  18  4 6  8 3  4 2  2(9  2 6  4 3  2 2) Phân tích căn thức: 2 6  2.( 6).1( 2.a.b) 4 3  2.( 6). 2( 2.a.c) 2 2  2. 2.1(  2.b.c)  9  6   2 2 2  12  (a 2  b 2  c 2 ) Viết lại B:     B  2   6    2 2   2  6  2 1 Nhưng 2 6  2 1  2      2   2. 2 .1  12  2.  6 .1  2.  6 .  2  6  2 1  6   2  2 2  1  6  3  2 2  3  2 2  9  8 (đúng)  B  2( 6  2  1)  2 3  2  2 Trong ví dụ trên, ta có thêm bước chứng minh 6  2  1 là để xét dấu biểu thức B sau khi đưa B ra khỏi căn bậc hai. Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 14 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 3/ C  25  4 10  4 15  2 6 Phân tích căn thức:    4 15  2.  2 5  .   3  2 6  2.   2  .   3  25   2 5     2     3  4 10  2. 2 5 .  2 2 2 2 Viết lại C: C  2 5    2    3 2 2 5 2 3 2  2 2          2. 2 5 .  2  2. 2 5 .  3  2.  2 .  3   2 5 2 3 Nhưng 2 5  2  3     5 3   5 2  53 52  0 5 3 5 2 C  2 5  2  3 4/ D  3  2  3  6  2 D  2 3 2  3  6  6 2 2  2 3  2 6  Nhưng D    2  3 1 2  2  3 1 2 1  1 1  11  2  4  3  2 1 3  0 2 1 3 2( 2  1  3)  2 2 Cũng tương tự như rút gọn căn thức dạng A  2 B , một vài bài toán đôi khi ta phải nhân và chia 2 để làm xuất hiện dấu hiệu tách bình phương đủ một tổng của ba số hạng. Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 15 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 5/ E = 12  1 1  2 2013 20142 2 Viết lại E = 2 2 1  1   1         1   2013   2014  Ta thấy E có dạng a 2  b2  c2 nên áp dụng HĐT bình phương một tổng ba số hạng   2 1 1  1 1 1 1  1 1 1 E           2  1 2013 1 2014 2013 2014   1 2013 2014     Biểu thức E có thể đưa về dạng bình phương một tổng ba số hạng nếu như biểu thức dưới dấu ngoặc bằng 0 nhưng trong thực thế chúng ≠ 0 .Muốn vậy, phải làm xuất hiện dấu “  ” và ta hãy lưu ý một điểm quan trọng sau x 2    x  2 Viết lại E = 2 2 2 1  1  1           1   2013   2014  2 1 1  1 1 1 1  1 1 1           2    1 2013 2014   1 2013 1 2014 2013 2014  2 1 1  1 1   1   1       2   2013 2014   2013 2014 2013.2014  1 1  1   2014  2013   1      2   2013 2014   2013.2014 2013.2014  2 2 1 1  1 1     1      2   2013 2014   2013.2014 2013.2014  2 1 1  1 1 1 1   1     1    1 2013 2014 2013 2014  2013 2014  Vậy E = 1  1 1  2013 2014 Để rút gọn được biểu thức E chúng ta có rất nhiều cách ngắn gọn, các bạn có thể tìm thấy ở những đầu sách tham khảo khác nhưng theo tôi ý tưởng cách làm trên là tự nhiên nhất. Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 16 www.MATHVN.com ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ 20132 6/ F  1  2013  20142 2 2 1 1  1 1  2013    20132 12    2013.E  2013 1     2014  2 2  2013 2014  2014   2013 2014  Bài này có dáng dấp của ví dụ E, nếu áp dụng cách làm của biểu thức E thay cho cách trên cũng sẽ đi đến kết quả. Cả hai ví dụ trên đều sử dụng đẳng thức sau: 1 1 1 1 1   1  2 2 a (a  1) a a 1 Đẳng thức trên chứng minh không mấy khó khăn nhưng các bạn hãy xem cách làm sau: Ta có:  a  b  c   a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ac 2 Nếu nghịch đảo toàn bộ số hạng của hằng đẳng thức trên ta được một đẳng thức mới 1 1 1 1 1  1 1 1 abc  1 1 1  1 1 1 1      2  2  2  2          2  2  2  2 a b c a b c abc a b c  ab bc ac  a b c 2 2 Trong đẳng thức mới trên nếu ta gán cho a  b  c  0 thì được: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2 2         2 2 2  2 a b c a b c a b c a b c Thay c = -(a + b) vào đằng thức trên ta có: 1 1 1 1 1 1  2    2 2 a b a  b a b a b Lấy b = 1 thì được: 1 1 1 1 1   1  2 2 a (a  1) a a 1 Đây chính là đẳng thức sử dụng trong biểu thức E và F. Từ các khai triển một số đẳng thức quen thuộc như là: (a + b + c)2, (a + b - c)2, (a - b + c)2, (a - b - c)2, (a + b + c)3, (a + b - c)3, (a - b + c)3, (a - b - c)3…nếu ta gán thêm các điều kiện hợp lí thì sẽ sáng tạo được nhiều bài toán hay và khó! Mail: [email protected] FB.com/mathvncom Trang 17