CÁC BÀI TẬP VỀ VECTƠ
Bài 1:
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi
uuu
r uuur
AB DC .
Bài 2:
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
r
uuu
r
a) Tìm các vector khác 0 và cùng phương với OA ;
uuur
b) Tìm các vector bằng vector AB .
Bài 3:
uuur
Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Trong trường hợp nào hai vector AB và
uuur
AC cùng hướng? Trong trường hợp nào hai vector đó ngược hướng?
Bài 4:
r
Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D Có bao nhiêu vector khác 0 được xác định mà gốc và
ngọn của chúng là một trong bốn điểm đã cho.
Bài 5:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và B’
uuuur uuuu
uuur
uuur
r
là điểm đối xứng với B qua tâm O. Hãy so sánh các vector AH và B ' C , AB ' và HC .
Bài 6:
uuu
r uuur uuuu
r uuu
r uuur uuur
Cho tam giác OAB. Giả sử OA OB OM , OA OB ON . Khi nào điểm M nằm trên
đường phân giác của góc AOB ? Khi nào điểm N nằm trên đường phân giác ngoài của góc
AOB ?
Bài 7:
Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur r
OA OB OC OD OE 0
Bài 8:
Cho n điểm trên mặt phẳng. Bạn An ký hiệu A1, A2, …, An. Bạn Bình ký hiệu chúng là
uuuur uuuuu
r
uuuuu
r r
B1, B2, …, Bn. Chứng minh rằng : A1 B1 A2 B2 ... An Bn 0 .
Bài 9:
r r r
Cho ba vector a , b , c cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vector trong chúng
cùng hướng.
Bài 10:
Cho đoạn thẳng Ab và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vector
uuur uuur
uuur uuur
MA MB và MA MB .
Bài 11:
uuur
uuur uuuu
r
Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng : MA MC MB MD
Bài 12:
Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kỳ ta luôn có :
uuu
r uuur uuur uuur r
uuu
r uuur
uuu
r uuur
a) AB BC CD DA 0 ;
b) AB AD CB CD .
Bài 13:
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của các tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ,
uuu
r uur uuu
r r
CARS. Chứng minh rằng RJ IQ PS 0 .
Bài 14:
uuu
r uuur
uuu
r uuur
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vector AB AC và AB BC .
Bài 15:
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur uuur
a) CO OB BA
c) DA DB OD OC
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur r
b) AB BC DB
d) DA DB DC 0 .
Bài 16:
r r
r
Cho a , b là hai vector khác 0 . Khi nào có đẳng thức
r r
r
r
r r
a) a b a b
r r
b) a b a b
Bài 17:
r r r
r
r
a
Cho b 0 . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vector a và b .
Bài 18:
uuu
r uuur
Chứng minh rằng AB CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC
trùng nhau.
Bài 19:
uu
r uuur uur uuur uu
r uuuu
r
Cho ba lực F1 MA , F2 MB , F3 MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật
uu
r uur
đứng yên. Cho biết cường độ của F1 , F2 đều bằng 100N và �
AMB 600 . Tìm cường độ và
uu
r
hướng của lực F3 .
Bài 21:
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng :
uuu
r uuur uuur
uuur
AB AC AD 2 AC
Bài 22:
uuur uuur
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB , BC
uuu
r
r uuur r uuuu
r
, CA theo hai vectơ u AK , v BM .
Bài 23:
uuur uuuu
r
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB 3MC
r uuur r uuur
uuuu
r
. Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u AB , v AC .
Bài 24:
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng
minh rằng :
uuur uuur uuur r
a) 2 DA DB DC 0
uuu
r uuu
r uuur
uuur
b) 2OA OB OC 4OD , với O là điểm tùy ý.
Bài 25:
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh
uuuu
r uuur uuur uuur uuur
rằng : 2MN AC BD BC AD .
Bài 26:
uuu
r uuur r
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 3KA 2 KB 0
Bài 27:
uuur uuur uuuu
r r
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho MA MB 2MC 0 .
Bài 28:
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Bài 29:
uuuuu
r
uuuu
r uuuur
uuur
Cho ba điểm O, M, N và số k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho: OM ' kOM , ON ' kON
uuuuuur
uuuu
r
Chứng minh rằng M ' N ' k MN
Bài 30:
r
r
Chứng minh rằng hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi có cặp số m, n không
r r r
đồng thời bằng 0 sao cho ma nb 0 . Hãy phát biểu điều kiện cần và đủ để hai vectơ không
cùng phương.
Bài 31:
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur r
Cho ba vectơ OA , OB , OC có độ dài bằng nhau và OA OB OC 0 . Hãy tính các góc
AOB, AOC, BOC.
Bài 32:
Cho 6 điểm A, B, C, D E, F. Chứng minh rằng:
uuu
r uuur uuur uuur
a) AB CD AC DB
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
b) AD BE CF AE BF CD .
Bài 33:
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt có trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh
uuuu
r uuur uuu
r r
AM BN CP 0
Bài 34:
Cho tam giác A1B1C1 và A2B2C2 lần lượt có trọng tâm là G1 và G2. Chứng minh rằng :
uuuur uuuur uuuur uuuuu
r
A1 A2 B1 B2 C1C2 G1G2
Từ đó suy ra hai tam giác A1B1C1 và A2B2C2 có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
uuuur uuuur uuuur r
A1 A2 B1 B2 C1C2 0
Bài 35:
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi
uuuu
r 1 uuur uuur uuuu
r
MG MA MB MC
3
với M là điểm tùy ý.
Bài 36:
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Bài 37:
uuu
r uuu
r uuur uuur r
Cho tứ giác ABCD. Điểm G được gọi là trọng tâm của tứ giác nếu GA GB GC GD 0
a) Chỉ ra cách dựng điểm G. Chứng minh sự duy nhất của nó.
b) Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta luôn có:
uuuu
r 1 uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MG MA MB MC MD
4
Bài 38:
Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, CD lần lượt lấy các điểm M,N tùy ý. Gọi P và
uuur
Q lần lượt là trọng tâm của các tứ giác AMND và BMND. Chứng minh rằng vectơ PQ không
phụ thộc vào vị trí của hai điểm M và N.
Bài 39:
Cho tứ giác ABCD. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD,
CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng tứ giác ABCD và tứ giác GAGBGCGD có cùng trọng tâm.
Bài 40:
Cho tứ giác ABCD, M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
uuuu
r 1 uuur uuur
MN AB CD
2
Bài 50:
Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Chứng
minh rằng :
uuuu
r 1 uuur 2 uuur
AM AB AC
2
3
Bài 60:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao
cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.
a) Chứng minh rằng :
uuur 1 uuu
r 1 uuur
AK AB AC
4
6
b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
uuur 1 uuu
r 1 uuur
KD AB AC
4
3
Bài 7:
uuur
uuu
r
Giả sử C là điểm trên đường thẳng AB sao cho AC k AB . Khi đó với mọi điểm M ta
có:
uuuu
r
uuur uuur
MC 1 k .MA k MB
Bài 8:
r uuur r
uuu
r
uuu
r uuu
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm P, Q sao cho PA 2 PB , 3QA 2QC 0 .
uuur
uuu
r uuur
a) Hãy biểu diễn PQ theo PA , PC .
b) Chứng minh PQ đi qua trọng tâm G của tam gaics ABC.
Bài 9:
C
B
B
A
C
A
D
O
O
E
D
F
E
- Xem thêm -