Tài liệu Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán (chuyên) năm học 2015-2016 trường thpt chuyên khoa học tự nhiên, hà nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN(VÒNG II) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I. (3 điểm) 1) Với a, b, c là các số thực thỏa mãn: (3a  3b  3c)3  24  (3a  b  c)3  (3b  c  a)3  (3c  a  b)3 Chứng minh rằng :  a  2b  b  2c  c  2a   1 2 x  2 y  xy  5  2) Giải hệ phương trình:  3 3 2 27( x  y )  y  7  26 x  27 x  9 x Câu II. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để n  5 và n  30 đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên) 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 1  x  y  3  x  y 3) Giả sử x, y, z là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z P   y z4 z x4 x y4 Câu III.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân với AB  AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM.Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN  2MH 1) Chứng minh rằng BN  AC 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N .Đường thẳng AC cắt BQ tại D .Chứng minh rằng bốn điểm B, D, N , C cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là  O  3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt  O  tại G khác D .Chứng minh rằng NG song song với BC Câu IV.(1 điểm) Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Câu 1: 1. 3a  b  c  x  Đặt 3b  c  a  y  3c  a  b  z  Ta có: (3a  3b  3c)3  24  (3a  b  c)3  (3b  c  a )3  (3c  a  b)3  ( x  y  z )3  24  x 3  y 3  z 3  ( x  y  z )3  24  ( x  y  z )3  3( x  y )( y  z )( z  x)  24  3( x  y )( y  z )( z  x)  0  24  3(2a  4b)(2b  4c)(2c  4a )  0  24  24(a  2b)(b  2c)(c  2a )  0  (a  2b)(b  2c)(c  2a )  1 2. Ta có : 2 x  2 y  xy  5   3 3 2 27( x  y )  y  7  26 x  27 x  9 x ( x  2)( y  2)  9   3 3 2 27( x  y )  y  7  26 x  27 x  9 x  y 3  x3  7  3( x  y )( x  2)( y  2)  27 x3  27 x 2  9 x  y 3  x3  8  3xy ( x  y )  12( x  y )  6( x  y )2  (3x  1)3  ( x  y  2)3  (3 x  1)3  x  y  2  3 x  1  y  1  2x x  1  y  1   x  2   2 x  1  9    x  3,5  y  8 Vậy  x, y   1,1 ;  3,5, 8  Câu 2: 1)  n  5  x2 Đặt   x, y  , x, y  0  2 n  30  y  y 2  x 2  25  ( y  x)( y  x)  1.25 vì  x, y  , x, y  0   y  x 1  y  13 Lại có y  x  y  x nên    y  x  25  x  12 Thay vào ta tính được n  139 thoả mãn 2) Ta thấy : 1  x  y  3  x  y và x, y   x  y  3, x , y  Đặt x  a, y  b, x  y  3  c  a, b, c    x, y là các số chính phương. a  b  c  1 a  b  c  1    x  y  a 2  b2   2 2 2 c  a  b  3  x  y  3  c2  2   a  b  1  a 2  b 2  3  2a  2b  2ab  3   a  1 b  1  2 a  2  x  4   b  3  y  9  a  3  x  9    b  2  y  4 3) Ta có : P x y z   y z4 z x4 x y4 P  4x 4y 4z   4 y z4 4 z x4 4 x y4 4x 4y 4z   y z 44 x z 44 x y44  x y z   4   6  yz xz x y Dấu = xảy ra khi x  y  z  4 x  4  y  9 Q N G D A H B C M P a P là điểm đối xứng của A qua M.  HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN  H là trung điểm của NP. Mà BH  NP  Tam giác PNB cân tại B BN = BP. Mặt khác lại có: M là trung điểm của BC, AP  Tứ giác ACPB là hình bình hành  AC = BP  AC = BN b,Do tứ giác ACPB là hình bình hành  PAC  APB Mà tam giác PBN cân tại B  APB  ANB  ANB  PAC  CAN  BNQ Có: AC = NB, NQ = AN  BNQ  CAN  NBD  NCD  N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. C, G là giao điểm (DQG) với (DBC)  CAG  BQG Mà GBQ  GCA  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA  GA GQ GA GQ    AC QB NB NC Mà BNC  BDC  AGQ  Tam giác NBC đồng dạng với tam giác GAQ  GQA  NCB  NCB  GDC  GC = NB  NG//BC Câu 4. Giả sử trên mặt phẳng có n điểm thẳng hàng thì tồn tại một đường thẳng . Theo bài ra các điểm đã cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên tồn tại ít nhất một điểm không cùng nằm trên đường thẳng đó nối điểm đó với n- 1 điểm đã cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng. Thay n = 2015 thì tồn tại ít nhất 2015 đường thẳng