Mô tả:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi :TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên)
Thời gian làm bài 120 phút
2
a b 1 1
1
b a a b
Câu 1. (2.5 điểm) Cho biểu thức P 2
với a > 0, b > 0 a b
a b2 a b
b2 a 2 b a
1
1. Chứng minh p
.
ab
2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a b ab 1 . Tìm min P.
Câu 2. (2 điểm) cho hệ phương trình.
x my 2 4m
mx y 3m 1
Với m là tham số
1. Giải phương trình khi m = 2.
2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0, y0) là một nghiệm của của hệ
phương trình. Chứng minh đẳng thức x02 y02 5 x0 y0 10 0 .
Câu 3. (1.5 điểm)
2
2
Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a x a b x b 0
Có nghiệm duy nhất. Chứng minh a b
Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 600 . Các
đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.
1. Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp.
2. Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác
BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp.
3. Chứng minh AK B1C1 .
Câu 5. (1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn:
3 2
3
1
1
2
a b b a 2a 2b
4
4
2
2
Hướng dẫn giải
Câu 1 (2.5 điểm)
2
a b 1 1
1
b a a b
1. Cho biểu thức P 2
với a>0 , b>0 a b
a b2 a b
b2 a 2 b a
2
2
2
a 2 b 2 ab a 2ab b a 4 b 4 a 3b ab3
a b 1 1
1
ab
a 2b 2
1
b a a b
a 3b 3
P 2
2
4
4
3
3
4
4
3
3
a b a b
a b a b ab
a b a b ab
ab
2
2
2 2
2 2
b
a b a
ab
ab
2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a b ab 1 . Tìm min P
Áp dụng bât đẳng thức cosi ta có
1 4a b ab 5 ab
1
25
ab
Dấu bằng xảy ra khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100b2 suy ra b
1
2
a
10
5
Câu 2 (2 điểm) cho hệ phương trình.
x my 2 4m
mx y 3m 1
Với m là tham số
1 Giải phương trình khi m = 2
2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ
phương trình .chứn minh đẳng thức x02 y02 5 x0 y0 10 0 1.
1. Thay m = 2 ta có
19
y 5
x 2 y 6
2 x 4 y 12
5 y 19
2 x y 7
2 x y 7
2 x y 7
2 x 19 7
5
19
y 5
x 9
5
x my 2 4m
x my 2 4m
mx y 3m 1
m(my 2 4m) y 3m 1
x my 2 4m
2. 2
2
m y 2m 4m y 3m 1
3m 2 3m 2
x my 2 4m
x
x my 2 4m
m2 1
2
2
m
1
4
m
2
2
(m 1) y m 1 4m
y
y m 1 4m
2
m 1
m2 1
Vì m2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.
2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của
hệ phương trình .chứn minh đẳng thức x02 y02 5 x0 y0 10 0 1.
3m 2 3m 2
x
0
m2 1
Thay
2
y m 1 4m
0
m2 1
2
2
x02 y02 5 x0 y0 10 x0 3 y0 4 x0 3 y0 15
2
2
3m 2 3m 2 3m 2 3 4m 2 m 1 4m 2 4
15
m2 1
m2 1
Ta có
2
3m 2 3m 2 3m 3 12m2 3m 1 m 3
2
2
m2 1
m2 1
m 1 m 1
3m 2 3m 2 3m 3 12m2
15 0
m2 1
m2 1
x02 y02 5 x0 y0 10 0
2
Cách 2. x02 5 x0 6 y02 5 y0 4 0
x0 3 x0 2 y0 1 y0 4 0
3m 2 3m 2
x
0
m2 1
Thay
ta đươc . x02 y02 5 x0 y0 10 0
2
y m 1 4m
0
m2 1
Câu 3 (1.5 điểm)
2
2
Cho a, b là các số thực khác o . Biết rằng phương trình a x a b x b 0
Có nghiệm duy nhất . Chứng minh a b
2
2
a x a b x b 0
ax 2 2ax a 3 bx 2 2bx b3 0
x 2 a b 2 x a 2 b 2 a 3 b3 0
Nếu a + b = 0 thi phương trình có nghiệm x = 0.
Nếu a + b 0. ta có
2
2 a 2 b 2 a b a 3 b 3
2
2a 2b 2 ab3 a 3b ab a b
Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m
Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm
Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và 0 suy ra a b .
Câu 4
A
B1
C1
I
B
K
C
1. Ta có B1 IC1 BIC 120o B1 IC1 BAC 120o 60o 1800 . Mà hai góc này đối nhau
Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm).
2. Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên BIC1 BKC1 60o (góc nội tiếp cùng chắn BC1 )
Và BIK BC1 K ( góc nội tiếp cùng chắn BK )
Xét tam giác ABC: KCB1 180o BAC ABC 180o 60o ABC 1200 ABC
Xét tam giác BC1K: BIK BC1 K 180o BKC1 ABC 180o 60o ABC 1200 ABC
Suy ra KCB1 BIK Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm).
3. Vì BIC1 BAC 60o Tứ giác ACKC1 nội tiếp KAC1 KCC1 (cùng chắn cung KC1)
Và AKC1 ACC1 (cùng chắn cung AC1). Mà ACC1 KCC1 (GT)
Suy ra KAC1 AKC1 Tam giác C1AK cân tại C1 C1A = C1K (1)
CMTT: B1A = B1K (2)
Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nên AK B1C1 (đpcm
Câu 5 (1 điểm). Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn
3 2
3
1
1
2
a b b a 2a 2b
4
4
2
2
Áp dụng bất đẳng thức cosi
3 2
3 2 1
1 2 1
1
1
2
a b b a a b b a a b
4
4
4
2
4
2
2
2
1
1
1
a b 2a 2b .
2
2
2
Dấu bằng xảy ra khi a= b = ½
2
- Xem thêm -