Tài liệu đề thi toán cao cấp

Câu 1. Trình bày và chứng minh phương trình Chapman - Kolmogorov. Câu 2. Cho xích Markov thuần nhất (Xn ), n = 0, 1, 2. . . . với không gian trạng thái E = {0, 1, 2} và ma trận xác suất chuyển  0.2 0.2 0.6    P =  0.2 0.6 0.2    0.6 0.2 0.2 Biết phân phối ban đầu P (X0 = 0) = 0.6, P (X0 = 1) = 0.2, P (X0 = 2) = 0.2; Hãy tính 1. P (X0 = 0|X2 = 1) 2. P (X1 = 1, X3 = 2|X1 = 0) 3. P (X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2|X3 = 0) Câu 3. Chứng minh rằng hàm K(h) = a2 cos(λh) xác định không âm, với λ ∈ R và a > 0. Câu 4. Xét dãy (Xn ) xác định như sau Xn = Wn + aWn−1 , với a là hằng số thực, và (Wn ) là dãy ồn trắng. Tính hàm trung bình và hàm tự tương quan của dãy (Xn ), dãy này có phải là dãy dừng hay không?