bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼nG n¨m 2002
-----------------------------M«n thi : to¸n
§Ò chÝnh thøc
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)
_____________________________________________
C©u I (§H : 2,5 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)
Cho hµm sè :
y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 (1) ( m lµ tham sè).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi m = 1.
2. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh:
− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0
cã ba nghiÖm ph©n biÖt.
3. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1).
C©u II.(§H : 1,5 ®iÓm; C§: 2,0 ®iÓm)
log 32 x + log 32 x + 1 − 2m − 1 = 0
Cho ph−¬ng tr×nh :
1
(2) ( m lµ tham sè).
m = 2.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2) khi
2. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (2) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [ 1 ; 3 3 ].
C©u III. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,0 ®iÓm )
cos 3x + sin 3x
1. T×m nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 2π ) cña ph−¬ng tr×nh: 5 sin x +
= cos 2 x + 3.
1 + 2 sin 2 x
2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng:
y =| x 2 − 4 x + 3 | , y = x + 3.
C©u IV.( §H : 2,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm)
1. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S . ABC ®Ønh S , cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M vµ N lÇn l−ît
lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC. TÝnh theo a diÖn tÝch tam gi¸c AMN , biÕt r»ng
mÆt ph¼ng ( AMN ) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SBC ) .
2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®−êng th¼ng:
x = 1+ t
x − 2y + z − 4 = 0
vµ ∆ 2 : y = 2 + t .
∆1 :
x + 2 y − 2z + 4 = 0
z = 1 + 2t
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 vµ song song víi ®−êng th¼ng ∆ 2 .
b) Cho ®iÓm M (2;1;4) . T×m to¹ ®é ®iÓm H thuéc ®−êng th¼ng ∆ 2 sao cho ®o¹n th¼ng MH
cã ®é dµi nhá nhÊt.
C©u V.( §H : 2,0 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , xÐt tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A ,
ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng BC lµ 3 x − y − 3 = 0, c¸c ®Ønh A vµ B thuéc trôc hoµnh vµ
b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp b»ng 2. T×m täa ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC .
2.
Cho khai triÓn nhÞ thøc:
n
n
n −1
n −1
−x
x2−1
−x
x −1
x −1 − x
x −1 − x
2 + 2 3 = C n0 2 2 + C n1 2 2 2 3 + L + C nn −1 2 2 2 3 + C nn 2 3
3
1
( n lµ sè nguyªn d−¬ng). BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã C n = 5C n vµ sè h¹ng thø t−
b»ng 20n , t×m n vµ x .
----------------------------------------HÕt--------------------------------------------Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u V.
n
2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh:....................................................
Sè b¸o danh:.....................
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
-------------------------------------
C©u
ý
I
1
Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm
m«n to¸n khèi A
Néi dung
§H
m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2
x = 0
y' = 0 ⇔ 1
x2 = 2
TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y ' = −3 x 2 + 6 x = −3x( x − 2) ,
y" = −6 x + 6 = 0,
C§
∑1,0 ® ∑1,5 ®
0,25 ®
0,5®
0,5 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
y" = 0 ⇔ x = 1
B¶ng biÕn thiªn
−∞
x
0
−
y'
+∞
0
+
0
−
lâm
U
4
CT
0
2
C§
låi
x = 0
y=0⇔
,
x = 3
§å thÞ:
+∞
2
+
0
y"
y
1
−
−∞
y (−1) = 4
y
4
2
-1
0
1
2
3
x
( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn)
1
I
2
C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x = −k 3 + 3k 2 .
§Æt a = − k 3 + 3k 2 Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x 3 + 3 x 2 = a
cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4
−1 < k < 3
0≠k <3
0≠k <3
⇔
⇔
⇔
2
2
k ≠ 0 ∧ k ≠ 2
(k + 1)(k − 4k + 4) > 0
(k + 1)(k − 2 ) > 0
C¸ch II. Ta cã
− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0
cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k = 0
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k
∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0
−1 < k < 3
⇔ 2
⇔
2
2
k ≠ 0 ∧ k ≠ 2
k + k − 3k + k − 3k ≠ 0
[
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
-----------
-----------
0,25®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0 ® ∑1,0 ®
3
C¸ch I.
x = m −1
y' = 0 ⇔ 1
x2 = m + 1
Ta thÊy x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1 vµ x 2 .
y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2
Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ
M 1 m − 1;− m 2 + 3m − 2
vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2
lµ:
y ' = −3x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,
(
)
(
)
x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2
=
⇔ y = 2x − m2 + m
2
4
'
2
C¸ch II. y = −3x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 ,
Ta thÊy
2
2
∆' = 9m + 9(1 − m ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 ≠ x 2
vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 .
Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2
m
1
= x − − 3 x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x − m 2 + m.
3
3
Tõ ®©y ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m .
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2 x − m 2 + m .
(
II
∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ®
)
1.
Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0
2
3
2
3
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
----------
-----------
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
∑ 0,5 ®
∑1,0 ®
0,25 ®
0,5 ®
§iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 32 x + 1 ≥ 1 ta cã
t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0
t = −3
.
⇔1
t2 = 2
2
t1 = −3 (lo¹i) ,
t 2 = 2 ⇔ log 32 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ±
3
0,25 ®
0,5 ®
x = 3 ± 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 .
(ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c)
∑1,0 ® ∑1,0 ®
2.
log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2)
2
3
2
3
§iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 32 x + 1 ≥ 1 ta cã
t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0
(3)
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
-----------
----------
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 32 x + 1 ≤ 2.
VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) cã
nghiÖm ∈ [ 1,2 ]. §Æt f (t ) = t 2 + t
C¸ch 1.
Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 .
Ph−¬ng tr×nh t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2]
f (1) ≤ 2m + 2
2 ≤ 2 m + 2
⇔
⇔
⇔ 0 ≤ m ≤ 2.
f (2) ≥ 2m + 2
2 m + 2 ≤ 6
C¸ch 2.
TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 .
t +t
1
Do 1 2 = − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m .
2
2
TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n
t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2
⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 .
(ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c )
III
1.
cos 3 x + sin 3 x
1
5 sin x +
= cos 2 x + 3 . §iÒu kiÖn sin 2 x ≠ −
1 + 2 sin 2 x
2
cos 3x + sin 3x
sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3 x + sin 3 x
Ta cã 5 sin x +
= 5
1 + 2 sin 2 x
1 + 2 sin 2 x
sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x
(2 sin 2 x + 1) cos x
=5
=5
= 5 cos x
1 + 2 sin 2 x
1 + 2 sin 2 x
2
VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0
1
π
cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ).
2
3
3
∑1,0 ® ∑1,0 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
5π
π
vµ x 2 =
. Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iÒu
3
3
1
5π
π
kiÖn sin 2 x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x1 =
vµ x 2 =
.
2
3
3
(ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c)
V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 =
2.
y
0,25 ®
0,25 ®
∑1,0 ® ∑1,0 ®
8
3
1
0
-1
-1
1
2
5
3
x
Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x 2 − 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 vµ x 2 = 5.
MÆt kh¸c | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy
5
(
1
)
(
3
)
(
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25®
0,25®
∑1®
∑1®
)
S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx
0
0
5
1
(
)
+ ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx
3
1
(
3
)
(
)
5
(
)
S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx
2
0
1
1
2
3
3
5
5
3
5
1
1
1
S = − x3 + x 2 + x3 − x 2 + 6x + − x3 + x 2
2 0 3
2
2 3
3
1 3
13 26 22 109
S= +
+
=
(®.v.d.t)
6
3
3
6
(NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc
| x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] )
IV
1.
4
S
N
I
M
A
C
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
K
B
Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt
1
a
⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN .
2
2
Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN
⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN .
(SBC )⊥( AMN )
(SBC ) ∩ ( AMN ) = MN
MÆt kh¸c
⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK .
AI ⊂ ( AMN )
AI⊥MN
Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK =
a 3
.
2
3a 2 a 2 a 2
SK = SB − BK =
−
=
4
4
2
2
2
2
2
SK
⇒ AI = SA − SI = SA −
=
2
2
Ta cã
2
S ∆AMN
2
3a 2 a 2 a 10
.
−
=
4
8
4
a 2 10
1
= MN . AI =
(®vdt)
2
16
chó ý
1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau:
BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI .
2) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é:
Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho
a
a
− a 3 − a 3
K (0;0;0), B ;0;0 , C − ;0;0 , A 0;
;0 , S 0;
;h
2
6
2
2
trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S. ABC .
5
2a)
C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 cã d¹ng:
α (x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 )
⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0
r
r
VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2
r r
n P .u 2 = 0
α − β = 0
(P ) // ∆ 2 ⇔
VËy (P ) : 2 x − z = 0
⇔
M 2 (1;2;1) ∉ (P )
M 2 ∉ (P )
∑ 0,5 ®
∑1,0 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
-----------
0,5 ®
-----------
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
0,5 ®
∑ 0,5 ®
∑1,0 ®
0,25 ®
0,5 ®
0,25 ®
----------0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®
----------0,5 ®
0,5 ®
Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆ 1 sang d¹ng tham sè nh− sau:
x = 2t '
Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ 1 suy ra 2 x − z = 0. §Æt x = 2t ' ⇒ ∆ 1 : y = 3t '−2
z = 4t '
r
⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // ∆ 1 .
(Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0
C¸ch II
r −2 1 1 1 1 −2
= (2;3;4) ).
vµ tÝnh u1 =
;
;
2
2
2
1
1
2
−
−
r
Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng (P) lµ :
r
r r
n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua M 1 (0;−2;0 )
r
vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 .
MÆt kh¸c M 2 (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 x − z = 0
2b)
b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3)
⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + 5
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi
t = 1 ⇒ H (2;3;3)
C¸ch II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) .
r
MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4)
2
V
1.
2
2
2
2
Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . §Æt x A = a ta cã A(a; o) vµ
(
∑1®
)
xC = a ⇒ y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 .
1
2a + 1 3 (a − 1)
xG = 3 ( x A + x B + x C )
.
;
Tõ c«ng thøc
ta cã G
1
3
3
yG = ( y A + y B + yC )
3
C¸ch I.
Ta cã :
AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã
6
0,25 ®
S ∆ABC =
Ta cã
VËy
1
3
(a − 1)2 .
AB. AC =
2
2
2
2S
3 (a − 1)
| a −1|
r=
=
=
= 2.
AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 |
3 +1
| a − 1 |= 2 3 + 2.
0,25 ®
0,25 ®
7+4 3 6+2 3
;
TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1
3
3
− 4 3 −1 − 6 − 2 3
.
;
TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2
3
3
C¸ch II.
y
C
0,25 ®
-----------
I
O
B
A
x
Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 .
x −1
Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg 30 0.( x − 1) =
⇒ xI = 1 ± 2 3 .
3
TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2
7+4 3 6+2 3
⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1
;
3
3
TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù
− 4 3 −1 − 6 − 2 3
;
ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2
3
3
0,25 ®
0,25 ®
∑1 ®
2.
Tõ
0,25 ®
C n3 = 5C n1 ta cã n ≥ 3 vµ
7
n!
n!
n(n − 1)(n − 2)
=5
⇔
= 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0
(n − 1)!
3!(n − 3)!
6
⇒ n1 = −4 (lo¹i) hoÆc n 2 = 7.
Víi n = 7 ta cã
x2−1
C 2
3
7
4
0,25 ®
0,25 ®
3
−3x
2 = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4.
8
0,5 ®
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003
----------------------
M«n thi: to¸n
Khèi D
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
_______________________________________________
§Ò chÝnh thøc
C©u 1 (2 ®iÓm).
x2 − 2 x + 4
(1) .
x−2
2) T×m m ®Ó ®−êng th¼ng d m : y = mx + 2 − 2m c¾t ®å thÞ cña hµm sè (1) t¹i hai ®iÓm
ph©n biÖt.
C©u 2 (2 ®iÓm).
x
x π
sin 2 − tg 2 x − cos 2 = 0 .
1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2
2 4
y=
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè
2
2
2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 x − x − 22 + x − x = 3 .
C©u 3 (3 ®iÓm).
1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy cho ®−êng trßn
2)
3)
(C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 4 vµ ®−êng th¼ng d : x − y − 1 = 0 .
ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C ') ®èi xøng víi ®−êng trßn (C ) qua ®−êng th¼ng d .
T×m täa ®é c¸c giao ®iÓm cña (C ) vµ (C ') .
Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho ®−êng th¼ng
x + 3ky − z + 2 = 0
dk :
kx − y + z + 1 = 0.
T×m k ®Ó ®−êng th¼ng d k vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( P) : x − y − 2 z + 5 = 0 .
Cho hai mÆt ph¼ng ( P) vµ (Q) vu«ng gãc víi nhau, cã giao tuyÕn lµ ®−êng th¼ng ∆ .
Trªn ∆ lÊy hai ®iÓm A, B víi AB = a . Trong mÆt ph¼ng ( P) lÊy ®iÓm C , trong
mÆt ph¼ng (Q) lÊy ®iÓm D sao cho AC , BD cïng vu«ng gãc víi ∆ vµ
AC = BD = AB . TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD vµ tÝnh kho¶ng
c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng ( BCD) theo a .
C©u 4 ( 2 ®iÓm).
1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
y=
x +1
2
x +1
trªn ®o¹n [ −1; 2] .
2
2) TÝnh tÝch ph©n
I = ∫ x 2 − x dx .
0
C©u 5 (1 ®iÓm).
Víi n lµ sè nguyªn d−¬ng, gäi a3n −3 lµ hÖ sè cña x3n −3 trong khai triÓn thµnh ®a
thøc cña ( x 2 + 1) n ( x + 2) n . T×m n ®Ó a3n −3 = 26n .
------------------------------------------------ HÕt -----------------------------------------------Ghi chó: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh:…………………………….. …….
Sè b¸o danh:…………………
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003
−−−−−−−−−−−−−
®¸p ¸n −thang ®iÓm
®Ò thi chÝnh thøc
M«n thi : to¸n Khèi D
Néi dung
®iÓm
2®iÓm
C©u 1.
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y =
x2 − 2 x + 4
.
x−2
1 ®iÓm
TËp x¸c ®Þnh : R \{ 2 }.
Ta cã y =
y ' = 1−
4
x2 − 2 x + 4
.
= x+
x−2
x−2
4
( x − 2)
2
=
x2 − 4 x
2
.
x=0
y'= 0 ⇔
x = 4.
( x − 2)
4
lim [ y − x ] = lim
= 0 ⇒ tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ lµ: y = x ,
x →∞
x →∞ x − 2
lim y = ∞ ⇒ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ: x = 2 .
0,25®
x→2
B¶ng biÕn thiªn:
x
y’
y
−∞
−∞
0
+ 0
−2
C§
2
−
−
4
0
+∞
+
+∞
+∞
CT
6
−∞
§å thÞ kh«ng c¾t trôc hoµnh.
§å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; −2).
0,5®
y
6
2
O
2
−2
4
x
2)
0,25®
1 ®iÓm
§−êng th¼ng d m c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt
4
⇔ ph−¬ng tr×nh x +
= mx + 2 − 2m cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2
x−2
⇔ (m − 1)( x − 2)2 = 4 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1.
VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m lµ m > 1.
1
0,5®
0,5®
C©u 2.
2®iÓm
x
x π
1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin 2 − tg 2 x − cos 2 = 0 (1)
2
2 4
§iÒu kiÖn: cos x ≠ 0 (*).
Khi ®ã
(1) ⇔
1 ®iÓm
1
π sin 2 x 1
1
−
cos
−
= (1 + cos x ) ⇔ (1 − sin x ) sin 2 x = (1 + cos x ) cos 2 x
x
2
2
2 cos x 2
⇔ (1 − sin x ) (1 − cos x)(1 + cos x) = (1 + cos x ) (1 − sin x)(1 + sin x)
⇔ (1 − sin x ) (1 + cos x)(sin x + cos x) = 0
0,5®
π
x = + k 2π
sin x = 1
2
⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π
tgx = −1
π
x = − + kπ
4
0,25®
( k ∈ Z) .
x = π + k 2π
KÕt hîp ®iÒu kiÖn (*) ta ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ:
x = − π + kπ
4
2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2
2
2 x − x − 22 + x − x = 3
( k ∈ Z) .
(1).
0,25®
1 ®iÓm
2
§Æt t = 2 x − x ⇒ t > 0 .
4
= 3 ⇔ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ (t + 1)(t − 4) = 0 ⇔ t = 4 (v× t > 0 )
t
2
x = −1
VËy 2 x − x = 4 ⇔ x 2 − x = 2 ⇔
x = 2.
x = −1
Do ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ
x = 2.
C©u 3.
1)
Khi ®ã (1) trë thµnh t −
0,5®
0,5®
3®iÓm
1 ®iÓm
Tõ (C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2)2 = 4 suy ra (C ) cã t©m I (1; 2) vµ b¸n kÝnh R = 2.
uur
§−êng th¼ng d cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ n = (1; −1). Do ®ã ®−êng th¼ng ∆ ®i qua
x −1 y − 2
I (1; 2) vµ vu«ng gãc víi d cã ph−¬ng tr×nh:
=
⇔ x+ y −3 = 0.
1
−1
Täa ®é giao ®iÓm H cña d vµ ∆ lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:
x − y −1 = 0
x = 2
⇔
⇒ H (2;1).
x + y − 3 = 0
y =1
Gäi J lµ ®iÓm ®èi xøng víi I (1; 2) qua d . Khi ®ã
x J = 2 xH − xI = 3
0,5
⇒ J (3;0) .
y
=
2
x
−
x
=
0
H
I
J
V× (C ') ®èi xøng víi (C ) qua d nªn (C ') cã t©m lµ J (3;0) vµ b¸n kÝnh R = 2.
0,25®
Do ®ã (C ') cã ph−¬ng tr×nh lµ: ( x − 3)2 + y 2 = 4 .
Täa ®é c¸c giao ®iÓm cña (C ) vµ (C ') lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:
( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 4
y = x −1
x = 1, y = 0
x − y − 1 = 0
⇔
⇔
⇔
2
2
2
x = 3, y = 2.
( x − 3)2 + y 2 = 4
( x − 3) + y = 4
2 x − 8 x + 6 = 0
VËy täa ®é giao ®iÓm cña (C ) vµ (C ') lµ A(1;0) vµ B (3; 2).
2
0,25®
2)
uur
Ta cã cÆp vect¬ ph¸p tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh d k lµ n1 = (1;3k ; −1)
r
uur
vµ n2 = (k ; −1;1) . Vect¬ ph¸p tuyÕn cña ( P) lµ n = (1; −1; −2) .
§−êng th¼ng d k cã vect¬ chØ ph−¬ng lµ:
r
uur uur
r
u = n1, n2 = (3k − 1; − k − 1; −1 − 3k 2 ) ≠ 0 ∀ k .
r r
3k − 1 − k − 1 −1 − 3k 2
Nªn
d k ⊥ ( P) ⇔ u || n ⇔
=
=
⇔ k = 1.
1
−1
−2
VËy gi¸ trÞ k cÇn t×m lµ k = 1.
1 ®iÓm
3)
1 ®iÓm
C
P
Ta cã (P) ⊥ (Q) vµ ∆ = (P) ∩ (Q), mµ
AC ⊥ ∆ ⇒ AC ⊥(Q) ⇒AC ⊥ AD, hay
0,5®
0,5 ®
CAD = 900 . T−¬ng tù, ta cã BD ⊥ ∆ nªn
H
BD ⊥(P), do ®ã CBD = 900 . VËy A vµ B
0,25®
A, B n»m trªn mÆt cÇu ®−êng kÝnh CD.
Vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu lµ:
CD 1
R=
=
BC 2 + BD 2
D
2
2
Q
1
a 3
0,25®
=
AB 2 + AC 2 + BD 2 =
.
2
2
Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC⇒ AH ⊥ BC. Do BD ⊥(P) nªn BD ⊥ AH ⇒AH ⊥ (BCD).
1
a 2
0,5®
VËy AH lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (BCD) vµ AH = BC =
.
2
2
∆
B
A
C©u 4.
2®iÓm
1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y =
y'=
1− x
2
3
( x + 1)
y ' = 0 ⇔ x = 1.
x +1
x2 + 1
trªn ®o¹n [ −1; 2] .
1 ®iÓm
.
0,5®
Ta cã y (−1) = 0, y(1) = 2, y (2) =
VËy max y = y (1) = 2
[ −1;2]
vµ
3
.
5
min y = y (−1) = 0.
[ −1;2]
0,5®
2
2) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x 2 − x dx .
1 ®iÓm
0
2
Ta cã x − x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 , suy ra
1
2
0
1
I = ∫ ( x − x 2 ) dx + ∫ ( x 2 − x) dx
1
0,5®
2
x 2 x3
x3 x 2
=
− + − = 1.
2
3
3
2
0
1
3
0,5®
C©u 5.
1®iÓm
C¸ch 1: Ta cã ( x + 1) = Cn0 x 2n + C1n x 2n − 2 + Cn2 x 2n − 4 + ... + Cnn ,
( x + 2) n = Cn0 x n + 2C1n x n −1 + 22 Cn2 x n − 2 + 23 Cn3 x n −3 + ... + 2n Cnn .
2
n
DÔ dµng kiÓm tra n = 1, n = 2 kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n.
Víi n ≥ 3 th× x3n −3 = x 2n x n −3 = x 2n − 2 x n −1.
Do ®ã hÖ sè cña x3n −3 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña ( x 2 + 1) n ( x + 2) n lµ
a3n −3 = 23.Cn0 .Cn3 + 2.C1n .C1n .
n=5
2n(2n2 − 3n + 4)
= 26n ⇔
VËy a3n −3 = 26n ⇔
n = − 7
3
2
VËy n = 5 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× n nguyªn d−¬ng).
C¸ch 2:
Ta cã
n
0,25®
hoÆc
n
1 2
( x + 1) ( x + 2) = x 1 +
1 +
x2 x
i n
k
n
n i −2i n k k − k
3n
3n
i 1
k 2
C
C
x
=x
=
∑ Cn x ∑ Cn 2 x .
∑ n ∑ n
i = 0 x 2 k = 0 x
i = 0
k =0
2
n
n
3n
0,75®
Trong khai triÓn trªn, luü thõa cña x lµ 3n − 3 khi −2i − k = −3 , hay 2i + k = 3.
Ta chØ cã hai tr−êng hîp tháa ®iÒu kiÖn nµy lµ i = 0, k = 3 hoÆc i = 1, k = 1 .
Nªn hÖ sè cña x3n −3 lµ a3n −3 = Cn0 .Cn3.23 + C1n .C1n .2 .
n=5
2n(2n2 − 3n + 4)
Do ®ã a3n −3 = 26n ⇔
= 26n ⇔
n = − 7
3
2
VËy n = 5 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× n nguyªn d−¬ng).
4
0,75®
0,25®
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
-----------------------------§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004
M«n thi : To¸n , Khèi A
Thêi gian lµm bµi : 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
--------------------------------------------------------------
C©u I (2 ®iÓm)
− x 2 + 3x − 3
(1).
2(x − 1)
1) Kh¶o s¸t hµm sè (1).
2) T×m m ®Ó ®−êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho AB = 1.
Cho hµm sè y =
C©u II (2 ®iÓm)
2(x 2 − 16)
1) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh
x −3
+ x −3 >
7−x .
x −3
1
⎧
⎪ log 1 (y − x) − log 4 y = 1
⎨ 4
⎪
x 2 + y 2 = 25.
⎩
2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
C©u III (3 ®iÓm)
(
)
1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho hai ®iÓm A ( 0; 2 ) vµ B − 3; − 1 . T×m täa ®é trùc
t©m vµ täa ®é t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c OAB.
2) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi,
AC c¾t BD t¹i gèc täa ®é O. BiÕt A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gäi M lµ trung ®iÓm
cña c¹nh SC.
a) TÝnh gãc vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng SA, BM.
b) Gi¶ sö mÆt ph¼ng (ABM) c¾t ®−êng th¼ng SD t¹i ®iÓm N. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABMN.
C©u IV (2 ®iÓm)
2
1) TÝnh tÝch ph©n I =
∫ 1+
1
x
dx .
x −1
8
2) T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña ⎡⎣1 + x 2 (1 − x) ⎤⎦ .
C©u V (1 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï, tháa m·n ®iÒu kiÖn cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3.
TÝnh ba gãc cña tam gi¸c ABC.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm.
Hä vµ tªn thÝ sinh............................................................................Sè b¸o danh.................................................
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
.....................
§¸p ¸n - Thang ®iÓm
®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004
...........................................
§Ò chÝnh thøc
C©u
I
M«n: To¸n, Khèi A
(§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang)
Néi dung
ý
I.1
§iÓm
2,0
(1,0 ®iÓm)
y=
− x 2 + 3x − 3
1
1
= − x +1−
.
2
2 ( x − 1)
2(x − 1)
a) TËp x¸c ®Þnh: R \ {1} .
b) Sù biÕn thiªn:
x(2 − x)
y' =
; y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 2 .
2(x − 1) 2
1
3
yC§ = y(2) = − , yCT = y(0) = .
2
2
§−êng th¼ng x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng.
1
§−êng th¼ng y = − x + 1 lµ tiÖm cËn xiªn.
2
B¶ng biÕn thiªn:
x
−∞
0
1
−
y'
y
0
+∞
0,25
0,25
+
+
−∞
−
0
−
+∞
3
2
+∞
2
1
2
−∞
0,25
c) §å thÞ:
0,25
1
I.2
(1,0 ®iÓm)
Ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi ®−êng th¼ng y = m lµ :
− x 2 + 3x − 3
= m ⇔ x 2 + (2 m − 3)x + 3 − 2 m = 0 (*).
2(x − 1)
0,25
Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi:
3
1
∆ > 0 ⇔ 4m 2 − 4m − 3 > 0 ⇔ m > hoÆc m < − (**) .
2
2
Víi ®iÒu kiÖn (**), ®−êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm A, B cã hoµnh
®é x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (*).
0,25
AB = 1 ⇔ x 1 − x 2 = 1 ⇔ x1 − x 2
⇔ (2 m − 3)2 − 4(3 − 2 m ) = 1 ⇔
2
=1 ⇔
m=
(x
+ x 2 ) − 4x1x 2 = 1
2
1
1± 5
(tho¶ m·n (**))
2
0,25
0,25
2,0
II
II.1
(1,0 ®iÓm)
§iÒu kiÖn : x ≥ 4 .
BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh:
0,25
2(x 2 − 16) + x − 3 > 7 − x ⇔ 2(x 2 − 16) > 10 − 2x
0,25
+ NÕu x > 5 th× bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc tho¶ m·n, v× vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m.
0,25
+ NÕu 4 ≤ x ≤ 5 th× hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh kh«ng ©m. B×nh ph−¬ng hai vÕ ta
2
®−îc: 2 x 2 − 16 > (10 − 2x ) ⇔ x 2 − 20x + 66 < 0 ⇔ 10 − 34 < x < 10 + 34 .
(
II.2
)
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 4 ≤ x ≤ 5 ta cã: 10 − 34 < x ≤ 5 . §¸p sè: x > 10 − 34
(1,0 ®iÓm)
§iÒu kiÖn: y > x vµ y > 0.
log 1 (y − x ) − log 4
4
⇔ − log 4
1
=1 ⇔
y
− log 4 (y − x ) − log 4
1
=1
y
3y
y−x
=1 ⇔ x =
.
y
4
0,25
0,25
0,25
2
⎛ 3y ⎞
2
ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh x + y = 25 ta cã: ⎜ ⎟ + y = 25 ⇔ y = ±4.
⎝ 4 ⎠
2
2
So s¸nh víi ®iÒu kiÖn , ta ®−îc y = 4, suy ra x= 3 (tháa m·n y > x).
VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ (3; 4).
III
III.1
0,25
0,25
3,0
(1,0 ®iÓm)
JJJG
+ §−êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi BA( 3 ; 3) cã ph−¬ng tr×nh 3x + 3y = 0 .
JJJG
§−êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi OA(0; 2) cã ph−¬ng tr×nh y = −1
JJJG
( §−êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi BO( 3 ; 1) cã ph−¬ng tr×nh 3x + y − 2 = 0 )
Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc trùc t©m H( 3 ; − 1)
+ §−êng trung trùc c¹nh OA cã ph−¬ng tr×nh y = 1.
§−êng trung trùc c¹nh OB cã ph−¬ng tr×nh 3x + y + 2 = 0 .
( §−êng trung trùc c¹nh AB cã ph−¬ng tr×nh
3x + 3y = 0 ).
0,25
0,25
0,25
2
Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
OAB lµ I − 3 ; 1 .
(
III.2.a
)
(1,0 ®iÓm)
(
)
+ Ta cã: C ( −2; 0; 0 ) , D ( 0; −1; 0 ) , M − 1; 0; 2 ,
JJJJG
SA = 2; 0; − 2 2 , BM = −1; −1; 2 .
(
)
Gäi α lµ gãc gi÷a SA vµ BM.
(
)
0,25
JJJG JJJJG
SA.BM
3
Ta ®−îc:
= JJJG JJJJG =
⇒ α = 30° .
2
SA . BM
JJJG JJJJG
JJJG
+ Ta cã: ⎡⎣SA, BM ⎤⎦ = −2 2; 0; − 2 , AB = ( −2; 1; 0 ) .
VËy:
JJJG JJJJG JJJG
⎡SA, BM ⎤ ⋅ AB
2 6
⎣
⎦
d ( SA, BM ) =
=
JJJG JJJJG
3
⎡SA, BM ⎤
⎣
⎦
JJJG JJJJG
cosα = cos SA, BM
(
(
III.2.b
0,25
)
)
0,25
0,25
0,25
(1,0 ®iÓm)
⎛
⎝
⎞
⎠
1
2
Ta cã MN // AB // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD ⇒ N⎜ 0; − ; 2 ⎟ .
(
)
(
)
JJJG ⎛
JJJG
1
⎞
SA = 2; 0; −2 2 , SM = − 1; 0; − 2 , SB = 0; 1; − 2 2 , SN = ⎜ 0; − ; − 2 ⎟
2
⎝
⎠
JJJG JJJG
⇒ ⎡⎣SA, SM ⎤⎦ = 0; 4 2; 0 .
1 JJJG JJJG JJG 2 2
VS.ABM = ⎡⎣SA,SM ⎤⎦ ⋅ SB =
6
3
(
)
(
VS.AMN =
)
1 ⎡ JJJG JJJG ⎤ JJJG
2
⋅
=
SA,SM
SN
⇒ VS.ABMN = VS.ABM + VS.AMN = 2
⎦
6⎣
3
0,25
0,25
0,25
0,25
2,0
IV
IV.1
(1,0 ®iÓm)
2
x
dx . §Æt: t = x − 1 ⇒ x = t 2 + 1 ⇒ dx = 2 tdt .
x −1
1
x = 1⇒ t = 0 , x = 2 ⇒ t = 1.
I=
∫ 1+
0,25
3
1
Ta cã: I = ∫
0
1
1
t2 +1
t3 + t
2 ⎞
⎛
2t dt = 2∫
dt = 2∫ ⎜ t 2 − t + 2 −
⎟ dt
1+ t
1
t
t
1
+
+
⎝
⎠
0
0
0,25
1
IV.2
1
⎡1
⎤
I = 2 ⎢ t 3 − t 2 + 2t − 2 ln t + 1 ⎥
2
⎣3
⎦0
⎡1 1
⎤ 11
I = 2 ⎢ − + 2 − 2 ln 2 ⎥ = − 4 ln 2 .
⎣3 2
⎦ 3
(1, 0 ®iÓm)
0,25
0,25
8
⎡⎣1 + x 2 (1 − x ) ⎤⎦ = C80 + C18 x 2 (1 − x ) + C82 x 4 (1 − x ) + C83 x 6 (1 − x ) + C84 x 8 (1 − x )
2
3
4
+ C85 x10 (1 − x ) + C86 x12 (1 − x ) + C87 x14 (1 − x ) + C88 x16 (1 − x )
5
6
7
8
BËc cña x trong 3 sè h¹ng ®Çu nhá h¬n 8, bËc cña x trong 4 sè h¹ng cuèi lín h¬n 8.
0,25
0,25
VËy x8 chØ cã trong c¸c sè h¹ng thø t−, thø n¨m, víi hÖ sè t−¬ng øng lµ:
C83.C32 , C84 .C 04
Suy ra
0,25
a8 = 168 + 70 = 238 .
0,25
1,0
V
Gäi M = cos 2 A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3
= 2 cos 2 A − 1 + 2 2 ⋅ 2 cos
B+C
B−C
⋅ cos
−3.
2
2
A
B−C
A
> 0 , cos
≤ 1 nªn M ≤ 2 cos 2 A + 4 2 sin − 4 .
2
2
2
2
MÆt kh¸c tam gi¸c ABC kh«ng tï nªn cos A ≥ 0 , cos A ≤ cos A . Suy ra:
A
A⎞
A
⎛
M ≤ 2 cos A + 4 2 sin − 4 = 2⎜ 1 − 2 sin 2 ⎟ + 4 2 sin − 4
2
2⎠
2
⎝
Do sin
0,25
0,25
2
A
A
A ⎞
⎛
= −4 sin
+ 4 2 sin − 2 = −2⎜ 2 sin − 1 ⎟ ≤ 0 . VËy M ≤ 0 .
2
2
2
⎝
⎠
2
⎧
⎪cos 2 A = cos A
⎪
B−C
⎪
Theo gi¶ thiÕt: M = 0 ⇔ ⎨cos
=1
2
⎪
1
⎪ A
⎪sin 2 =
2
⎩
0,25
⎧A = 90°
⎩B = C = 45°⋅
⇔⎨
0,25
4
Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
----------------------ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005
Môn: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
----------------------------------------
C©u I (2 điểm)
Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y = m x +
1
x
(*)
( m là tham số).
1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
4
2) Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C m ) đến tiệm
1
cận xiên của (Cm ) bằng
.
2
C©u II (2 điểm)
1) Giải bất phương trình
5x − 1 −
x −1 >
2x − 4.
cos 2 3x cos 2x − cos 2 x = 0.
2) Giải phương trình
C©u III (3 ®iÓm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
d1 : x − y = 0 và d 2 : 2x + y − 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d 2
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
x −1 y + 3 z − 3
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :
=
=
và mặt
2
1
−1
phẳng (P) : 2x + y − 2z + 9 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình
tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông
góc với d.
C©u IV (2 điểm)
π
2
sin 2x + sin x
dx.
1
+
3cos
x
0
2) Tìm số nguyên dương n sao cho
+1
C12n +1 − 2.2C 22n +1 + 3.22 C32n +1 − 4.23 C 42n +1 + L + (2n + 1).2 2n C 2n
2n +1 = 2005
1) Tính tích phân I =
∫
( Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử).
C©u V (1 điểm)
1 1 1
+ + = 4. Chứng minh rằng
x y z
1
1
1
+
+
≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
------------------------------ Hết ----------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh .................................................……
số báo danh........................................
- Xem thêm -
.PDF 
75 
465 
59 
