Tài liệu đề thi cao học trường đại học mở năm 2012 môn toán kinh tế

http://www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 BÀI GIẢI GỢI Ý MÔN TOÁN KINH TẾ 2012 – ĐẠI HỌC MỞ Phần Toán Cao Cấp ( 4 điểm) Câu 1. Cho hệ phương trình :  x −x 3  1 +x 2  x  1 +2x 2 −2x 3 2x 1 −x 2 +3x 3  −x 3 2x 1 +x 2 3x 4 = 12 +x 4 =3 =9 +mx 4 = 21 Tìm tất cả các giá trị m để hệ trên có nghiệm. Giải. 1 1 −1 3  1 2 −2 1 Lập ma trận mở rộng A = (A | B ) =  2 −1 3 0 2 1 −1 m   1 d 3 → d 3 + 3d2 0  d 4 → d 4 + d2 0 












  0  1 1 − 1 12 3 12   d → d2 − d1   0 1 −1 −2 −9  3  2  d → d3 − 2d1  9  3 −6 −15 0 −3 5 d4 → d4 − 2d1   0 −1 1 m − 6 −3  21












   1 −1 3 12   1 −1 −2 −9   = A = A' B ' 0 2 −12 −42  0 0 m − 8 −12 ( ) Để hệ có nghiệm điều kiện cần và đủ là: r (A ') = r (A) ⇔ m − 8 ≠ 0 ⇔ m ≠ 8 . Khi đó hệ có nghiệm duy nhất. lim x → 0+ lim x . ln(x ) Câu 2. Tính giới hạn lim+ x x = e x → 0+ =e l n(x ) 1/x L ' hospital lim = lim (−x ) 2 1 x → 0+ −1/x x → 0+ x = e0 = 1 x →0 Câu 3. Công ty sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm trên 2 thị trường riêng biệt. Với i= 1, 2, gọi Qi là khối lượng sản phẩm cung cấp cho thị trường thứ i, Pi là đơn giá trên thị trường thứ i và Ri là doanh thu trên thị trường thứ i, trong đó doanh thu Ri = Pi * Qi . Giả sử Q1 = 70 − P1 / 10; Q2 = 80 − P2 / 5 . Hãy tìm các khối lượng sản phẩm Qi sao cho lợi nhuận π = R1 + 2R2 − Q 2 + 30Q − 100 đạt giá trị cao nhất, trong đó tổng sản lượng Q = Q1 + Q2 Giải. P1 = 700 − 10Q1; P2 = 400 − 5Q2 Hàm lợi nhuận của công ty là π = −11Q12 − 11Q22 − 2Q1Q2 + 730Q1 + 830Q2 − 100 Điều kiện cần để lợi nhuận đạt cực đại là  ' Q = 30 πQ1 = 0 ⇔ −22Q1 − 2Q2 + 730 = 0 ⇔  1  ' πQ = 0 ⇔ −2Q1 − 22Q2 + 830 = 0 Q2 = 35   2 Điều kiện đủ để lợi nhuận đạt cực đại là πQ'' Q = −22; πQ'' Q = −2; πQ'' Q = −22 1 1 1 2 2 2 −22 −2 . Do H 1 = −22; H 2 = = 480 −2 −22 Mail: [email protected]  H < 0  1 nên lợi nhuận đạt cực đại tại   H 2 > 0  1  Q1 = 30  Q2 = 35  Mail: [email protected] http://www.onthicaohoc.com Mr Đức 097 267 0808 0, 4 0,1 0, 3    Câu 4. Xét mô hình In-Out mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số đầu vào là A = 0, 4 0, 3 0,2    0,1 0,1 0, 4 a) Nếu ý nghĩa của hệ số a31 Để sản xuất 1 đơn vị đầu ra của ngành 1 cần một lượng nguyên liệu đầu vào của ngành 3 là a31=0,1 b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành, biết yêu cầu của ngành mở đối với 3 ngành trên là D= (16, 44, 73) Giải. x   1    Gọi X = x 2  là sản lượng đầu ra của 3 ngành. Ta có mối liên hệ giữa X và D được thể hiện qua phương trình:   x 3  −1 X = (I − A) * D T  6 −1 −3 B   11 B12  1  B − 1 B22 Đặt B = 10(I − A) = −4 7 −2 . Vậy B =   det B  21  −1 −1 6  B31 B32 B13   B23  , Bij = (−1)i + j det(Bij )  B33  Vì det(B ) = 181 ≠ 0 nên tồn tại B −1 40 9 23   1  26 33 24 B11 = (−1) = 40 , Tương tự ta tính được các Bij khác. Vậy B =  −1 6 181  11 7 38 40 9 23 40 9 23  16 150    − 1     10  10  26 33 24 . Vậy X = (I − A) . D = 26 33 24 44 = 200 Từ đó ta có (I − A)−1 = 10B −1 =       181  181   73 180 11 7 38 11 7 38    1+1 7 −2 −1 Phần Xác suất (2 điểm) Câu 1: (1 đ) Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh và 2 bi đỏ. Từ hộp này chọn ra 3 viên bi. a) Tính xác suất trong 3 viên bi này có ít nhất một viên bi màu trắng. b) Từ 3 viên bi ở trên chọn ra 1 viên bi thì được viên bi màu trắng. Tính xác suất để 2 viên bi còn lại là 2 viên bi xanh. Giải. a) Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một viên bi trắng. Khi đó A là biến cố trong 3 viên bi lấy ra không có viên bi trắng nào (chỉ là bi xanh hoặc đỏ). Ta có P (A) = 1 − P (A) = 1 − C 53 C 3 10 = 11 12 b) Gọi Tk là biến cố có k bi trắng trong số 3 viên bi lấy ra, k = 0,1,2,3. Ta có hệ biến cố {T0, T1, T2, T3} là đầy đủ. Gọi B là biến cố lấy được 1 bi trắng ở lần lấy thứ hai (tức là lấy được bi trắng trong 3 bi lấy ra ở lần lấy thứ nhất). Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có 3 P (B ) = ∑ P (Tk ) P (B / Tk ) = k =0 = C 53 C 103 ×0 + C 51C 52 C 103 × 2 1 3 0 1 C 5C 5 2 C 5C 5 3 + 3 × + × = 0, 5 3 3 3 C 10 C 103 Theo đề bài biến cố B đã xảy ra. Gọi Ci là biến cố có i bi xanh trong 2 bi còn lại. Ta cần tìm P(C2|B). Ta có Mail: [email protected] 2 Mail: [email protected] http://www.onthicaohoc.com P (C 2 | B ) = P (C 2B ) P (B ) Mr Đức 097 267 0808 C 51C 32 3C 103 = 0, 5 = 1 12 Câu 2: (1 đ) Một sản phẩm được xem là đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng X của nó sai lệch so với trọng lượng trung bình của nó không quá 2 g. Giả sử X có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 1,21g. Sản phẩm sản xuất ra được đóng thành từng kiện 400 sản phẩm. Kiện loại I là kiện có ít nhất 350 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất một kiện hàng được sản xuất ra là kiện hàng loại I. Cho: Φ(1,65) = 0,45; Φ(1,67) = 0,4525; Φ(1,96) = 0,475; Φ(2,05) = 0,48; Φ(2,18) = 0,4854; Φ(2,33) = 0,49 Giải. Theo đề bài X~N(µ,σ2) với σ=1,21(g). Gọi A là biến cố lấy được 1 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. 2  −2   2   = 2ϕ (1, 65) = 0, 9. P (A) = P X − µ ≤ 2 = P (µ − 2 ≤ X ≤ µ + 2) = ϕ   − ϕ   = 2ϕ   σ   σ  1, 21 ( ) Gọi B là biến cố lấy được kiện hàng loại I, gọi Y là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số 400 sản phẩm của kiện hàng. Khi đó Y~B(n,p) với n = 400, p = 0,9. Ta xấp xỉ Y~N(µ,σ2) với µ = 400×0,9 = 360, σ2 = 36 suy ra σ = 6.  400 − 360   350 − 360   − ϕ   = ϕ (6, 67 ) + ϕ (1, 67 ) = 0, 5 + 0, 4525 = 0, 9525 P (B ) = P (350 ≤ Y ≤ 400) = ϕ  6 6     Phần Thống kê ( 4 điểm ) Câu 1. Doanh nghiệp M công bố dây chuyền sản xuất linh kiện A có 90% sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Qua một cuộc điều tra ngẫu nhiên người ta thấy, trong 400 linh kiện A do dây chuyền của doanh nghiệp M sản xuất ra có 345 linh kiện đạt tiêu chuẩn kỹ thuật và 55 linh kiện không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số linh kiện A đạt tiêu chuẩn kỹ thuật, biết rằng tổng số linh kiện A do dây chuyền này sản xuất ra là 100.000 cái. b) Với mức ý nghĩa 5%, xét xem công bố của doanh nghiệp M có đáng tin cậy hay không? Giải. a) Bước 1: Gọi fA là tỷ lệ linh kiện A đạt tiêu chuẩn kỹ thuật theo mẫu khảo sát fA = mA n = 345 = 0, 8625 400 Bước 2: Tra bảng Laplace với độ tin cậy 95%, ta có ϕ(z α/2 ) = 0, 475 ⇔ z α/2 = 1, 96 . Bước 3: Tính độ chính xác ε = z α/2 * fA (1 − fA ) n = 0, 03375 Bước 4: Với độ tin cậy 95% thì khoảng ước lượng tỷ lệ số linh kiện A đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là ( ) pA ∈ ( fA − ε; fA + ε) = 0, 82875; 0, 89625 Với độ tin cậy 95% thì khoảng ước lượng số linh kiện A đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là MA N ( ) ( ) ∈ 0, 82875; 0, 89625 ⇔ M A = 100000 * 0, 82875; 0, 89625 = (82875; 89625) b) Bước 1: Gọi p0 là tỷ lệ linh kiện A đạt tiêu chuẩn kỹ thuật theo công bố của doanh nghiệp M Gọi pA là tỷ lệ linh kiện A đạt tiêu chuẩn kỹ thuật theo một cuộc điều tra H : p = p 0 A 0 Ta cần kiểm định cặp giả thuyết:   H 1 : pA ≠ p0 Bước 2: Theo câu a) ta có fA = 0, 8625 Bước 3: Tra bảng Laplace với mức ý nghĩa 5%, ta có giá trị tra bảng z α/2 = 1, 96 Mail: [email protected] 3 Mail: [email protected] http://www.onthicaohoc.com Bước 4: Giá trị kiểm định Z = Mr Đức 097 267 0808 fA − p0 n = p0 (1 − p0 ) 0, 8625 − 0, 9 400 = −2, 5 0, 9(1 − 0, 9) Bước 5: Vì Z > z α/2 nên ta bác bỏ H0. Kết luận: Với mức ý nghĩa 5% thì công bố của doanh nghiệp M không đáng tin cậy. Câu 2. Lấy ngẫu nhiên 250 sản phẩm trong kho của nhà máy Y, đem cân thì được kết quả như sau: X (kg) 10 10,05 10,10 10,15 10,20 10,25 10,30 Số sản phẩm 12 34 59 78 31 25 11 a) Giả sử trong kho có 10.000 sản phẩm. Với độ tin cậy 98%, hãy ước lượng tổng trọng lượng của các sản phẩm có trong kho. b) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng trọng lượng trung bình của các sản phẩm trong kho với độ chính xác 0,01 thì khi đó độ tin cậy bằng bao nhiêu? c) Bộ phận kiểm phẩm báo cáo rằng trọng lượng trung bình của các sản phẩm trong kho là 10,10 (kg). Với mức ý nghĩa 5%, xét xem báo cáo này có phù hợp hay không? Giải a) Bước 1: Gọi X là trọng lượng trung bình của một sản phẩm trong kho của nhà máy Y theo mẫu khảo sát 1 ∑ x in i = 10,1402(kg / sp) ; s = s 2 = 0, 0725(kg / sp) n Bước 2: Tra bảng Laplace ( do n =250 > 30) với ϕ(z α/2 ) = 0, 49 ⇔ z α/2 = 2, 33 X = Bước 3: Tính độ chính xác ε = z α/2 s = 2, 33 * 0, 0725 = 0, 0107(kg / sp) 250 n Bước 4: Với độ tin cậy 98% thì khoảng ước lượng tổng trọng lượng của các sản phẩm hiện có trong kho là ( ) N * µ ∈ 10000 * X − ε; X + ε = (101295;101509)(kg ) b) Theo đề bài ta có n= 250, độ chính xác ε = 0, 01 . Ta cần tìm độ tin cậy theo công thức ε = z α/2 s n ⇔ z α/2 = ε* n 0, 01 * 250 γ = = 2,18 ⇒ ϕ(2,18) = 0, 4854 = s 0, 0725 2 Kết luận: Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng trọng lượng trung bình của các sản phẩm trong kho đạt được độ chính xác ε = 0, 01 thì độ tin cậy là γ = 97, 08% c) Bước 1: Gọi µ0 = 10,1(kg ) là trọng lượng trung bình của sản phẩm theo báo cáo của bộ phận kiểm tra. Gọi µ là trọng lượng trung bình của sản phẩm trong kho trên thực tế. Ta cần kiểm định giả thuyết  H 0 : µ = µ0  H 1 : µ ≠ µ0  1 ∑ x in i = 10,1402(kg / sp) ; s = s 2 = 0, 0725(kg / sp) n Bước 3: Tra bảng Laplace ( do n= 250 > 30) ta có ϕ(z α/2 ) = 0, 475 ⇔ z α/2 = 1, 96 Bước 2: Theo câu a) ta có X = Bước 4: Giá trị kiểm định Z = X − µ0 s n = 10,1402 − 10,1 250 = 8, 7682 0, 0725 Bước 5. Do Z > z α/2 nên ta bác bỏ H 0 . Kết luận với mức ý nghĩa 5% thì báo cáo này không phù hợp. CHÚC CÁC HỌC VIÊN ĐẬU CAO HỌC 2012 *** Lưu ý: Đây chỉ là Đáp án Tham khảo, nếu có gì sai sót các bạn có thể phản hồi qua hộp mail: [email protected] hoặc [email protected] hoặc Mr Đức 097 267 0808 Mail: [email protected] 4 Mail: [email protected]