Tài liệu đề thi cao học trường đại học kinh tế quốc dân năm 2012 môn toán kinh tế (có đáp án) đề thi cao học toán kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC -----:----- ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC THÁNG 5/2012 MÔN THI: TOÁN KINH TẾ (Thời gian làm bài: 180 phút) BYDecision’s Blog: http://bydecision.wordpress.com/ Câu 1 (1 điểm): Một hãng sản xuất có đường cầu là Q = 1200 – 2P , với P là giá bán. a) Xác định giá bán P để doanh thu của hãng đạt cực đại. b) Nếu hãng đặt giá P1 = 280 thì doanh thu thay đổi bao nhiêu so với doanh thu cực đại. Câu 2 (1 điểm): Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp Q = 30K0,2L0,9 ; Trong đó Q là sản lượng (số sản phẩm), K là vốn (triệu đồng), L là lao động (người). a) Doanh nghiệp có hàm sản xuất có hiệu quả thay đổi như thế nào theo quy mô? b) Năng suất lao động đo bằng số sản phẩm/1 lao động. Tính tốc độ tăng của năng suất lao động theo vốn tại mức K0 = 100, L0 = 40. Câu 3 (3 điểm): Cho hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U(x1,x2) = x1x2, trong đó x1, x2 lần lượt là số lượng sản phẩm thứ nhất và thứ hai được tiêu dùng. Cho giá một đơn vị sản phẩm tương ứng với hai sản phẩm là p1, p2 , lợi ích hộ gia đình là u0 ; p1 , p2 , u0 > 0. a) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm lượng sản phẩm tiêu dùng mỗi loại sao cho lợi ích bằng u0 với ngân sách chi tiêu là cực tiểu. b) Với p1 = 8, p2 = 4, u0 = 8, hãy tìm lời giải cụ thể cho câu hỏi a). c) Với dữ kiện câu b) để lợi ích u0 tăng 1 đơn vị thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu? d) Để lợi ích u0 tăng 1% thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng bao nhiêu %? Câu 4 (2 điểm): Thu hoạch 41 điểm trồng loại đậu A và 30 điểm trồng loại đậu B, quan sát năng suất hai loại đậu người ta thu được các phương sai mẫu tương ứng là 9,53 (tạ/ha)2 và 8,41 (tạ/ha)2. Giả thiết rằng năng suất cả hai loại đậu là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. a) Với độ tin cậy 95% độ phân tán của năng suất loại đậu A tối thiểu là bao nhiêu? b) Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng độ phân tán về năng suất của hai loại đậu là như nhau không? c) Nếu biết độ phân tán về năng suất của loại đậu A đo bằng độ lệch chuẩn là 3 (tạ/ha) thì khả năng để trong mẫu gồm 41 điểm trồng loại đậu A có phương sai mẫu lớn hơn 5,9645 là bao nhiêu? Câu 5 (2 điểm): Kiểm tra ngẫu nhiên 16 bóng đèn loại A tính được tổng tuổi thọ của chúng là 19200 (giờ) và độ lệch chuẩn mẫu là 26,094 (giờ). Giả thiết tuổi thọ của bóng đèn loại A và loại B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. a) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn loại A với độ tin cậy 95% bằng khoảng tin cậy đối xứng. b) Phải chọn kích thước mẫu tối thiểu bằng bao nhiêu để với độ tin cậy 95% thì sai số của ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn loại A không vượt quá 5 (giờ). c) Độ phân tán của tuổi thọ bóng đèn loại B đo bằng độ lệch chuẩn là 20 (giờ). Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tuổi thọ bóng đèn loại B ổn định hơn bóng đèn loại A hay không? Câu 6 (1 điểm): Cho biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn và một mẫu ngẫu nhiên kích thước n lập từ X. Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước lượng hợp lý tối đa của E(X). Cho: P(χ2(40) > 26,509) = 0,95 ; P(χ2(40) > 55,7584) = 0,05 ; P(χ2(15) > 24,99) = 0,05 P(T(15) < 2,13) = 0,975 ; f0,025(40,29) = 2,028 ; f0,975(40,29) = 0,512. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm §¸p ¸n m«n to¸n Kinh tÕ (cao häc 2012) (C©u 6 xem s¸ch XSTK cña tr-êng nhÐ) C©u 1: Ph-¬ng tr×nh ®-êng cÇu: Q  1200  2P  P  600  0,5Q Hµm tæng doanh thu: TR  PQ  (600  0,5Q)Q  600Q  0,5Q2 a) Doanh thu cùc ®¹i: TRmax '  600  Q  0 TRQ  0   ''   Q  600  1  0 TR  0    Q Thay vµo hµm cÇu, ta ®-îc: P  600  0,5Q  600  0,5.600  300 VËy, ®Ó doanh thu cùc ®¹i th× gi¸ b¸n lµ P*=300 (s¶n l-îng Q*=600). b) NÕu gi¸ b¸n P1=280 th× s¶n l-îng lµ: Q1  1200  2P1  1200  2.280  640 Tæng doanh thu: TR1  P1 Q1  280.640  179200 Doanh thu cùc ®¹i: TR*  P*Q*  300.600  180000 Chªnh lÖch: TR  TR1  TR*  179200  180000  800 VËy, nÕu ®Æt gi¸ lµ 280 th× doanh thu gi¶m 800 ®¬n vÞ so víi doanh thu cùc ®¹i. C©u 2: Hµm s¶n xuÊt Q=30K0,2L0,9. a) XÐt sè thùc bÊt kú α>1. Ta cã: Q( K ,  L)  30( K )0,2 ( L)0,9  30( 0,2 K 0,2 )( 0,9 L0,9 )   1,1 (30 K 0,2 L0,9 ) V× α >1 nªn α 1,1> α do ®ã Q(αK, αL)> αQ(K,L). VËy hµm s¶n xuÊt cã hiÖu qu¶ t¨ng theo quy m«. b) N¨ng suÊt lao ®éng lµ: APL  Q 30 K 0,2 L0,9   30 K 0,2 L0,1 L L HÖ sè co gi·n cña APL theo K lµ: 1 EKAPL APL .100% %APL APL APL K K    .  ( APL )'K . K %K K APL APL .100% K K  30(0, 2 K 0,8 ) L0,1. 30 K 0,2 L0,1  0, 2 VËy, nÕu t¨ng vèn 1% (%K = 1%) th× NSL§ t¨ng 0,2% (%APL = 0,2%). Nãi c¸ch kh¸c, tèc ®é t¨ng cña NSL§ theo vèn lµ 0,2%. C©u 3: a) Hµm ng©n s¸ch chi tiªu: B = p1x1+p2x2 Ph-¬ng tr×nh rµng buéc vÒ lîi Ých: U = x1x2 = u0 (*) Ycbt  T×m gi¸ trÞ cùc tiÓu cña hµm môc tiªu B víi ®iÒu kiÖn rµng buéc (*). LËp hµm Lagrange: L = B + (u0 - U)  L = (p1x1+p2x2) + (u0 - x1x2) ( lµ nh©n tö Lagrange) §iÒu kiÖn cÇn: §Ó B ®¹t gi¸ trÞ cùc tiÓu th×:  L'x  0  p1   x2  0  1  '  Lx2  0   p1   x2  0  '  u0  x1 x2  0  L  0 (1) (2) (3) Tõ (1) vµ (2), ta cã:  p1 p2 px   x2  1 1 x2 x1 p2 (4) Tõ (3) vµ (4), ta cã: Suy ra:  x  u p 1 p 0 1 2  1   x2  u0 p1 p21 p   1  uo1 p1 p2 x2 Hµm sè cã ®iÓm dõng ( x10 , x20 , 0 )  2  u0 p11 p2 , u0 p1 p21 , uo1 p1 p2  §iÒu kiÖn ®ñ: XÐt ®Þnh thøc: 0 D  U1 U2 U1 U 2 L11 L12 L21 L22 Trong ®ã: U1  U x'  x2 ; 1 U 2  U x'  x1 ; L11  L''x x  0 ; L22  L''x x  0 ; 2 2 2 1 1 L12  L21  L '' x1 x2   ; Suy ra: 0 D  x2 x1 x2 0  x1   2 x1 x2  0 0 ( x1 , x2 ,  ) Do ®ã, ®iÒu kiÖn ®ñ ®-îc tháa m·n t¹i ®iÓm dõng ( x10 , x20 , 0 ) . VËy, víi rµng buéc lîi Ých U=u0 th× ng©n s¸ch chi tiªu cùc tiÓu khi ( x10 , x20 )  u0 p11 p2 , u0 p1 p21 .    x  8.81.4  2 b) Víi p1 = 8; p2 = 4; u0 =8 th×  1  x2  8.8.41  4 c) Nh©n tö Lagrange 0 lµ gi¸ trÞ cËn biªn cña ng©n s¸ch chi tiªu cùc tiÓu theo lîi Ých 0  Bmin B . Mµ 0  uo1 p1 p2  81.8.4  2 . Nªn 0  min  2 . uo uo VËy, nÕu lîi Ých u0 t¨ng 1 d¬n vÞ (u0=1) th× ng©n s¸ch chi tiªu cùc tiÓu t¨ng 2 ®¬n vÞ (Bmin=2). d) HÖ sè co gi·n cña ng©n s¸ch chi tiªu cùc tiÓu theo lîi Ých: EuBmin  o %Bmin %uo Bmin .100% u u Bmin B   min . o  0 . o uo uo Bmin Bmin .100% uo u0 = 8 ; 0 = 2 Do Bmin = p1x10+p2x20 = 8.2 + 4.4 = 32 ; Nªn EuBmin  o %Bmin 8  2.  0,5 . %uo 32 3 VËy, nÕu lîi Ých u0 t¨ng 1% (%u0=1%) th× ng©n s¸ch chi tiªu cùc tiÓu t¨ng 0,5% (%Bmin=0,5%). C©u 4: 2   X A  N ( A , A ) Gäi XA, XB t-¬ng øng lµ n¨ng suÊt cña hai lo¹i ®Ëu A vµ B:  2   X B  N (B , B ) a) Ta cã A lµ ®é ph©n t¸n cña n¨ng suÊt lo¹i ®Ëu A. Nªn ycbt  ¦L KTC bªn ph¶i cña tham sè A cña ph©n phèi chuÈn N(A, 2A). C«ng thøc kho¶ng tin cËy bªn ph¶i cña 2A lµ:  (nA  1) S A2  ;      2( nA 1)     víi S2A , nA lµ ph-¬ng sai vµ kÝch th-íc mÉu cña n¨ng suÊt lo¹i ®Ëu A. Qua mÉu cô thÓ, ta cã:  KÝch th-íc mÉu nA = 41 2(40)  §é tin cËy 1    95%  0,95    0,05  2( n 1)  0,05 2(40) )  0,05 MÆt kh¸c v× P(  2(40)  0,05 (theo t/c cña ph©n phèi 2) P(  2(40)  55,7584)  0,05 (theo gi¶ thiÕt) 2(40)  55,7584 Nªn 2( n 1)  0,05  Ph-¬ng sai mÉu s2A = 9,53 Thay sè, ta ®-îc kho¶ng tin cËy bªn ph¶i cña 2A lµ: A A  (41  1).9,53   55, 7584 ;     6,837;     Suy ra, kho¶ng tin cËy bªn ph¶i cña A lµ:   6,837;    2,615;   VËy, víi §TC 95%, ®é ph©n t¸n cña n¨ng suÊt lo¹i ®Ëu A tèi thiÓu lµ 2,615 (t¹/ha) b) Ta cã A, B lµ ®é ph©n t¸n cña n¨ng suÊt 2 lo¹i ®Ëu. Nªn ycbt  K§ 2 tham sè A, B cña 2 ph©n phèi chuÈn N(A, 2A) vµ N(B, 2B). H :    CÆp gi¶ thuyÕt:  0 A B  H1 :  A   B Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh: 4 F S A2  F (nA  1, nB  1) S B2 - S2A , nA lµ ph-¬ng sai vµ kÝch th-íc mÉu cña n¨ng suÊt lo¹i ®Ëu A - S2B , nB lµ ph-¬ng sai vµ kÝch th-íc mÉu cña n¨ng suÊt lo¹i ®Ëu B víi MiÒn b¸c bá:    F  f /2 (nA  1, nB  1)   W   F :      F  f1 /2 (nA  1, nB  1)   Qua mÉu cô thÓ, ta cã:  KÝch th-íc mÉu nA = 41; nB = 30  f /2 (nA  1, nB  1)  f 0,025 (40, 29)  2, 028  Møc ý nghÜa   5%  0, 05     f1 /2 (nA  1, nB  1)  f 0,975 (40, 29)  0,512   F  2, 028 Do ®ã, miÒn b¸c bá W   F :     F  0,512   Ph-¬ng sai mÉu s2A = 9,53; s2B = 8,41 Do ®ã, gi¸ trÞ quan s¸t cña tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh Fqs  9,53  1,133 8, 41 Ta thÊy Fqs W nªn ch-a cã c¬ së ®Ó b¸c bá Ho.. VËy, víi MYN 5%, cã thÓ cho r»ng ®é ph©n t¸n cña n¨ng suÊt 2 lo¹i ®Ëu lµ nh- nhau. c) Ta cã S2A lµ ph-¬ng sai mÉu cña n¨ng suÊt lo¹i ®Ëu A. Nªn ycbt  t×m P(S2A > 5,9645) C«ng thøc suy diÔn cña ph-¬ng sai mÉu:  2  P  A 12(nA 1)  S A2   1    nA  1  Cho  A2 nA  1 12(n A 1)  5,9645  12(nA 1)  5,9645. Víi nA = 41; A = 3 ta ®-îc 12(n A 1) nA  1  A2  12(40)  5,9645.  MÆt kh¸c, theo t/c cña ph©n phèi 2 th×: P   2(40)  12(40)    1    P   2(40)  26,509   1   Theo gi¶ thiÕt: 5 41  1  26,509 32 P   2(40)  26,509   0,95 Do ®ã: Hay 1    0,95 P  S A2  5,9645  0,95 VËy, kh¶ n¨ng trong mÉu cã 41 ®iÓm trång ®Ëu lo¹i A cã ph-¬ng sai mÉu lín h¬n 5,9645 lµ 95%. C©u 5: a) Gäi X lµ tuæi thä cña bãng ®Ìn lo¹i A: X  N ( ,  2 ) Ta cã  lµ tuæi thä trung b×nh cña bãng ®Ìn lo¹i A. Nªn ycbt  WL KTC ®èi xøng cña tham sè  cña ph©n phèi chuÈn N(, 2). C«ng thøc kho¶ng tin cËy ®èi xøng cña  lµ:  S ( n 1) S ( n 1)  X  t /2 ; X  t /2    n n   víi X , S2 , n lµ trung b×nh, ph-¬ng sai vµ kÝch th-íc mÉu tuæi thä bãng ®Ìn lo¹i A. Qua mÉu cô thÓ, ta cã:  KÝch th-íc mÉu n = 16 (15)  §é tin cËy 1    95%  0,95    0,05  t( n/21)  t0,025 (15) )  1  0,025  0,975 MÆt kh¸c v× P(T (15)  t0,025 (theo t/c cña ph©n phèi T) (15) (theo gi¶ thiÕt) P(T  2,13)  0,975 ( n 1) (15)  2,13 Nªn t /2  t0,025  Trung b×nh mÉu x   X i 19200   1200 n 16  §é lÖch chuÈn cña mÉu s = 26,094 Thay sè, ta ®-îc kho¶ng tin cËy ®èi xøng cña  lµ: 26, 094 26, 094   .2,13 ; 1200  .2,13  1200  16 16   = 1186,105 ; 1213,895  VËy, víi §TC 95%, kho¶ng tin cËy ®èi xøng cña tuæi thä trung b×nh bãng ®Ìn lo¹i A lµ (1186,105 ; 1213,895) (h). b) Gi¶ sö kÝch th-íc mÉu lµ N. 6 Sai sè cña -íc l-îng tuæi thä trung b×nh bãng ®Ìn lo¹i A lµ:  Do ®ã  S ( n 1) t /2 N   5 S  N   .t( n/21)  5  2  S ( n 1) t /2  5 N 2  26, 094  N  .2,13   123,566  5  VËy ph¶i chän kÝch th-íc mÉu tèi thiÓu lµ 124 (bãng ®Ìn). c) Ta cã , ’ lµ ®é ph©n t¸n (còng lµ ®é æn ®Þnh) cña tuæi thä 2 lo¹i bãng ®Ìn. Theo gi¶ thiÕt ’ = 20. Nªn tuæi thä cña bãng ®Ìn lo¹i B æn ®Þnh h¬n bãng ®Ìn lo¹i A nÕu  > 20. Ycbt  K§ tham sè  cña ph©n phèi chuÈn N(, 2).  H :   20 CÆp gi¶ thuyÕt:  0  H1 :   20 Tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh: 2  (n  1) S 2   2 (n  1) 202 víi S , n lµ ®é ph©n t¸n vµ kÝch th-íc mÉu tuæi thä bãng ®Ìn lo¹i A MiÒn b¸c bá: W   2 :  2  2( n1)  Qua mÉu cô thÓ, ta cã:  KÝch th-íc mÉu n = 16 2(15)  Møc ý nghÜa   5%  0,05  2( n1)  0,05 2(15) )  0,05 MÆt kh¸c v× P(  2(15)  0,05 P(  2(15)  24,99)  0,05 (theo t/c cña ph©n phèi 2) (theo gi¶ thiÕt) 2(15)  24,99 Nªn 2( n 1)  0,05 Do ®ã, miÒn b¸c bá W   2 :  2  24,99  §é ph©n t¸n mÉu s = 26,094 Do ®ã, gi¸ trÞ quan s¸t cña tiªu chuÈn kiÓm ®Þnh  qs2  (16  1)26, 0942  25,534 202 Ta thÊy  qs2 W nªn b¸c bá Ho, thõa nhËn H1. VËy, víi MYN 5%, cã thÓ cho r»ng tuæi thä bãng ®Ìn lo¹i B æn ®Þnh h¬n tuæi thä bãng ®Ìn lo¹i A. 7