Tài liệu (đề tài cấp bộ) một số bài toán về kỳ dị họ hàm

Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 1 mở đầu 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài. Xét họ hàm f : T × X → Y , xem T là tập tham số, trong đó: X,Y,T là các tập con trong các không gian vector thực hay phức. Các đối tượng có thể là mầm hàm hay hàm thuộc lớp: đại số, giải tích, semi-đại số, sub- giải tích, định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu (xem [D] hay [S]), . . . Dưới đây là một số bài toán về kỳ dị của họ hàm trên: Bài toán 1: Nghiên cứu tập các điểm trơn liên quan tới f. Chẳng hạn: Tập các điểm trơn của thớ. Tập các điểm trơn của f. Các kết quả liên quan: Các kết quả của Tamm, Kurdyka [K] về tập các điểm trơn của hàm sub-giải tích. Kết quả của Shiota-Koike [S-K] về tập các điểm trơn của thớ hàm semiđại số. Bài toán 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập T’ T cùng lớp đối tượng, dim T’< dim T, sao cho trên T T’ các hàm của họ là tương đương. Nếu kết quả là khẳng định, thì số lớp tương đương trong họ hàm là hữu hạn. Nếu ngược lại, thì xảy ra ‘moduli’. Điều này phụ thuộc vào quan hệ tương đương. Các quan hệ tương đương đang được quan tâm: Tương đương topo. Tương đương khả vi liên tục đến cấp k. Tương đương bi-Lipschitz. Tương đương nổ giải tích theo định nghĩa của Kuo [Kuo]. Các kết quả liên quan: Các kết quả của Whitney, Thom, Mather, Varchenko, Fukuda, Loi, Shiota, Coste, . . . (xem [G] hay [S]) cho câu trả lời khẳng định khi Y=R, f định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu, với quan hệ tương đương topo. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 2 Các kết quả của Mostowski [M], Parusinski [P] về tồn tại tương đương bcho họ tập sub-giải tích. Các phản ví dụ của Henry-Parusinski [H-P] cho câu trả lời phủ định cho mầm hàm đại số với quan hệ tương đương bi-Lipschtz. Bài toán 3: Tìm các bất biến để các hàm tương đương theo quan hệ được xét. Các kết quả liên quan: Các kết quả của Tráng-Ramanujam [T-R], Timouran về họ có số Milnor hằng là tương đương topo. Koike-Paunesku [K-P] chứng minh chiều của hướng của một tập sub-giải tích là bất biến bi-Lipschitz. Các bất biến được đưa ra bởi Henry-Parusinski [H-P]. Các bất biến để phân loại kỳ dị ánh xạ khả vi của Thom, Arnold, . . . (xem [A]) Bài toán 4: Nghiên cứu dạng định lượng của các bài toán nêu trên. Chẳng hạn: Các dữ liệu được đánh giá thông qua độ phức tạp của các đối tượng tham gia (e.g. số biến, bậc,. . . ). Các đánh giá tường minh để có thể áp dụng trong Giải tích số. Các kết quả liên quan: Các kết quả định lượng trong lý thuyết Kỳ dị của Yomdin [Y] hay [Y-C]. Đề tài cấp bộ B2007-14-09, T.L.Lợi chủ nhiệm. Danh mục các công trình liên quan a) Của chủ nhiệm đề tài và những người tham gia thực hiện đề tài Ta Lê Loi: (2002) Stratification of families of Functions Definable in O-minimal Structures, Acta Mathematica Vietnamica Vol.27-2. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 3 (2003) Tame Topology and Tarski - type Systems, Vietnam Journal of Mathematics 31:2 (2004) Genericity of aF and wF regularity conditions and equisingularity of functions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proceedings of the National conferences of Vietnam, 2002. (2006) Density of Morse functions on sets definable in o-minimal structures, Annales Polonici mathematici, 89.3 (2008) Transversality theorem in o-minimal structures, Compositio Mathematics 144. (2009) Một số bài toán định lượng trong Giải tích vi phân, Đề tài cấp bộ B2007-14-09. b) Của những người khác: [A] Arnold V.I, Goryunov V.V, Lyashko O.V và Vasil’ev V.A (1998), Singularity Theory I, Springer [D] van den Dries L. (1996) Tame topology and o-minimal structures, London Mathematical Society Lecture Note Series 248 [G] Gibson C.G. et al. (1976) Topological Stability of Smooth mappings, LNM 552. [H − P ] Henry J-P và Parusinski A. (2004) Invariants of bi-Lipschitz equivalence of real analyitic functions, Banach center Publ. Vol. 65. [K] Kurdyka K. (1988) Points reguliers d’un sous-analytiques, Ann.Inst.Fourier, 33. [Kuo] Kuo T.C. (1985) On classification of real singularities, Invent.Math. 82. [K − P ] Koike S. và Paunesku L. (2009) The directional dimension of subanalytic sets is invariant under bi-Lipschitz homeomorphism, Ann.Inst.Fourier [K − S] Koike S.và Shiota M. (2007) Nonsmooth points set of fibers of a semialgebraic mapping, J.Math.Soc.Japan Vol.5, No.4. [M ] Mostowski T. (1985) Lipschitz equisingularity, Dissertationes Math. 243. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 4 [P ] Parusinski A. (1994) Lipschitz stratifications of subanalytic sets, Ann.Sci.École Norm.Sup. 27. [S] Shiota M. (1997) Geometry of subanalytic and semialgebraic sets, Progress in Mathematics 150 [T − R] Tráng L.D. và Ramanujam C.P. (1973) The invariance of Milnor numbers implies the invariance of topological type, Amer.J.Math. 98. [Y ] Yomdin Y. (2005) Some quatitative results in singularity theory, Ann. Polinici mathematici 87 [Y − C] Yomdin Y. và Comte G. (2004) Tame Geometry with Applications in Smooth Analysis, LNM 1834. 2. Tính cấp thiết của đề tài. - Với tổng quan như trên, tuy có những kết quả giải quyết một số bài toán về họ hàm phụ thuộc tham số nhưng sự hiểu biết vẫn còn nhiều khiếm khuyết. Đề tài này nhằm bổ sung, giải quyết một số kết quả hữu ích mà các nhà toán học mong muốn (đặc biệt là trong lý thuyết Kỳ dị). - Đào tạo và hướng dẫn nghiên cứu sinh. Tập trung một số thành viên làm toán ở Đại học Đà Lạt vào hướng nghiên cứu nêu trên. 3. Mục tiêu của đề tài. Hai mục tiêu chính của đề tài là: - Nghiên cứu các bài toán nêu trên nhằm đưa ra các kết quả mới hoặc mở rộng một số kết quả đã có cho trường hợp o-tối tiểu. Nêu một số áp dụng của các kết quả vào một số lĩnh vực khác. - Một mục đích khác của đề tài là tạo điều kiện cho một số nghiên cứu sinh thực hiện việc nghiên cứu của mình có kết quả tốt. 4. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 5 Nghiên cứu các kết quả đã có. Sử dụng các công cụ của Giải tích vi phân, Hình học giải tích thực (chủ yếu Hình học semi-đại số), tích phân hình học,. . . Nghiên cứu mở rộng một số bài toán trong lý thuyết Kỳ dị đã có hoặc đưa ra một số kết quả mới về kì dị họ hàm. 5. Nội dung nghiên cứu. - Thu thập tài liệu. - Đọc các kết quả. - Tổ chức các seminar. - Nêu một số vấn đề cần giải quyết. - Dự các hội thảo. - Trao đổi chuyên môn với các chuyên viên ở nơi khác. - Nghiên cứu viết các bài báo khoa học gởi đăng. Tổng quan về kết quả nghiên cứu được trình bày trong Chương 1, Chương 2 trình bày các bài giảng đã công bố, Chương 3 trình bày các công trình đã công bố. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 6 Chương 1 tổng quan kết quả nghiên cứu đạt được 1.1. Quá trình thực hiện. Các công việc chính đã làm: • Seminar thường kỳ (1 lần/tuần): giới thiệu, tìm hiểu, trao đổi các kết quả liên quan đến đề tài của thế giới, trong nước và các thành viên. Một số trong các chuyên đề đã được trình bày trong các seminar của nhóm để phục vụ cho hướng nghiên cứu: - Giới thiệu một số kết bài toán về kỳ dị họ hàm. - Hình học giải tích thực. - Lý thuyết Morse. - Các bất biến bi-Lipschitz. - Tập các điểm không trơn của thớ của ánh xạ semi-đại số. - Định lý hàm ngược hàm ẩn định lượng với số biến ≤ 2. - Một số kết quả về định lý hàm ngược, hàm ẩn Lipschitz. - Định lý Morse và định lý Sard định lượng. • Tham dự, báo cáo tại các Hội nghị: 1. Hội nghị quốc tế Việt - Nhật về Tô pô của các kỳ dị và các vấn đề liên quan (lần 1), Viện Toán Học Hà Nội, tháng 3/2010. 2. Hội nghị quốc tế Việt - Nhật về Tô pô của các kỳ dị và các vấn đề liên quan (lần 2), Sendai - Japan, tháng 1/2011. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 7 3. Hội nghị toàn quốc về Đại số - Tôpô - Hình học, Đại học Thái Nguyên 3-5/11/2011. 4. Hội nghị quốc tế về Toán học và áp dụng, Đại học Mahidol, Bangkok, 17-19/12/2011. 5. Hội nghị quốc tế Việt Nhật về Tô pô của các kỳ dị và các vấn đề liên quan (lần 3), Đại học Đà Lạt, tháng 3/2012. • Hướng dẫn, trao đổi với nghiên cứu sinh và các học viên cao học để hoàn thành luận văn. 1.2. Kết quả đạt được. 1.2.1. Các bài báo và các bài giảng được đăng. Đã hoàn thành 4 bài báo và 3 bài giảng, chi tiết các bài báo và bài giảng được trình bày ở Chương 2 và Chương 3. Sau đây là nội dung chính các bài báo và các bài giảng: Bài báo 1: Một quan sát về đồng phôi Bi-Lipschitz định nghĩa được Tạ Lê Lợi Vietnam Journal of Mathematics 38:3(2010) 281-286 Tóm tắt. Bài báo này đưa ra một quan sát về đạo hàm theo hướng của đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa được, và khi đó số chiều của các tập hướng của các tập định nghĩa được là bất biến qua ánh xạ đồng phôi bi-Lipschitz. Cho A ⊂ Rn sao cho 0 ∈ A. Ký hiệu Sn−1 là mặt cầu đơn vị tâm tại gốc trong Rn . Tập hướng của A tại 0 được ký hiệu và xác định { } xk n−1 D(A) = a ∈ S : ∃(xk ) ⊂ A \ {0}, xk → 0, → a, khi k → ∞ . ∥xk ∥ Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 8 Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) là một đồng phôi hoặc một đồng phôi bi-Lipschitz. Ta xét quan hệ giữa D(A) và D(h(A)). Định lý. Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) là một mầm đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa được. Định nghĩa h : Sn−1 → Sn−1 được xác định bởi h(a) = lim+ t→0 h(ta) . ∥h(ta)∥ Khi đó (i) h là được định nghĩa đúng đắn và chỉ phụ thuộc vào hướng của các đường cong theo nghĩa nếu γ : (0, 1) → Rn là một đường cong định nghĩa được γ(t) h(γ(t)) với lim+ γ(t) = 0 và lim+ = a thì lim+ = h(a). t→0 t→0 ∥γ(t)∥ t→0 ∥h(γ(t))∥ (ii) h là một đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa được. Mệnh đề. Nếu A là một mầm tại 0 trong Rn , thì D(A) = D(A) là một tập con đóng trong Sn−1 . Hệ quả. Cho A, B là các mầm tập định nghĩa được tại 0 trong Rn sao cho 0 ∈ A ∩ B. Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) là một đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa được. Khi đó h : (Sn−1 , D(A)) → (Sn−1 , D(h(A))) là một đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa được. Đặc biệt dim(D(h(A)) ∩ D(h(B)) = dim(D(A) ∩ D(B)). Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 9 Bài báo 2: Một số kết quả định lượng về định lý hàm ngược, hàm ẩn Lipschitz Phan Phiến East-West Journal of Mathematics, Vol. 13, No 1 (2011), pp 7-22 Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi phát biểu một dạng định lượng của định lý hàm ngược Clarke, đồng thời chứng minh định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz. Hơn nữa chúng tôi cũng chứng minh được: lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa định lý hàm ngược Clarke là mở trong không gian các ánh xạ lipschitz. Ký hiệu Mm×n là không gian các ma trận thực cấp m × n, Bn là quả cầu đơn vị mở trong Rn , Bnr là quả cầu mở bán kính r, tâm tại 0 ∈ Rn , Bnr (x0 ) là quả cầu mở bán kính r, tâm tại x0 ∈ Rn , Sn−1 là mặt cầu đơn vị trong Rn , và Bm×n là quả cầu đơn vị mở trong Mm×n . Chuẩn trong các không gian trên: 1 ∥x∥ = (|x1 |2 + · · · + |xn |2 ) 2 , với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . ∥A∥ = max ∥Ax∥, với A ∈ Mm×n . ∥x∥=1 ∥A∥max = max |aij |, với A = (aij )m×n ∈ Mm×n . i,j Định nghĩa 1. Ánh xạ f : Rm → Rn được gọi là Lipschitz trong lân cận của điểm x0 ∈ Rm nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho với mọi x và y gần x0 , ta có ∥f (x) − f (y)∥ ≤ K∥x − y∥. Khi đó f được gọi là K-Lipschitz tại x0 . f được gọi là K-Lipschitz trên Rm nếu f là K-Lipschitz tại mọi x. Định nghĩa 2. Jacobi suy rộng của f tại x0 , ký hiệu ∂f (x0 ), là bao lồi của các ma trận M dạng M = lim Jf (xi ), i→∞ Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 10 f là khả vi tại xi , xi hội tụ đến x0 và Jf (xi ) là Jacobi của f tại xi , với mỗi i. Khi n = 1 thì ∂f (x) được gọi là gradient suy rộng của f tại x. Định nghĩa 3. Cho f : Rm → Rn là Lipschitz trong lân cận của điểm x0 ∈ Rm . ∂f (x0 ) được gọi là có hạng cực đại nếu mọi M ∈ ∂f (x0 ) có hạng là min{m, n}. Định nghĩa 4. (Không gian các ánh xạ Lipschitz) Cho f : Rm → Rn . Ta gọi { L(f ) = sup } ∥f (x) − f (y)∥ , x ̸= y , ∥x − y∥ là hệ số Lipschitz của f . Chú ý rằng f là Lipschitz nếu và chỉ nếu L(f ) < ∞. Đặt Lip(Rm , Rn ) = {f : Rm → Rn : L(f ) < +∞} . Cho f, g ∈ Lip(Rm , Rn ) và α ∈ R, ta có các tính chất sau: (i) f + g, αf ∈ Lip(Rm , Rn ). (ii) L(f ) ≥ 0. (iii) L(f + g) ≤ L(f ) + L(g). (iv) L(αf ) = αL(f ). (v) L(f ) = 0 ⇔ f = constant. Với x0 ∈ Rm , đặt { } Lipx0 (Rm , Rn ) = f : f Lipschitz và f (x0 ) = 0 . Khi đó L(f ) = 0 ⇔ f ≡ 0, với mọi f ∈ Lipx0 (Rm , Rn ). Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 11 Như vậy Lipx0 (Rm , Rn ) là một không gian vector định chuẩn với chuẩn là L(·). Các kết quả chính: Định lý 1. Cho f : Rn → Rn là ánh xạ K-Lipschitz trong lân cận x0 . Giả sử rằng ∂f (x0 ) có hạng cực đại, và δ= 1 1 inf . 2 M0 ∈∂f (x0 ) ∥M0−1 ∥ Chọn r sao cho f là K-Lipschitz trên Bnr (x0 )và ∂f (x) ⊂ ∂f (x0 ) + δBn×n , khi x ∈ Bnr (x0 ). Khi đó f là khả nghịch trong Bnrδ (x0 ) và tồn tại duy nhất ánh xạ 2K ngược g : Bnrδ (f (x0 )) → Rn , g(f (x0 )) = x0 ; 2 g là 1δ -Lipschitz. Nhận xét 1. Khi f thuộc lớp C 1 , ∂f (x0 ) chính là Jf (x0 ), và hàm g thuộc lớp C 1 . Do vậy ta nhận được dạng định lượng của định lý hàm ngược cổ điển. Nhận xét 2. Cho A = U × V là tập con mở của Rm × Rn . Khi đó nếu F : A → Rn là một ánh xạ Lipschitz trong một lân cận của (x0 , y0 ) ∈ A thì Jacobi suy rộng của F tại (x0 , y0 ) thỏa ∂F (x0 , y0 ) ⊂ {( M1 M2 ) } : M1 ∈ ∂1 F (x0 , y0 ), M2 ∈ ∂2 F (x0 , y0 ) , ở đây ∂1 F (x0 , y0 ) và ∂2 F (x0 , y0 ) là các Jacobi suy rộng của F (·, y0 ) : U → Rn và F (x0 , ·) : V → Rn tại x0 và y0 tương ứng. Định lý 2. Cho A = U × V là một tập con mở của Rm × Rn và F : A → Rn là ánh xạ K-Lipschitz trong một lân cận của (x0 , y0 ) ∈ A. Giả sử rằng ∂2 F (x0 , y0 ) có hạng cực đại và F (x0 , y0 ) = 0. Đặt δ= 1 1 inf . 2 M2 ∈∂2 F (x0 ,y0 ) (1 + (1 + K)2 ∥M2−1 ∥2 ) 21 Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 12 Lấy r > 0 sao cho F thỏa điều kiện K-Lipschitz và ∂F (x, y) ⊂ ∂F ((x0 , y0 )) + δBn×(m+n) trong Bm+n ((x0 , y0 )). Khi đó tồn tại lân cận U0 = Bm rδ r (x0 ) của 2(K+1) x0 và tồn tại duy nhất ánh xạ Lipschitz g : U0 → V sao cho g(x0 ) = y0 và F (x, g(x)) = 0 với mọi x ∈ U0 . Hơn nữa, hằng số Lipschitz của g L(g) ≤ 2K sup (1 + (K + 1)2 ∥M2−1 ∥2 ) 2 . 1 M2 ∈∂2 F (x0 ,y0 ) Nhận xét 3. Khi F là C 1 , ∂2 F (x0 , y0 ) chính là J2 F (x0 , y0 ), và g cũng là một ánh xạ lớp C 1 . Do vậy ta nhận được dạng định lượng của định lý hàm ẩn cổ điển. Hệ quả 1. Với giả thiết của Định lý 2.4, khi F thuộc lớp C k và ∥F ∥C k ≤ L thì ánh xạ g cũng thuộc lớp C k và tồn tại một hằng số M (L) > 0 sao cho ∥g∥C k ≤ M (L). Định lý 3. Cho f0 : Rn → Rn là ánh xạ Lipschitz trong lân cận của x0 ∈ Rn và thỏa K∥x − y∥ ≤ ∥f0 (x) − f0 (y)∥ ≤ K ′ ∥x − y∥, K, K ′ > 0. Giả sử ∂f0 (x0 ) có hạng cực đại. Cho f = f0 + h, với h : Rn → Rn là ánh xạ L-Lipschitz sao cho L < K. Đặt δ= 1 1 . inf 2 M0 ∈∂f (x0 ) ∥M0−1 ∥ Lấy r > 0 sao cho f thỏa điều kiện Lipschitz và ∂f (x) ⊂ ∂f (x0 ) + δBn×n trong Bnr (x0 ). Khi đó tồn tại các lân cận U = Bn rδ 2(K ′ +L) (x0 ) và V = Bnrδ (f (x0 )) tương 2 ứng của x0 và f (x0 ), và tồn tại duy nhất ánh xạ ngược Lipschitz g : V → Rn Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 13 để cho (i) g(f (u)) = u với mọi u ∈ U , (ii) f (g(v)) = v với mọi v ∈ V . Hơn nữa, L(g) = 1δ . Hệ quả 2. Lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa định lý hàm ngược Clarke là mở trong không gian Lipx0 (Rn , Rn ). Bài báo 3: Định lý Morse định lượng Tạ Lê Lợi và Phan Phiến International Journal of Mathematics Analysis, Vol. 6, No 10 (2012), pp 481-491 Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một chứng minh chi tiết của Định lý Morse định lượng được Yomdin phát biểu vào năm 2005. n Định lý chính. Cố định k ≥ 3. Giả sử f0 : B → R là một hàm khả vi thuộc n lớp C k trong một tập mở chứa B với tất cả các đạo hàm đến cấp k bị chặn đều bởi K. Khi đó với mọi ε > 0, có thể tìm h với ∥h∥C k ≤ ε và các hàm dương ψ1 , N, ψ2 , ψ3 , M, η phụ thuộc vào K và ε, sao cho f = f0 + h thỏa các điều kiện sau: (i) Tại mỗi điểm tới hạn xi của f , trị tuyệt đối nhỏ nhất của các giá trị riêng của Hessian Hf (xi ) không bé hơn ψ1 (K, ε). (ii) Với xi và xj là hai điểm tới hạn khác nhau bất kỳ của f , ta có ∥xi −xj ∥ ≥ d(K, ε). Do vậy, số các điểm tới hạn không vượt quá N (K, ε). (iii) Với xi và xj là hai điểm tới hạn khác nhau của f , |f (xi ) − f (xj )| ≥ ψ2 (K, ε). Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 14 (iv) Cho δ = ψ3 (K, ε) > 0. Với mỗi điểm tới hạn xi của f , tồn tại một phép n biến đổi tọa độ φ : Bδ (xi ) → Rn ∈ C r sao cho 2 f ◦ φ(y1 , . . . , yn ) = y12 + · · · + yl2 − yl+1 − · · · − yn2 + const. và ∥φ∥C k−1 ≤ M (K, ε). n (v) Nếu ∥gradf (x)∥ ≤ η(K, ε) thì x ∈ Bδ (xi ), với xi là một điểm tới hạn của f . Bài báo 4: Một số tính chất về hướng của các tập định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu Satoshi Koike, Tạ Lê Lợi, Laurentiu Paunescu and Mashiro Shiota Sumitted 2011 Tóm tắt. Bài báo này tổng quát hóa một số kết quả về tập hướng trong Rn và số chiều của chúng lên không gian các tập định nghĩa được trong một cấu trúc o-tối tiểu. Định lý chính đầu tiên mô tả chi tiết tính chất hướng trong trường hợp trường thực đóng Archimed, đồng thời cho một chứng minh trong trường hợp trường thực đóng tổng quát. Hơn nữa, liên quan đến kết quả chính, chúng tôi chỉ ra rằng tồn tại các đa diện đặc biệt trong một vài không gian Euclid, minh họa rằng một tương đương bi-Lipschitz không phải luôn luôn kéo theo sự tồn tại của một tương đương định nghĩa được. Định lý chính. Cho R là một trường thực đóng Archimed, và cho A, B là các mầm tập định nghĩa được trong một cấu trúc o-tối tiểu trên R sao cho 0 ∈ A ∩ B. Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) là một đồng phôi bi-Lipschitz. Giả sử rằng h(A), h(B) cũng là định nghĩa được. Khi đó ta có dim(D(h(A)) ∩ D(h(B))) = dim(D(A) ∩ D(B)). Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 15 Bài giảng 1: Cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volum 43 (2010), 19-30 Bài giảng này giới thiệu một số tính chất quan trọng của cấu trúc o-tối tiểu và đưa ra các ý kiến gợi ý về việc xây dựng một phàm trù hình học giải tích tương ứng với một cấu trúc o-tối tiểu. Các kết quả được trình bày: - Định lý Phân hoạch tế bào. - Định lý về tính trơn lớp C p . - Định lý về phần bù. - Định lý chọn. - Bổ đề chọn đường cong. - Định lý về chiều của tập định nghĩa được. Bài giảng 2: Phân tầng trong cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volum 43 (2010), 31-39 Bài giảng này giới thiệu một số kết quả về phân tầng trong cấu trúc o-tối tiểu, bao gồm: - Phân tầng các tập định nghĩa được. - Phân tầng Verdier. - Phân tầng Whitney. - Phân tầng tương thích các tập định nghĩa được. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 16 - Phân tầng thỏa điều kiện af . - Phân tầng thỏa điều kiện wf . Bài giảng 3: Ba định lý cơ bản của lý thuyết kỳ dị trong cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volum 43 (2010), 41-54 Bài giảng này trình bày ba định lý cơ bản của Lý thuyết Kì dị trong cấu trúc o-tối tiểu, bao gồm: - Định lý Morse-Sard theorem. - Tính trù mật của hàm Morse. - Định lý Hoành. 1.2.2. Các luận văn thạc sĩ đã được hướng dẫn và bảo vệ thành công. 1. Các định lý ánh xạ ngược cho hàm không trơn. Nguyễn Thị Thúy Hằng, Cao học Toán K16. 2. Một số chứng minh của định lý Tarski Seindenberg. Hồ Hoàng Hùng, Cao học Toán K17. 3. Một số bất biến Bi-Lipschitz. Nguyễn Xuân Việt Nhân, Cao học Toán K17. 1.2.3. Hướng dẫn nghiên cứu sinh. Đã hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến bảo vệ luận án cấp cơ sở vào ngày 12/12/2011 với các công trình liên quan: Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 17 [L-P1] Ta Le Loi and Phan Phien, Bound of Hausdorff measures of tame sets, Proceedings of the International Conference on Topology, Geometry, Algebra & Arithmetics, December 22-24, 2008, Unviersity of Dalat, Dalat, Vietnam (2009), pp. 156-169. (Submitted) [P1] Phan Phien, Betti numbers and Hausdorff measures of basic semi-algebraic sets, Journal of Science University of Dalat, Volume 1 (2011), pp. 13-22. (Vietnamese) [P2] Phan Phien, Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems, East-West Journal of Mathematics, Vol. 13, No. 1 (2011), pp. 7-22. [L-P2] Ta Le Loi and Phan Phien, The Quantitative Morse Theorem, International Journal of Mathematical Analysis, Vol. 6, No. 10 (2012), pp. 481-491. [L-P3] Ta Le Loi and Phan Phien, Some quantitative results on singularities of differentiable mappings, (2012). (Preprint) Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 18 Chương 2 các bài giảng Chương này trình bày chi tiết các bài giảng được đăng, bao gồm: [1] Ta Le Loi, O-minimal Structure, Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volume 43 (2010), 19-30. [2] Ta Le Loi, Stratifications in o-minimal structures, Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volume 43 (2010), 31-39. [3] Ta Le Loi, Three fundamental theorems of Singularity theory in o-minimal structures, Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volume 43 (2010), 41-54. Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 19 Chương 3 các công trình khoa học Chương này trình bày chi tiết các công trình đã công bố, bao gồm: [1] Ta Le Loi, An Observation on Definable Bi-Lipschitz Homeomorphism, Vietnam Journal of Mathematics 38:3(2010) 281-286. [2] Phan Phien, Some Quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems, East-West Journal of Mathematics, Vol. 13, No 1 (2011), pp. 7-22. [3] Ta Le Loi and Phan Phien, The Quantitative Morse Theorem, International Journal of Mathemaitics Analysis, Vol. 6, No 10 (2012), pp. 481-491. [4] Satoshi Koike, Ta Le Loi, Laurentiu Paunescu and Masahiro Shiota, Directional Properties of Sets Definable in o-minimal Structures (sumitted). Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 20 kết luận và kiến nghị Đề tài đã hoàn thành mục tiêu nghiên cứu như đã đề ra, bao gồm: - Nghiên cứu các bài toán về kì dị họ hàm nhằm đưa ra các kết quả mới hoặc mở rộng một số kết quả đã có cho trường hợp o-tối tiểu. Nêu một số áp dụng của các kết quả vào một số lĩnh vực khác. - Một mục đích khác của đề tài là tạo điều kiện cho một số nghiên cứu sinh thực hiện việc nghiên cứu của mình có kết quả tốt. Đã hoàn thành 4 bài báo và 3 bài giảng theo hướng nghiên cứu, hướng dẫn 3 thạc sĩ và 1 nghiên cứu sinh. Các kết quả của đề tài có thể được áp dụng trong một số lĩnh vực như Topo vi phân, Hình học vi phân, Giải tích số phi tuyến, Lý thuyết kỳ dị, đánh giá độ phức tạp thuật toán,... Đề tài sẽ được tiếp tục để nghiên cứu phát triển một số kết quả của lý thuyết kỳ dị trong cấu trúc o-tối tiểu, từ đó đưa ra các kết quả định lượng. Trên cơ sở của đề tài, tiếp tục đào tạo các nghiên cứu sinh và học viên cao học theo hướng nghiên cứu đã đạt được. Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Bộ Giáo Dục - Đào Tạo và Trường Đại học Đà Lạt đã cho phép thực hiện đề tài này. Xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán Tin học - Đại học Đà Lạt, Khoa Sau Đại Học - Đại học Đà Lạt, Viện Toán Học Hà Nội đã phối hợp và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành đề tài nghiên cứu. Xin cảm ơn các đồng nghiệp gần xa đã động viên và góp nhiều ý kiến để chúng tôi hoàn thành nghiên cứu này. Đà lạt, 5/2012—Chủ nhiệm đề tài- PGS.TS Tạ Lê Lợi