Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2010 - 2011
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
-
Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim
1
n
0 , lim
1
1
0 , lim 3 0 , lim q n 0 với |q| < 1
n
n
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = + thì lim
1
un
0
limun
lim(unvn)
L >0
L<0
L >0
-
limvn = L
L<0
L >0
L>0
L<0
L<0
limvn
Dấu của
vn
0
+
+
-
lim
un
vn
Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+) Nếu lim f x thì lim
x x0
x x0
lim f ( x)
x x0
+∞
-∞
+∞
- ∞
-
limun=L
lim g ( x)
x x 0
L>0
L<0
1
f x
0
lim f ( x) lim g ( x) Dấu của
x x 0
g(x)
lim f ( x).g ( x)
x x0
x x 0
+∞
-∞
-∞
L>0
0
L<0
+∞
+
+
-
lim
x x 0
f ( x)
g ( x)
+∞
-∞
-∞
+∞
0
; ; ;0. ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử
0
và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và
mẫu với một lượng liên hợp;…
Chú ý khi gặp các dạng vô định:
3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (un) lùi vô hạn (với q 1 ), ta có :
S u1 u1q
u1q n
4/ Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0:
1
u1
1 q
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
+) Tính f(x0)
+) Tìm lim f x (nếu có)
x x0
- Nếu lim f x không tồn tại f(x) gián đoạn tại x0.
x x0
- Nếu lim f x L f x0 f(x) gián đoạn tại x0
x x0
- Nếu lim f x L f x0 f(x) liên tục tại x0.
x x0
5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Tìm đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
c ' 0 ; x ' 1
(u v) ' u ' v '
(u.v) ' u '.v v '.u
( k .u ) ' k .u '
'
u u '.v v '.u
v2
v
'
'
v'
1
2
v
v
x n ' n.x n 1
1
1
2
x
x
1
x '
2 x
+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu y f [u( x)] thì
u ' n.u
n
n 1
.u '
'
u'
1
2
u
u
u'
u '
2 u
'
'
yx fu' .ux
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
sin x ' cos x
cos x ' sin x
sin u ' u '.cos u
cos u ' u '.sin u
1
cos 2 x
1
(cot x) ' 2
sin x
tan u '
tan x '
u'
cos 2 u
u'
(cot u ) ' 2
sin u
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df ( x0 ) f '( x0 ).x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 )x
- Vi phân của hàm số: df ( x) f '( x)dx hay dy y ' dx
4/ Đạo hàm cấp cao:
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.
- Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’.
2
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
a ) un
e) u n
1
n
2n 1
2
1
n
sin 2n
n 1
b ) un
2n
f ) un n
3 1
n 1
3
n cos 3n
n2 n
c ) un
g ) un
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
2n 3n3 1
n3 3n 2
a) lim
b) lim
n3 n 2
2n 2 1
c) lim
1
n
n 1
3
d ) un
1
5n 1
h) un n 1 n
3n 2
3
n 2n 1
d ) lim
4n 2 n 1
e) lim
1 2n
d) -3/25
e) -1
f) -2/3 g) -1/2
1 2n 3n5
(n 2)3 (5n 1) 2
4n 2 1 9 n 2 2
h) lim
2n
3n 2.5n
3n 4n 1
g ) lim
f ) lim n
2.4n 2n
3.5 4n
1
1
1
1
...
i) lim un với un
1.2 2.3 3.4
n n 1
ĐS: a) -3 b) + c) 0
cos n
n n 1
h) 1 i) 1
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
a) lim(3n2 n 1)
b) lim(2n4 n2 n 3)
c) lim 3n2 n sin 2n
d ) lim 3n2 n 1
e) lim 2.3n 5.4n
f ) lim 3n2 1 2n
g ) lim n2 1 n
h)lim
i) lim
3n2 6n 1 7n
ĐS: a) +
k ) lim n
b) - c) +
d) +
n 1 n
e) -
f) -
l ) lim
g) 0
n2 3n n
h) + i) -
n n n
m) lim n n n
3
n1
,...
1 1 1
1
b) 1, , , ,...,
3 9 27
3
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
x3 5 x 1
a) lim 3
x 2 x 3 x 2 1
n1
,...
):
3x3 2
b) lim
x 2 x 1
5 x3 x 2 1
c) lim
x
3x 2 x
x5 2 x3 4 x
5x2 1
e) lim 3
x 1 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 x 2 1
ĐS: a) -1/2
b) - c) - d) - e) 0 f) -1/5
d) lim
f) lim
x
x2 2 x 4 x2 1
2 5x
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a) lim (2 x3 x 2 3x 1)
x
d) lim
x
x 2 3x 2
b) lim ( x 4 x3 5 x 3)
x
e) lim
x
3x2 x 2 x
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) +
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
3
3
k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
1 1 1
1
a) 1, , , ,...,
2 4 8
2
ĐS: a) 2/3
b) 3/2
2
c) lim 4 x 2 x 2
x
f) lim
x
2 x2 x x
2
Gia sư Thành Được
a) lim
x 3
x 1
x 3
b) lim
x 4
www.daythem.edu.vn
1 x
x 4
ĐS: a) - b) -
c) lim
2
x 3
c) +
2x 1
x 3
d) lim
x 2
2 x x
2 x 1
e) lim 2
x 0 x x
x2
e) 1
f) +
0
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
0
2
2
x 9
x 3x 2
x3 1
x3
a/ lim
b/ lim
c) lim 2
d) lim 2
x 3 x 3
x 1
x 3 x 2 x 3
x 1 x 1
x 1
x2 9
2x 1 3
x 2 1
2 x
f) lim
g) lim
h) lim
i) lim
x 4
x 1
x 3
x 2
x 2
x5 2
x 1 2
x 7 3
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6
g) 24
h) 4/3 i) 2 k) 0
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng - ):
x
ĐS: a) 0
x2 1 x
b) 1
b) lim
x
c) 1/4
x 1
3x 1
x 1
d) +
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):
2x 3
2x 1
1 1
a) lim
b) lim x 1
c) lim x 2 9.
1
2
x 1
x 3
x 0 x x 1
x 1
x 3
ĐS: a) -1 b) 0 c) +
d) 0
a) lim
f) lim
x2 2 x x2 1
c) lim
x
4 x2 x 2 x
x2 2x 3
x 1 2 x 2 x 1
x 2 3x 2
k) lim
x 2
2 x
e) lim
d/ lim x3 8
x 2
d) lim
x
x
2 x2
x2 x x2 1
d) 1/2
sin x
1)
x 0
x
1 cos 2 x
sin x.sin 2 x....sin nx
c) lim
d) lim
x 0
x 0
x sin x
xn
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng lim
sin 3x
sin x sin 2 x
b) lim
x 0
x 0
x
3x 2
ĐS: a) 3 b) 2/3
c) 1
d) n!
a) lim
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
x2 4
khi x -2
a) f ( x) x 2
tại x0 = -2
4
khi x -2
x2 4x 3
b) f ( x) x 3
5
2 x 1
d) f ( x) 3 x
3
khi x<3
khi x 3
2 x 2 3x 5
khi x 1
khi x 3
c) f ( x)
tại x0 = 1
x 1
7
khi x 1
khi x 3
2
x 2
x2
khi x 2
khi x 2
e/ f ( x) x 2
tại x0 = 2
f) f ( x) x 1 1
3x 4
2 2
khi x 2
khi x 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
1 x
x 2 3x 2
khi x 2
2
a) f ( x) x 2
b) f ( x) x 2
3
1
khi x 2
x2 x 2
c) f x x 2
5 x
khi x 2
khi x 2
khi x 2
khi x 2
x
khi x 0
d) f x
x2
khi 0 x 1
x 2 2 x 1 khi x 1
4
tại x0 = 3
tại x0 = 3
tại x0 = 2
Gia sư Thành Được
ĐS: a) hsliên tục trên R ;
c) hsliên tục trên R ;
www.daythem.edu.vn
b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2.
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
x2 x 2
x2
khi x 1
khi x 1
a) f x x 1
với x0 = -1
b) f ( x)
với x0 = 1
2ax 3 khi x 1
a
khi x 1
x 7 3
3x 2 1 khi x 1
khi x 2
c) f ( x) x 2
với x0 = 2
d) f ( x)
với x0 = 1
2a 1 khi x 1
a 1
khi x 2
ĐS: a) a = -3 b) a = 2
c) a = 7/6
d) a = 1/2
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:
a) x4 5x 2 0 có ít nhất một nghiệm.
b) x5 3x 7 0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x3 3x2 5 0 có ít nhất một nghiệm
d) 2 x3 10 x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) x3 3x2 1 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
h) 1 m2 x 1 x 2 x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i) m x 1 x 2 4 x 4 3 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
3
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y x3
b) y 3x 2 1
d) y
c) y x 1
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
x
x3 x2
1) y x 5
2) y 2 x 5 3
3 2
2
3
2
4) y 5x (3x 1)
5) y = (x – 3x )(x4 + x2 – 1)
7) y ( x 2 1)(5 3x 2 )
8) y x(2 x 1)(3x 2)
2
10) y 3x x 1
11) y 2 x3
x
13) y 3x x
4
16) y
2
1
2
2 x 3x 5
19) y x 2 6 x 7
22) y
x 2 2x 3
2x 1
14) y 2 x 1 x 2 3x 7
2
17) y
x3 2 x
x2 x 1
20) y x 1 x 2
23) y
1 x
1 x
1
x 1
2 4
5
6
2 3 4
x x
x 7x
2
3
6) y ( x 5)
9) y ( x 1)( x 2) 2 ( x 3) 3
3) y
12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5
2x2 5
15) y
x2
x2 7x 5
18) y
x 2 3x
21) y ( x 1) x 2 x 1
24) y 2 x 2 3 x 1
5
3
Gia sư Thành Được
25) y x x
2
3
www.daythem.edu.vn
x 2x
3
26) y =
x (x - x +1)
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx
2) y = cos (x3)
1
5) y cos x. sin 2 x
6) y cos x cos3 x
3
9) y cot 3 (2x )
10) y sin 2 (cos3x)
4
13) y 2 tan2 x
17) y
11) y cot 3 1 x2
cos x 4
cot x
3sin3 x 3
18) y x sin x
1 tan x
4) y (1 cot x ) 2
sin x cos x
8) y
sin x cos x
12) y 3 sin 2 x. sin 3x
15) y sin(2sin x)
16) y = sin 4 p - 3x
19) y sin x x
20) y 1 2 tan x
x
sin x
1
Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x) sin 4 x cos4 x và g ( x) cos 4 x
4
Chứng minh rằng: f '( x) g '( x) (x ) .
Bài 5: Cho y x 3 3x 2 2 . Tìm x để: a) y’ > 0
x 0
ĐS: a)
b) 1 2 x 1 2
x 2
b) y’ < 3
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.
b) f(x) = 3 sin x cos x x
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 7: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)
x2 2 x 2
Bài 8: a) Cho hàm số: y
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2
b) Cho hàm số y =
3
3) y = x.cotx
x
7) y sin 4
2
14) y
1
(1 sin 2 2 x ) 2
x
27) y 2 x 2 3 x
x2
2
x3
. Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’
x4
c) Cho hàm số y 2x x2 . Chứng minh rằng: y3y" 1 0
Bài 9: Chứng minh rằng f '( x) 0 x , biết:
2
a/ f ( x) x9 x6 2 x3 3x 2 6 x 1
b/ f ( x) 2 x sin x
3
x2 x
Bài 10: Cho hàm số y
(C)
x2
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x3 5x 2 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
6
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =
Bài 13: Cho đường cong (C): y
1
x – 4.
7
x2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x2
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng
1
3
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:
x
a) y x 3 2 x 1
b) y sin 4
2
c) y x 2 6 x 7
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x 1
2x 1
1) y
2) y 2
x2
x x2
2
5) y x sin x
6) y (1 x 2 ) cos x
ĐS: 1) y ''
6
x 2
3
2) y ''
5) y '' 2 x 2 sin x 4 x cos x
x
x 1
7) y = x.cos2x
3) y
4 x3 10 x 2 30 x 14
x
2
x2
3
6) y '' 4 x sin x ( x 2 3) cos x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1
a) y
b) y = sinx
x 1
n!
n
ĐS: a) y n 1
b) y n sin x n
n 1
2
x 1
7
e) y (1 cot x ) 2
4) y x x 2 1
2
3) y ''
d) y cos x. sin 2 x
8) y = sin5x.cos2x
2 x x2 3
x
2
1
3
4) y ''
x
2 x3 3x
2
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
1
x2 1
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
0
Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90 .
Phương pháp 2: a b u.v 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh a ( ) b hoặc b ( ) a
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a b a b ' với b’ là hình chiếu của đt b lên
mp chứa đt a).
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
Phương pháp 1: Chứng minh: d a và d b với a b = M; a,b (P)
Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a (P)
Phương pháp 3: Chứng minh: d (Q) (P), d a = (P) (Q).
Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) (R) và (Q) (P), (R) (P).
Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
Phương pháp 1: Chứng minh (P) a (Q).
Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) (Q).
Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a (Q).
Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là
+) Nếu d (P) thì = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: = (d,d’)
Dạng 6: Tính góc giữa hai mp (P) và (Q).
Phương pháp 1:
- Xác định a (P), b (Q).
- Tính góc = (a,b)
Phương pháp 2: Nếu (P) (Q) = d
- Tìm (R) d
- Xác định a = (R) (P)
- Xác định b = (R) (Q)
- Tính góc = (a,b).
Dạng 7: Tính khoảng cách.
Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a) MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
Tính khoảng giữa đt và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).
Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a b :
8
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
- Dựng (P) a và (P) b
- Xác định A = (P) b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P) a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA (ABC).
a) Chứng minh: BC (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH SC.
Bài 2:
a)
b)
c)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA (ABCD). Chứng minh rằng:
BC (SAB).
SD DC.
SC BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC AD.
b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 .
a) Chứng minh SO (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB CD, BC AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm BCD.
b) AC BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng
đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA (ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên SB, SD.
9
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
a) Chứng minh BC (SAB), BD (SAC).
b) Chứng minh SC (AHK).
c) Chứng minh HK (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.
1. CMR: BC (OAI).
2. CMR: (OAI) (OHK).
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC).
ĐS: a / 3
5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK).
ĐS: cos 6 / 3
6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC).
ĐS: tan 2
7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy.
ĐS: a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a 2 .
1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC) mp(SBD) .
3. Tính góc giữa SC và mp (ABCD), góc giữa SC và mp (SAB).
ĐS: 450 , 300
4. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
ĐS: tan 2
5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
ĐS: a 6 / 3
6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS: a / 2
7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI.
ĐS: SI a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2
và BAD 600 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
1. CMR: BD (SAC) và SH (ABCD) .
2. CMR: AD SB .
3. CMR: (SAC) (SBD).
4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC.
ĐS: SH a 15 / 6 và SC = a 7 / 2
5. Tính sin của góc giữa SD và (SAC), côsin của góc giữa SC và (SBD).
ĐS: sin 3 / 3 và cos 3 / 14 .
6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).
ĐS: a 10 / 12
7. Tính góc giữa (SAD) và (ABCD).
ĐS: tan 5
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS: a 3 / 3
10
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
ĐS: 3 15a / 20
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và ADC 450 .
9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI.
Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 .
1. CMR: BC mp(SAB).
2. CMR: CD SC .
3. Tính góc giữa SC và (ABCD), góc giữa SC và (SAB), góc giữa SD và (SAC).
ĐS: 450 , 300 , tan 2 / 2
4. Tính tang của góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD).
ĐS: tan 2
5. Tính khoảng cách giữa SA và BD.
ĐS: 2a / 5
6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
ĐS: 2a / 7
7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.
Từ đó tính MS và NS.
ĐS: MS a , NS a 6 / 2
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là
trung điểm của AB và AD.
1. CMR: BD (ACC'A') và A’C (BDC') .
2. CMR: A'C AB' .
3. CMR: (BDC’) (ACC’A’) và (MNC’) (ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’).
ĐS: a / 3
5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’).
ĐS: 3a / 17
6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’).
7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD).
ĐS: tan 2 2 / 3
ĐS: tan 2
8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’).
ĐS: cos 7 / 51
9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.
ĐS: a 3 / 3
11
- Xem thêm -
.PDF 
11 
107 
68 
