Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
§Ò c-¬ng «n tËp to¸n hk2 - Líp 11
I. Giíi h¹n
Bµi 1. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
x 2 5x 4
x4
2 x
5) lim
x 2
x7 3
x2 2 x 3
x 1 2 x 2 x 1
4x 1 3
6) lim
x 2
x2 4
1) xlim4
2) lim
x2 1
x 2 3x 2
7) lim x 5 2x 1
x4
x4
3) lim
x 1
x 4 16
x3 2 x 2
x 1 x 4 3
8) lim
x 0
x
4) xlim2
Bµi 2. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1) lim
x 3
2x 1
x3
2) lim
x2
x 2 3x 3
x2
3) lim
x 1
Bµi 3. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1) lim
5) lim
x
n 2 5n n
x2 x 5
2x 1
2) lim
Bµi 4. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1) lim ( x3 x2 x 1) 2) lim ( x 4 2 x 2 3)
x
x
Bµi 5: Cho hà m sè f(x) =
2 x3 3x 4
x x 3 x 2 1
3) lim
4) lim
7) lim ( x 2 2 x 3 x)
x 2 3x 2 x
3x 1
x
| x2|
x 2 x 2
4) lim
x3
x 2 x 1
2.3n 3.5n
4.5n 5.2 n
6) lim
x 2 5x 3
( x 1) 2
8. lim (2 x 4 x 2 x 3 )
x
x
3) lim (2 x 3 2 x 2 x 3) 4) lim 3x 2 5x
x
x
x2 x 2
x2
2 x m
khi x 2
.
khi x 2
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hà m sè liªn tôc t¹i x = - 2
Bµi 6: XÐt tÝnh liªn tôc vµ tÝnh ®¹o hµm (nÕu cã) t¹i ®iÓm x0 cña hµm sè sau:
x3 x 1 ,Nếu x >1
,Nếu x ≤1
3x 2
a) f ( x)
b)
t¹i x0 = 1
x2 4
f ( x) x 2
x2
, x 2
, x 2
t¹i x0 = -2.
Bµi 7: CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x3 10 x 7 0
II. ®¹o hµm.
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y x 3 2 x 1
5) y x(2 x 1)(3x 2)
2) y 2 x 4 2 x 2 3x
3) y ( x 2 x)(5 3x 2 )
6) y ( x 1)( x 2) 2 ( x 3) 3
7) y ( x 2 5) 3
9) y = (x3 +3x-2)20
10) y (x7 x)2
11) y x2 3x 2
13) y
2x 3
x2
3x 2 2 x 1
2x 3
3
21) y 6 x
x
17. y
14) y
2x 2 6x 5
2x 4
15) y
18) y =
3x - 2
x - x+ 2
19) y= x 1 x 2
22) y
3 4
5
6
2 3 4
x x
x
x
23) y
2
1
2x
x 1
2
x 2 3x 4
2x 2 x 3
4) y (t 3 2)(t 1)
8) y = (1- 2t)10
12) y x 4 6 x 2 7
3
16) y 2
( x x 1) 3
20) y x 1 x 2
1
24) y x 3 6 x
x
3
25) y 1 x
26) y x x
1 x
29) y
x2
x2 a2
1
x x
27) y
3 x 2 ax 2a , ( a là hằng số)
30) y =
, ( a là hằng số)
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
28) y ( x 1) x 2 x 1
1) y = sin2x – cos2x
2) y = sin5x – 2cos(4x + 1)
3) y 2 sin 2 x. cos 3x
5) y sin 2 x
9) y = sin(sinx)
6) y sin x cos x
10) y = cos( x3 + x -2 )
7) y (1 cot x)
1 sin x
2 sin x
17) y 1 2 tan x
14) y cot 3 (2x )
4
15) y tan
18) y 2 tan2 x
19) y
2
13) y
3
2
11) y sin2 (cos3x)
Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
x 1
2
sin x cos x
sin x cos x
2x 3
x2
1) y x 3 2 x 1
2) y 2x 4 2x 2 3
3) y
5) y = sin2x – cos2x
6) y = x.cos2x
7) y x
4) y sin 2 x 1
8) y cos x. sin2 x
12) y = x.cotx
16) y sin x x
x
sin x
20) y sin 4
4) y
x
2
2x 2 6x 5
2x 4
8) y x 1 x 2
Bài 4: Tìm vi phân của các hàm số:
1) y x 4 2x 1
2) y ( x 3 2)( x 1)
2x 2 6x 5
4) y 3 sin 2 x. sin 3x
2x 4
b) Cho f x x 106 . TÝnhf '' 2
3) y
Bài 5: a) Cho f ( x) 3x 1 , tính f ’(1)
c) f x sin 3x . Tính : f '
; f '' ;f '' 0 f ''
18
2
18
3
Bài 6: Cho hàm số: y = x + 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;
c) Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;
1
x 5.
d) Vuông góc với đường thẳng : y = 16
Bài 7: Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:
a) f ( x) x 5 x 3 2x 3 thoả mãn: f ' (1) f ' (1) 4 f (0) .
b)
y
x 3
;
x4
2y '2 (y 1)y"
c) y = a.cosx +b.sinx
d) y = cot2x
thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0 .
thoả mãn hệ thức: y’ + 2y2 + 2 = 0
Bài 8: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:
1) y x 3 3x 2 9x 5 2) y x 4 2 x 2 5 3) y x 4 4x 3 3
x 2 5 x 15
x2
9) y cos x sin x x
5) y
6) y x
4
x
7) y
10) y 3 sin x cos x x
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
1) y’ > 0 với y x3 3x2 2
x
x 4
2
1
2
11) y 20 cos 3x 12 cos 5x 15 cos 4x
2) y’ < 4 với
2
4) y x 1 x 2
8) y sin 2 x sin x 3
y
1 3 1 2
x x 2x 3
3
2
x2 x 2
4) y’>0 với y x 4 2x 2
5) y’≤ 0 với y 2 x x 2
x 1
4
x2 x 2
5) y' 0 víi y
6) y' 0 víi y x
x
x 1
2 3
Bµi 9: Cho hàm số: y x (m 1) x 2 3(m 1) x 2 .
3
1) Tìm m để phương trình y’ = 0:
a) Có 2 nghiệm phân biệt.
b) Có 2 nghiệm trái dấu.
c) Có 2 nghiệm dương phân biệt.
d) Có 2 nghiệm ©m .
2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.
3) Tìm m để y’ > 0 với mọi x > 0.
3) y’ ≥ 0
với
y
III. PhÇn h×nh häc
Bµi 1: Cho h×nh chãp S.ABCD, ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, t©m O; SA (ABCD);
SA = a 6 . AM, AN lµ c¸c ®-êng cao cña tam gi¸c SAB vµ SAD;
1) CMR: C¸c mÆt bªn cña chãp lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. TÝnh tæng diÖn
tÝch c¸c tam gi¸c ®ã.
2) Gäi P lµ trung ®iÓm cña SC. CMR: OP (ABCD). Vµ P c¸ch
®Òu c¸c ®Ønh cña h×nh chãp.
3) CMR: BD (SAC) , MN (SAC).
4) Chøng minh: AN (SCD); AM SC .
5) SC (AMN)
6) Dïng ®Þnh lÝ 3 ®-êng vu«ng gãc chøng minh BN SD
7) TÝnh gãc gi÷a SC vµ (ABCD)
8) H¹ AQ lµ ®-êng cao cña tam gi¸c SAC, chøng minh AM,AN,AQ ®ång ph¼ng.
Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B , SA (ABC) . KÎ AH , AK lÇn
l-ît vu«ng gãc víi SB , SC t¹i H vµ K , cã SA = AB = a .
1) CMR: tam gi¸c SBC vu«ng .
2) Chøng minh tam gi¸c AHK vu«ng vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AHK .
3) CMR: SC (AHK).
4) Gäi I lµ trung ®iÓm cña SC. CMR: I c¸ch ®Òu c¸c ®Ønh cña h×nh
chãp, tÝnh kho¶ng c¸ch ®ã theo a.
5) CMR: (SAB) (SBC) (AHK) (SBC), (AHK) (SAC).
6) TÝnh gãc gi÷a (SAB) vµ (SBC).
7) Tinh d(A, (SBC)), d(B, (SAC)), d(AH, SC).
Bµi 3: Cho tø diÖn OABC cã OA, OB. OC ®«i mét vu«ng gãc vµ OA= a 6 ,
OB = OC = a. M,N,P lµ h×nh chiÕu cña O lªn AB, AC, BC.
a) CMR: OA BC, OB AC, OC OA.
b) Cmr: BC (OAP), OA MN.
c) TÝnh gãc gi÷a AP vµ (OBC).
d) CMR: c¸c mÆt ph¼ng (OBC), (OAC), (OAB) ®«i mét vu«ng gãc.
e) CMR: (ABC) (OAP).
f) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a OA vµ BC, OB vµ AC.
g) TÝnh gãc gi÷a (OBC) vµ (ABC).
h) TÝnh d(O, (ABC) )
Bµi 4: Cho tø diÖn ABCD cã (ABD) (BCD), ABD c©n t¹i A; M , N lµ trung ®iÓm cña BD vµ BC
a) Chøng minh AM (BCD), (ABC) (AMN).
b) kÎ MH AN, cm MH (ABC).
Bµi 5: Cho chãp S.ABC, ®¸y lµ tam gÝc vu«ng t¹i C, SAC ®Òu vµ n»m trong mp vu«ng gãc víi (ABC).
3
BC = a, AC = 2a. I lµ trung ®iÓm cña SC
1) CMR: (SBC) (SAC); (ABI) (SBC).
2) TÝnh gãc gi÷a (SAC) vµ (ABI).
Bµi 6: Cho chãp S.ABCD, ABCD lµ h×nh thang vu«ng tai A, B, cã BC lµ ®¸y bÐ vµ gãc ACD 90 .
a)CMR: tam gi¸c SCD, SBC vu«ng
b)KÎ AH SB, cmr: AH (SBC)
c)KÎ AK SC, cmr: AK (SCD)
Bµi 7: Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA (ABCD) ; ®¸y ABCD lµ h×nh
thang vu«ng t¹ A vµ B, biÕt SA = AB = BC = a, AD = 2a.
1) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp lµ c¸c tam gi¸c vu«ng.
2) CMR: SD AB.
3) Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC. TÝnh gãc gi÷a BM vµ (ABCD).
4) TÝnh gãc gi÷a mp(SAD) vµ (SCD).
5) TÝnh d(D, (SBC)), d(B, (SCD)).
6) TÝnh d(AB, SD), d(SB, AD), d(SB, CI) víi I lµ trung ®iÓm cña AD).
Bµi 8: Cho h×nh chãp S.ABCD , ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, c¹nh a;
SA=SB=SC=SD=a;
a) TÝnh ®-êng cao cña chãp.
b) CMR: (SAC) (SBD), (SAC) (ABCD).
c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC. CMR: (MBD) (SAC).
d) TÝnh gãc gi÷a c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y.
f) TÝnh gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABCD)
g) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a SC vµ BD; d(O, (SBC))
Bµi 9: Cho chãp OABC cã OA=OB=OC=a;
0
AOC 1200 ; BOA 600 ; BOC 900 . M lµ trung ®iÓm cña AC
a) CMR: ABC lµ tam gi¸c vu«ng, tam gi¸c BOM vu«ng
b) (OAC) (ABC)
c) TÝnh gãc gi÷a (OAB) vµ (OBC).
Bµi 10: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh C, CA=CB=2a, hai mÆt ph¼ng
(SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi mÆt ®¸y, c¹nh SA=a. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB.
a)Cm: (SCD) (SAB)
b)TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBC)
c)TÝnh gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (SBC)
Bµi 11: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a.
a)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®-êng th¼ng AB vµ CD
b)TÝnh gãc gi÷a c©c c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y
c)TÝnh gãc gi÷a c¸c mÆt bªn vµ mÆt ®¸y
d)Chøng minh c¸c cÆp c¹nh ®èi vu«ng gãc nhau.
Bµi 12: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’; M, N lµ trung ®iÓm cña BB’ vµ A’B’
a)TÝnh d(BD, B’C’)
b)TÝnh d(BD, CC’), d(MN,CC’)
Bµi 13: Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’ cã AB=BC=a; AC=a 2
a)cmr: BC vu«ng gãc víi AB’
b)Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC, cm (BC’M) (ACC’A’)
c)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a BB’ vµ AC.
Bµi 14: Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’ cã ®¸y ABC vu«ng t¹i C, CA=a; CB=b, mÆt bªn
AA’B’B lµ h×nh vu«ng. Tõ C kÎ ®êng th¼ng CH AB, kÎ HK AA’
a) CMR: BC CK , AB’ (CHK)
b) TÝnh gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (AA’B’B) vµ (CHK)
4
c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn (AA’B’B).
… … … … … … HÕt … … … … … … …
………………
………………
5
- Xem thêm -
.PDF 
5 
61 
55 
