TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bảng các giá trị lượng giác của góc đặc biệt
Độ
00
rad
0
300
GTLG
450
0
900
1200
1350
1500
2
3
5
6
4
3
2
3
4
6
2
1
1
sin
600
2
3
cos
1
2
tan
0
3
2
3
2
2
2
1
2
2
3
1
0
2
2
2
1
2
2
3
||
3
||
cot
3
Ct đổi độ sang rad
Rad
180
ˆ
.Đo
Ct đổi Rad sang độ
ˆ
Đo
180
.Rad
Cung đối
sin( x ) sin x
cos( x ) cos x
tan( x ) tan x
cot( x ) cot x
Cung phụ
1
3
0
3
1
2700
3600
3
2
0
1
1
0
1
0
||
0
||
0
||
2
0
3
2
2
3
1
1800
3
3
3
3
1
3
Công thức biến đổi tổng thành tích
Các hệ thứ cơ bản
a b
a b
sin a sin b 2 sin
. cos
2
2
sin 2 x cos 2 x 1 ,
a b
a b
sin a sin b 2 cos
. sin
sin x
2
2
tan x
cos x
a b
a b
cos a cos b 2 cos
. cos
cos x
2
2
cot x
, tanx.cotx=1
sin x
a b
a b
cos a cos b 2 sin
sin
1
2
2
2
1
tan
x
,
cos 2 x
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
1
cos a. cos b cos( a b) cos( a b)
1 cot 2 x
2
2
sin x
1
sin a. sin b cos( a b) cos( a b)
Công thức cộng
2
1
sin( a b) sin a. cos b cos a. sin b sin a. cos b sin( a b) sin( a b)
2
cos(a b) cos a. cos b sin a. sin b
Các phương trình đặc biệt
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
1
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
sin( / 2 x ) cos x
cos( / 2 x ) sin x
tan( / 2 x ) cot x
cot( / 2 x ) tan x
Cung bù
sin( x ) sin x
cos( x ) cos x
tan( x ) tan x
cot( x ) cot x
tan( a b )
1 tan a. tan b
sin u 1 u
Công thức nhân đôi
sin 2a 2 sin a. cos a
2
2
2
cos 2a cos a sin a 2 cos a 1
1 2 sin 2 a
2 tan a
tan 2a
1 tan 2 a
sin3x = 3sinx - 4 sin3x
cos3x = 4cos3x - 3cosx
cos( x ) cos x
Công thức hạ bậc
cot( x ) cot x
k
2
sin u 1 u
2
k
k
2
cos u 1 u k 2
cos u 1 u k 2
sin u
tan u 0
0 sin u 0 u k
cos u
tan u 1 u k
4
tan u 1 u k
4
cos u 0 u
Công thức nhân ba ;
Hơn kém
sin( x ) sin x
tan( x ) tan x
sin u 0 u k
tan a tan b
cot u 0
1 cos 2 x
sin x
2
1 cos 2 x
cos 2 x
2
2
cos u
sin u
cot u 1 u
4
0 cos u 0 u
2
k
k
cot u 1 u
4
k
1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
tan x
1/ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
cot x
y
sin x
cos x
cos x
sin x
f ( x)
g ( x)
y=
xác định khi
cos x 0 x
2
k
xác định khi sin x 0 x k , k z
xác định khi g ( x ) 0
xác định khi f ( x ) 0
f ( x)
BÀI TẬP
Tìm tập xác định của các hàm số :
1)
y
4)
y
7)
y
10)
2
2)
sin 2 x 1
sin
y
2
3
2
x cos x
5)
1 sin x
8)
1 sin x
x 1
sin x 1 2 cos x
HD :
7)
2
y tan 3 x
y
sin x 3
cos x
y
11) y
3) y = tan2x + cot3x
6
cot x 45
0
6)
2x 3
3 cot 2 x
4
9)
1
sin x cos x
y
y
cos x
1 sin x
12)
Vì 1 sin x 0 và 1 sin x 0 nên
1 sin x
1 sin x
2
sin 2 x cos x
tan 2 x
y
4 cos
0 .Biểu
1
2
3
x 3
thức trong
căn bậc hai không âm,để hàm số xác định thì 1 sin x 0
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
2
, k z
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
2/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT :
1 sin x 1 , 1 cos x 1
và
0 sin
2
sin x. cos x
sin
2
,
x 1
0 cos
2
2 sin x
4
4
sin x cos x 2 sin x
2 cos x
4
4
cos x sin x 2 cos x 2 sin x
4
4
sin x cos x 2 cos x
x 1
sin 2 x
2
2 sin x. cos x
2
x. cos x
4
2
sin
2
2x
4
VÍ DỤ :
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất :
1) y 2 sin x 3
2)
y
2
4 3 cos 2 x
5
Bài giải :
1) Ta có : 1 sin x 1 2 2 sin x 2 2 3 2 sin x 3 2 3 1 y 5
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y min 1 đạt được khi :
Giá trị lớn nhất cùa hàm số là y max 5 đạt được khi :
2) Ta có :
0 cos
2
2 x 1
sin x 1 x
sin x 1 x
2
2
0 3 cos 2 x 3 0 3 cos x 3
2
4
5
4 3 cos 2 x
5
Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là y max
1
5
4
5
2
k 2 ,
4 4 3 cos
y
k 2 ,
2
2
kz
kz
x 3 4
1
5
4
đạt được khi :
5
2
cos 2 x 0 cos 2 x 0 2 x k x k ,
2
4
2
kz
1
Giá trị nhỏ nhất cùa hàm số là y min đạt được khi
5
cos
2
2 x 1
x k
cos 2 x 1
2 x k 2
,
2 x k 2
cos 2 x 1
x k
2
kz
BÀI TẬP
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
1) y 3 sin 2 x cos 2 x
2) y 2 sin 2 x
2
2
y 2 sin x 5 cos x 2
7)
y 3 2 sin
10)
13)
y 3 sin
y sin
4
2
2
3 x 4 cos
4
2
3 x 2 cos 6 x
11) y
14)
x
1)Thay
2)
y cos
2
x cos
2
x 2 cos
sin
y 2 (sin
2
2
x. cos
2
x cos
2
x
y
sin
x) 3
3 4 sin
2
2
x. cos
2
x
3) y 2 sin x cos x
6)
x 2 cos 2 x
8) y = sin6x + cos6x
x 5
x cos
HD :
5)
2
3 sin
y 2
cos x 1
9) y cos x cos( x
2
x
2
12)
y
2 3 sin 4 x
4
3 cos 2 x 3 sin 2 x 5
3
2x
4
sin
2
2x
4
3) Thay sin x cos x 2 cos x thì y 2
4
2 cos x
4
2 - PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN
1-Phöông trình sinu = a
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
3
4)
)
3
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
+ a <-1 hay a > 1 : phöông trình voâ nghieäm
+ -1 a 1 : Neáu a khoâng laø giaù trò ñaëc bieät thì nghieäm cuûa pt laø :
sin u a
Neáu a laø giaù trò ñaëc bieät ,thì bieán ñoåi ñöa pt veà daïng :
sin u sin v
u arcsin a k 2
,k z
u arcsin a k 2
u v k 2
u v k 2
,k z
2-Phöông trình cosu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phöông trình voâ nghieäm
+ -1 a 1 : Neáu a khoâng laø giaù trò ñaëc bieät thì nghieäm cuûa pt laø :
cos u a
Neáu a laø giaù trò ñaëc bieät ,thì bieán ñoåi ñöa pt veà daïng :
3- Phöông trình tanu = a
Ñieàu kieän :
cos u 0 u
k ,
u
u
cos u cos v
arccos a k 2
arccos a k 2
,k z
u v k 2 , k z
u v k 2
k z
2
Neáu a khoâng laø giaù trò ñaëc bieät ta có : tan u a u arctan a k , k z
Neáu a laø giaù trò ñaëc bieät ,thì bieán ñoåi ñöa phöông trình veà daïng : tan u tan v u v k , k z
4- Phöôpng trình cotu = a
Ñieàu kieän : u k , k z
Neáu a khoâng laø giaù trò ñaëc bieät : cot u a u arc cot a k , k z
Neáu a laø giaù trò ñaëc bieät ,thì bieán ñoåi ñöa phöông trình veà daïng : cot u cot v u v k , k z
BÀI TẬP
Bài 1 : Giải các phương trình
1)
4)
2 cos 2 x
2 sin 2 x
6
tan 2 x
cos 3 x 45
0
cot x
3
6
11)
sin 4 x 0
cot 45
cos 2 x
3
cos 3 x
0
6
4
2
11) cot
2x
3
0
2 cos
9) tan(2x+600) = 10
12)
cos
x
2
cos 2 x 30
3) sin2x + 2cos2x = 0
6) 8 sinx cosx cos2x = 9) tan3x.tan2x = 1
1
3x 3
2x
1 0
4
3
6)
2) sin2x – cosx = 0
5) sin2x + cos2x = 0
8 ) sin22x- cos2x = 0
3 sin x cos x
3)
2x
x
1 0
8) sin 3 1. 3 cot
3
2
3 tan 2 x 1 0
Bài 2 : Giải các phương trình
1) 4 sin 2 2 x 3 0
4) sin2x + cos22x = 1
7) tan2x.cot3x = 2
10)
5)
3 0
7) sin x cos x
10)
2) sin 3 x 2 1
1
5
cos 2 x
1 sin 2 x
12) cosxcos2xcos4xcos8x =
3
0
HD : Điều kiện xác định của phương trình là :
Với :
k 0 x
4
,
k 1 x
5
4
,
sin 2 x 1 2 x
k 2 x
9
4
2
,
k 2 x
k 3 x
4
13
4
k
…
Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với :
cos 2 x 0 2 x
Với : h 0
x
4
2
(loại) ,
h ,
kz
4
2
3
5
h 1 x
, h 2 x
4
4
h x
(loại ) ,
h 3 x
7
4
…/
Nhận thấy với k lẻ thì nghiệm của phương trình thỏa điều kiện của bài
Vậy pt có nghiệm
x
4
h
2
với h lẻ nghĩa là h = 2k+1
3. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI THEO MOÄT HÀM SỐ LÖÔÏNG GIAÙC
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
4
2
1
16
Bài 3 : Giải phương trình :
0
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác là pt có một trong các dạng sau :
asin2x + bsinx + c = 0 (1)
atan2x + btanx + c = 0 (3)
acos2x + bcosx + c = 0 (2)
acot2x + bcotx + c = 0 (4)
Caùch giaûi : Đặt ẩn phụ t bằng một trong các hslg trên,pt (1) và (2) điều kiện -1 t 1 ,pt (3) và ((4) phải có
điều kiện của tanx và cotx
VÍ DỤ
Giải các phương trình :
Giải :
sin2x – 3sinx +2 = 0
Đặt t = sinx , điều kiện 1 t 1 ,phương trình trở thành :
t2 – 3t + 2 = 0
t 1
t 2
Nghiệm t = 2 không thỏa điều kiện của phương trình .
Với t = 1 sinx = 1
BÀI TẬP
Bài 1 :Giải các phương trình
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
x
2 x
6 cot 5 0
3) cot
2
2
2)
tan
2
x
1
2
k 2 , k Z
2 x (1
3 ) tan 2 x
2) 2 cos 2 x 2 cos x 2 0
4) 2 cos 2 x 2 1 3 sin x 3 2 0
6) cos 2 x sin 2 x 0
8) 3 tan 2 x 3 cot 2 x 3 3 0
10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + 4 = 0
12) tanx + 2cotx = 3
14) sin3x+cos3x =sinx + cosx
16) 2cos22x +3sin2x = 2
sin 2 x
2
3 0
4) 4 sin 2 x 2(1 3 ) sin x 3 0
Bài 2 : Giải các phương trình :
1) 8cos2x + 2sinx - 5 = 0
3) cos2x - 3 sinx =1
5) 6 sin23x +cos12x =14
7) cos4x + cos2x =2
9) 2cos2x – sin2x - 4cosx + 2 = 0
11) cos2x + sin2x +2cosx + 1 = 0
x
2 x
2 cos 2 0
13) sin
2
2
15)sin4x + cos4x =
2 sin 2 x
2
2 x
20) cos 2 x 2 cos x 2 sin
2
3
3
18) sin x cos x
17) 2 – cos2 x = sin4x
19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1
HƯỚNG DẪN
12) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x) =(sinx+cosx)(115)
sin
4
x cos
4
x sin
2
x
sin 2 x
)
2
2 cos2 x 2 [sin 2 x 2 cos2 x 2 2 sin 2 x cos 2 x] 2 sin 2 x cos2 x
= sin 2 x cos 2 x
2
2 2 sin 2 x cos 2 x 1 2. sin 4 2 x
18) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(1-
sin 2 x
2
))
1 cos 2 x
2
16) Thay sin x
2
3/ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT THEO SINX VAØ COSX : a sinx + b cosx = c
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
sin a. cos b cos a. sin b sin( a b )
cos a. cos b sin a. sin b cos( a b )
Cách giải
Caùch 1 :
Chia hai veá cuûa phöông trình cho
a
a
2
b
2
b
sin x
a
2
b
2
a
2
b
,ta được :
2
c
cos x
a
2
b
2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
5
(1)
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Vì
a
a
2
b
2
2
b
a
2
b
2
2
1
sin x. cos cos x. sin
sin( x )
a
2
b
2
cos
thì
b
a
2
b
2
sin
pt trở thành :
c
2
a b2
c
2 2
a b
Đây là pt lượng giác cơ bản,pt này có nghiệm khi
Cách 2 :
a
nên nếu
c
a
2
b
2
1 a
2
b
2
c
2
Chia hai vế của phương trình cho a ,pt trở thành :
b
c
c
sin x cos x
sin x tan . cos x
a
a
a
sin
c
c
c
sin x
cos x
sin x cos cos x sin cos sin( x ) cos
cos
a
a
a
Nếu
Nếu
c
cos 1 thì phương trình vô nghiệm .
a
c
c
cos 1 ta đặt
cos sin ,pt trở thành :
a
a
sin( x ) sin đây là pt cơ bản
Cách 3 : Đặt t tan
a
2t
x
1 t 2
, ta có công thức : sin x
,
thì pt trở thành :
cos
x
2
1 t 2
1 t 2
2t
1 t 2
b
c
1 t 2
1 t 2
(b c)t 2 2at b c 0
, Đây là pt bậc hai theo t
B.VÍ DỤ :
Giải phương trình :
sin x
3 cos x 1
Bài giải :
Cách 1 : Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được :
1
3
1
sin x
cos x
2
2
2
1
3
0
Vì cos 60 và
sin 60 0 nên phương trở thành :
2
2
sinxcos600 - cosxsin600 =
1
2
sin(x- 600) = sin300
x 60 0 30 0 k 360 0
0
0
0
0
x 60 180 30 k 360
x 90 0 k 360 0
0
0
x 210 k 360
, kz
Cách 2 : Chia hai vế của pt cho 1 , phương trình trở thành
sin x
3 cos x 1
sin x tan 60 0. cos x 1
sin 60 0
sin x
cos x 1
cos 60 0
sin x cos 600 cos x sin 600 cos 60 0
1
sin( x 60 0 ) sin( x 60 0 ) sin 30 0 , đây là pt cơ bản .
2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
6
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
x
Cách 3 : Đặt t tan , phương trình trở thành :
2
2t
1 t 2
3
1 t 2
1 2t
1 t 2
3 3t 2 1 t 2 1
3 t 2 2t 1 3 0
Đây là phương trình bậ hai theo t
C.BÀI TẬP
Giải các phương trình :
1) 3 cos 2 x 3 sin 2 x 3
3) 3sin2x + 4 cos2x = 5
5) sinx + cosx = 2
7) sin 4 x 3 cos 4 x 1
1
2
9) sin 2 x sin x
2
HD :
2)
3 sin x 300 cos x 30 0 1
4) 2 cos( x ) 2 sin x 3
6) sin 2 x 2 3 cos 2 x 0
8) tan150.cosx + sinx -1 = 0
1 sin x
2
10)
1 cos x
1 cos 2 x
2
6) Thay cos x
2
8) Thay tan 15 0
sin 150
rồi qui đồng mẫu số .
cos150
1 cos 2 x
2
9) Thay sin x
2
10) Đặt điều kiện rồi qui đồng ,khử mẫu đưa về dạng ( 1 )
PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI THUAÀN NHAÁT THEO SINX VAØ COSX
asin2x + b sinxcosx + c.cos2x =d vôùi a,b,c khoâng ñoàng thôøi baèng 0
A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ
Cách giải :
Cách 1 :
+ Với cosx = 0 töông öùng sin x 1 thế vào pt
Nếu vt = vp ( thỏa) : pt có nghiệm
x
2
k , k z
Nếu vt ≠ vp (không thỏa ) pt không có nghiệm x 2
k
+ Với cos x 0 ,Chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x,phöông trình trôû thaønh :
a tan2x + b tanx + c =
d
2
cos x
a tan2x + b tanx + c = d(1+tan2x)
Đây laø phöông trình bậc 2 theo tanx .
1 cos 2 x
Cách 2 : Dùng công thức hạ bậc , thay sin 2 x
2
1 cos 2 x
, cos 2 x
2
, sin x cos x
:
a
1 cos 2 x
2
b
sin 2 x
2
c
1 cos 2 x
2
d
b sin 2 x (c a ) cos 2 x 2d a c
Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x
B.VÍ DỤ ;
Ví dụ 1 : Giải các phương trình :
2sin2x – 5 sinx.cosx - cos2x = -2
Bài giải :
Cách 1 :
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
7
sin 2 x
2
ta được
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
+ Với cosx = 0 tương ứng với sin x 1 khi đó VT = 2 VP = -2 nên cosx = 0 không
thỏa
mãn phương trình (1). Pt không có nghiệm cosx = 0 .
+ Với cosx 0 , chia hai vế của pt cho cos2x . pt trở thành :
2 tan2x -5 tanx -1 =
2
21 tan 2 x
2
cos x
4tan2x – 5tanx + 1 = 0
tan x 1
1
tan x 4
Với tanx = 1 x k , k z
4
1
1
x arctan k , kz
Với tanx =
4
4
1 cos 2 x
1 cos 2 x
sin 2 x
2
2
Cách 2 : Thay sin x
, cos x
, sin x cos x
ta được :
2
2
2
2
1 cos 2 x
2
5
sin 2 x
2
1 cos 2 x
2
2
5 sin 2 x 3 cos 2 x 5
Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
2 cos 2 x 3 3 sin 2 x 4 sin 2 x 4
Bài giải :
Pt được viết lại dưới dạng : cos 2 x 3 3 sin x cos x 2 sin 2 x 2
+ Với cosx = 0 tương ứng với sin x 1 khi đó VT = -2 = VP = -2 nên cosx = 0 thỏa
kz .
phương trình (1). Pt có nghiệm cosx = 0 x k ,
2
+ Với cosx 0 , chia hai vế của pt cho cos2x . pt trở thành :
1 - 3 3 tanx -2 tan2x=
2
2
2 1 tan x
2
cos x
3 tan x 0
1
tan x tan
tan x
3
6
Vậy pt có nghiệm là x k , và x k ,
2
6
1
Bài tập : Giải các phương trình
1) 3 sin 2 x 4 sin 2 x 8 3 9 cos 2 x 0
2
2)
2
6)
2
2
2 sin 2 x 3 3 sin 2 x cos 2 x 3 1 cos 2 x 1
2
2
3 sin x 1
3 sin x. cos x cos x 1
3 0
7)
k ,
6
cos
3 1 sin
2
kz
kz
2
x
3 sin 2 x
2
4) sin x + sin2x - 2cos x =
1 3 sin 2 x
2
x
2
3) 3sin x - 4 sinxcosx +5cos x = 2
5) sin 2 x 3 cos 2 x
2x
3 sin 4 x 1 sin
3 1 cos
2
1
2
2
2x
8)
2
9) 2 sin x 3 sin 2 x 2(1 3 ) 5 3
Một số pt áp dụng công thức biến đổi :
10) sin 2 x 2 cos 2 x 4 sin 2 x 0
Vd: Giải các phương trình
1) sinx + sin2x + sin3x = 0
3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x
5) 2 sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x
2) cos3x – cos4x + cos5x = 0 (*)
4) cos 2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 (*)
Giải
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
8
x 0
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
1) sinx + sin2x + sin3x = 0
Ta có : sinx + sin2x + sin3x = 0
sin x sin 3x sin 2 x 0 2 sin 2 x cos x sin 2 x 0
sin 2 x 2 cos x 1 0
sin 2 x 0
2 cos x 1 0
sin2x= 0 x k , k z
2cosx+1 = 0 cos x
1
2
cos
2
3
2
x 3 k 2
,
2
x
k 2
3
kz
CHƯƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT
1 QUI TẮC ĐẾM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1- Qui tắc cộng : Một công việc được thực hiện bởi nhiều phương án .Phương án thứ nhất có m cách
chọn,phương án thứ hai có n cách chọn thì có m + n cách chọn công việc .
Nếu và B là các tập hợp hữu hạn không có giao nhau( A B = )thì
n ( A B ) n ( A) n( B )
Nếu Avà B là hai tập hợp hữu hạn bất kì ( A và B có thể giao nhau) thì n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)
n ( A B ) n ( A) n ( B ) n ( A B )
2- Qui tắc nhân : Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau .Công đoạn thứ nhất
có m cách chọn,công đoạn thứ hai có n cách chọn thì có m . n cách chọn công việc .
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Có 4 nam , 5 nữ .hỏi có bao nhiêu cách chọn :
a) Một học sinh đi trực
b) Một cặp song ca .
Bài giải :
a) Số cách chọn một học sinh đỉ trực
Có 4 cách chọn 1nam
Có 5 cách chọn 1 nữ
Vậy theo qui tắc cộng ta có : 4 + 5 = 9 cách
b) Số cách chọn một cặp song ca
- Có 4 cách chọn nam,
- Ứng với 1 cách chọn nam thì lại có 5 cách
chọn nữ
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.5 = 20 cách chọn
Vd2 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 4 chữ số
b) Có 4 chữ số khác nhau
c) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau
d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau
Bài giải :
a ) Gọi số cần tìm là abcd
Tại a có 5 cách chọn vì a 0 ( a 1,2,3,4,5 )
Tại b có 6 cách chọn ( b 0,1,2,3,4,5 )
Tại c có 6 cách chọn
( tương tự )
Tại d có 6 cách chọn
Qui tắc nhân ta có : 5.6.6.6 = 1080 số
Tại c có 3 cách chọn vì c a và c b và c dQui tắc
nhân ta có : 3.4.4.3 = 144 số .
d) Gọi số cần tìm là abcd
Cách 1:Số có 4 chữ số khác nhau = số lẻ có 4 chữ số khác
nhau + số chẵn có 4 chữ số
số chẵn có 4 chữ số khác nhau = Số có 4 chữ số khác
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
9
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
nhau – số lẻ có 4 chữ số khác nh = 300 – 144 = 156
b) Gọi số cần tìm là abcd
Cách 2 :
Tại a có 5 cách chọn vì a 0 ( a 1,2,3,4,5 )
Trường hợp d = 0 . Tại d có 1 cách chọn
Tại b có 5 cách chọn vì b a
Tại a có 5 cách chọn vì ad
Tại c có 4 cách chọn vì c a và c b ( tương tự )
Tại b có 4 cách chọn vì b a và b d
Tại d có 3 cách chọn vì d a và d b và d c Qui
Tại c có 3 cách chọn
tắc nhân ta có : 5.5.4.3 = 300 số
Theo
qui tắc nhân ta có 1.5.4.3 = 60 số
c) Gọi số cần tìm là abcd
Trường
hợp d 0 . Tại d có 2 cách chọn ( d 2;4 )
Tại d có 3 cách chọn ( d 1,3,5 )
Tại a có 4 cách chọn vì a 0 và a d
Tại a có 4 cách chọn vì a 0 và a d
Tại b có 4 cách chọn vì b a và b d
Tại b có 4 cách chọn vì b a và b d
Tại c có 3 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có 2.4.4.3 = 96 số
Bài tập
1/ Từ các số 1,2,3,4,5,6,,7 có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 5 chữ số
b) Có 5 chữ số khác nhau
c) Số chẵn có 5 chữ số
d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
2/ Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 5 chữ số
b) Có 5 chữ số khác nhau
c) Số lẻ có 5 chữ số khác nhau
d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
e) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
3/ Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 30 hs biết đá bóng,20 học sinh biết đánh bóng chuyền ,15 học sinh
biết cả hai môn . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
a) Biết chơi thể thao
b) Không biết chơi thể thao .
4 / Từ A đến B có 3 con đường ,từ B đến C có 4 con đường ,từ C đến D có 5 con đường . Hỏi có bao nhiêu cách
đi :
a) Từ A đến D .
( ĐS : 3.4.5 cách )
b) Từ A đến D rồi trở về A . (ĐS : 60.60 cách )
c) Từ A đến D rồi trở về A mà không trở lại đường cũ . (ĐS: 60.24 cách)
5) Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc .Người ta chọn 1 cặp để phát biểu ý kiến ,Hỏi có bao nhiêu cách chọn để :
a) Hai người đó là vợ chồng ( Đs : 10 cách )
b) Hai người đó không phải là vợ chồng . ( Đs : 90 cách )
6) Có bao nhiêu cách xếp 5 nam , 5 nữ vào 10 ghế thành hàng ngang sao cho :
a)Nam nữ ngồi xen kẽ nhau . (Đs : 5!.5! cách)
b)Các bạn nam ngồi cạnh nhau . (Đs : 6.5!.5! cách )
2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1)Hoán vi : Chọn n trong n phần tử và xếp theo 1 thứ tự nhất định thì gọi là 1 hoán vị của n phần tử.Tổng
số các hoán vị là :
Pn n!n( n 1)(n 2)....3.2.1
2)Chỉnh hợp : Chọn k trong n phần tử ( 1 k n ) và sắp xếp theo 1 thứ tự nhất định (vd:nhất,nhì,ba) thì
gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.Tổng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
Ank
n!
( n k )!
3)Tổ hợp : Một tập hợp con gồm k phần tử ( 1 k n ) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử .
Tổng số các tổ hợp chập k của n phần tử là :
n!
C nk
k! n k !
B. VÍ DỤ :
Có 10 học sinh .Hỏi có bao nhiêu cách xếp :
1) 10 học sinh vào cái bàn có 10 chỗ ngồi.
2) 4 học sinh để phát thưởng nhất ,nhì , ba ,tư .
3) 3 học sinh đi trực
Bài giải :
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
10
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
1) Chọn 10 học sinh trong 10 ,sắp xếp theo một thứ tự nhất định ,mỗi cách sắp xếp là một hoán
vị của 10 phần tử. Tổng số các hoán vị là :
P10 = 3628800 cách xếp
2) Chọn 4 trong 10 học sinh và sắp xếp theo một thứ tự :nhất ,nhì ,ba tư là chỉnh hợp chập 4 của 10
4
phần tử . Tổng số cácchỉnh hợp này là : A10 5040
3) Chọn 3 trong 10 học sinh đi trực . Mỗi cách chọn là 1 tập hợp con có 3 phần tử .Tổng số tập hợp
3
con này là tổ hợp chập 3 của 10 phần tử . Như vậy có C10 120 cách xếp
C.BÀI TẬP
1) Từ 8 điểm trên mp ta có thể vẽ được bao nhiêu
a) Đường thẳng
b) Véc tơ
c) Tam giác
2) Một ban chấp hành gồm 7 người . Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a) Cả 7 người vào một bàn ăn có 7 chỗ ngồi khác nhau .
b) Ba người vào ban thường vụ : Bí thư,phó bí thư,ủy viên.
c) Năm người đi dự đại hội đoàn cấp trên .
3) Có bao nhiêu cách chọn 5 trong 11 cầu thủ đá phạt đền.
4) Có bao nhiêu đường chéo trong 1 hình đa giác lồi 20 cạnh.
5) Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 5 đt// và 4 đt vuông góc .
6) Trên giá sách có 10 quyển sách toán,8 quyển sách văn và 3 quyển sách lý.Lấy 3 quyển.Tính số cách lấy để :
a) Mỗi loại có 1 quyển.
b) Cả 3 quyển cùng loại.
c) Chỉ có đúng 1 quyển sách văn.
d) Có ít nhất 1 quyển toán.
D.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
Giải các phương trình :
2
1) Ax 12
4)
2)
n!
n!
3
n 2 ! n 1!
3)
3
2
5) Ax 5 Ax 21x
2
2
7) 2 Ax 50 A2 x
2
2
16) Px Ax 72 6 Ax 2 Px
7x
2
1
2
3
2
12) C x 6C x 6C x 9 x 14
1
2
3
9) C x C x C x
0
x 1
x 2
11) C x C x C x 79
5
14) Pn3 720 An Pn 5
5
4
15) An 18 An 2
x 3
3
17) C x 8 5 Ax 6
2 2
Ax 2
3
10
9
8
22) Ax Ax 9 Ax
18)
1
1
7
2 1
1
C x C x 1 6C x 4
20)
n! n 1! 1
n 1!
6
3
x 2
6) Ax C x 14 x
1
2
8) C x C x 6
2
2
10) 2C x 1 3 Ax 30
1 2
6 3
2
13) A2 x Ax .C x 10
2
x
3
2
19) C x 1 C x 1
n 1! 72
n 1!
2
2
23) 2C x 1 3 Ax 30
1
1
1
x x
x
C 4 C5 C 6
2
2
21) 2 Pn 6 An Pn . An 12
1
3
24) 72 Ax Ax 1 72
3 -NHỊ THỨC NIU-TƠN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
Cần nhớ :
n
a0 = 1 , a
1
,
an
n
m
a a
m
n
, am.an = am+n ,
am
a m n ,
n
a
a
m n
a m.n
1) Công thức nhị thức niu tơn :
a b n
C n0 a n C n1 a n 1b1 C n2 a n 2 b 2 ... C nk a n k b k .. C nn b n
k
n k k
+ Số hạng tổng quát là C n a b
+ Tổng các hệ số của (ax+by) n là (a+b)n
2) Tam giác pax-can : các hệ số được xếp theo tam giác sau
n=0 (a+b)0
1
1
n=1 (a+b)1
1 1
1 1
2
n=2 (a+b)
1 2 1
1 2 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
11
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
3
1
hay
1 3 3 1
1
4 6 4 1
1 4 6 4 1
1
5 10 10 5 1
1 5 10 10 5 1
n=2 (a+b)3
n=4
n=5
1
3
B.BÀI TẬP
1/ Khai triển nhị thức :
a)) (x+2)4
e) x
2
6
3
i) 2 x 3 2
x
2/
b) (3x- 4)5
f) x
5
2
x
7
2
k) x 2
x
d) sin x 2 4
c) (2x-3y) 5
g) x 2
5
1
2x
5
m) 2 x 3xy
2
a)Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển x
b)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển x
1
x
2
x
4
x2
x
n) 2
y y
4
10
20
1
a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 x 2
x
b) Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (1-2x)12
4
c) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển x 2
x
6
4
h) 2 x 2
x
6
12
n
1
n 1
n
d) Tìm heä soá cuûa x trong khai trieån 3 2 x 5 bieát C n 4 C n 3 7( n 3)
x
2
n
e) Biết hệ số của x trong khai triển (1+3x) là 90.Tìm n
4
4- PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1/ Không gian mẫu : là tập hợp tất cả các kết quả có thể sảy ra trong một phép thử .k/h .
2/ Biến cố : là tập con của không gian mẫu
5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 - Định nghĩ xác suất : tỉ số
P ( A)
n( A)
gọi là xác suất của biến cố A
n ( )
2/ Tính chất :
A B
Nếu
thì A và B là hai biến cố đối ( B A ) khi đó : P ( A) P ( B ) 1 hay
A B
P ( A) P ( A) 1
B.VÍ DỤ :
Có 3 quả cầu trắng , 4 quả cầu xanh . Chọn ngẫu nhiên hai quả .Tính xác suất của biến cố :
a) Hai quả cùng màu
b) Hai quả khác màu
c) Ít nhất một quả trắng
d) Không có quả trắng nào .
Bài giải :
Lấy hai trong 7 quả cầu là tổ hợp chập 2 của 7 phần tử ,do do đó
a ) Chọn được hai quả cùng màu ,Có hai khả năng:
2
+ Chọn được hai quả trắng ,có C3 cách
2 21
n() C7
+ Chọn được hai quả xanh ,có C 42 cách
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
12
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
2
2
Nên n( A) C3 C 4 9 , do đó P ( A)
n ( A)
n( )
9
21
3
7
b) Chọn được hai quả khác màu
1
+ Có C3 cách chọn một quả trắng .
+ Ứng với 1 cách chọn trắng thì lại có C 41 cách quả xanh
1
1
Qui tắc nhân ta có n(B) = C3 .C 4 12 , do đó P ( B )
n( B )
n()
12
21
4
7
c) Chọn được ít nhất một quả trắng : Có hai khả năng :
1
1
+ Chọn được 1 trắng, 1 xanh : có C3 .C 4 cách
2
+ Chọn được hai trắng : có C3 cách .
1
1
2
Qui tắc công ta có n ( C ) = C3 .C 4 + C3 =15 ,do đó P ( A)
n( A) 15 5
n() 21 7
A B
d) vì
nên A và B là hai biến cố đối nhau ( B A ) nên :
A B
5 2
P(A) + P(B) = 1 P(D) = 1- P(C) = 1
7 7
C.BÀI TẬP
2) Gieo một đồng tiền hai lần . Tính xác suất của các biến cố :
A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”
3) Gieo một đồng tiền ba lần .Tính xác suất của biến cố :
A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp’
B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”
C: “ Không có lần nào xuất hiện mặt sấp .
D: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất hai lần”
3) Gieo con súc sắc hai lần . Tính xác suất của các biến cố :
a) Lần đầu xuất hiện mặt một chấm .
b) Mặt một chấm xuất hiện ít nhất một lần .
c) Không có lần nào xuất hiện mặt một chấm . d) Tổng số chấm trên hai mặt nhỏ hơn 5.
5) Có 4 quả cầu trắng , 5 quả xanh , 6 quả đỏ . Chọn 3 quả .Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a) Ba quả cùng màu.
b) Ba quả khác màu .
c) Ít nhất một quả trắng.
d) Không có quả trắng nào .
e) Có đúng một quả trắng
f) Ít nhất hai quả trắng .
6) Một bình có 16 viên bi với 7 bi trắng ,6 bi đen,3 bi đỏ .
a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi .Tính xác suất để :
i) Lấy được 3 bi đỏ .
ii) Lấy được 3 bi không đỏ
b) Lấy ngẫu nhiên hai bi . Tính xác suất để lấy được:
i) Hai bi khác màu.
ii) Hai bi cùng màu
CHƯƠNG III : DÃY SỐ - CẤP SỐ
1-PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp chứng minh qui nạp gồm có 3 bước :
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n= 1
Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với n=k
Bước 3 : Ta c/m mệnh đề đúng với n = k+1
Vd1 : Cmr nN* ,ta có :
1+3+5+ ….+ (2n-1) = n2
Vd2: Chứng minh nN* thì :
n( n 1)
1 2 3 ... n
2
3
Vd3: : Cmr nN* thì n – n chia hết cho 3
Vd4 : Cmr nN* ,ta có : 3n > 3n+1
2 DÃY SỐ
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
13
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
a) Dãy số un gọi là dãy số tăng nếu un un+1
b) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số :
Phương pháp 1 : xét hiệu un+1 – un nếu un+1 –un >0 un+1 > un thì dãy số tăng
nếu un+1 –un < 0 un+1 < un thì dãy số giảm
u n 1
Phương pháp 2 : Nếu un > 0 với mọi n N* thì lập tỉ số
un
Nếu
Nếu
un1
un
>0 với mọi n N* thì dãy số tăng
u n 1
<0 0 với mọi n N* thì dãy số giảm
un
Vd :
a) Chứng minh dãy số sau là dãy số tăng : un = 2n-3
1
b) Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm : u n
n
3 CẤP SỐ CỘNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
u n u n 1 d
a) ĐN :
( hoặc un+1 = un + d )
b) Số hạng tổng quát : u n u1 ( n 1) d
u
u k 1
uk k 1
2
n
S n u1 u n
2
c) Tính chất :
d) Tổng :
( k 2 )
Hay
Sn
n
2
2u1 (n 1)d
B . BÀI TẬP
Dạng 1 : Tìm số hạng của cấp số cộng :
Vd1 :
1) Tìm 5 số hạng đầu của csc biết u1 = 2 , d = 3 .
2) Cho cấp số cộng biết u1 = 3 , u6 = 23
a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
b) Tính số hạng thứ 50 .
c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên .
3) Tìm 6 số hạng đầu liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu là 12,tổng của ba số hạng
kế là 30 .
3) Xen vào giữa số 3 và số 24 để được một csc có tám số hạng .
Dạng 2 : Tính tổng của cấp số cộng
1) Tính tổng S = 1+4+7+…+ 997+1000
( HD : un = u1 + (n-1)d =1000 , tìm n )
3
5
101
2) Tính tổng S 1 2 ...
2
2
2
3) Tính tổng S= 400 + 396 + 392 + …+ 4
4) Tính tổng S= 12-22+32 - 42 +52-62 + …+ (-1)n-1.n2 (HD: 12-22 = -3 , 32-42 = -7 , 52-62 = -11 )
Dạng 3 : Tìm số hạng đầu và công sai của csc ,biết :
u 2 4
u5 13
1)
2u5 u 3 14
u 4 u 6 20
2)
11
u2 u7 3
u1 2u5 0
5)
6)
14
S 4 14
S
4
3
u5 u 2 9
u 6 .u7 54
4)
u1 u 5 u 3 10
u1 u 6 7
8)
3)
7)
u3 u 4 2u5 6
S 5 30
u1 u2 u3 27
2
2
2
u1 u 2 u3 275
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
14
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Dạng 4 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng ,tìm n .
1) Cho dãy số (un) biết un= 2n-3 .
a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng .Tìm u1 và d .
b) Số 1999 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) Số 9800 là tổng của bao nhiêu số hạng ?
2) Tìm x trong cấp số cộng biết :
a) 1+ 6 +11+ 16 +…+ x = 970
b) 2 + 7 + 12 +…+ x = 24
Giải : a) Tổng trên là tổng của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1,un = x ,công sai d = 5 ,và có
Sn = 970. Để tìm được x ta cần tìm n .Ta có :
Sn
n
2
2u1 (n 1)d 970 n 2.1 (n 1).5 1940
2 n 5n 2 5n 1940
n 20
5n 2 3n 1940 0
n 194
(loai )
Do đó x chính là số hạng thứ 20 hay x = u20 = u1 + 19d =1+19.5 = 96
Dạng 5 : Dùng tính chất của cấp số cộng để giải một số bài toán :
1) Tìm m để 3 số : 3m2 + 1 ; 7m – m2 ; m2 + 3 lập thành một cấp số cộng
1
2
3
2) Tìm x trong cấp số cộng có 3 số hạng liên tiếp là C x , C x , C x
3) Tìm x để 1+ sinx , sin2x , 1+ sin3x lập thành một cấp số cộng .
4) Cho cấp số cộng có 4 số hạng liên tiếp là 1 , x+1 , y - 2 , 19 lập thành một cấp số cộng .
Dạng 6 : Xác định các góc,cạnh trong một tam giác ,tứ giác .
1) Tìm 3 góc trong 1 tam giác lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30 .
2) Tìm 3 góc trong 1 tam giác vuông lập thành một cấp số cộng .
3) Tìm 3 góc trong một tam giác lập thành một cấp số cộng biết góc nhỏ nhất là 20 0 .
4) Ba góc của 1 tam giác có số đo lập thành 1 cấp số cộng.Góc nhỏ nhất bằng 1/7 góc lớn nhất.Tính
số đo 3 góc tam giác ấy.
5) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số cộng có góc nhỏ nhất bằng 15 0
6) Tìm các cạnh trong một đa giác lập thành một cấp số công, có chu vi là 158 cm , biết góc lớn nhất là
44 ,công sai d = 3 cm
4 . CẤP SỐ NHÂN
A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ :
u n u n 1.q
a) ĐN :
n 1
b) Số hạng tổng quát : u n u1 .q
c) Tính chất :
2
u k u k 1 .u k 1
( hoặc un+1 = un .q )
( k 2 )
n
d) Tổng :
S n u1
1 q
1 q
Nếu q < 1 thì q n 0 ,ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là :
u
S 1
1 q
B. BÀI TẬP
Dạng 1 : Tìm số hạng và tổng của cấp số nhân :
1) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân biết u1 = 2 , q = 3 .
1 2
4
2) Cho cấp số nhân có 3 số hạng đầu là
,
,
, tính u8 , S8 .
3 9 27
3) Cho cấp số nhân có bốn số hạng liên tiếp là 3 , x , 9 , y . Hãy tìm x , y
4) Cho cấp số nhân biết u1 = 3 , u4 = 81
a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân.
b) Tính số hạng thứ 8 .
c) Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên .
5) Xen vào giữa số 1 và số 243 ,sáu số để được một cấp sốp nhân có tám số hạng .
6) Xen vào giữa số -2 và số 256 ,sáu số để được một cấp số nhân có tám số hạng .
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
15
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Dạng 2 : Tìm số hạng đầu và công bội của csn ,biết :
u 4 u 2 72
u5 u3 144
u 2 4
u 4 16
2)
u5 u3 24
u 2 u3 12
5)
1)
u1 u3 u5 65
u1 u7 325
4)
u1 u 2 u3 22
u 2 u 4 u6 44
3)
u 5 u1 15
u 4 u 2 6
6)
Dạng 3 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân ,tìm n .
u1 u5 51
u 2 u 6 102
1) Cho cấp số nhân biết
a)Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
b)Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ?
c)Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
1
u1 u3 3
2) Cho cấp số nhân (un) có
1
u 2 u 3
2
a) Tìm số hạng thứ 15
b) số
6561
là số hạng thứ mấy ?
8
3) Cho dãy số (un) biết un= 2n.
a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số nhân .Tìm u1 và q .
b) Số 1024 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) Số 2046 là tổng của bao nhiêu số hạng ?
4) Tìm số các số hạng ( tìm n ) của cấp số nhân ( un) biết :
a) q = 2 , un = 96 , Sn = 189
1
31
b) q = 2 , un =
, Sn =
8
8
2n
192
n 1
n 1
96 2 n
Giải : a) Ta có : u n u1 .q 96 u1 .2 96 u1 .
2
u1
1 qn
1 2n
189 u1
189 u1 u1 .2 n 189
1 q
1 2
192
u1 u1 .
189 u1 3
u1
192
n
64 2 6 n = 6
Với u1 = 3 thế vào pt (1) ta được : 2
3
Vậy cấp số nhân trên có 6 số hạng
Dạng 4 : Xác định các góc trong một tam giác ,tứ giác .
1) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có công bội q = 2 .
2) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có góc nhỏ nhất là 9 0 .
3) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số nhân biết góc lớn nhất gấp 9 lần góc nhỏ nhất .
Dạng 5 : Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1) Tính tổng :
1 1 1
1
1 1 2 4
...
a) S
b) S 1 2 3 4 ...
2 3 9 27
2 2
2 2
1 1
1
1 1 1 1 1
1
...
c) S 1
d) S 3 ... n ...
2 3 4 9 16 27
2 4
2
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
...
e) S
( HD :
,
,..,
1.2 2.3 3.4
n(n 1)
1.2 1 2 2.3 2 3
1
1
1
)
n(n 1) n n 1
12
12
.... )
2) Viêt số a = 5,121212…dưới dạng phân số . ( HD : a = 5+0,12+0,0012+..=5+
100 10000
S n u1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
16
TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
SỞ GD VÀ ĐT TIỀN GIANG
TRƯƠNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2011 -2012
Môn toán – khối 11 , Thời gian 120 phút
Bài 1 : ( 3 điểm ) Giải các phương trình :
1) cos22x + cos2x = 1
2) 2 + cos2x + sin2x = 3sin2x
3) sinx + cos2x +sin3x + cos4x = 0
Bài 2 : ( 2 điểm )
1) Cho 10 điểm trên đường tròn ( C )
a) Có bao nhiêu tam giác được tạo nên từ 10 điểm đã cho ?
b) Có bao nhiêu đường chéo từ đa giác lồi được tạo từ 10 điểm trên .
3
x 2
2) Giải phương trình : Ax C x 14 x
3) Tìm số hạng thứ tư trong khai triển x
2
x
5
Bài 3 : ( 1 điểm)
3u1 2u 3 4
. Tìm u1 và d
4u 2 5u5 18
Cho cấp số cộng (un) sao cho :
Bài 4 : ( 2 điểm )
Trong mpOxy cho đường thẳng (d) :2x – y + 3 = 0 và đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0
1) Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến véc tơ u ( 2;1)
2) Tìm ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm I(2;3) ,tỉ số k = 2 .
Bài 5 : ( 2 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ,tâm O .
1)Tìm giao tuyến của hao mặt phẳng :
a)(SAC) và (SBD)
b)(SAB) và (SCD)
2) Gọi M là trung điểm của SD . Tìm giao điểm của :
a) SA với mp(MBC)
b) SO với mp(MBC)
( Hình vẽ được 0,5 điểm )
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013
17
- Xem thêm -
.DOC 
17 
222 
100 
