Tài liệu Day so cap so(1)

Mời quý thầy cô mua trọn bộ trắc nghiệm 11 BẢN MỚI NHẤT 2017 Liên hệ HUỲNH ĐỨC KHÁNH 0975.120.189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Baøi 02 DAÕY SOÁ I – ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : ℕ* → ℝ n ֏ u (n ). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 , u3 , ..., un , ..., trong đó un = u (n ) hoặc viết tắt là (un ), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,..., m} với m ∈ ℕ * được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , ..., un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. II –CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó. III – DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VY DÃY SỐ BỊ CHẶN 1. Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 1 Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un +1 > un với mọi n ∈ ℕ * . Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un +1 < un với mọi n ∈ ℕ * . Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un ) với un = (−3) tức là dãy −3,9, −27,81,... không tăng cũng không giảm. n 2. Dãy số bị chặn Định nghĩa 2 Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * un ≤ M , ∀n ∈ ℕ . Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m, ∀n ∈ ℕ * . Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ℕ * . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1. Cho dãy số (un ) , biết un = −n . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt n +1 là những số nào dưới đây? 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 A. − ; − ; − ; − ; − . B. − ; − ; − ; − ; − . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 C. ; ; ; ; . D. ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 Lời giải. Ta có u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ; u4 = − ; u5 = − . Chọn A. 2 3 4 5 6 Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh. (ii) Ta thấy dãy (un ) là dãy số âm nên loại các phương án C, D. Đáp án đúng là A hoặc B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được. 1 Chẳng hạng kiểm tra u1 thì thấy u1 = − nên chọn A. 2 n Câu 2. Cho dãy số (un ) , biết un = n . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là 3 −1 những số nào dưới đây? A. 1 1 1 ; ; . 2 4 8 B. 1 1 3 ; ; . 2 4 26 C. 1 1 1 ; ; . 2 4 16 D. 1 2 3 ; ; . 2 3 4 Lời giải. Dùng MTCT chức năng CALC: ta có 1 2 2 1 3 3 u1 = ; u2 = 2 = = ; u3 = 3 = . Chọn B. 2 3 −1 8 4 3 −1 26  u1 = −1 Câu 3. Cho dãy số (un ) , biết  với n ≥ 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số  un +1 = un + 3   đó là lần lượt là những số nào dưới đây? A. −1;2;5. B. 1;4;7. C. 4;7;10. D.    1;3;7. − Lời giải. Ta có u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5. Chọn A. Nhận xét: (i) Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính: Nhập vào màn hình: X = X + 3. Bấm CALC và cho X = −1 (ứng với u1 = −1) Để tính un cần bấm “=” ra kết quả liên tiếp n −1 lần. Ví dụ để tính u2 ta bấm “=” ra kết quả lần đầu tiên, bấm “=” ra kết quả thứ hai chính là u3 ,... (ii) Vì u1 = −1 nên loại các đáp án B, C. Còn lại các đáp án A, C; để biết đáp án nào ta chỉ cần kiểm tra u2 (vì u2 ở hai đáp án là khác nhau): u2 = u1 + 3 = 2 nên chọn A. 2n 2 − 1 . Tìm số hạng u5 . n2 + 3 1 17 7 71 A. u5 = . B . u5 = . C. u5 = . D. u5 = . 4 12 4 39 2.52 −1 49 7 Lời giải. Thế trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u5 = 2 = = . Chọn C. 5 +3 28 4 Câu 4. Cho dãy số (un ), biết un = Câu 5. Cho dãy số (un ), biết un = (−1) .2n. Mệnh đề nào sau đây sai? n A. u1 = −2. B. u2 = 4. C. u3 = −6. D. u4 = −8. Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u1 = −2.1 = −2; u2 = (−1) .2.2 = 4, u3 = (−1) 2.3 = −6; u4 = (−1) 2.4 = 8 . Chọn D. 2 3 4 Nhận xét: Dễ thấy un > 0 khi n chẵn và ngược lại nên đáp án D sai. Câu 6. Cho dãy số (un ), biết un = (−1) . n 8 A. u3 = . 3 2n . Tìm số hạng u3 . n 8 D. u3 = − . 3 3 8 3 2 Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u3 = (−1) . = − . Chọn D. 3 3 u1 = 2   Câu 7. Cho dãy số (un ) xác định bởi  . Tìm số hạng u4 .  un +1 = 1 (un + 1)   3  5 2 14 A. u4 = . B . u4 = 1. C. u4 = . D. u4 = . 9 3 27 B. u3 = 2. C. u3 = −2. Lời giải. Ta có 1 1 1 2 1 12  5 u2 = (u1 + 1) = ( 2 + 1) = 1; u3 = (u2 + 1) = ; u4 = (u3 + 1) =  + 1 = . Chọn A.     3 3 3 3 3 33  9 Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. u1 = 3   Câu 8. Cho dãy (un ) xác định bởi  . Mệnh đề nào sau đây sai?  un +1 = un + 2  2   5 15 31 63 A. u2 = . B. u3 = . C. u4 = . D. u5 = . 2 4 8 16   u2 = u1 + 2 = 3 + 2 = 7 ; u3 = u2 + 2 = 7 + 2 = 15   2 2 2 2 4 4 Lời giải. Ta có  Chọn A.   u = u3 + 2 = 15 + 2 = 31 ; u = u4 + 2 = 31 + 2 = 63 .  4 5  2 8 8 2 16 16   Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh. n +1 8 Câu 9. Cho dãy số (un ), biết un = . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 2n + 1 15 A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. n +1 8 Lời giải. Ta cần tìm n sao cho un = = ⇔ 15n + 15 = 16n + 8 ⇔ n = 7. Chọn D. 2n + 1 15 Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh. 2n + 5 7 Câu 10. Cho dãy số (un ), biết un = . Số là số hạng thứ mấy của dãy số? 12 5n − 4 A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải. Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau: 2n + 5 7 un = = ⇔ 24n + 60 = 35n − 28 ⇔ 11n = 88 ⇔ n = 8. Chọn A. 5n − 4 12 Câu 11. Cho dãy số (un ), biết un = 2 n. Tìm số hạng un +1 . A. un +1 = 2 n.2. B. un +1 = 2 n + 1. C. un +1 = 2 (n + 1). D. un +1 = 2 n + 2. Lời giải. Thay n bằng n + 1 trong công thức un ta được: un+1 = 2n +1 = 2.2n . Chọn A. Câu 12. Cho dãy số (un ) , biết un = 3n. Tìm số hạng u2 n −1. A. u2 n −1 = 32.3n −1. B. u2 n −1 = 3n.3n−1. C. u2 n −1 = 32 n −1. D. u2 n −1 = 3 Lời giải. Ta có un = 3  u2 n−1 = 3 → n ↔ 2 n−1 n 2 n−1 2(n −1) . = 3 .3 . Chọn B. n n−1 Câu 13. Cho dãy số (un ), với un = 5n +1. Tìm số hạng un−1 . A. un−1 = 5n −1. B. un −1 = 5n. n↔ n−1 Lời giải. un = 5n+1  un−1 = 5( → C. un −1 = 5.5n +1. n−1)+1 D. un −1 = 5.5n−1. = 5n. Chọn B. 2 n +3  n −1   Câu 14. Cho dãy số (un ), với un =       n + 1  n −1  (   A. un +1 =     n + 1  2 n +1)+ 3  n −1  (  B. un +1 =       n + 1 2 n −1)+ 3 . 2 n +3     n  C. un +1 =   n + 2  . 2 n +5     n  D. un +1 =   n + 2  . 2 n+3  n −1  Lời giải. un =       n + 1 . Tìm số hạng un +1 .  (n + 1) −1 (     un+1 =  →      (n + 1) + 1 2 n +1)+3 n ↔ n +1 . 2 n+5  n   =      n + 2 . Chọn D. 1 2 3 4 Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;⋯. có số hạng tổng quát là công 2 3 4 5 thức nào dưới đây? n +1 n n −1 n2 − n A. un = . B. un = . C. un = . D. un = . n n +1 n n +1 1 Lời giải. Vì u1 = 0 nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra u2 = ở các đáp án C, D: 2 n −1 1 Xét đáp án C: un =  u2 =  Chọn C. → → n 2 n2 − n 2 1 Xét đáp án D: un =  u2 = =  loại D. → / → n +1 3 2 1 −1 1 2 −1 2 3 −1 n −1 Nhận xét: u1 = 0 = ; u2 = = ; u3 = = ,... nên đoán un = . 1 2 2 3 3 n Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: −1;1; −1;1; −1;⋯. có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây? A. un = 1. B. un = −1. C. un = (−1) . n D. un = (−1) n +1 . Lời giải. Vì dãy số đa cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra u1 = −1 ở các đáp án C, D: Xét đáp án C: un = (−1)  u1 = −1  Chọn C. → → n n +1 Xét đáp án D: un = (−1) 2  u1 = (−1) = 1 = −1  loại D. → / → Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: −2;0;2;4;6;⋯. Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây? A. un = −2n. B. un = n − 2. C. un = −2 (n + 1). D. un = 2n − 4. Lời giải. Kiểm tra u1 = −2 ta loại các đáp án B, C. Ta kiểm tra u2 = 0 ở các đáp án A, D: Xét đáp án A: un = 2n ⇒ u2 = 4 = 0  loại A. / → Xét đáp án D: un = 2n − 4 = 2.2 − 4 = 0  Chọn D. → Nhận xét: Dãy 2; 4;6;... có công thức là 2n (n ∈ ℕ* ) nên dãy −2;0;2;4;6;⋯. có được bằng cách “tịnh tiến” 2n sang trái 4 đớn vị, tức là 2n − 4.  u1 = 2 Câu 18. Cho dãy số (un ), được xác định  . Số hạng tổng quát un của dãy số  un +1 = 2un   là số hạng nào dưới đây? A. un = n n −1 . B. un = 2 n. C. un = 2 n +1. u1 = 2   u1 = 2    u = 2u = 2.2 = 4 . Lời giải. Từ công thức    2 → 1 un +1 = 2un   u = 2u = 2.4 = 8   3 2   Xét đáp án A với n = 1  u1 = 11−1 = 10 = 1  A loại. → → Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B. Xét đáp án C với n = 1  u1 = 21+1 = 2 2 = 4  C loại. → → Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn. D. un = 2.   u1 = 1 Câu 19. Cho dãy số (un ), được xác định  . Số hạng tổng quát un của dãy 2   u = u − 2  n +1 n  số là số hạng nào dưới đây? 1 1 A. un = + 2 (n −1). B. un = − 2 (n −1). 2 2 1 1 C. un = − 2 n. D. un = + 2 n. 2 2  1  u1 =   2   1   u1 =  1 3 Lời giải. Từ công thức  .  u2 = u1 − 2 = − 2 = − → 2    2 2 u = u − 2   n +1  n   u = u − 2 = − 3 − 2 = − 7  3 2  2 2   1 5 → → Xét đáp án A với n = 2  u2 = + 2 (2 −1) =  A loại. 2 2 Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B. 1 1 7 Xét đáp án C với n = 2  u2 = − 2.2 = − 4 = −  C loại. → → 2 2 2 1 5 Xét đáp án D với n = 1  u1 = + 2.1 =  D loại. → → 2 2 u1 = 2  Câu 20. Cho dãy số (un ), được xác định  . Số hạng tổng quát un của  un +1 − un = 2n −1   dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un = 2 + (n −1) . B. un = 2 + n 2 . C. un = 2 + (n + 1) . D. un = 2 − (n −1) . 2 2 2 Lời giải. Kiểm tra u1 = 2 ta loại các đáp án B và C. Ta có u2 = u1 + 2.1−1 = 3. Xét đáp án A: un = 2 + ( n −1)  u2 = 3  Chọn A. → → 2 2 Hoặc kiểm tra: un+1 − un = n 2 − ( n −1) = 2n −1. 2 Xét đáp án D: un = 2 − ( n −1)  u2 = 1  loại D. Hoặc kiểm tra: → → 2 un+1 − un = ( n −1) − n 2 = −2n + 1 = 2n −1. / u1 = 1  Câu 21. Cho dãy số (un ), được xác định  . Số hạng tổng quát un của dãy  un +1 = un + n 2   số là số hạng nào dưới đây? n (n + 1)(2 n + 1) A. un = 1 + . 6 n (n −1)(2n −1) C. un = 1 + . 6 n (n −1)(2n + 2) . 6 n (n + 1)(2n − 2) D. un = 1 + . 6 B. un = 1 + Lời giải. Kiểm tra u1 = 1 ta loại đáp án A. Ta có u2 = u1 + 12 = 2. n(n −1)(2n + 2) 2.1.6  u2 = 1 + → = 3 = 2  B loại. / → 6 6 n(n −1)(2n −1) 2.1.3 Xét đáp án C: un = un = 1 +  u2 = 1 + → = 2  Chọn C. → 6 6 Xét đáp án B: un = 1 + n(n + 1)(2n − 2) 2.3.2 → = 3 = 2  D loại. / → .  u2 = 1 + 6 6  u1 = −2   Câu 22. Cho dãy số (un ), được xác định  1 . Số hạng tổng quát un của un +1 = −2 −  un    Xét đáp án D: un = 1 + dãy số là số hạng nào dưới đây? −n + 1 n +1 A. un = . B. un = . n n n +1 . n n . n +1 1 3 Lời giải. Kiểm tra u1 = −2 ta loại các đáp án A, B. Ta có u2 = −2 − = − . u1 2 C. un = − D. un = − n +1 3  u2 = −  Chọn C. → → n 2 n 2 Xét đáp án D. un = −  u2 = −  D loại. → → n +1 3 u1 = 1  Câu 23. Cho dãy số (un ), được xác định  . Số hạng tổng quát un của  un +1 = un + (−1)2 n   Xét đáp án C: un = − dãy số là số hạng nào dưới đây? A. un = 1 + n. B. un = 1 − n. C. un = 1 + (−1) . 2n D. un = n. Lời giải. Kiểm tra u1 = 1 ta loại đáp án A, B và C nên chọn D. Câu 24. Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát là un = 2 (3n ) với n ∈ ℕ * . Công thức truy hồi của dãy số đó là: u1 = 6  A.  .  un = 6un−1 , n > 1   u1 = 3  C.  .  un = 3un−1 , n > 1   u1 = 6  B.  .  un = 3un−1 , n > 1   u1 = 3  D.  .  un = 6un−1 , n > 1   Lời giải. Vì u1 = 2.31 = 6 nên ta loại các đáp án C và D. Ta có u2 = 2.32 = 18. u1 = 6  Xét đáp án A:   u2 = 6u1 = 6.6 = 36  A loại. → →  un = 6un−1 , n > 1    u1 = 6 Xét đáp án B:   u2 = 3u1 = 3.6 = 18  chọn B. → →  un = 3un−1 , n > 1   a1 = 3   Câu 25. Cho dãy số (an ), được xác định  . Mệnh đề nào sau đây sai?  an +1 = 1 an , n ≥ 1   2  93 3 A. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = . B. a10 = . 16 512 9 3 C. an +1 + an = n . D. an = n . 2 2 u u u u u u 3 Lời giải. Ta có a1 = 3; a2 = 1 ; a3 = 2 = 1 ; a4 = 3 = 1 ,...  un = n1 1 = n−1 nên → 2 3 − 2 2 2 2 2 2 2 suy ra đáp án D sai. Chọn D. Xét đáp án A: