Tài liệu Dãy số cấp số cộng – cấp số nhân (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1. Cấp số cộng  u1  a , n  N * gọi là cấp số cộng; 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi  un1  un  d  d gọi là công sai. 2.1. Các tính chất:  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un  u1  (n  1)d .  Ba số hạng uk , uk 1 , uk  2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 1  u  uk 2  . 2 k  Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức : uk 1  Sn  u1  u2  ...  un  n  u1  un   n 2u1   n  1 d  .  2 2 2. Cấp số nhân  u a , n  N * gọi là cấp số cộng; q 1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi  1 un1  un .q  gọi là công bội. 2.2. Các tính chất:  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un  u1q n1 .  Ba số hạng uk , uk 1 , uk  2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi 2 uk 1  uk .uk  2 .  Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức : Sn  u1  u2  ...  un  u1 qn  1 . q 1 Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số Phương pháp:  Dãy số (un ) là một cấp số cộng  un1  un  d không phụ thuộc vào n và d là công sai.  Dãy số (un ) là một cấp số nhân  un1  q không phụ thuộc vào n và q là công bội. un  Ba số a , b , c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng  a  c  2b .  Ba số a , b , c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân  ac  b2 .  Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d .  Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q . Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . A. 1, 5,6,8 B. 2, 4,6,8 C. 1, 4,6,9 D. 1, 4,7,8 Lời giải: Giả sử bốn số hạng đó là a  3x; a  x; a  x; a  3x với công sai là d  2x .Khi đó, ta có:   a  3 x    a  x    a  x    a  3x   20   2 2 2 2  a  3 x    a  x    a  x    a  3x   120   4a  20  a5  2  2 4a  20 x  120  x  1 Vậy bốn số cần tìm là 2, 4,6,8 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d  x , là chẵn thì gọi công sai d  2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.  a  a2  ...  an  p * Nếu cấp số cộng ( an ) thỏa:  21 2 thì: 2 2 a1  a2  ...  an  s   12 ns2  p 2 n  n  1  1 . a1   p  .d  và d   n 2 n2 n2  1    u  u3  u5  10 Ví dụ 2. Cho CSC (un ) thỏa :  2  u4  u6  26 1. Xác định công sai và; A. d  2 B. d  4 2. công thức tổng quát của cấp số A. un  3n  2 B. un  3n  4   C. d  3 D. d  5 C. un  3n  3 D. un  3n  1 C. S  673044 D. S = 141 2. Tính S  u1  u4  u7  ...  u2011 . A. S  673015 B. S  6734134 Lời giải: Gọi d là công sai của CSC, ta có: u  3d  10 (u1  d)  (u1  2d)  (u1  4d)  10 u  1  1  1  u1  4d  13 d  3 (u1  3d)  (u1  5d)  26 1. Ta có công sai d  3 và số hạng tổng quát : un  u1  (n  1)d  3n  2 . 2. Ta có các số hạng u1 , u4 , u7 ,..., u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d '  3d , nên ta có: S  670  2u1  669d '   673015 2 u  3u3  u2  21 Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  5 . 3u7  2u4  34  1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u100  243 B. u100  295 C. u100  231 D. u100  294 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; A. S15  244 B. S15  274 C. S15  253 D. S15  285 C. S  1242 D. S  1222 3. Tính S  u4  u5  ...  u30 . B. S  1276 A. S  1286 Lời giải: u  4d  3(u1  2d)  (u1  d)  21 Từ giả thiết bài toán, ta có:  1 3(u1  6d)  2(u1  3d)  34 u  3d  7 u  2  1  1 . d  3 u1  12d  34 1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100  u1  99d  295 2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15  15  2u  14d   285  2  1 27  2u  26d   2  4  27  u1  16d   1242 . 3. Ta có: S  u4  u5  ...  u30  Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau: S  S30  S3  15  2u1  29d   3  2u1  2d   1242 . 2 u  u3  u5  10 Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  2  u4  u6  26 1. Xác định công sai? A.d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4 2. Tính tổng S  u5  u7  u2011 A. S  3028123 B. S  3021233 C. S  3028057 D. S  3028332 Lời giải: u  d  (u1  2d)  u1  4d  10 u  3d  10  1 1. Ta có:  1 u1  3d  u1  5d  26 u1  4d  13  u1  1, d  3 ; u5  u1  4d  1  12  13 2. Ta có u5 , u7 ,..., u2011 lập thành CSC với công sai d  6 và có 1003 số hạng nên S 1003  2u5  1002.6   3028057 . 2 Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng (un ) có u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính S 1 1 1   ...  u49u50 u1 u2 u2u3 A. S  9 246 B. S  4 23 C. S  123 D. S  49 246 Lời giải: Gọi d là công sai của cấp số đã cho Ta có: S100  50  2u1  99d   24850  d   5S  497  2u1 5 99 5 5 5   ...  u1u2 u2u3 u49u50  u u u2  u1 u3  u2   ...  50 49 u1u2 u2u3 u49u50  1 1 1 1 1 1 1 1     ...     u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50  1 1 1 1 245     u1 u50 u1 u1  49d 246 S 49 . 246 Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:  u1  u2  u3  u4  15 1.  2 2 2 2 u1  u2  u3  u4  85 A. u1  1, u1  2 u1  u2  u3  u4  u5  11  2.  82 u1  u5    11 B. u1  1, u1  8 C. u1  1, u1  5 D. u1  1, u1  9 A. u1  1 1 81 81 , u1  , u1  B. u1  12 11 12 11 C. u1  1 81 , u1  13 13 D. u1  2 81 , u1  11 11 Lời giải:  q4  1  15 u1 u1 (1  q  q 2  q 3 )  15   q 1 1. Ta có:  2  8 u1 1  q 2  q 4  q 6  85  u2 q  1  85   1 q2  1    2 q  2  q 4  1   q 2  1  45 (q 4  1)(q  1) 45        4 q  1 q  1   q8  1  17 17 (q  1)(q  1)    2 Từ đó ta tìm được u1  1, u1  8 . u1 1  q  q 2  q 3  q 4  11 u q(1  q  q 2 )  39  1   11 2. Ta có:   82 4 u1 (1  q )  u (1  q 4 )  82  11  1  11   q4  1 82 1  3 2   q  3, q  . 3 q  q  q 39  2 u4  Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (un ) thỏa:  27 . u3  243u8  1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2 2 2 2 2 2 2 2 , u5  , u5  A. u1  2, u2  , u3  ; u4  B. u1  1, u2  , u3  ; u4  3 5 9 9 27 27 81 81 2 2 2 2 2 2 2 2 , u5  , u5  C. u1  2, u2  , u3  ; u4  D. u1  2, u2  , u3  ; u4  3 9 27 64 3 9 27 81 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59123148 59048 A. S10  B. S10  19683 12383 3. Số C. S10  2 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A.41 B.12 C.9 Lời giải: 1359048 3319683 D. S10  D.3 59048 19683 Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:  3 2  3 2  1 u q  27 u1q   1 q    27 3  1 2 7 5 u q  243.u q q  u  2  1  1 1  243  1. Năm số hạng đầu của cấp số là: u1  2, u2  2 2 2 2 , u3  ; u4  , u5  . 3 9 27 81 2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số 10 1  3  1 10   1 10  59048 q 1   . S10  u1  2.  3 1      1 q 1   3   19683   1 3 2 2  3n1  6561  38  n  9 3. Ta có: un  n1  un  6561 3 2 Vậy là số hạng thứ 9 của cấp số. 6561 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết: 1. un  2n  3 A. d  2 2. un  3n  1 B. d  3 C. d  5 D. d  2 A. d  2 B. d  3 C. d  3 D. d  1 B. d  3 C. d  3 D. d  1 1 2 C. d  3 D. d  1 3. un  n2  1 A. d   4. un  2 n A. d   B. d  Lời giải: 1. Ta có: un1  un  2(n  1)  3  (2n  3)  2 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d  2 . 2. Ta có: un1  un  3(n  1)  1  ( 3n  1)  3 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d  3 . 3. Ta có: un1  un  (n  1)2  1  (n2  1)  2n  1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số cộng. 2 2 2 phụ thuộc vào n   n  1 n n(n  1) Vậy dãy (un ) không phải là cấp số cộng. 4. Ta có: un1  un  Bài 2 . Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: 1. un  2n A. q  3 2. un  4.3 A. q  3 3. un  B. q  2 C. q  4 D. q   B. q  2 C. q  4 D. q   1 2 C. q  4 D. q   n 2 . n A. q  3 B. q  Lời giải: 1. Ta có: un1 n  1  phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân. un n un1 4.3n1   3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) là một cấp số nhân với 2. Ta có: un 4.3n công bội q  3 . 3. Ta có: un1 2 2 n  :  phụ thuộc vào n . un n1 n n1 Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân. Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai. 1. un  3n  1 A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 B. d  3 C. d  5 D. d  1 2. un  4  5n A. d   3. un  2n  3 5 2 5 C. d  3 D. d  1 n1 n A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 n 2n A. d   B. d  3 C. d  3 D. d  1 B. d  3 C. d  3 D. d  1 A. d   4. un  5. un  B. d  6. un  n2  1 A. d   Lời giải: 1. Ta có: un1  un  3(n  1)  1  3n  1  3 Dãy (un ) là CSC có công sai d  3 . 2. Ta có: un1  un  5 Dãy (un ) là CSC có công sai d  5 2 2 . Dãy (un ) là CSC có công sai d  5 5 1 4. Ta có: un1  un    (un ) không là CSC n(n  1) 3. Ta có: un1  un  5. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC 6. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC. Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội. 1. un  2n A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   3 n 1 5 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   B. q  2 C. q  4 D. q   2. un   3. un  3n  1 A. q  3 4. un  2n  1 3 A. q  3 B. q  2 C. q  4 D. q   B. q  2 C. q  4 D. q   5. un  n3 . A. q  3 Lời giải: 1. Ta có: un1  2  (un ) là CSN với công bội q  2 un 2. Ta có: un1  3  (un ) là CSN với công bội q  3 un 3. Ta có: un1 3n  2   (un ) không phải là CSN un 3n  1 4. Ta có: un1 2n1  1  n  (un ) không phải là CSN un 2 1 un1 (n  1)3   (un ) không phải là CSN . 5. Ta có: un n3 Bài 5. 1. Tam giác ABC có ba góc A , B , C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C  5 A . Xác định số đo các góc A , B , C .  A  200  A  10 0  A  150  A  50     A.  B  120 0 B.  B  1050 C.  B  60 0 D.  B  600 C  50 0 C  60 0 C  250 C  100 0     2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và 3 3 tính các góc của tam giác 2 A. 300 ,600 ,900 B. 200 ,600 ,1000 C. 100 ,500 ,1200 sin A  sin B  sin C  Lời giải: 1. Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình : D. 400 ,600 ,800  A  200  A  B  C  1800 C  5 A      B  3 A   B  60 0 .  A  C  2B C  5 A 9 A  1800 C  100 0    0 0 0 2. Ba góc của tam giác: 30 ,60 ,90 n Bài 6. Cho dãy số (un ) với un  3 2 1 1. Tìm công bội của dãy số (un). 3 A. q  B. q  3 2 C. q  1 2 D. q  3 C. S  9 10 (3  1) 2 D. S  2. Tính tổng S  u2  u4  u6  u20 9 A. S  (320  1) 2 B. S  9 20 (3  1) 2 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A.15 B.16 C.19 7 10 (3  1) 2 D.17 Lời giải: n 1 1 2 un1 3  n  3 , n  N *  Dãy số là cấp số nhân với u1  3 3; q  3 . 1 un 32 2. Ta có u2 ; u4 ; u6 ; ; u20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u2  9; q  3 và có 10 số hạng 1. Ta có: nên 1  310 310  1 9 10  9.  (3  1) 1 3 2 2 n 1 n 3. Ta có : un  19683  3 2  39   1  9  n  16 2 Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số. S  u2 . Bài 7. 1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó. 2 2 A. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 5 2 2 B. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 7 3 2 2 ; u2  ; u3  2; u5  21; u6  54; u7  162 9 3 2 2 D. u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 3 C. u1  2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. A. 1; 2; 3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1; 0 D. 3; 2; 1 3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. A. b  15, c  20, d  25, a  12 B. b  16, c  20, d  25, a  12 C. b  15, c  25, d  25, a  12 D. b  16, c  20, d  25, a  18 Lời giải: 1. Gọi CSN đó là (un), n  1,7 . Theo đề bài ta có :  2  u1 .q 3  6  u4  6  u1    9  6 u7  243u2 u1 .q  243u1 .q   q3  Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là 2 2 u1  ; u2  ; u3  2; u5  18; u6  54; u7  162 9 3 2. Gọi ba số hạng của CSC là a  2 x; a; a  2 x với d  2x a  3 a  2 x  a  a  2 x  9   Ta có:   1. 2 2 2 ( a  2 x)  a  ( a  2 x)  29  x   2  a  d  37 a  37  d   c  b  36 c  36  b  3. Gọi bốn số đó là a , b , c , d ta có hệ :   a  c  2b d  73  3b 2 bd  c b(73  3b)  (36  b)2    b  16, c  20, d  25, a  12 . Bài 8. u  u3  8 1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  7 . Tìm u1 , d ?  u2 .u7  75 d  2 B.  u1  3, u1  7 d  2 A.  u1  2, u1  17 d  2 D.  u1  3, u1  17 d  2 C.  u1  3, u1  17 u  u34  11  2. Cho cấp số cộng (un) có công sai d  0 ;  31 . Hãy tìm số hạng tổng quát của 2 2 u31  u34  101  cấp số cộng đó. A. un  3n  9 B. un  3n  2 C. un  3n  92 D. un  3n  66 3. Gọi S1 ; S2 ; S3 là tổng n1 ; n2 ; n3 số hạng đầu của một cấp số cộng. Chứng minh rằng: S S1 S  n2  n3   n2  n3  n1   n3  n1  n2   0 n1 2 3 Lời giải: u  6d  u1  2d  8 d  2  1. Ta có:  1 u1  3, u1  17 (u1  d)(u1  6d)  75 2u  63d  11 u  89   1 2. Ta có:  1 2 2 (u1  30d)  (u1  33d)  101 d  3  Vậy un  3(n  1)  89  3n  92 . n1  2u1  (n1  1)d  2 n n S2  2  2u2  (n2  1)d  ; S3  3  2u3  (n3  1)d  2 2 Ta có điều phải chứng minh. 3. Thay công thức S1  u1  u2  u3  u4  u5  11  Bài 9. Cho CSN (un ) thỏa:  82 u1  u5    11 1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số 1 81 1 3 n 1 A. q  3; un  B. q  ; un  . n1 C.Cả A, B đúng 3 11 3 11 D. Cả A, B sai 2. Tính tổng S2011 A. q  1 243  1  ; S2011   1  2011  3 22  3  B. q  3; S2011   1 2011 3 1 22  C.Cả A, B đúng D. Cả A, B sai 1  3. Trên khoảng  ;1  có bao nhiêu số hạng của cấp số. 2  A.1 B.2 C.3 D. 4 Lời giải: 1. Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có:  39  39 2 3 u2  u3  u4  11 u1 q  q  q  11     u  u  82 u 1  q 4  82 1 5   1  11  11 4 q 1 82   39q 4  82q 3  82q 2  82q  39  0 Suy ra: 3 2 q  q  q 39      (3q  1)(q  3)(13q 2  16q  13)  0  q  1 ,q  3 3 1 81 81 1  u1   un  . n1 3 11 11 3 1 3 n 1 .  q  3  u1   un  11 11 q 2011  1 2. Ta có: S2011  u1 q 1  q 1 243  1   S2011   1  2011  3 22  3  1 2011 3 1  q  3  S2011  22 3 n 1  1   ;1  n  3 nên có một số hạng của dãy 3. Với q  3 ta có: un  11  2     q  Với q   1 1 1    ;1   n  3 nên có một số hạng của dãy. ta có: un  n 5 3 11.3 2  Bài 10. 1 , n  1, 2, 3... . Chứng minh rằng luôn tồn tại một CSC gồm n 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số trên. 1. Cho dãy số ( xn ) : xn  Lời giải: k , k  1, 2011 2011! k 1 k 1 1    uk  Ta có: uk 1  2011! 2011! 2011! 2011! Nên dãy (un ) là CSC có 2011 số hạng. 1. Xét dãy số (un ) : uk  1  x1.2...( k 1)( k 1)...2011 1.2...( k  1)( k  1)...2011 Từ đó ta có đpcm. Hơn nữa uk  Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số Phương pháp:  Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.  Sử dụng tính chất của cấp số: i ) a , b , c theo thứ tự đó lập thành CSC  a  c  2b ii) a , b , c theo thứ tự đó lập thành CSN  ac  b2 Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số: 1. 1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC; 2. 2, 3, 5 không thể cùng thuộc một CSN. Lời giải: 1. Giả sử 1, 3,3 là số hạng thứ m, n, p của một CSC (un ) . Ta có: 3 3 3  up  un  u1 ( p  n) p  n  vô lí vì u1 (n  m) n  m 3 là số vô tỉ, còn pn là số hữu tỉ. nm 3  1 un  um 2. Giả sử 2, 3, 5 là ba số hạng thứ m, n, p của CSN ( vn ) có công bội q 2 u 5 2 Ta có:  m  q mn ;  q pn , suy ra   3 un 3 3 p n m  p n m  2 .3 .5  1 vô lí. p n 5   3 mn  p( p n )( m n ) Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) là: 1. CSC khi và chỉ khi un  an  b 2. CSN khi và chỉ khi un  a.q n . Lời giải: 1. Giả sử (un ) là một CSC công sai d , khi đó : un  u1  (n  1)d  dn  u1  d  an  b . Giả sử: un  an  b  un1  un  a  un1  un  a , n Suy ra (un ) là một CSC với công sai a . 2. Giả sử (un ) là CSN với công bội q , khi đó: un  u1 .q n Giả sử un  a.q n , suy ra un1  q  un1  q.un , n un Suy ra dãy (un ) là CSN với công bội q . Ví dụ 3. Chứng minh rằng : 1. Nếu phương trình x3  ax2  bx  c  0 có ba nghiệm lập thành CSC thì 9ab  2a3  27 c 2. Nếu phương trình x3  ax2  bx  c  0 có ba nghiệm lập thành CSN thì c(ca3  b3 )  0 Lời giải: 1. Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSC Suy ra: x1  x3  2 x2 (1) Mặt khác: x 3  ax 2  bx  c  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )  x 3  ( x1  x2  x3 )x 2  ( x1 x2  x2 x3  x3 x1 )x  x1 x2 x3 Suy ra x1  x2  x3  a (2) Từ (1) và (2), ta suy ra 3x2  a hay x2  a 3 Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm x2  3 a , tức là: 3 2 a a a 2a 3 ba  a   b   c  0     c  0  9ab  2a 3  27 c 3 3 3 27 3     Ta có đpcm. 2 2. Giả sử ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSN, suy ra x1 x3  x2 3 Theo phân tích bài trên, ta có: x1x2 x3  c  x2  c  x2  3 c Hay phương trình đã cho có nghiệm x2  3 c , tức là:     b 3 3 c a 3 2 c 3 c  c  0  b 3 c  a 3 c 2  c(ca 3  b 3 )  0 Bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập X  1, 2, 3,...,9 thành hai tập con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng. Lời giải: Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng Giả sử X được chia thành hai tập con A và B đồng thời trong A và B không có ba số nào lập thành CSC. Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7) Ta thấy số 3, 5 không thể cùng nằm trong một tập hợp, vì nếu hai số này thuộc A thì 1,4,7 phải thuộc B, tuy nhiên các số 1,4,7 lại lập thành CSC. Tương tự bằng cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) thì ta có hai số 5,7 không thể cũng nằm trong một tập. Vì cặp (3;5) và (5;7) hkoogn cùng thuộc một tập nên ta suy ra (3;7) thuộc A, 5 thuộc B. Khi đó ta xét các trường hợp sau  4  A , vì 3, 4  A  2  A  2  B , do 1,4,7 lập thành CSC nên 1  B ; 2,5,8 lập thành CSC nên 8  A  9  B Do đó 1, 5,9  B lập thành CSC vô lí  4  B , do 4, 5  B  6  A mà 6,7  A  8  B 5,8  B  2  A , vì 2, 3  A  1  B , vì 1, 5  B  9  A Do đó: 3,6,9  B vô lí. Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 5. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện: xn m  xm  xn  1 m, n  mn * . Chứng minh rằng: ( xn) là một cấp số cộng. Lời giải: Đặt an  xn  nx1 , khi đó ta có a1  0 và | am  n  am  an | chứng minh an  0, n  1 , m , n  mn . Ở đây ta sẽ . Thật vậy, ta có: 1 , n  , nên lim| an1  an | 0 hay lim| an k  an | 0, k  n1 1 Mà an k  an  ak  nên lim|an k  an  ak | 0 . n n k Từ đây suy ra ak  0, k  . an1  an  . Vậy ta có điều phải chứng minh. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 1. Cho ba số a , b , c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : a2  2bc  c 2  2ab . 2. Cho a , b , c  0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng : 1 1 2 .   a b b c c a 3. Cho (un) là cấp số cộng. Chứng minh rằng : 1 un   un k  un k  , 1  k  n  1 2 Lời giải: 1. Vì a , b , c lập thành cấp số cộng nên a  c  2b . Do đó : a2  2bc  c 2  2ab   a  c  a  c   2b  a  c    a  c  a  c  2b   0 Suy ra a2  2bc  c 2  2ab . 2. Gọi d là công sai của cấp số, suy ra b  a  c  b  d , c  a  2d Do đó: 1 a b  1 b c   b a c b c a   d d d ca d( c  a )  2 c a . u  u1  (n  k  1)d 3. Gọi d là công sai của cấp số. Ta có:  n k un k  u1  (n  k  1)d u  un k  un k  un k  2u1   2n  2  d  2un  un  n k 2 Bài 2 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tan A B ; tan ; 2 2 C lập thành cấp số cộng  cos A; cos B; cos C lập thành cấp số cộng. 2 A B C 2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cot ; cot ; cot lập thành cấp số cộng 2 2 2  sin A; sin B; sin C lập thành cấp số cộng. Lời giải: A B C 1. Ta có: tan ; tan ; tan lập thành cấp số cộng 2 2 2 A C B sin(  ) sin A C B 2 2 2 2  tan  tan  2 tan  A C B 2 2 2 cos cos cos 2 2 2 B B A C  A C   cos2  sin cos     cos     2 2 2 2  2 2  1  cos B 1  cos B 1    cos A  cos C   2 2 2 cos A  cos C  cos B   cos A ,cos B ,cos C lập thành CSC. 2 A B B C 2. Ta có: cot  cot  cot  cot 2 2 2 2 tan A B B A B C C B sin  cos sin cos sin  cos sin 2 2 2 2  2 2 2 2  A B C B sin sin sin sin 2 2 2 2 B A B A CB CB  sin cos  sin .cos 2 2 2 2  sin B  sin A  sin C  sin B  sin A  sin C  2sin B . cos Bài 3 Cho a , b , c lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng : 1.  a  b  c  a  b  c   a2  b2  c 2    2. a2  b2 b2  c 2   ab  bc  2 3.  ab  bc  ca   abc  a  b  c  3   3  4. an  bn  c n an  bn  c n  a 2 n  b2 n  c 2 n ; n  * Lời giải: Vì a , b , c lập thành cấp số nhân nên ta có b2  ac . 1. Ta có:  a  b  c  a  b  c    a  c   b2  a2  2ac  c 2  b2 2      a 2  2b 2  c 2  b 2  a 2  b 2  c 2   2. Ta có: a2  b2 b2  c 2  a2  ac ac  c 2  ac  a  c  2  b2  a  c    ab  bc  . 2 3. b2  ac  Ta có:  ab  bc  ca   ab  bc  b 2 3  3 2  b 3 ( a  b  c )3  abc( a  b  c)3 . 4. Ta có: VT  ( an  c n )2  b2 n  a2 n  c 2 n  b2 n  2(anc n  b2 n )  a2 n  b2 n  c 2 n . Bài 4 Cho (un) là cấp số nhân .Chứng minh rằng : 1. a1an  ak .ank 1 , k  1; n 2. Sn  S3 n  S2 n    S2 n  Sn  . 2 Lời giải: Gọi q là công bội của cấp số 2 1. Ta có: a1an  a1 .a1q n1  a1 q n1 2 ak .an k 1  a1 .q k 1 .a1 .q n k  a1 .q n1 Suy ra : a1an  ak .an k 1 . 2. Ta có: Sn  S3n  S2 n   u1 S 2n  Sn  2n n 2 qn  1  q 3n  1 q 2 n  1  2 q ( q  1) .u1    u1  q 1 q 1  (q  1)2  q 1 2 2 2n n 2  q2n  1 qn  1  2 q (q  1)   u1  u1   u1 q 1 q 1  (q  1)2  Suy ra Sn  S3 n  S2 n    S2 n  Sn  . 2 Bài 5 1. Điều cần và đủ để ba số khác không a , b , c là ba số hạng của một CSN là tồn tại ba số nguyên khác không p, t , r sao cho p  t  r  0  .  p t r  a .b .c  1  2. Cho cấp số cộng (an) với các số hạng khác không và công sai khác không.Chứng minh 1 1 1 n1   ...   rằng: . a1a2 a2 a3 an1an a1an  1 1 2 a a  a a  a a  2 3 1 3 3. Cho bốn số thực a1 ; a2 ; a3 ; a4 .Biết rằng :  1 2  1  1  1  3  a1a2 a2 a3 a3 a4 a1a4  Chứng minh rằng : a1 ; a2 ; a3 ; a4 lập thành cấp số cộng. 4. Cho a , b , c lần lượt là ba số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng. Chứng minh rằng : a.  n  p   b.  p  m   c.  m  n   0 . 5. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba số a , b , c là ba số hạng của một CSC là  pa  qb  rc  0 tồn tại ba số nguyên khác không p , q , r thỏa:  . pqr  0  6.Cho CSC (un ) thỏa Sm  Sn ( m  n ). Chứng minh Smn  0 . 7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội của CSN đó  5 1 1 5  ; nằm trong khoảng  .  2 2    Lời giải: 1.  Giải sử a , b , c là ba số hạng thứ k  1; l  1; m  1 của cấp số nhân có công bội q , khi đó ta có : a b a a  u1 .q ; b  u1 .q ; c  u1 .q   q k l ;  q l  m    b c b Đặt p  l  m; t  m  l  k  1; r  k  1 . k l lm m b   c k l  al  m .bml  k 1 .c k 1  1 Khi đó ta có ba số p, t , r thỏa mãn yêu cầu bài toán. p  t  r  0 a b   a p .c r  b p  r       (*)  Giả sử ta có  p t r b c  a .b .c  1  Do p  t  r  0 nên tồn tại ít nhất một số dương và một số âm. p Giải sử r  0, t  0 . Đặt p r b  q r  b  a.q r kết hợp với (*) ta có a r  a   a.qr  rp  r     c  a.q .  a.q   c  Vậy ba số a , b , c là ba số hạng của cấp số nhân với a là số hạng đầu,b là số hạng thứ r  1 ;c là số hạng thứ r  p  1 . 2. Ta có 1 1 1 1      ak a k  1 d  a k a k  1  1 1 1 1  1 1  n1   ...      a1a2 a2 a3 an1an d  a1 an  a1an 1 1 2    a3  a1  2a2  a1  a2  a2  a3  d 3. Ta có a1a2 a2 a3 a1a3 Suy ra 1 1 1 3 2 1 3       a1a2 a2 a3 a3 a4 a1a4 a1a3 a3 a4 a1a4  2a4  a1  3a3  2a4  3(a1  2d)  a1  a4  a1  3d . 4. Ta có: b  a  (n  m)d; c  a  ( p  m)d Suy ra VT  a(n  p)   a  (n  m)d  ( p  m)   a  ( p  m)d  (m  n)      d (n  m)( p  m)  ( p  m)( m  n)  0 .   5.  Giả sử a , b , c là ba số hạng thứ m  1, n  1, k  1 của một CSC (un )  ab a  u1  md d  m  n   Ta có:  b  u1  nd u  a  m( a  b)  mb  an  1 mn mn  Mặt khác: c  u1  kd  (m  n)c  mb  na  k(a  b)  ( k  n)a  (m  k)b  (n  m)c  0