Tài liệu Dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN ANH DŨNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN ANH DŨNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số chuyên ngành: 62.14.10.01 NGƯỜI HƯ ỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. LÊ VĂN TIẾN 2. PGS. TS. ANNIE BESSOT TP Hồ Chí Minh – Năm 2013 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án TRẦN ANH DŨNG 2 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .........................................................................................................................1 MỤC LỤC .....................................................................................................................................2 DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN.................................................8 DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................................................9 DANH MỤC HÌNH VẼ ..............................................................................................................10 DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ .........................................................................................................12 MỞ ĐẦU ......................................................................................................................................13 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ......................................................................................................13 1.1. Về bản thân đối tượng nghi ên cứu.....................................................................................13 1.2. Về quan điểm khoa học luận và sư phạm ..........................................................................14 1.3. Chủ trương của Bộ GD&ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin .....................14 1.4. Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đề “hàm số liên tục” ............................................15 1.4.1. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài ............................................15 1.4.2. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở Việt Nam ...............................................17 1.4.3. Định hướng nghiên cứu của chúng tôi .......................................................................19 2. CƠ SỞ LÝ LUẬN ...............................................................................................................19 3. MỤC TIÊU, PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ...................................19 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC .............................................................................................21 5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN ............................................................................................21 6. NHỮNG LUẬN ĐIỂM CẦN BẢO VỆ .............................................................................22 7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN ..................................................................................22 CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................................23 1.1. THUYẾT KIẾN TẠO .........................................................................................................23 1.2. DIDACTIC TOÁN ..............................................................................................................24 1.2.1. Cơ sở tâm lí và giáo dục của Didactic toán ....................................................................25 1.2.2. Công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán ..................................................................26 1.2.2.1. Phân tích khoa học luận một tri thức .......................................................................26 3 1.2.2.2. Lý thuyết nhân chủng học (théorie anthropologique) ............................................29 1.2.2.3. Lí thuyết tình huống ................................................................................................31 1.2.2.4. Hợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại .......................................................36 1.3. CHƯỚNG NGẠI VÀ SAI LẦM.........................................................................................39 1.3.1. Chướng ngại ...................................................................................................................39 1.3.2. Sai lầm ............................................................................................................................43 1.3.2.1. Sai lầm từ quan điểm của thuyết hành vi .................................................................43 1.3.2.2. Sai lầm từ quan điểm của thuyết kiến tạo ................................................................43 1.3.2.3. Sai lầm từ quan điểm của Didactic toán ..................................................................44 1.4. CÁC CƠ SỞ LÍ LUẬN KHÁC..........................................................................................46 1.4.1. Tiến trình dạy học khái niệm toán học ...........................................................................46 1.4.2. Vài thuật ngữ khác về cách tiếp cận một khái niệm .......................................................49 1.4.3. Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT ....................49 CHƯƠNG II ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC L UẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC..............................................................................................................................................53 2.1. MỤC ĐÍCH CỦA CHƯƠNG .............................................................................................53 2.2. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC ............53 2.2.1. Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17 ...........................................................53 2.2.1.1. Quan niệm Hy lạp cổ đại .........................................................................................53 2.2.1.2. Thời trung cổ ...........................................................................................................55 2.2.1.3. Thời phục hưng ........................................................................................................56 2.2.1.4. Kết luận về quan niệm nguyên thủy (QNT) ............................................................57 2.2.2. Giai đoạn 2. (Thế kỷ 17 và 18): Quan niệm hình học về sự liên tục - khái niệm hàm số liên tục là một khái niệm cận toán học (notion paramathématique).........................................57 2.2.2.1. René Descartes (1595 – 1650) và quan niệm hình học của Descartes (QHD) ........57 2.2.2.2. Isaac Newton (1642 – 1727)...................................................................................59 2.2.2.3. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)..............................................................59 2.2.2.4. Leonard Euler (1707 – 1783) và quan niệm hình học của Euler (QHE) .................60 2.2.2.5. Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) ....................................................................63 2.2.2.6. Louis Arbogast (1759 – 1803).................................................................................64 2.2.2.7. Kết luận về quan niệm hình học ..............................................................................65 2.2.3. Giai đoạn 3. Từ thế kỷ 19 – Quan niệm số hóa, quan niệm tôpô ...................................67 2.2.3.1. Joseph Fourier (1768 – 1830)..................................................................................67 4 2.2.3.2. Bernard Bolzano (1781 – 1848) ..............................................................................68 2.2.3.3. Augustine Louis Cauchy (1785 – 1857) và quan niệm số hóa (QSC) ....................70 2.2.3.4. Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) .....................................................71 2.2.3.5. Karl Weierstrass (1815 – 1897) – quan niệm số hóa của Weierstrass (QSW)........71 2.2.3.6. Bernard Riemann (1826 – 1866) .............................................................................73 2.2.3.7. Richard Dedekind (1831 – 1916) ...........................................................................74 2.2.3.8. Quan niệm Baire (QSB) ..........................................................................................75 2.2.3.9. Félix Haussdorff và quan niệm tôpô (QT) ..............................................................76 2.2.3.10. Kết luận về quan niệm số hóa và quan niệm tôpô .................................................76 2.3. KẾT LUẬN ..........................................................................................................................80 2.3.1. Các đặc trưng khoa học luận của khái niệm liên tục ......................................................80 2.3.2. Những chướng ngại khoa học luận đã được nhận dạng .................................................82 2.3.3. Cơ chế hoạt động của khái niệm hàm số liên tục ...........................................................82 2.3.4. Ý nghĩa triết học và toán học của khái niệm hàm số liên tục .........................................84 CHƯƠNG III KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM VÀ MỘT SỐ NƯỚC .............................................................................................88 3.1. MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH ..................................................................................................88 3.2. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA VIỆT NAM ..............................................................88 3.2.1. Giai đoạn ngầm ẩn ..........................................................................................................88 3.2.2. Giai đoạn tường minh .....................................................................................................92 3.2.2.1. Tình huống định nghĩa khái niệm hàm số liên tục tại một điểm .............................92 3.2.2.2. Tình huống định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn ................96 3.2.2.3. Tình huống đưa vào các nhận xét, định lí làm cơ sở cho sự đại số hóa tính liên tục của hàm số ............................................................................................................................97 3.2.2.4. Tình huống đưa vào định lí giá trị trung gian - cơ sở cho khái niệm hàm số liên tục tác động với cơ chế công cụ ...........................................................................................98 3.2.2.5. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học .....................................................100 3.2.2.6. Dự đoán những sai lầm và nguyên nhân ...............................................................104 3.2.3. Hàm số liên tục ở giai đoạn sau khi được giảng dạy tường minh ................................105 3.2.3.1. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học .....................................................106 3.2.3.2. Dự đoán các sai lầm và nguyên nhân ....................................................................107 3.2.4. Tính liên tục trong hình học .........................................................................................107 3.2.5. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục ở sách giáo khoa Việt Nam ...........108 5 3.3. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MAROC.............110 3.3.1. Thời kì 1945 - 1960 ......................................................................................................110 3.3.2. Thời kì 1960 – 1970 .....................................................................................................112 3.3.3. Thời kì 1970 – 1976 .....................................................................................................113 3.3.4. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong SGK Maroc ..........................114 3.4. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MỸ .....................117 3.4.1. Giai đoạn ngầm ẩn ........................................................................................................118 3.4.2. Giai đoạn tường minh ...................................................................................................119 3.4.3. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong Precalculus ...........................121 3.5. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK PHÁP .................123 3.5.1. Thời kỳ 1970 – 1980.....................................................................................................123 3.5.2. Thời kỳ 1980 - 1990 .....................................................................................................123 3.5.3. Thời kỳ 1990 – 2000.....................................................................................................124 3.5.4. Thời kỳ sau năm 2000 ..................................................................................................125 3.5.5. Vài kết luận về SGK Pháp ...........................................................................................127 3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG III ...............................................................................................129 CHƯƠNG IV THỰC NGHIỆM VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH ..................................131 4.1. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ......................................................131 4.2. BIẾN DẠY HỌC ................................................................................................................131 4.3. PHẠM VI KIỂM CHỨNG SAI LẦM CỦA CÁC BÀI TOÁN ....................................132 4.4. CÁC BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM .................................................................................132 4.4.1. Thực nghiệm A (dành cho HS lớp 10 và lớp 11) .........................................................132 4.4.2. Thực nghiệm B .............................................................................................................134 4.5. PHÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM..........................................................................................135 4.5.1. Các bài toán 1A, 2A và 5A (kiểm chứng SL1) ...........................................................136 4.5.2. Các bài toán 6A và 2B (kiểm chứng SL1, SL2 và SL7) ..............................................140 4.5.3. Các bài toán 3A, 4A và 1B (kiểm chứng SL4, SL5) ....................................................143 4.5.4. Bài toán 3B (kiểm chứng SL8) .....................................................................................146 4.6. PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM ...........................................................................................148 4.6.1. Ghi nhận tổng quát .......................................................................................................149 6 4.6.2. Sai lầm 1 .......................................................................................................................150 4.6.3. Sai lầm 2 .......................................................................................................................154 4.6.4. Sai lầm 4 và sai lầm 5 ...................................................................................................155 4.6.5. Sai lầm 7 .......................................................................................................................157 4.6.6. Sai lầm 8 .......................................................................................................................158 4.7. KẾT LUẬN CHƯƠNG IV ................................................................................................158 CHƯƠNG V CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠ M VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG ...............................................................159 A – GIẢI PHÁP SƯ PHẠM .....................................................................................................159 5.1. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP ........................................................................................159 5.2. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM ...........................................................................................159 5.2.1. Giải pháp 1: Khai thác tối đa đặc trưng khoa học luận của khái niệm HSLT trong việc tổ chức các kiến thức trong chương trình và sách giáo khoa. ................................................159 5.2.2. Giải pháp 2: Tăng cường quan điểm thực nghiệm .......................................................163 5.2.3. Giải pháp 3: Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin .............................................166 5.2.4. Giải pháp 4: Khắc phục sai lầm ....................................................................................167 5.2.5. Giải pháp 5: Tổ chức dạy học theo quan điểm của thuyết kiến tạo nói chung và phương pháp dạy học tích cực nói riêng.................................................................................168 B- THỰC NGHIỆM .................................................................................................................171 5.3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM .............................................................171 5.4. TÌNH HUỐNG 1 ................................................................................................................173 5.4.1. Mục đích của tình huống 1 ...........................................................................................173 5.4.2. Hình thức thực nghiệm .................................................................................................173 5.4.3. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................................175 5.4.3.1. Các biến dạy học được sử dụng trong xây dựng tình huống 1 ..............................175 5.4.3.2. Chiến lược có thể dự kiến ......................................................................................175 5.4.3.3. Quan hệ giữa biến - chiến lược và cái có thể quan sát được .................................176 5.4.3.4. Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm .................................178 5.4.4. Phân tích hậu nghiệm ...................................................................................................179 5.4.5. Kết luận về tình huống 1...............................................................................................183 7 5.5. TÌNH HUỐNG 2 ................................................................................................................184 5.5.1. Mục đích của tình huống 2 ...........................................................................................184 5.5.2. Hình thức thực nghiệm .................................................................................................184 5.5.3. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................................184 5.5.3.1. Các biến được sử dụng trong xây dựng t ình huống 2 ............................................184 5.5.3.2. Chiến lược và lời giải có thể dự kiến .....................................................................184 5.5.3.3. Quan hệ giữa biến-chiến lược và cái có thể quan sát được ...................................188 5.5.3.4. Phân tích kịch bản và việc vận dụng các giải pháp sư phạm .................................189 5.5.4. Phân tích hậu nghiệm ...................................................................................................192 5.5.5. Kết luận về tình huống 2...............................................................................................194 5.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG V .................................................................................................195 KẾT LUẬN ...............................................................................................................................196 A. Những đóng góp của luận án ..............................................................................................196 1. Về lí luận ................................................................................................................................196 2. Về thực tiễn ..........................................................................................................................196 B. Kết luận .................................................................................................................................197 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .............................................................198 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................199 Tiếng Việt ..................................................................................................................................199 Tiếng Pháp ................................................................................................................................204 Tiếng Anh ..................................................................................................................................206 8 DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN VIẾT TẮT BT CN CNTT CT ĐLGTTG GD&ĐT GTLN GTNN GV HĐDH HK HS HSLT KHL MTBT PPDH SBT SGK SGV SL TH THPT THCS TN tr. VD VIẾT ĐẦY ĐỦ Bài tập Chướng ngại Công nghệ thông tin Chương trình Định lí giá trị trung gian Giáo dục và Đào tạo Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Giáo viên Hợp đồng dạy học Học kì Học sinh Hàm số liên tục Khoa học luận Máy tính bỏ túi Phương pháp dạy học Sách bài tập Sách giáo khoa Sách giáo viên Sai lầm Tình huống Trung học phổ thông Trung học cơ sở Thực nghiệm Trang Ví dụ 9 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng Nội dung Trang 1.1 Quan hệ giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm 39 2.1 Bảng tóm tắt tiến triển của các đặc trưng khoa học l uận của khái niệm 81 hàm số liên tục 2.2 Bảng tóm tắt về cơ chế của khái niệm liên tục và khái niệm hàm số liên 83 tục 3.1 Các tổ chức toán học 100 3.2 Bảng thống kê số bài tập, ví dụ liên quan tới các kiểu nhiệm vụ 103 3.3 Dự đoán sai lầm và nguyên nhân 104 3.4 Các tổ chức toán học ở giai đoạn sau khi khái niệm HSLT được giảng dạy 106 tường minh 3.5 Dự đoán sai lầm và nguyên nhân 107 3.6 Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT ở SGK Việt Nam 108 3.7 Tóm tắt các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT ở SGK Maroc 114 3.8 Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong Precalculus 122 3.9 Các đặc trưng của khái niệm Liên tục và HSLT trong SGK Pháp 128 4.1 Phạm vi kiểm chứng sai lầm của các bài toán thục nghiệm 132 4.2 Thống kê số học sinh tham gia thực nghiệm , thời điểm thực nghiệm 148 4.3 Thống kê kết quả thực nghiệm A 149 4.4 Thống kê kết quả thực nghiệm B 150 5.1 Nội dung, thời lượng đề xuất gia tăng vào SGK Đại Số và Giải Tích 11 161 5.2 Phân bố số học sinh của các nhóm thực nghiệm tình huống 1 174 5.3 Giá trị của các biến trong các hoạt động 175 5.4 Thống kê kết quả thực nghiệm tình huống 1 180 5.5 Thống kê quan niệm của học sinh 182 5.6 Lời giải dự đoán cho kiểu nhiệm vụ T1 và T2 185 5.7 Lời giải dự đoán cho kiểu nhiệm vụ T3 187 5.8 Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T1 và T2 192 5.9 Thống kê kết quả thực nghiệm của kiểu nhiệm vụ T3 193 10 DANH MỤC HÌNH VẼ Nội dung Hình Trang 1.1 Sơ đồ hóa hệ thống dạy học tối tiểu 25 1.2 Quan hệ giữa thể chế tạo ra tri thức, thể chế chuyển đổi tri thức và thể chế 27 dạy học 1.3 Chu vi tam giác cụt, tình huống 1 34 1.4 Chu vi tam giác cụt, tình huống 2 34 2.1 Biểu thị đồ thị thời gian – vận tốc của Oresme 55 2.2 Quan niệm trực giác của Descartes về hàm số liên t ục 58 2.3 Quan niệm chuyển động của Newton 59 2.4 Quan niệm hàm số liên tục của Euler theo Grattan - Guinness 62 2.5 Vị trí ban đầu của dây rung 62 3.1 Hướng dẫn vẽ đồ thị hàm số y =  12 x 2 trong SGK Toán 9 89 3.2 Biểu thị đồ thị vận tốc theo thời gian và cách tinh độ dời 90 3.3 Liên hệ bảng biến thiên – đồ thị trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng 91 cao 3.4 Đồ thị hàm số y = 1 trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao x 94 3.5 Minh họa hình học HSLT trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao 94 3.6 Đồ thị hàm số y = 1  x 2 trong SGK Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao 97 3.7 Minh họa hình học định lí giá trị trung gian 99 3.8 Minh họa hình học hệ quả của định lí giá trị trung gian 100 3.9 Bố cục các chương trong SGK Precalculus 118 3.10 Tiếp cận trực quan khái niệm HSLT tại một điểm trong SGK Precalculus 120 3.11 Minh họa hình học hàm số có giới hạn và không có giới hạn 126 4.1  x 2 khi x  1 ồ thị hàm số f(x) = Đ  2x  3 khi x  1 142 4.2  x 2 thị hàm số f(x) = Đồ  1 142 4.3 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A76 khi x  1 khi x  1 151 11 4.4 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A73 151 4.5 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A08 151 4.6 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS A10 151 4.7 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B91 152 4.8 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B61 152 4.9 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B156 153 4.10 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B148 153 4.11 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B122 154 4.12 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS B119 154 4.13 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C50 154 4.14 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C28 154 4.15 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C55 157 4.16 Minh họa bài làm thực nghiệm của HS C68 157 5.1 Minh họa đồ thị hàm đa thức 165 5.2 Minh họa xác định nghiệm gần đúng bằng đồ thị 165 5.3 Minh họa đồ thị hàm hữu tỉ suy biến thành hàm số bậc ba 178 5.4 Minh họa đồ thị hàm số bậc ba vẽ bằng phần mềm Geogebra 181 12 DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ Nội dung Sơ đồ Trang 1.1 Sơ đồ hóa tình huống ngoài dạy học 32 1.2 Sơ đồ hóa tình huống lí tưởng 32 1.3 Tiến trình tìm kiếm và kiểm chứng giả thuyết về hợp đồng dạy học 36 1.4 Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận qui nạp 48 1.5 Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận suy diễn 48 1.6 Các giai đoạn chủ yếu của cách tiếp cận Công cụ  Đối tượng  Công 49 cụ 3.1 Tiến trình đưa vào khái niệm hàm số liên tục 92 3.2 Quan hệ giữa các tổ chức toán học 102 3.3 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK hiện hành 109 3.4 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1945-1960 111 3.5 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT ở SGK thời kì 1960-1970 112 3.6 Tiến trình đưa vào khái niệm HSLT trong Precalculus 119 3.7 Tiến trình đưa vào các khái niệm trong SGK Pháp thời kì 1980 -1990 124 5.1 Đề xuất cấu trúc nội dung chính của chương trình Đại Số và Giải Tích 163 bậc THPT liên quan đến khái niệm HSLT 13 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Về bản thân đối tượng nghiên cứu Khái niệm hàm liên tục luôn chiếm một vị trí quan trọng trong giảng dạy ở bậc đại học . Nó tác động đến nhiều vấn đề trong g iải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân, phương trình vi phân,…), là cơ sở cho việc xây dựng Hình học bằng phương pháp tiên đề và là một chủ đề nghiên cứu của Tôpô. Tuy nhiên ở bậc phổ thông, đặc trưng trên rất khác biệt trong các nước. Ngay cả trong một nước, nó cũng thay đổi theo những giai đoạn khác nhau của hệ thống dạy học. Chẳng hạn ở Cộng hòa Pháp, thể chế dạy học toán THPT đã thể hiện nhiều lưỡng lự trong việc lựa chọn khái ni ệm hàm số liên tục như là đối tượng giảng dạy tường minh: từ chỗ chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình của thời kì toán học hiện đại những năm 1970, bị loại bỏ hoàn toàn khỏi chương trình những năm 1990, và giờ đây nó lại xuất hiện trong chương trìn h hiện hành. Ở Mỹ và một số nước nói tiếng Anh, khái niệm này vẫn được giảng dạy ở THPT, song vai trò của nó là không quan trọng và cách tiếp cận khái niệm này cũng theo những xu hướng khác nhau. Liệu có phải việc sử dụng phổ biến máy tính với các phần mềm hỗ trợ vẽ đồ thị rất hiệu quả đã là một nguyên nhân làm lu mờ vai trò của khái niệm này với tư cách một công cụ không? Ở Việt Nam, khái niệm HSLT luôn chiếm một vị trí truyền thống trong sách giáo khoa. Với vai trò công cụ ngầm ẩn hoặc tường minh , nó tác động đến nhiều đ ối tượng khác trong phạm vi THCS và THPT. Trong đại số và giải tích, nó là yếu tố không thể thiếu trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số, tính khả vi, tính khả tích, các bài toán về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, các bài toán về nghiệm của phương trình….. Trong số học, nó là một yếu tố quyết định trong việc xây dựng tập số thực. Trong hình học nó cũng là một yếu tố có vai trò quan trọng khi các phép biến hình được giảng dạy đều là những ánh xạ có đặc trưng song liên tục trong không gian tôpô R 2. Mặc dù có phạm vi tác động rộng như thế nhưng vai trò của nó dường như mờ nhạt so với các đối tượng tri thức khác. Thực tiễn dạy học ở Việt Nam cho thấy ngoài giai đoạn hiện diện tường 14 minh ở lớp 11, nó chỉ còn đóng vai trò một công cụ ngầm ẩn và thường k hông được chú ý đến. Mặt khác, c ách tiếp cận khái niệm HSLT đã có những thay đổi đáng kể giữa chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và chương trình hiện hành. Những ghi nhận trên làm nảy sinh ở chúng tôi những câu hỏi khởi đầu sau đây về khái niệm HSLT: Vì sao lại có sự khác biệt như vậy giữa dạy học ở bậc đại học và bậc phổ thông? Ở bậc phổ thông, vì sao có những tiếp cận khác nhau về khái niệm HSLT giữa các nước và ngay cả những thời kì khác nhau ở trong cùng một nước? Những lựa chọn khác nhau đó dựa trên những cơ sở nào? Cách tiếp cận khác nhau như vậy ảnh hưởng thế nào trên quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm này? 1.2. Về quan điểm khoa học luận và sư phạm Quan điểm khoa học luận và sư phạm đang phổ biến hiện nay trong nhiều nước là: thực hiện một sự dạy học thỏa mãn hơn khoa học luận và tôn trọng hơn qui trình nhận thức của học sinh. Chắc chắn không thể tổ chức dạy học một tri thức giống như tiến trình nảy sinh và tiến triển của nó trong lịch sử toán học. Nhưng theo quan điểm trên, tron g những hoàn cảnh cụ thể, với những tri thức cụ thể, cần hướng đến tri thức được giảng dạy có được nhiều nhất có thể những đặc trưng như nó đã từng có trong lịch sử phát triển toán học, đồng thời đảm bảo những ràng buộc của thể chế như: hạn chế về thời gia n, hạn chế về mặt phát triển tâm lí và trí tuệ của chủ thể - người học,… Từ đó, việc soạn thảo chương trình và sách giáo khoa, cũng như việc dạy học toán ở trường phổ thông phải tính đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cần giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này. Như vậy, cần thiết phải có những nghiên cứu về khoa học luận lịch sử toán học và những nghiên cứu sư phạm gắn liền với đối tượng tri thức. Ở đây, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm HSLT như là một minh họa cho tiếp cận theo quan điểm trên. 1.3. Chủ trương của Bộ GD&ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin Chủ trương của Bộ GD&ĐT đã khẳng định: “Đẩy mạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin trong trường phổ thông nhằm đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng giáo viên tự tích hợp CNTT vào từng môn học thay vì học trong môn tin học. Giáo viên các bộ môn chủ động tự soạn và tự chọn tài liệu và phần mềm (mã nguồn mở) để 15 giảng dạy ứng dụng CNTT” (Theo Quyết định số 698/QĐ -TTg ngày 01/6/2009 của Thủ tướng Chính phủ). Đổi mới phương pháp dạy học theo quan niệm CNTT và truyền thông là xu hướng tất yếu. CNTT là một trong các tác nhân hiệu quả góp phần đổi mới phương pháp dạy học, chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo. CNTT còn tạo một môi trường tương tác để người học học tập thông qua hoạt động và thích nghi với môi trường. Việc học tập diễn ra trong quá trình hoạt động và thích nghi đó. Nó còn tạo điều kiện để người học hoạt động độc lập nhưng vẫn đảm bảo mối liên hệ ngược trong quá trình dạy học. Như vậy, ứng dụng CNTT là một công cụ hỗ trợ quan trọng cho việc vận dụng các mô hình học tập theo quan điểm kiến tạo hoặc mô hình “tình huống học tập lý tưởng” theo quan điểm của Didactic Toán. Ở Việt Nam, mặc dù đã có chủ trương, song ứng dụng CNTT chưa được cụ thể hóa thành những nội dung cụ thể trong CT và SGK toán như trong một số nước khác (Pháp và Mĩ,…), nó chỉ mới dừng lại ở yêu cầu GV “tự thân” tăng cường vận dụng CNTT vào hoạt động dạy học của mình. Nói cách khác, không có sự đan xen nội dung tin học vào nội dung môn toán. Tin học và toán học vẫn hình thành nên các môn học độc lập nhau. Ngoài ra, nhiều nghiên cứu cho thấy, các đối tượng kiến thức của giải tích (giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân,…) hình thành n ên vùng đất phong phú cho phép tiếp cận CNTT. Những khái niệm Giải tích này, mặc dầu có tính trừu tượng cao, nhưng ở trường phổ thông chúng đều nảy sinh như là kết quả của mô hình hóa thực tế rất trực quan và sống động. Đặc trưng này là một thuận lợi cho ứng dụng CNTT trong thiết kế các tình huống dạy học khái niệm Giải tích theo hướng tiếp cận trực giác, có thể mang lại “nghĩa đúng” hơn cho khái niệm. 1.4. Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đề “hàm số liên tục” 1.4.1. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài Ở cấp độ đại học tại nhiều nước, khái niệm hàm số liên tục được đề cập qua nhiều nghiên cứu khác nhau. Nó hình thành nên một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong Giải tích và Tôpô vì phạm vi tác động rộng của nó. Ở bậc trung học ở các nư ớc nói tiếng Anh, khái niệm HSLT cũng là một vấn đề thu hút được nhiều quan tâm. Đa số các nghiên cứu đều được tiếp cận từ góc độ nhận thức, chủ xướng là David Orme Tall - nhà giáo dục học người Anh. Trong bài báo khoa học 16 “Bức tranh khái niệm và định nghĩ a khái niệm trong toán học, tham chiếu trường hợp khái niệm giới hạn và liên tục” [113] của David Tall và Shlomo Vinner (1981), các tác giả đề cập đến những chướng ngại nhận thức của HS khi tiếp thu các kiến thức về giải tích ở cấp độ hình thức hóa do ảnh hưởng của hình ảnh về khái niệm đã có trước. Trong bài báo này, khái niệm hàm số liên tục được sử dụng như một trường hợp minh họa. Bài báo “Máy vi tính và mối liên hệ giữa trực gi ác và hình thức hóa” [11 1] của David Tall và Adrian Simpson (1998) đề cập đến việc sử dụng công nghệ thông tin trong biểu thị các hình ảnh trực giác về các khái niệm giải tích và hàm số liên tục cũng là một đối tượng được quan tâm. Ý tưởng này được lặp lại trong bài báo “Sử dụng công nghệ để hỗ trợ tiếp cận trong học tập khái niệ m toán học” [110] của David Tall (2003). Bài báo “Phân tích về nhận thức các quan niệm của Cauchy về hàm số, sự liên tục, giới hạn và vô cùng bé trong dạy học giải tích” [112] của David Tall và Mikhail Katz (2012) đề cập đến những quan niệm ngầm ẩn của Cau chy kể cả trong trường hợp định nghĩa hàm số liên tục. Tác giả Leah Christy Bridgers (2007), đã trình bày luận án tiến sĩ giáo dục tại trường Đại học Syracuse (New York) với đề tài « Khái niệm liên tục: một nghiên cứu đối với giáo viên trung học và học sinh của họ » [104]. Luận án có các mục tiêu chính: a) Nghiên cứu quan niệm học sinh về khái niệm hàm số liên tục, b) Nghiên cứu quan niệm của giáo viên về khái niệm hàm số liên tục trên phương diện sư ph ạm và phương diện toán học, c) Bản chất của quan hệ giữa quan niệm của giáo viên và quan niệm của học sinh. Nghiên cứu của tác giả cũng đặt trong khung các lí thuyết tham chiếu về nhận thức. Bridgers L. C. đã cho thấy những lẫn lộn của học sinh giữa tính liên tục của hàm số với tính khả vi, sự tồn tại giới hạn và một số quan niệm đa dạng khác. Tác giả cũng tìm thấy những hạn chế trong quan niệm của giáo viên. Theo tác giả , khiếm khuyết của nghiên cứu là chỉ cung cấp một cái nhìn sơ khởi về quan niệm của HS và GV, nó không cho biết sự tiến triển của các quan niệm. Hạn chế khác của luận án là việc nghiên cứu quan niệm của giáo viên chỉ dựa hoàn toàn trên các báo cáo của giáo viên dạy khái niệm hàm số liên tục chứ không từ các quan sát giờ dạy trên lớp. Chúng tôi cũng không tìm thấy ở nghiên cứu của Bridgers L. C. danh mục những sách giáo khoa mà tác giả đã dựa trên đó để tiến hành các điều tra về quan niệm học sinh. Thông tin từ [10 4] chỉ cho biết đối tượng điều tra quan niệm là HS các lớp thuộc chương trình toán nâng cao (Advanced Placement) ở các trường THPT ở New York. 17 Ở cộng đồng Pháp ngữ, chủ đề hàm số liên tục cũng có một vị trí đáng kể . Tại Pháp, bài báo “Khái niệm liên tục ở trường trung học: ghi nhận từ một thực nghiệm” [97] của Andre Revuz (1972) trình bày kết quả nghiên cứu thực nghiệm về những khó khăn của học sinh khi học tập khái niệm hàm số liên tục trong giai đoạn mà đại số cấu trúc giữ vị trí chủ đạo ở Pháp. Năm 1988, Habiba El Bouazzaoui hoàn thành luận án Tiến sĩ ở Đại học Laval (Québec, Canada) với đề tài « Quan niệm của học sinh và giáo viên về khái niệm liên tục của hàm số » [80]. Luận án của Bouazzaoui H. E. nhằm hai mục tiêu chính: nghiên cứu quan niệm của học sinh hai năm cuối cấp THPT ở Maroc về khái niệm hàm số liên tục; nghiên cứu những quan niệm của giáo viên THPT ở Maroc về khái niệm hàm số liên tục và so sánh quan niệm của học sinh và giáo viên. Để thực hiện nghiên cứu đó, trước tiên, Bouazzaoui H. E. đã nghiên cứu lịch sử tiến triển của khái niệm hàm số liên tục. Kế đó, ông nghiên cứu tiến triển của khái niệm này trong chương trình, sách giáo khoa Maroc từ năm 1945 đến năm 1976 và thực nghiệm điều tra quan niệm của giáo viên và học sinh. Như vậy, nghiên cứu này được thực hiện ở một giai đoạn khá xa xưa và hơn nữa, ở thời kì những năm 1970 này, chương trình và sách giáo khoa toán của Maroc được soạn thảo dựa trên quan điểm của toán học hiện đại theo trường phái Bourbaki ở Pháp, rất khác với các quan điểm hiện nay. Nadia Mawfik (2006), trong một nghiên cứu thực hiện tại trường Cao Đẳng sư phạm Takadoum Rabat, Maroc, đã lặp lại đề tài «N hận thức của học sinh trung học ở Maroc về khái niệm tính liên tục của hàm số » [95], vì nhiều lí do. Theo tác giả, khái niệm liên tục là khái niệm trung tâm của giải tích và cũng là khái niệm then chốt của tôpô nhưng ít được nghiên cứu trong dạy học toán. Mặt khác, nhiều khái niệm giải tích ở bậc trung học có tính chất công cụ và tính toán, nghĩa là chúng thường dẫn đến kết quả định lượng như tính giới hạn, tính đạo hàm, ngược lại, tính liên tục mang tính chất chủ yếu về định tính. Tác giả cho rằng học sin h gặp nhiều khó khăn trong nhận thức khái niệm liên tục và những thay đổi chương trình Toán ở Maroc (năm 1987 và năm 1993) cũng không làm giảm bớt khó khăn của học sinh trong nhận thức về khái niệm này. 1.4.2. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở Việt Nam Ở nước ta, không có nhiều nghiên cứu chuyên biệt về khái niệm hàm số liên tục. Đa số các nghiên cứu đều thực hiện trên một phạm vi rộng các khái niệm Giải tích, trong 18 đó khái niệm HSLT được dùng như một trong các minh họa các giải pháp nào đó về dạy học các khái niệm giải tích và thường không có vị trí quan trọng trong nghiên cứu. Chẳng hạn, trong luận án tiến sĩ của Nguyễn Mạnh Chung (2001) với đề tài “Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh (thông qua dạy học các khái niệm “hàm số” và “giới hạn” cho học sinh trường trung học phổ thông)” [16], khái niệm hàm số liên tục được sử dụng để minh họa giải pháp dạy học khái niệm giải tích theo một “qui trình khép kín” và sơ đồ khối. Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2006) đề cập nội dung dạy học khái niệm này trong luận án tiến sĩ “ Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trường trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận toán học” [39], trong đó, khái niệm hàm số liên tục được sử dụng để minh họa giải pháp dạy học khái niệm giải tích theo “mô hình cộng biến”. Một xu hướng khác là nghiên cứu ứng dụng khái niệm HSLT vào dạy học các đối tượng tri thức khác, chứ không phải trên bản thân khái ni ệm này. Chẳng hạn, bài báo “Áp dụng một tính chất của hàm số liên tục” [40] của Nguyễn Phú Lộc (2003) đã nói về một ứng dụng của định lí giá trị trung gian trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác và phương trình đại số bậc cao. Nguyễn Hữu Nhân và Trần Kim Thỏa (2006) đã trình bày một số ứng dụng các tính chất của hàm số liên tục trong một tài liệu tham khảo “Ứng dụng của hàm liên tục trong giải toán phổ thông” [45]. Tính liên tục cũng xuất hiện dưới dạng những khảo cứu liên qu an đến phạm trù toán học - triết học, chẳng hạn bài báo “Tính liên tục và rời rạc, chuyển động và đứng yên trong lịch sử phát triển của phép tính vi phân và tích phân” [41] của tác giả Nguyễn Phú Lộc trên tạp chí Triết học số 5(168). Năm 2005, trong luận văn Thạc sĩ với đề tài “Khái niệm liên tục, một nghiên cứu khoa học luận và didactic” [20], chúng tôi đã trình bày một số nghiên cứu mở đầu về khái niệm liên tục và hàm số liên tục chủ yếu dựa trên CT và SGK thuộc chương trình chỉnh lý hợp nhất (chương trìn h năm 2000). Trong luận văn này, một nghiên cứu về quan niệm của học sinh về khái niệm liên tục và hàm số liên tục đã được thực hiện . Tuy nhiên, nghiên cứu đó còn phiến diện, chưa phù hợp với các định hướng sắp đến của